高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质测试题

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.1 等式性质与不等式性质测试题，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

养成好习惯：
一、单选题
1．已知，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
2．若，则下列不等式中不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
3．设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．设a，b，c是实数，则下列选项中，满足p是q的充要条件的是（ ）
A．B．
C．D．
5．若，且，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．C． D．
6．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．已知是正实数，则下列条件中是“”的充分条件为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
8．若非零实数，满足，则下列不等式中不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
9．已知且，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
10．生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖，（，，且），若再添加c克糖 后，（假设全部溶于水），糖水会更甜，于是得出一个不等式：，称之为“糖水不等式”，则下 列命题一定正确的是（ ）
A．若，，则与大小关系不随m的变化而变化
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
三、填空题
11．若不等式对满足的一切实数都成立，则的取值范围是 .
12．为满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求，某社区农贸市场管理部门规划建造总面积为的新型生鲜销售市场，市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共80间．每间蔬菜水果类店面的面积为．月租为x万元；每间肉食水产类店面的建筑面积为，月租为0.8万元全部店面的建造面积不低于总面积的，又不能超过总面积的，市场建成后所有店面全部租出，为保证任何一种建设方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果类店面月租费的，则x的最大值为 ．
13．设为正实数，则下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的有 ．
14．设x，y为实数，满足，，则的最小值是 .
四、解答题
15．求解下列问题：已知，，，，．
(1)比较与的大小；
(2)比较与的大小.
16．已知,求证:.
17．对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点，）是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”.
(1)试写出点（3，5）的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
(2)已知点是点的“上位点”，判断是否一定存在点满足是点，d）的“上位点”，又是点的“下位点”，若存在，写出一个点坐标，并证明；若不存在，则说明理由；
(3)设正整数满足以下条件，对集合，总存在，使得点 既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值.
养成好习惯：
复习内容
(作业前完成)
1. 人教版(2019)高中数学必修一课本P39-42
2. 本节上课笔记内容
预备知识
(熟悉并记忆)
1. 分母有理化：1a+k−a=a+k+ak；
2. 完全平方及绝对值，都具有非负性!
请将1-10题正确选项填入下表
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
选项
评后备忘录
有待熟练的
知 识
有待熟练的
解题技巧
有待熟练的
思想方法
2.1等式性质与不等式性质
1．已知，，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
1．D
【分析】利用不等式的基本性质可求得的取值范围.
【详解】由已知条件可得，故.
故选：D.
2．若，则下列不等式中不一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
2．B
【分析】结合已知条件，根据不等式的性质对选项A、B、C、D逐一分析即可求解.
【详解】解：对选项A：因为，所有由倒数法则有，故选项A正确；
对选项B：取，满足，但，故选项B不正确；
对选项C：因为，所以，由不等式的性质有成立，故选项C正确；
对选项D：因为，所以，即，故选项D正确；
故选：B.
3．设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．B
【分析】将化简，使分子相同，即可根据分母大小关系进行比较；利用作差比较大小关系即可.
【详解】，，
，，
.
又，故.
综上可得：.
故选：.
【点睛】本题考查利用不等式性质以及作差法比较大小，属简单题.
4．设a，b，c是实数，则下列选项中，满足p是q的充要条件的是（ ）
A．B．
C．D．
4．C
【分析】根据不等式的性质判断条件p和q的关系即可得.
【详解】解：对于A，得或，则，则p不是q的充要条件，故A错误；
对于B，，若，则，则，则p不是q的充要条件，故B错误；
对于C，由可得，由可得，则，则p是q的充要条件，故C正确；
对于D，由，若，可得，则，则p不是q的充要条件，故D错误.
故选：C.
5．若，且，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．C． D．
5．C
【分析】通过举反例即可判断A，B，D，利用不等式的性质即可判断C
【详解】解：对于A，当满足，且，此时，故错误；
对于B，当满足，且，此时，故错误；
对于C，因为，且，所以，即，则；
对于D，当满足，且，此时，故错误；
故选：C.
6．已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
6．A
【分析】结合作差法比较代数式的大小关系，判断“”和“”之间的逻辑推理关系，可得答案.
【详解】由题意，
若，结合，则，
故“”是“”的充分条件；
者，则，
取满足，但不满足，
故“”不是“”的必要条件．
于是“”是“”的充分不必要条件，
故选：A．
7．已知是正实数，则下列条件中是“”的充分条件为（ ）
A．B．
C．D．
7．B
【分析】逐一分析选项，得到答案.
【详解】A.当时，，所以时，不能推出，所以不是充分条件，故不正确；
B.若 ，
化简为，
是正实数，，
，故是的充分条件；
C.当时，满足不等式，所以当时，不能推出，所以不是充分条件，故不正确；
D. 当时，满足不等式，所以当时，不能推出，所以不是充分条件，故不正确；
故选B
【点睛】本题考查判断命题成立的充分条件，意在考查推理，变形和转化，属于中档题型，对于不成立的命题，可以举反例，说明不成立，成立的需严格证明.
8．若非零实数，满足，则下列不等式中不一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
8．AC
【分析】应用特殊值法判断A、C的正误，利用不等式的性质判断B、D的正误.
【详解】A：当时，不成立，错误；
B：由知：，即，正确；
C：当时，不成立，错误；
D：由，则必有，正确.
故选：AC
9．已知且，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．B．C．D．
9．BCD
【分析】由且，可以得到，，然后结合不等式的性质容易对A，B，C选项进行判断，然后利用基本不等式可对D选项进行判断.
【详解】A：因为且，所以，即，，不一定等于1，故A项不一定成立；
B：因为，所以，所以B项一定成立；
C：因为，所以，C项一定成立；
D：，D项一定成立.
【点睛】思路点睛：由不等式关系以及等式关系估算量的范围是常用的解题方法.
10．生活经验告诉我们，a克糖水中有b克糖，（，，且），若再添加c克糖后，（假设全部溶于水），糖水会更甜，于是得出一个不等式：，称之为“糖水不等式”，则下列命题一定正确的是（ ）
A．若，，则与大小关系不随m的变化而变化
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
10．ACD
【分析】根据“糖水不等式”，即可判断A；作差比较即可判断B；若，则，再根据“糖水不等式”即可判断C；利用不等式的性质即可判断D.
【详解】解：对于A，根据“糖水不等式”，若，则，故A正确；
对于B，，因为，，
所以，故，即，故B错误；
对于C，若，则，
根据“糖水不等式”， ，即，故C正确；
对于D，若，则，
所以，
所以，即，故D正确.
故选：ACD
11．若不等式对满足的一切实数都成立，则的取值范围是 .
11．
【分析】将不等式看成关于的一次函数，根据一次函数的性质即可求解.
【详解】令，即在上恒成立，所以即解得，所以的取值范围是.
故答案为：
12．为满足人民群众便利消费、安全消费、放心消费的需求，某社区农贸市场管理部门规划建造总面积为的新型生鲜销售市场，市场内设蔬菜水果类和肉食水产类店面共80间．每间蔬菜水果类店面的面积为．月租为x万元；每间肉食水产类店面的建筑面积为，月租为0.8万元全部店面的建造面积不低于总面积的，又不能超过总面积的，市场建成后所有店面全部租出，为保证任何一种建设方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果类店面月租费的，则x的最大值为 ．
12．1
【分析】设蔬菜水果类店面a间，则肉食水产类店面为间，根据题意建立不等式，求出a的范围，再建立费用的不等式，解不等式，即可求出x的最大值.
【详解】设蔬菜水果类店面a间，则肉食水产类店面为间，由全部店面的建造面积不低于总面积的，又不高于总面积的，得
，解得．
又，所以a有16个取值，即共有16种建造方案，根据“任何一种建设方案平均每间店面月租费不低于每间蔬菜水果类店面月租费的，，即
．
所以，x的最大值为1．
故答案为：1
13．设为正实数，则下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的有 ．
13．①④
【分析】①将a2﹣b2＝1，分解变形，分类说明只有a﹣b＜1成立；②③可通过举反例的方法证明其错误性；④将两边同时平方作差即可得命题④正确．
【详解】对于①，，
若，因为正实数，所以，那么，
则，不可能成立，所以， ①正确；
对于②，，则，取特殊值，可以验证②错误；
对于③，取特殊值，可以验证③错误；
对于④，，
由作差法，，所以④正确．
故正确答案为：①④.
【点睛】本题主要考查了不等式的证明方法，间接证明和直接证明的方法，举反例法，考查了推理能力，属中档题．
14．设x，y为实数，满足，，则的最小值是 .
14．
【解析】利用方程组形式，可得，求得后结合不等式性质即可求得的最小值.
【详解】设
即
所以，解得
所以
因为，，
所以
由不等式性质可知
即，当且仅当时取等号，解得.
综上可知，的最小值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了不等式的化简变形应用，不等式性质求最值，关键是要求出两个不等式间的关系，属于中档题.
15．求解下列问题：已知，，，，．
(1)比较与的大小；
(2)比较与的大小.
15．(1)
(2)
【分析】（1）利用作差法即可比较；
（2）作差后配方再比较大小.
【详解】（1）因为，所以.
（2）因为
，，
，故.
16．已知,求证:.
16．见解析
【解析】根据已知条件分析可得，结合不等式性质即可得证.
【详解】证明:,
两边取倒数,得,两边同乘,得.
【点睛】此题考查不等式性质的应用，根据已知等量关系和不等关系变形求解，综合性比较强.
17．对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：若，那么称点，）是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”.
(1)试写出点（3，5）的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
(2)已知点是点的“上位点”，判断是否一定存在点满足是点，d）的“上位点”，又是点的“下位点”，若存在，写出一个点坐标，并证明；若不存在，则说明理由；
(3)设正整数满足以下条件，对集合，总存在，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值.
17．(1)点的一个“上位点”坐标是，一个“下位点”坐标是(答案不唯一)；
(2)存在，，证明见解析；
(3)201.
【分析】（1）根据新定义，直接求解即可；
（2）存在，利用所给定义及作差法证明即可得解；
（3）由新定义及（2）结论可知时满足条件，再由的范围知时不成立即可得解.
（1）
对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义：
若，那么称点是点的“上位点”，同时点是点
的“下位点”.
点的一个“上位点”坐标可以是，一个“下位点”坐标可以是(答案不唯一).
（2）
点是点的“上位点”，
一定存在点满足是点的“上位点”，又是点的“下位点”.
证明如下：
点是点的“上位点”，
，即，即，即点是点的“上位点”，
，即，即点是点的“下位点”.
综上可得：点满足是点的“上位点”，又是点的“下位点”.
（3）
若正整数满足条件，
则，在时恒成立，
由（2）中结论可得：时，满足条件，
若，则不成立，(因为即).
故的最小值为201.