第05讲一元二次方程、不等式（考点串讲课件）-2025年高考数学大一轮复习核心题型+易错重难点专项突破（新高考版）

展开

这是一份第05讲一元二次方程、不等式（考点串讲课件）-2025年高考数学大一轮复习核心题型+易错重难点专项突破（新高考版），共60页。PPT课件主要包含了知识梳理，常用结论，易混易错练，考点分类练，最新模拟练等内容，欢迎下载使用。

1. 二次函数的图象与性质
注意　对于函数 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c ，要使它是二次函数，就必须满足 a ≠0.当题中条件未说明 a ≠0时，要讨论 a ＝0和 a ≠0两种情况.
{x|xx2}
{x|x1易错点1　忽略对参数的分类讨论而致错
易错点2　忽视一元二次方程有解的条件而致错
易错点3　忽略二次项系数的讨论而致错
易错点4　审题不仔细而致错
易错点5　随意消项致错
易错点6　认为分式不等式与一元二次不等式等价致错
命题点1　二次函数的图象与性质
角度1　二次函数的图象及应用例1 (1)[2024江苏省苏州市模拟]一次函数 y ＝ ax － b ( a ≠0)与二次函数 y ＝ ax 2＋ bx ＋ c ( a ≠0)在同一坐标系中的大致图象是(　B　)
(2)已知二次函数 f ( x )的图象经过点(4，3)，且截 x 轴所得的线段长为2，若对任意 x ∈R，都有 f (2－ x )＝ f (2＋ x )，则 f ( x )＝ ⁠.
[解析]　因为 f (2－ x )＝ f (2＋ x )对任意 x ∈R恒成立，所以 f ( x )图象的对称轴为直线 x ＝2.又 f ( x )的图象截 x 轴所得的线段长为2，所以 f ( x )＝0的两根为1和3.设 f ( x )的解析式为 f ( x )＝ a ( x －1)( x －3)( a ≠0)，因为 f ( x )的图象过点(4，3)，所以3 a ＝3，即 a ＝1，所以 f ( x )＝( x －1)( x －3)＝ x 2－4 x ＋3.
x 2－4 x ＋3　
角度2　二次函数的性质及应用
例2 (1)[2024江西景德镇统考改编]若函数 f ( x )＝ x 2－3 x －4在区间[ t ， t ＋2]上的最小值为6，则实数 t ＝ ⁠.
命题拓展[变条件]若函数 f ( x )＝ x 2－3 x －4在区间[ t ， t ＋2]上的最大值为6，则实数 t ＝ ⁠ ⁠ .
(2)若函数 f ( x )＝ ax 2＋( a －3) x ＋1的单调递减区间是[－1，＋∞)，则 a ＝ ⁠.
命题拓展[变条件]若函数 f ( x )＝ ax 2＋( a －3) x ＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数 a 的取值范围是 ⁠.
命题点2　“三个二次”之间的关系与一元二次不等式的解法
角度1　“三个二次”之间的关系
例3 [多选/2023山东枣庄调研]已知关于 x 的不等式( x ＋2)( x －4)＋ a ＜0( a ＜0)的解集是( x 1， x 2)，则(　ABD　)
[解析]　解法一　( x ＋2)( x －4)＋ a ＜0即( x ＋2)( x －4)＜－ a ，作出 f ( x )＝( x ＋2)( x －4)及 y ＝－ a ( a ＜0)的图象，如图.因为( x ＋2)( x －4)＋ a ＜0的解集是( x 1， x 2)，所以 f ( x )＝( x ＋2)·( x －4)的图象与直线 y ＝－ a 的交点的横坐标分别为 x 1， x 2，则由图象易得 x 1＜－2＜4＜ x 2， x 1＋ x 2＝－2＋4＝2，所以A正确，C错误.易知 x 2－ x 1＞4－(－2)＝6，所以D正确.因为－ x 1＞2， x 2＞4，所以－ x 1 x 2＞8，所以 x 1 x 2＜－8，故B正确.故选ABD.
角度2　一元二次不等式的解法例4 [2024河南省名校调研]不等式－ x 2－｜ x ｜＋6＞0的解集为(　B　)
[解析]　不等式可化为｜ x ｜2＋｜ x ｜－6＜0，即－3＜｜ x ｜＜2，解得－2＜ x ＜2. 故选B.
例5 [2024湖北省孝感市部分学校模拟]设 a ∈R，解关于 x 的不等式： ax 2－( a ＋4) x ＋4≤0.
命题点3　一元二次不等式的恒成立问题
角度1　在R上恒成立例6 [2023甘肃省酒泉市玉门油田第一中学期中]已知不等式 x 2－2 x ＋ k 2－1＞0对一切实数 x 恒成立，则实数 k 的取值范围是(　C　)
角度2　在给定区间上恒成立
例7 [2023石家庄质检]当－2≤ x ≤2时，不等式 x 2－ mx ＋1＞0恒成立，则实数 m 的取值范围为(　A　)
[解析]　设 f ( x )＝ x 2－ mx ＋1，其中－2≤ x ≤2.
角度3　给定参数范围的恒成立例8 [2023广东省深圳市模拟]对任意的实数 m ∈[0，2]，不等式( x －2)( x －3＋ m )＞ 0恒成立，则 x 的取值范围是(　A　)
求解不等式恒成立问题的常用方法
二次函数的零点分布的类型及解题方法例9 [多选/2024贵州黄平模拟]已知一元二次方程 x 2＋ mx ＋3＝0有两个实数根 x 1， x2，且0＜ x 1＜2＜ x 2＜4，则 m 的值可能为(　ABC　)
例10 [2023河北省高碑店市崇德实验中学模拟] m 为何值时，关于 x 的方程8 x 2－( m －1) x ＋ m －7＝0的两根：(1)都为正数根；
[解析]　设函数 f ( x )＝8 x 2－( m －1) x ＋ m －7，方程的两根为 x 1， x 2.
(2)异号且负根绝对值大于正根；
(3)一根大于2，一根小于2；
(4)都在区间(0，2)上.
2. [2024江苏无锡模拟]下列不等式中，解集为R的是(　A　)
4. [2024山西太原模拟]不等式 ax 2－ bx ＋ c ＞0的解集为{ x ｜－2＜ x ＜1}，则函数 y ＝ ax 2－ bx ＋ c 的图象可能为(　A　)
[解析]　因为 ax 2－ bx ＋ c ＞0的解集为{ x ｜－2＜ x ＜1}，所以方程 ax 2－ bx ＋ c ＝0 的两根分别为－2和1，且 a ＜0，则函数 y ＝ ax 2－ bx ＋ c 的图象开口向下，且与 x 轴的交点坐标为(1，0)和(－2，0)，故A选项的图象符合.故选A.
5. [2024陕西咸阳模拟]已知当 x ＞0时，不等式 x 2－ mx ＋16＞0恒成立，则实数 m 的取值范围是(　A　)
6. [2024天津模拟]若不等式 ax 2－ bx ＋ c ＞0的解集为{ x ｜－2＜ x ＜3}，则不等式 bx 2＋ ax ＋ c ＜0的解集为(　C　)
8. [2024江苏省南通市模拟]已知函数 f ( x )＝－ x 2＋4 x ， x ∈[ m ，4]，若 f ( x )的值域是[0，4]，则实数 m 的取值范围是(　C　)
[解析]　画出函数 f ( x )＝－ x 2＋4 x 的图象，如图所示，易知 f (0)＝ f (4)＝0， f (2)＝ 4.因为 x ∈[ m ，4]时， f ( x )的值域是[0，4]，所以由图可知 m ∈[0，2].故选C.
9. [2024江苏省南通市质量监测]记函数 f ( x )＝｜ x 2－ ax ｜在区间[0，1]上的最大值为 g ( a )，则 g ( a )的最小值为(　A　)
[解析]　分析函数 f ( x )＝｜ x 2－ ax ｜在 x ∈[0，1]上的图象及性质，分类讨论如下：
①当 a ≤0时，如图1，易知函数 f ( x )在区间[0，1]上单调递增， g ( a )＝ f (1)＝1－ a ，此时 g ( a )单调递减， g ( a )min＝ g (0)＝1；
图3 图4
10.[2024江苏省扬州市模拟]设函数 f ( x )＝ mx 2－ mx －1，若对于任意的 x ∈{ x ｜1≤ x ≤2}， f ( x )＜－ m ＋4恒成立，则(　C　)
11. [多选/2024四川泸州模拟]某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏.为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入，则这批台灯的售价 x (元)的取值可以是 (　ABC　)
[解析]　因为这批台灯的售价为 x 元( x ≥15)，且这批台灯每天获得400元以上(不含 400元)的销售收入，所以 x [30－2( x －15)]＞400，化简得－2 x 2＋60 x －400＞0，解得10＜ x ＜20，所以15≤ x ＜20.故选ABC.
12.[多选/2024甘肃省张掖市模拟]已知关于 x 的不等式 ax 2＋ bx ＋ c ≥0的解集为{ x ｜ x ≤3或 x ≥4}，则下列结论中正确的是(　AD　)
13. [多选/2024广西贵港市名校入学检测]已知关于 x 的方程 x 2＋( m －3) x ＋ m ＝ 0，则下列说法正确的是(　CD　)
14. [2024湖北武汉模拟]在关于 x 的方程 x 2－ ax ＋4＝0， x 2＋( a －1) x ＋16＝0和 x 2＋2 ax ＋3 a ＋10＝0中，已知至少有一个方程有实数根，则实数 a 的取值范围是(　C　)
15. [多选/2024宁夏育才中学模拟]已知关于 x 的不等式 ax 2＋ bx ＋ c ＞0 的解集为{ x ｜－3＜ x ＜2}，则(　ABD　)
16.[2024湖南省长沙市模拟]已知关于 x 的不等式 kx 2－3 kx ＋ k ＋5＞0对任意 x ∈R恒成立，则 k 的取值范围为 ⁠.
[解析]　当 k ＝0时，不等式为5＞0，恒成立，符合题意；当 k ＞0时，若不等式 kx 2 －3 kx ＋ k ＋5＞0对任意 x ∈R恒成立，则对应方程的Δ＝9 k 2－4 k ( k ＋5)＜0，解得0 ＜ k ＜4；当 k ＜0时，不等式 kx 2－3 kx ＋ k ＋5＞0不能对任意 x ∈R恒成立.综上， k 的取值范围是[0，4).
17. [2024河南名校联考]若对∀ x ∈R，∃ a ＞0，使得 x 2＋ ax － a 2≥ x － am ＋1成立，则实数 m 的取值范围为 ⁠.
18. [2024贵州名校联考]若关于 x 的方程 mx 2＋2 x ＋2＝0至少有一个负实根，则实数 m 的取值范围是 ⁠.
(1)当 a ＝3时，求函数 f ( x )在区间[0，1]上的最小值和最大值；
(2)若对∀ x 1∈(2，3)，∃ x 2∈[1，2]，使不等式 f ( x 1)＜ g ( x 2)成立，求实数 a 的取值范围.

相关课件更多