北京市丰台区怡海中学2024-2025学年高三上学期开学检测数学试卷

这是一份北京市丰台区怡海中学2024-2025学年高三上学期开学检测数学试卷，文件包含怡海中学2024-2025学年度第一学期高三年级开学检测数学试卷原卷版docx、怡海中学2024-2025学年度第一学期高三年级开学检测数学试卷解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共17页， 欢迎下载使用。

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题中选出符合题目要求的一项。
1．设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由交集的定义求解即可.
【详解】因为集合，，
则.
故选：B.
2．已知，则（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】直接根据复数乘法即可得到答案.
【详解】由题意得.
故选：C.
3．已知随机变量X服从二项分布，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据二项分布有关的公式求得正确答案.
【详解】由，
得．
故选：C
4．“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】如果，比如，，，不存在，充分条件不成立；
如果，则有，所以，即，必要条件成立；
是的必要不充分条件.
故选：B.
5．在的展开式中，的系数为（ ）
A．B．10C．D．80
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用二项式定理求出的系数.
【详解】在的展开式中，项为，
所以的系数为.
故选：A
6．为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位B．向左平移个单位
C．向右平移个单位D．向右平移个单位
【答案】A
【分析】根据正弦函数平移的原则即可得到答案.
【详解】，
则把函数图象上所有的点向左平移个单位即可，
故选：A.
7．一个盒中有10个球，其中红球7个，黄球3个，随机抽取两个，则至少有一个黄球的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】记抽取黄球的个数为X，则由题意可得X服从超几何分布，然后根据超几何分布的概率公式求解即可.
【详解】记抽取黄球的个数为X，则X服从超几何分布，其分布列为
，，1，2．
所以，．
或．
故选：D．
8．若函数，其中，则的解集为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】直接由导数四则运算列不等式即可求解.
【详解】由题意知，且，
若，则，解得或．
又，所以．
故选：C.
9．在平面直角坐标系xOy中，角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】接根据三角函数的定义可求出，再由诱导公式和二倍角余弦公式化简即可得出答案.
【详解】由三角函数的定义可得，
所以.
故选：B.
10．函数与函数有两个不同的交点，则的取值范围是（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【分析】利用参变分离将函数图象有两个交点问题转化为和的图象有两个交点，由导数求得ℎx的单调性并求得最大值即可得出结论.
【详解】由得，则问题转化为和的图象有两个交点，
而，
令ℎ′x>0，解得，令ℎ′x<0，解得，
故ℎx在上单调递增，在单调递减，则，
ℎx大致图象如下所示：

结合图象可知，的取值范围是
故选：D
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11．设离散型随机变量X服从两点分布，若，则 ．
【答案】
【分析】直接根据两点分布的性质计算可得；
【详解】解：因为离散型随机变量X服从两点分布，且
所以
故答案为：
12．已知的展开式各项系数之和为，则 ，展开式中含项的系数为 .
【答案】 6 15
【分析】利用赋值法，令，则的展开式各项系数之和为，即可求得n；再由二项展开式的通项求得含项的系数.
【详解】令，则的展开式各项系数之和为，则；
其中通项，令，则，故项的系数为15.
故答案为：(1). 6；(2). 15
13．已知角的顶点在坐标原点，始边在轴的正半轴上，终边与单位圆交于第二象限的点，且点的纵坐标为，则 ．
【答案】/
【分析】由题设确定的坐标，再由三角函数的定义求.
【详解】由题设知：，故.
故答案为：
15．已知函数，满足：恒成立，则 ，函数在区间内有 个零点.
【答案】
【分析】由恒成立可求得，则，结合正弦函数的图象与性质即可求解.
【详解】由恒成立，知f(π3)为的最大值，
则，即，
又，所以，故，
由，得，
令，作出正弦函数的图象，如图，
由图可知，函数在内有4个零点，
即函数在内有4个零点.
故答案为：；4
15．已知函数，则下列命题正确的有
①．函数有且只有两个零点
②．函数在上为增函数
③．函数的最大值为
④．若方程有三个实根，则
【答案】①②④
【分析】解方程，求函数的零点，判断①，求函数的导函数，解不等式f′x>0可得函数的递增区间，判断②，结合函数的单调性， 作函数的图象，结合图象，判断③④.
【详解】令，则，
∴，，
所以函数有且只有两个零点，故①正确；
由已知，
令f′x>0，得，
令f′x<0，得或，
∴在上为增函数，在，上为减函数，故②正确；
，，
解不等式，得或，
解不等式，得，
当时，，当时，，
作出的图象，由图象得，无最大值，故③错误；
方程有三个实根，即y=fx与的图象有三个不同的交点，
∴，故④正确，
故选：①②④．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．在△ABC中，acsB＝bsinA．
（1）求∠B；
（2）若b＝2，c＝2a，求△ABC的面积．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简即可求解tanB，进而可求B；
（2）由余弦定理及已知条件可求a，c的值，然后结合三角形的面积公式可求．
【详解】解：（1）在△ABC中，由正弦定理，
因为，
所以，
因为sinA≠0，
所以，
所以tanB，
因为0＜B＜π，
所以，
（2）因为b＝2，c＝2a，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2accsB，
可得，
所以a，c，
所以．
17．设函数.
(1)若曲线在点处与直线相切，求的值；
(2)求函数的单调区间与极值点.
【答案】(1)(2)见解析.
【分析】（1）已知函数的解析式，把点代入，再根据在点处与直线相切，求出，的值；
（2）由题意先对函数进行求导，解出极值点，然后再根据极值点的值讨论函数的增减性及其增减区间.
【详解】（1），
曲线在点处与直线相切，
，
∴
（2），
当时，，函数在上单调递增，此时函数没有极值点．
当时，由，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
即函数的增区间为，，减区间为；
此时是的极大值点，是的极小值点．
18．已知函数.
(1)求的最小正周期；
(2)从条件①，条件②，条件③选择一个作为已知条件，求m的取值范围.
①在有恰有两个极值点；
②在单调递减；
③在恰好有两个零点.
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】(1)(2)答案见解析
【分析】（1）先利用三角恒等变换公式对函数化简变形，然后利用周期公式直接求解即可；
（2）先由，得，若选①，则，从而可求出m的取值范围，若选②，则当时，函数递增，所以不合题意，若选③，则，从而可求出m的取值范围.
【详解】（1）因为
.
所以的最小正周期为.
（2）因为，所以.
选择①，因为在有恰有两个极值点.
所以.
所以.
若选择②，因为当时，函数递增，
所以在不可能单调递减，所以②不符合题意；
选择③，因为在恰好有两个零点.
所以.
所以.
19．如图，在中，，，平分交于点，．
(1)求的值；
(2)求的面积．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）在中，利用正弦定理即可得解；
（2）由（1）可求出，再根据平分可得为等腰三角形，再根据三角形的面积公式即可得解.
【详解】（1）在中，由正弦定理得，
所以，
因为，
所以；
（2）由（1）得，
由题设，，即为等腰三角形，
所以，
，
所以的面积．
20．某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
赔偿次数
0
1
2
3
4
假设：一份保单的保费为0.4万元；前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.
(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
（i）记为一份保单的毛利润，估计的数学期望；
（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少，有索赔的保单的保费增加，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与（i）中估计值的大小．（结论不要求证明）
【答案】(1)
(2)(i)0.122万元；(ii) 这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值大于（i）中估计值【分析】（1）根据题设中的数据可求赔偿次数不少2的概率;
（2）（ⅰ）设为赔付金额，则可取，用频率估计概率后可求的分布列及数学期望，从而可求.
（ⅱ）先算出下一期保费的变化情况，结合（1）的结果可求，从而即可比较大小得解.
【详解】（方法不唯一）
（1）设为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，
由题设中的统计数据可得.
（2）（ⅰ）设为赔付金额，则可取，
由题设中的统计数据可得，
，，
，
故
故（万元）.
（ⅱ）由题设保费的变化为，
故（万元），
单数
从而.
21．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处切线的斜率；
(2)当时，讨论的单调性；
(3)若集合有且只有一个元素，求的值．
【答案】(1)
(2)单调递增区间为；单调递减区间为
(3)
【分析】（1）根据条件，利用导数的几何意义，即可求出结果；
（2）对函数求导得到，由函数定义域知，再利用导数与函数单调性间的关系，即可求出结果；
（3）对函数求导得到，再分和两种情况讨论，利用导数与函数单调性间的关系，求出函数的单调区间，结合条件，即可求出结果.
【详解】（1）当时，，
所以,得到，
所以曲线在点处切线的斜率为．
（2）当时，，易知的定义域为，
又，
因为，所以，
所以时，，时，
所以的单调递增区间为；单调递减区间为．
（3）因为，所以，
易知，当时，的定义域为，
所以恒成立，故在上单调递增，
又，所以不合题意，
当时，的定义域为，此时，
所以时，，时，，
故的单调递增区间为，单调递减区间为，
所以．
设，则，
当时，，时，，
所以的单调递减区间为；单调递增区间为．
所以，
所以集合有且只有一个元素时．