第20讲 利用导数证明不等式(考点串讲课件)-2025年高考数学大一轮复习核心题型+易错重难点专项突破（新高考版）

这是一份第20讲 利用导数证明不等式(考点串讲课件)-2025年高考数学大一轮复习核心题型+易错重难点专项突破（新高考版），共27页。PPT课件主要包含了易混易错练，常用结论，知识梳理，考点分类练，最新模拟练等内容，欢迎下载使用。

1.与ex,ln x有关的常用不等式的结论(1)由f(x)=ex图像上任一点(m,f(m))的切线方程为y-em=em(x-m),得ex≥em(x+1)-mem,当且仅当x=m时,等号成立.当m=0时,有ex≥1+x;当m=1时,有ex≥ex.(2)由过函数f(x)=ln x图像上任一点(n,f(n))的切线方程为y-ln n= (x-n),得ln x≤ x-1+ln n,当且仅当x=n时,等号成立.当n=1时,有ln x≤x-1;当n=e时,有ln x≤ x.(3)由(1),(2)得,若x∈(0,+∞),则ex≥x+1>x-1≥ln x.
2.证明含参数的函数不等式,其关键在于将所给的不等式进行“改造”,得到“一平一曲”,然后运用导数求出“曲”的最值,将其与“平”进行比较即可.3.函数不等式的类型与解法(1)∀x∈D,f(x)≤k⇔f(x)max≤k;∃x∈D,f(x)≤k⇔f(x)min≤k;(2)∀x∈D,f(x)≤g(x) ⇔f(x)max≤g(x)min;∃x∈D,f(x)≤g(x) ⇔ f(x)min≤g(x)max.
4.含两个未知数的不等式(函数)问题的常见题型及具体转化策略(1)∀x1∈[a,b],x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的最小值>g(x)在[c,d]上的最大值.(2)∃x1∈[a,b],x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的最大值>g(x)在[c,d]上的最小值.(3)∀x1∈[a,b],∃x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的最小值>g(x)在[c,d]上的最小值.
(4)∃x1∈[a,b],∀x2∈[c,d],f(x1)>g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的最大值>g(x)在[c,d]上的最大值.(5)∃x1∈[a,b],当x2∈[c,d]时,f(x1)=g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的值域与g(x)在[c,d]上的值域交集非空.(6)∀x1∈[a,b],∃x2∈[c,d],f(x1)=g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的值域⊆g(x)在[c,d]上的值域.(7)∀x2∈[c,d],∃x1∈[a,b],f(x1)=g(x2)⇔f(x)在[a,b]上的值域⊇g(x)在[c,d]上的值域.
1.若∀x>0,f(x)≥0成立,求a的取值范围,即求当x>0,f(x)≥0恒成立时的a的取值范围,即研究a取什么范围使得当x>0时f(x)≥0成立.2.对于恒成立求参数取值范围的问题,最值法与分离参数法是两种最常用的方法.如果分离后的函数容易求最值,则选用分离参数法,否则选用最值法.最值法主要考查学生分类讨论的思想,一般遵循“构造函数——分类讨论”两步来展开.一些稍难的恒成立问题,如果用分离参数法来处理,往往需要多次求导和使用洛必达法则.
3.对于含有两个变量的不等式恒成立求参数取值范围的问题,一般要找到两个变量的关系,转化为一个变量,从而得到一个函数;也可以从含有两个变量的不等式中抽象出一个函数是单调函数.对于求参数的取值范围,可以分离出变量,得到一个不等式,通过函数的最值得参数的取值范围;如果变量不易分离,可以对参数进行讨论,看参数在什么范围不等式成立,从而求出参数的取值范围.
命题点1　将不等式转化为函数的最值问题
(1)利用函数的单调性和最值直接证明.
(2)证明不等式 f ( x )＞ g ( x )转化为证明 f ( x )－ g ( x )＞0，进而构造辅助函数 h ( x )＝f ( x )－ g ( x )，通过研究函数 h ( x )的单调性，证明 h ( x )min＞0.
例1 [2023新高考卷Ⅱ节选]证明：当0＜ x ＜1时， x － x 2＜ sin x ＜ x .
[解析]　令 h ( x )＝ x － x 2－ sin x ，则h'( x )＝1－2 x － cs x ，令 p ( x )＝1－2 x － cs x ，则p'( x )＝－2＋ sin x ＜0，所以 p ( x )即h'( x )单调递减，又h'(0)＝0，所以当0＜ x ＜1时，h'( x )＜h'(0)＝0， h ( x )单调递减，所以当0＜ x ＜1时， h ( x )＜ h (0)＝0，即 x － x 2＜ sin x .令 g ( x )＝ sin x － x ，则g'( x )＝ cs x －1＜0， x ∈(0，1)，所以 g ( x )单调递减，又 g (0)＝0，所以当0＜ x ＜1时， g ( x )＜ g (0)＝0，即 sin x ＜ x .综上，当0＜ x ＜1时， x － x 2＜ sin x ＜ x .
命题点2　将不等式转化为两个函数的最值进行比较
若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证不等式进行变形，构造两个函数，转化为两个函数的最值问题(或找到可以传递的中间量a )，即将不等式转化为 f ( x )≥g ( x )的形式，证明 f ( x )min≥ g ( x )max(或 f ( x )≥ a ≥ g ( x ))即可.
例2 [2024湖北襄阳模拟节选]已知函数 f ( x )＝ a ln x ＋ x .当 a ＝1时，证明： xf ( x )＜e x .
命题点3　放缩法证明不等式
1. 利用放缩法证明不等式的思路一是会放缩，即从所求证的不等式入手，利用分析法，进行转化，寻找可放大或缩 小的条件；二是会构造函数，即通过构造辅助函数，把所求证的不等式进行转化；三是借用导数，即会利用导数的工具性，研究新构造函数的性质，进而求解.
[解析]　(1) f '( x )＝－ sin x ＋ ax ，且 f '(0)＝0，令 g ( x )＝ f '( x )，则g'( x )＝－ cs x ＋ a .
①当 a ≥1时，g'( x )≥0且g'( x )不恒为0，则 g ( x )单调递增，当 x ＞0时， g ( x )＝ f '( x )＞ g (0)＝0，当 x ＜0时， g ( x )＝ f '( x )＜ g (0)＝0，即当 x ＞ 0时， f ( x )单调递增，当 x ＜0时， f ( x )单调递减，此时 x ＝0是函数 f ( x )唯一的极小 值点.
②当 a ＜1时，g'(0)＝－1＋ a ＜0，所以存在δ＞0使得当 x ∈(0，δ)时， g ( x )＝ f '( x ) 在(0，δ)上单调递减，即当 x ∈(0，δ)时， f '( x )＜ f '(0)＝0，所以 f ( x )在(0，δ)上单调 递减，与 x ＝0是函数 f ( x )唯一的极小值点矛盾.综上，实数 a 的取值范围为[1，＋∞).
1.[2023雅礼中学二模]已知函数 f ( x )＝2 sin x － sin 2 x .(1)当0≤ x ≤π时，求 f ( x )的最大值；
2.[2024浙江宁波模拟]已知函数 f ( x )＝ a e2 x ＋( a －4)e x －2 x .(1)讨论 f ( x )的单调性；
(2)证明：当 a ＞1时， f ( x )＞7ln a － a －4.
3.[2024陕西省咸阳市模拟]已知函数 f ( x )＝ x 3－3ln x ＋11.(1)判断函数 f ( x )的单调性；
(2)证明：当 x ＞0时， f ( x )＞－ x 3＋3 x 2＋(3－ x )e x .
[解析]　 (2)由(1)可得 f ( x )min＝ f (1)＝12.令 g ( x )＝－ x 3＋3 x 2＋(3－ x )e x ( x ＞0)，则g'( x )＝－3 x 2＋6 x －e x ＋(3－ x )e x ＝(2－ x )(e x ＋3 x )，令g'( x )＝0，可得 x ＝2.当 x ∈(0，2)时，g'( x )＞0，当 x ∈(2，＋∞)时，g'( x )＜0，∴ g ( x )在(0，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减.∴ g ( x )max＝ g (2)＝e2＋4，∴ f ( x )min＞ g ( x )max，则 f ( x )＞ g ( x )，∴当 x ＞0时， f ( x )＞－ x 3＋3 x 2＋(3－ x )e x .
4. [2023河北名校4月模拟]已知函数 f ( x )＝e x －( x － a )2( x ＞0)，e为自然对数的底 数， a ∈R. (1)讨论函数 f ( x )的极值点个数；