安徽省合肥市肥东县第一中学2024-2025学年高二上学期7月份自学质量检测数学试题

这是一份安徽省合肥市肥东县第一中学2024-2025学年高二上学期7月份自学质量检测数学试题，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.集合，，则( )
A. B. C. D.
2.下列函数中，在区间上单调递减的是( )
A. B. C. D.
3.已知向量与共线，则( )
A. B. 0C. 2D. 6
4.如图，在中，，，，BC，AB边上的两条中线AD，CE交于点P，则( )
A.
B.
C.
D.
5.若，，则是的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
6.如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别是棱，BC，的中点，则异面直线AD与EF所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
7.一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间，设，，，则( )
A. 与互斥B. 与相互对立
C. 与相互独立D.
8.已知两异面直线a，b所成的角为，过空间一点P作直线，使得l与a，b的夹角均为，那么这样的直线有条
A. 1B. 2C. 4D. 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列说法中，错误的有( )
A. 单位向量都相等
B. 模相等的两个平行向量相等
C. 若且，同向，则
D. ，若，，则
10.已知函数的部分图象如图所示.则( )
A. B. C. D.
11.如图，在棱长为2的正方体中，M，N，P分别是，，的中点，Q是线段上的动点，则下列说法中正确的是( )
A. 存在点Q，使B，N，P，Q四点共面
B. 存在点Q，使平面MBN
C. 三棱锥的体积为
D. 经过C，M，B，N四点的球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，则面积的取值范围是______.
13.在空间直角坐标系Oxyz中，已知，，点C满足，则点C的坐标为______.
14.有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记m表示前两个球号码的平均数，记n表示前三个球号码的平均数，则m与n差的绝对值不超过的概率是______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题13分
已知复数是方程的一个虚根是虚数单位，
求；
复数，若为纯虚数，求实数a的值.
16.本小题15分
《中国制造2025》提出“节能与新能源汽车”作为重点发展领域，这为我国节能与新能源汽车产业发展指明了方向，某新能源汽车生产商为了提升产品质量，对某款汽车的某项指标进行检测后，频率分布直方图如图所示：
求该项指标的第30百分位数；
若利用该指标制定一个标准，需要确定临界值x，将该指标小于x的汽车认为符合节能要求，已知，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求该款汽车符合节能要求的概率
17.本小题15分
在三棱锥中，，，，点C在平面PAB上的射影D恰好在PA上.
若E为线段BP的中点，求证：平面CDE；
求二面角的余弦值.
18.本小题17分
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
求A的值；
若为锐角三角形，求的取值范围.
19.本小题17分
某校一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍薨”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，E，F，G分别是边长为4的正方形的三边AB，CD，AD的中点，先沿着虚线段FG将等腰直角三角形FDG裁掉，再将剩下的五边形ABCFG沿着线段EF折起，连接AB，CG就得到了一个“刍薨”如图
若O是四边形EBCF对角线的交点，求证：平面GCF；
若二面角的平面角为，求平面OAE与平面BAE夹角的余弦值.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：集合，
，
则
故选：
化简集合A、B，再判断A、B的关系．
本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
2.【答案】C
【解析】解：在区间上单调递增，不符合题意；
在区间上单调递增，不符合题意；
根据幂函数的性质可知，在区间上单调递减，符合题意；
根据二次函数的性质可知，在区间上单调递增，不符合题意．
故选：
由已知结合基本初等函数的单调性检验各选项即可判断．
本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：向量与共线，
所以，所以，，故
故选：
根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：因为，，，建立如图所示的坐标系，
则有：，，，
因为D，E分别为BC，AB中点，
所以，，
所以，，
所以
故选：
由题可得三角形ABC为直角三角，建立坐标系，将问题转化为求向量的夹角的余弦即可．
本题主要考查解三角形，重点考查了平面向量夹角运算公式，考查转化能力，属于中档题．
5.【答案】C
【解析】解：①当时，，
②若，则，
即，，
是的充要条件，
故选：
利用复数相等的条件，再结合充要条件的定义判断即可．
本题考查了充要条件的判定，考查了复数相等的条件，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：把直三棱柱补成一个底面为菱形的直四棱柱，如图所示：
因为，且，
所以四边形ADME为平行四边形，所以，
所以异面直线AD与EF所成的角为或其补角，
不妨设，
因为，所以，
所以为等边三角形，所以，，
所以，
因为为边长为a的等边三角形，所以，
又因为，
所以在中，由余弦定理可得，，
即异面直线AD与EF所成角的余弦值为
故选：
把直三棱柱补成一个底面为菱形的直四棱柱，利用平移法找到异面直线AD与EF所成的角，再结合余弦定理求解即可．
本题主要考查了求异面直线所成的角，考查了余弦定理的应用，属于中档题．
7.【答案】D
【解析】解：一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间，
则，则，
，则，，
，则，
又，故与不互斥，故A错，
又，故与不对立，故B错，
因为则，且，故与不独立，故C错，
又，则，
故，故D对．
故选：
根据互斥事件、相互独立事件相关定义可解．
本题考查互斥事件、相互独立事件相关定义，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：在空间取一点P，经过点P分别作，，
设直线、确定平面，
当直线PM满足它的射影PQ在、所成角的平分线上时，
PM与所成的角等于PM与所成的角
因为直线a，b所成的角为，得、所成锐角等于
所以当PM的射影PQ在、所成锐角的平分线上时，
PM与、所成角的范围是
这种情况下，过点P有两条直线与，所成的角都是
当PM的射影PQ在、所成钝角的平分线上时，PM与、所成角的范围是
这种情况下，过点P有且只有一条直线即时与，所成的角都是
综上所述，过空间任意一点P可作与a，b所成的角都是的直线有3条
故选：
在空间取一点P，经过点P分别作，，设直线、确定平面由异面直线所成角的定义，得、所成锐角等于，经过P的直线PM的射影P在、所成锐角的平分线上时，存在两条直线与，所成的角都是，当PM的射影PQ在、所成钝角的平分线上时，存在1条直线与，所成的角都是，由此可得本题答案．
本题给出两条直线所成角为，求过空间一点P可作与a，b所成的角都是的直线的条数．着重考查了空间两条异面直线所成角及其求法等知识，属于中档题．
9.【答案】ABC
【解析】解：单位向量的方向不一定相同，A错误；
模相等的两个平行向量也可能方向相反，B错误；
两向量不能比较大小，C错误；
当时，若，，则，D正确．
故选：
由已知结合向量的基本概念检验各选项即可判断．
本题主要考查了向量的基本概念，属于基础题．
10.【答案】BD
【解析】【分析】
本题主要考查利用三角函数部分图象求函数解析式，属于中档题．
利用函数的图象及三角函数的性质求解即可．
【解答】
解：根据函数的图象得，故，所以；
所以，
又由题图可知是函数的下降零点，
所以，即；
所以，
故选：
11.【答案】ABD
【解析】解：对A选项，如图，在正方体中，连接，，
，P分别是，的中点，，
又，，
，B，N，P四点共面，
即当Q与点重合时，B，N，P，Q四点共面，选项正确；
对B选项，连接PQ，，当Q是的中点时，
，，，
又平面BMN，平面BMN，
平面BMN，选项正确；
对C选项，连接，，，，
，选项错误；
对D选项，分别取，的中点E，F，构造长方体，
则经过C，M，B，N四点的球即为长方体的外接球，
设所求外接球的直径为2R，则长方体的体对角线即为所求的球的直径，
，
经过C，M，B，N四点的球的表面积为，选项正确．
故选：
根据基本事实1，线面平行的判定定理，转化三棱锥的顶点与体积公式，分割补形法，针对各个选项分别求解即可．
本题考查立体几何的综合应用，线面平行的判定定理的应用，分割补形法的应用，化归转化思想，属中档题．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了正弦定理和余弦定理的运用，以及学生对三角函数基础知识的综合运用，属于较难题目．
根据已知条件，运用余弦定理，可得，再结合正弦定理，可得，根据A的取值范围，可得ab值得取值范围，即可求解．
【解答】
解：，，
，
又由余弦定理，可得，
，即，
，
，
，
为锐角三角形，
，
由正弦定理，可得，即，，
，
，
，
，
，
，
，
故面积的取值范围是
故答案为：
13.【答案】
【解析】解：设，则，，
因为，
所以，即，得，
所以点C的坐标为
故答案为：
利用向量的相等的坐标关系即可求解．
本题考查向量的相等的坐标关系，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：记前三个球的号码分别为a、b、c，则共有种可能，
令可得：，
根据对称性：或6时，均有2种可能；
或5时，均有10种可能；
或4时，均有16种可能；
故满足条件的共有56种可能，
故答案为：
先求出从6个小球中取出3个所有可能的结果数，然后求出m与n差的绝对值不超过的结果数，结合古典概率公式即可求解．
本题主要考查了一组数据的平均数，还考查了古典概率公式的应用，属于基础题．
15.【答案】解：是方程的一个虚根，
则也是方程的一个虚根，
故，解得，
，
所以；
，
则，
为纯虚数，
，解得
【解析】根据已知条件，结合韦达定理，以及共轭复数的定义，求出m，再结合复数模公式，即可求解；
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及纯虚数的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及纯虚数的定义，属于基础题．
16.【答案】解：，，
第30百分位数落在区间内，设其为m，
则，
解得，
即该项指标的第30百分位数为；
当时，，
当时，，
综上所述，
【解析】利用百分位数的定义求解；
分和，分别求出，最后写成分段函数的形式即可．
本题主要考查了频率分布直方图的应用，考查了百分位数的定义，属于基础题．
17.【答案】解：证明：连接CD，DE，
平面PAB，平面PAB，平面PAB，
，，
又，为AP中点．
又E为BP中点，
又，，
，CD，平面CDE，平面
作于F，连接CF，
平面PAB，平面PAB，则，
又，CD，平面CDF，
平面CDF，而平面CDF，
又，，F为AP，AB的中点，，
又，
则即为二面角的平面角．
在中，
设，，则
，在中，，
则，，
【解析】连接CD，DE，由平面PAB，得，再由中位线定理得平行从而得，从而证得线面垂直；
作于F，连接CF，证明即为二面角的平面角，然后在直角三角形中求解．
本题考查线面垂直的证明，二面角的求解，属中档题．
18.【答案】解：因为，
由正弦定理可得：，
即，
因为A，B，C为的内角，，
所以，
可得；
由正弦定理知：，
为锐角三角形，则，
所以
【解析】由正弦定理及正切化为正弦与余弦的比化简可得的值，再由角A的范围，可得角A的大小；
由正弦定理可得，再由锐角三角形可得B的范围，进而可得的范围．
本题考查正弦定理，锐角三角形的性质的应用，属于中档题．
19.【答案】证明：取CF的中点H，连接GH，OH，如图所示，
四边形EBCF是矩形，且，
为线段BF与CE的中点，，且，
由图1可知，且，，且，
在图2中，且，
且，
四边形AOHG是平行四边形，，
又平面GCF，平面GCF，
平面
解：由题设图1可知，，，折起后在题设图2中仍有，，
即为二面角的平面角，故，
以E为坐标原点，EB，EF所在直线分别为x轴和y轴，
在平面ABE内作平面BCFE，
建立空间直角坐标系，如图所示，
可得，，，
，，
易知平面ABE的一个法向量，
设平面OAE的一个法向量为，
则有，令，可得，，
于是平面OAE的一个法向量为，
，
平面ABE与平面OAE夹角的余弦值为
【解析】取CF的中点H，连接GH，OH，由题意证得四边形AOHG是平行四边形，可得，再利用直线与平面平行的判定定理即可证得平面GCF；
由题意可得即为二面角的平面角，即，建立空间直角坐标系，求出平面OAE和平面ABE的一个法向量，再利用平面与平面的夹角公式求解即可．
本题考查直线与平面平行的判定定理，考查利用空间向量求平面与平面的夹角，属中档题．