2024-2025学年湖南省长沙一中芙蓉中学九年级（上）入学数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年湖南省长沙一中芙蓉中学九年级（上）入学数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列函数中，y是x的正比例函数的是( )
A. y=2x+1B. y=3x2C. y=xD. y=1x
2.如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是( )
A. AB//DC，AD//BCB. AB//DC，AD=BC
C. AO=CO，BO=DOD. AB=DC，AD=BC
3.在“我的阅读生活”校园演讲比赛中，有11名学生参加比赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中一名学生想知道自己能否进入前6名，除了要了解自己的成绩外，还要了解这11名学生成绩的( )
A. 众数B. 方差C. 平均数D. 中位数
4.对于二次函数y=−(x−1)2+2的图象与性质，下列说法正确的是( )
A. 对称轴是直线x=1，最大值是2B. 对称轴是直线x=1，最小值是2
C. 对称轴是直线x=−1，最大值是2D. 对称轴是直线x=−1，最小值是2
5.已知直线y=(m−3)x−3m+1不经过第一象限，则m的取值范围是( )
A. m≥13B. m≤13C. 136.如图，在菱形ABCD中，P、Q分别是AD、AC的中点，如果PQ=2，那么菱形ABCD的周长是( )
A. 16B. 8C. 4D. 2
7.将抛物线y=−3x2+1向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得到的抛物线为( )
A. y=−3(x−2)2+4B. y=−3(x−2)2−2
C. y=−3(x+2)2+4D. y=−3(x+2)2−2
8.设方程x2+x−2=0的两个根为α，β，那么(α−2)(β−2)的值等于( )
A. −4B. 0C. 4D. 2
9.已知二次函数y=x2−3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为(1,0)，则关于x的一元二次方程x2−3x+m=0的两实数根是( )
A. x1=1，x2=−1B. x1=1，x2=3
C. x1=1，x2=2D. x1=1，x2=3
10.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论：
①ab<0；②b2>4ac；③a+b+c<0；④3a+c<0.其中正确的是( )
A. ①④
B. ②④
C. ①②③
D. ①②③④
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.已知关于x的方程x2+3x+k2=0的一个根是−1，则k=______．
12.已知A(x1,y1)，B(x2,y2)在二次函数y=x2−6x+4的图象上，若x1”、“=”或“<”)．
13.经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是______．
14.若函数y=x2+1(x≤2)2x(x>2)，则当函数值y=8时，自变量x的值等于____．
15.如图，直线l的解析式为y=x，点A的坐标为(−2,0)，AB⊥l于点B，则△ABO的面积为______．
16.如图，点P是等边三角形ABC内一点，且PA=3，PB=4，PC=5，若将△APB绕着点B逆时针旋转后得到△CQB，则∠APB的度数______．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：(−1)2024+| 2−2|+( 2− 3)0−(12)−1．
18.(本小题8分)
求解下列一元二次方程：
(1)x2−3x+1=0；
(2)x2+x−12=0．
19.(本小题6分)
学校为了让同学们走向操场、积极参加体育锻炼，启动了“学生阳光体育运动”，张明和李亮在体育运动中报名参加了百米训练小组．在近几次百米训练中，教练对他们两人的测试成绩进行了统计和分析，请根据图表中的信息解答以下问题：
(1)张明第2次的成绩为______秒；
(2)张明成绩的平均数为______；李亮成绩的中位数为______；
(3)现在从张明和李亮中选择一名成绩优秀的去参加比赛，若你是他们的教练，应该选择谁？请说明理由．
20.(本小题7分)
如图，直线l1：y1=−34x+m与y轴交于点A(0,6)，直线l2：y2=kx+1分别与x轴交于点B(−2,0)，与y轴交于点C.两条直线相交于点D，连接AB．
(1)求两直线交点D的坐标；
(2)求△ABD的面积；
(3)根据图象直接写出y1>y2时自变量x的取值范围．
21.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2−4mx+3m2=0.(m为实数)
(1)求证：无论m取何值，该方程总有两个实数根；
(2)该方程的两个实数根为x1、x2(x1>x2)，若x1−x2=2，求正数m的值．
22.(本小题8分)
如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点D，E分别为AB，AC边上的中点，连接DE并延长至点F，使EF=DE，连接AF，CF，CD．
(1)求证：四边形ADCF是菱形；
(2)若BC=4，AC=2，求四边形ADCF的周长．
23.(本小题9分)
某商店经销一种双肩包，已知这种双肩包的成本价为每个30元．市场调查发现，这种双肩包每天的销售量y(单位：个)与销售单价x(单位：元)有如下关系：y=−x+60(30≤x≤60).设这种双肩包每天的销售利润为w元．
(1)求w与x之间的函数解析式；
(2)这种双肩包销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
(3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不高于48元，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？
24.(本小题10分)
在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标和纵坐标相等，则称点P为完美点.已知二次函数y=ax2+4x+c(a≠0)．
(1)当a=1，c=2时，请求出该函数的完美点；
(2)已知二次函数y=ax2+4x+c(a≠0)的图象上有且只有一个完美点(32,32)，请求出该函数；
(3)在(2)的条件下，当0≤x≤m时，函数y=ax2+4x+c−34(a≠0)的最小值为−3，最大值为1，求m的取值范围．
25.(本小题10分)
如图，抛物线y=ax2+2x+c(a<0)与x轴交于点A和点B(点A在原点的左侧，点B在原点的右侧)，与y轴交于点C，OB=OC=3．
(1)求该抛物线的函数解析式．
(2)如图1，连接BC，点D是直线BC上方抛物线上的点，连接OD，CD.OD交BC于点F，当S△COF：S△CDF=3：2时，求点D的坐标．
(3)如图2，点E的坐标为(0,−32)，点P是抛物线上的点，连接EB，PB，PE形成的△PBE中，是否存在点P，使∠PBE或∠PEB等于2∠OBE？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、y=2x+1是一次函数，故本选项不符合题意；
B、y=3x2是二次函数，故本选项不符合题意；
C、y=x符合一次函数的定义，故本选项符合题意；
D、y=1x是反比例函数，故本选项不符合题意；
故选：C．
依据正比例函数、反比例函数、二次函数、一次函数的定义回答即可．
本题主要考查的是正比例函数的定义，掌握正比例函数的一般形式y=kx(k≠0)是解题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：A、AB//DC，AD//BC可利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
B、AB//DC，AD=BC不能判定这个四边形是平行四边形，故此选项符合题意；
C、AO=CO，BO=DO可利用对角线互相平分的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
D、AB=DC，AD=BC可利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定这个四边形是平行四边形，故此选项不合题意；
故选：B．
利用平行四边形的判定方法：(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)两组对边分别相等的四边形是平行四边形．(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．(4)对角线互相平分的四边形是平行四边形进行分析即可．
此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的判定定理．
3.【答案】D
【解析】解：由于总共有11个人，且他们的分数互不相同，第6的成绩是中位数，要判断是否进入前6名，故应知道中位数的多少．
故选D．
11人成绩的中位数是第6名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前6名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查二次函数的性质，解题的关键是正确理解抛物线的图象与性质，本题属于基础题型．
根据抛物线的图象与性质即可判断．
【解答】
解：由抛物线的解析式：y=−(x−1)2+2，
可知：对称轴是直线x=1，
开口方向向下，所以有最大值y=2，
故选A．
5.【答案】D
【解析】解：分三种情况：
①如果直线经过二、四象限，
那么m−3<0，−3m+1=0，
解得m=13；
②如果直线经过二、三、四象限，
那么m−3<0，−3m+1<0，
解得13③如果直线经过三、四象限(平行于x轴的常数函数)，
那么m−3=0，−3m+1<0，
解得m=3；
综上所述，13≤m≤3．
故选D．
直线有可能过的象限分三种情况：①二、四；②二、三、四；③三、四(平行于x轴的常数函数)．
本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，进行分类讨论是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：在菱形ABCD中，P、Q分别是AD、AC的中点，
∴PQ是三角形ADC的中位线，
∴CD=2PQ=4，
∴菱形ABCD的周长=4×4=16，
故选：A．
根据三角形中位线定理求出CD的长即可推出结果．
本题考查了三角形中位线定理，菱形的性质，熟记三角形中位线定理，菱形的性质是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：将抛物线y=−3x2+1向左平移2个单位长度所得直线解析式为：y=−3(x+2)2+1；
再向下平移3个单位为：y=−3(x+2)2+1−3，即y=−3(x+2)2−2．
故选：D．
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
8.【答案】C
【解析】解：∵方程x2+x−2=0的两个根为α，β，
∴α+β=−1，α⋅β=−2，
∴(α−2)(β−2)=α⋅β−2(α+β)+4=−2−2×(−1)+4=4．
故选：C．
根据方程的系数利用根与系数的关系找出α+β=−1、α⋅β=−2，将(α−2)(β−2)展开后代入数据即可得出结论．
本题考查了根与系数的关系，解题的关键是根据根与系数的关系找出α+β=−1、α⋅β=−2．
9.【答案】C
【解析】【分析】
将点(1,0)代入y=x2−3x+m，求出m，即可确定一元二次方程为x2−3x+2=0，即可求解；
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的解；熟练掌握点与解析式的关系，正确求解一元二次方程是解题的关键．
【解答】
解：将点(1,0)代入y=x2−3x+m，
解得m=2，
∴y=x2−3x+2，
∴x2−3x+2=0的两个根为x=1，x=2；
故选：C．
10.【答案】C
【解析】解：∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=1，
∴b=−2a<0，
∴ab<0，所以①正确；
∵抛物线与x轴有2个交点，
∴△=b2−4ac>0，所以②正确；
∵x=1时，y<0，
∴a+b+c<0，所以③正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=1，
∴b=−2a，
而x=−1时，y>0，即a−b+c>0，
∴a+2a+c>0，所以④错误．
故选：C．
由抛物线开口方向得到a>0，然后利用抛物线的对称轴得到b的符号，则可对①进行判断；利用判别式的意义和抛物线与x轴有2个交点可对②进行判断；利用x=1时，y<0可对③进行判断；利用抛物线的对称轴方程得到b=−2a，加上x=−1时，y>0，即a−b+c>0，则可对④进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向．当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左侧；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于(0,c).抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．
11.【答案】± 2
【解析】解：把x=−1代入方程x2+3x+k2=0可得1−3+k2=0，解得k2=2，∴k=± 2．
故本题答案为k=± 2．
一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．把x=−1代入原方程即可得k的值．
本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．此题要注意，k2=2，k=± 2，漏掉一个k的值是易错点．
12.【答案】>
【解析】【分析】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的性质，熟记性质并求出二次函数的对称轴是解题的关键．
先求出二次函数的对称轴为直线x=3，再根据二次函数的性质解答．
【解答】解：二次函数的对称轴为直线x=−−62×1=3，
∵a=1>0，
∴当x<3时，y随x的增大而减小，
∵x1∴y1>y2．
故答案为：>．
13.【答案】50(1−x)2=32
【解析】【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．
根据某药品经过连续两次降价，销售单价由原来50元降到32元，平均每次降价的百分率为x，可以列出相应的方程即可．
【解答】解：由题意可得，
50(1−x)2=32，
故答案为：50(1−x)2=32．
14.【答案】4或− 7
【解析】解：①当x≤2时，x2+1=8，
解得：x=− 7；
②当x>2时，2x=8，
解得：x=4．
故答案为：4或− 7．
因为不知道x的取值范围，所以需要讨论，①x≤2，②x>2，从而在两种情况下分别求出符合条件的x的值．
本题考查函数值的知识，属于基础题，解答此类题目的关键是讨论x的取值范围，避免漏解．
15.【答案】1
【解析】解：∵直线l的解析式为y=x，
∴∠AOB=45°，设B(a,a)，
∵AB⊥l于点B，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴AB=OB= 22OA，
∵点A的坐标为(−2,0)，
∴OA=2，
∴AB=OB= 2，
∴△ABO的面积=12× 2× 2=1，
故答案为：1．
根据已知条件得到△AOB是等腰直角三角形，求得AB=OB= 22OA，根据三角形的面积公式即可得到结论．
本题考查了正比例函数的性质，三角形的面积的计算，正确的理解题意是解题的关键．
16.【答案】150°
【解析】【分析】
本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是勾股定理逆定理的应用，属于中考常考题型.首先证明△BPQ为等边三角形，得∠BQP=60°，由△ABP≌CBQ可得QC=PA，在△PQC中，已知三边，用勾股定理逆定理证出得出∠PQC=90°，可求∠BQC的度数，由此即可解决问题．
【解答】
解：连接PQ，由题意可知△ABP≌△CBQ，
则QB=PB=4，PA=QC=3，∠ABP=∠CBQ，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ABP+∠PBC=60°，
∴∠PBQ=∠CBQ+∠PBC=60°，
∴△BPQ为等边三角形，
∴PQ=PB=BQ=4，
又∵PQ=4，PC=5，QC=3，
∴PQ2+QC2=PC2，
∴∠PQC=90°，
∵△BPQ为等边三角形，
∴∠BQP=60°，
∴∠BQC=∠BQP+∠PQC=150°，
∴∠APB=∠BQC=150°．
故答案为150°．
17.【答案】解：原式=1+2− 2+1−2
=2− 2．
【解析】先计算有理数的乘方，绝对值，零指数幂，负整数指数幂，再计算加减即可．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．
18.【答案】解：(1)x2−3x+1=0，
∵Δ=(−3)2−4×1×1=9−4=5>0，
∴x=3± 52，
∴x1=3+ 52，x2=3− 52；
(2)x2+x−12=0，
(x+4)(x−3)=0，
x+4=0或x−3=0，
x1=−4，x2=3．
【解析】(1)利用解一元二次方程−公式法进行计算，即可解答；
(2)利用解一元二次方程−因式分解法进行计算，即可解答．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法，公式法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19.【答案】13.4 13.3秒 13.3秒
【解析】解：(1)张明第2次的成绩为13.4秒；
(2)张明成绩的平均数为13.3+13.4+13.3+13.2+13.35=13.3(秒)；李亮成绩的中位数为13.3(秒)；
故答案为13.4；13.3秒，13.3秒；
(3)选择张明，平均数和中位数相同，但张明成绩的方差小于李亮成绩的方差，所以张明成绩比李亮成绩稳定，因此选择张明．
(1)利用折线统计图确定张明第2次的成绩；
(2)利用平均数和中位数的定义求解；
(3)根据方差的意义进行判断．
本题考查了方差：方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了算术平均数和中位数、统计图．
20.【答案】解：(1)将A(0,6)代入y1=−34x+m得，m=6；将B(−2,0)代入y2=kx+1得，k=12
组成方程组得y=−34x+6y=12x+1，解得x=4y=3，
故D点坐标为(4,3)；
(2)由y2=12x+1可知，C点坐标为(0,1)
故S△ABD=S△ABC+S△ACD=12×5×2+12×5×4=15；
(3)x<4．
【解析】(1)将A(0,6)代入y1=−34x+m，即可求出m的值，将B(−2,0)代入y2=kx+1即可求出k的值，得到两函数的解析式，组成方程组解求出D的坐标；
(2)由y2=12x+1可知，C点坐标为(0,1)，分别求出△ABC和△ACD的面积，相加即可．
(3)由图可知，在D点左侧时，y1>y2，即x<4时，y1>y2．
本题考查了两条直线相交或平行的问题，主要是理解一次函数图象上点的坐标特征．
21.【答案】(1)证明：∵Δ=(−4m)2−4×1×3m2=4m2≥0，
∴无论m取何值，该方程总有两个实数根；
(2)解：∵x2−4mx+3m2=0，即(x−m)(x−3m)=0，
解得：x=m或x=3m，
∵m>0，x1>x2，
∴x1=3m，x2=m，
∵x1−x2=2，
∴3m−m=2，
∴m=1．
【解析】(1)根据方程的系数结合根的判别式，可得出Δ=1>0，进而可证出方程有两个不相等的实数根；
(2)解方程求出方程的两根为3m，m，然后利用x1−x2=2，即可求出m的值．
本题考查了根的判别式，解题的关键是表示出方程的两个根．
22.【答案】(1)证明：∵点E是边AC的中点，
∴AE=EC．
又∵EF=DE，
∴四边形ADCF是平行四边形．
又∵点D、E分别是边AB、AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE/​/BC．
又∵∠ACB=90°，
∴∠AED=90°．
∴AC⊥DF．
∴四边形ADCF是菱形．
(2)解：∵四边形ADCF是菱形，
∴CD=CF=AF=AD，
在Rt△ABC中，AB= AC2+BC2= 22+42=2 5，
∵D是AB的中点，
∴AD=12AB= 5，
∴四边形ADCF的周长=4 5．
【解析】(1)先证明四边形ADCF是平行四边形，再证明DE是△ABC的中位线，得出DE/​/BC，证出AC⊥DF，即可得出结论；
(2)由勾股定理求出AB，可得AD的长，即可得出结果．
本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理；熟练掌握菱形的判定与性质，由三角形中位线定理得出DE/​/BC是解决(1)的关键．
23.【答案】解：(1)w=(x−30)⋅y=(−x+60)(x−30)=−x2+30x+60x−1800=−x2+90x−1800，
w与x之间的函数解析式w=−x2+90x−1800；
(2)根据题意得：w=−x2+90x−1800=−(x−45)2+225，
∵−1<0，
当x=45时，w有最大值，最大值是225．
∴当销售单价定为45元时，每天的销售利润最大，最大利润是225元．
(3)当w=200时，−x2+90x−1800=200，
解得x1=40，x2=50，
∵50>48，x2=50不符合题意，舍去，
答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元．
【解析】本题考查了二次函数的应用；得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键；利用配方法或公式法求得二次函数的最值问题是常用的解题方法．
(1)每天的销售利润w=每天的销售量×每件产品的利润；
(2)根据配方法，可得答案；
(3)根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．
24.【答案】解：(1)当a=1，c=2时，y=x2+4x+2，
令y=x，则x2+3x+2=0，
解得：x1=−1，x2=−2，
∴该函数的完美点为P1(−1,−1)，P2(−2,−2)；
(2)令ax2+4x+c=x，即ax2+3x+c=0，由题意可得，图象上有且只有一个完美点，∴Δ=9−4ac=0，则4ac=9．
又方程根为x=−b2a=−32a=32，
∴a=−1，c=−94，
该二次函数的解析式为y=−x2+4x−94；
(3)∵y=−x2+4x−94−34=−x2+4x−3=−(x−2)2+1，
∴该二次函数图象如图所示，顶点坐标为(2,1)，

与y轴交点为(0,−3)，根据对称规律，点(4,−3)也是该二次函数图象上的点．在x=2左侧，y随x的增大而增大；在x=2右侧，y随x的增大而减小；
∵当0≤x≤m时，函数y=−x2+4x−3的最小值为−3，最大值为1，
∴2≤m≤4．
【解析】(1)根据完美点的概念，由y=x与抛物线解析式联立即可求得答案；
(2)由题意得关于x的方程ax2+3x+c=0有两个相等的实数根，可得Δ=9−4ac=0，则4ac=9，再将完美点的坐标代入即可求得答案；
(3)由题意得y=−x2+4x−3=−(x−2)2+1，可求得此抛物线的顶点坐标以及与坐标轴的交点坐标，根据二次函数的图象和性质，可求得x的取值范围．
本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的性质以及根的判别式的知识，利用数形结合和分类讨论是解题关键．
25.【答案】解：(1)OB=OC=3，则：B(3,0)，C(0,3)，
把B、C坐标代入抛物线方程，
解得抛物线方程为：y=−x2+2x+3…①；
(2)∵S△COF：S△CDF=3：2，
∴S△COF=35S△COD，即：xD=53xF，
设：F点横坐标为3t，则D点横坐标为5t，
点F在直线BC上，
而BC所在的直线表达式为：y=−x+3，则F(3t,3−3t)，
则：直线OF所在的直线表达式为：y=3−3t3tx=1−ttx，
则点D(5t,5−5t)，
把D点坐标代入①，解得：t=15或25，
则点D的坐标为(1,4)或(2,3)；
(3)①当∠PEB=2∠OBE时，
当BP在x轴上方时，
如图2，设BP1交y轴于点E′，
∴∠P1BE=2∠OBE，∴∠E′BO=∠EBO，又∠E′OB=∠EBO=60°，BO=BO，
∴E′BO△≌△EBO(AAS)，
∴EO=EO=32，∴点E′(0,32)，
直线BP1过点B、E′，则其直线方程为：y=−12x+32…②，
联立①②并解得：x=−12，
故点P1的坐标为(−12,74)；
当BP在x轴下方时，
如图2，过点E作EF/​/BE′交BP2于点F，则∠FEB=∠EBE′，
∴∠E′BE=2∠OBE，∠EBP2=2∠OBE，∴∠FEB=∠EBF，
∴FE=BF，
直线EF可以看成直线BE′平移而得，其k值为−12，
则其直线表达式为：y=−12x−32，
设点F(m,−12m−32)，过点F作FH⊥y轴交于点H，作BK⊥HF于点K，
则点H(0,−12m−32)，K(3,−12m−32)，
∵EF=BF，则FE2=BF2，
即：m2+(−32+12m+32)2=(3−m)2+(12m+32)2，
解得：m=52，则点F(52,−114)，
则直线BF的表达式为：y=112x−332…③，
联立①③并解得：x=−132或3(舍去3)，
则点P2(−132,−2094)；
②当∠PEB=2∠OBE时，
当EP在BE上方时，如图3，点E′为图2所求，
设BE′交EP3于点F，
∵∠EBE′=2∠OBE，∴∠EBE′=∠P3EB，
∴FE=BF，
由①知，直线BE′的表达式为：y=−12x+32，
设点F(n,−12n+32)，K(3,−12n+32)，
由FE=BF，同理可得：n=12，
故点F(12,54)，则直线EF的表达式为：y=112x−32…④，
联立①④并解得：n=1或−92(舍去负值)，
∴P3(1,4)；
当EP在BE下方时，
同理可得：x=5± 974(舍去负值)，
故点P4(5+ 974,−17+ 978)，
故点P的坐标为：(1,4)或(−12,74)或(−132,−2094)或(5+ 974,−17+ 978).
【解析】(1)OB=OC=3，则：B(3,0)，C(0,3)，把B、C坐标代入抛物线方程，解得抛物线方程为：y=−x2+2x+3…①；
(2)S△COF：S△CDF=3：2，则S△COF=35S△COD，即：xD=35xF，即可求解；
(3)分∠PBE或∠PEB等于2∠OBE两种情况分别求解即可．
本题是二次函数综合题，涉及到三角形相似、勾股定理运用等诸多知识点，是一道难度较大的题目．平均数
中位数
方差
张明
13.3
0.004
李亮
13.3
0.02