2024-2025学年四川省大数据精准教学联盟高三（上）月考数学试卷（一模）（含解析）

这是一份2024-2025学年四川省大数据精准教学联盟高三（上）月考数学试卷（一模）（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知i为虚数单位，则(1+i)2+2(1−i)的值为( )
A. 4B. 2C. 0D. 4i
2.已知集合A={x|−1≤x≤2}，B={x|−a≤x≤a+1}，则“a=1”是“A⊆B”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
3.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的斜率是 3，则此双曲线的离心率等于( )
A. 2 23B. 72C. 2D. 2 2
4.如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，且BD=DA，AE=3EC，点F为DE中点，则BF=( )
A. −18BA+38BC
B. 34BA+12BC
C. 38BA+38BC
D. 38BA+34BC
5.一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去200天的日销售量(单位：kg)，将全部数据按区间[50,60)，[60,70)，…，[90,100]分成5组，得到如图所示的频率分布直方图：
根据图中信息判断，下列说法中不恰当的一项是( )
A. 图中a的值为0.005
B. 这200天中有140天的日销售量不低于80kg
C. 这200天销售量的中位数的估计值为85kg
D. 店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能85%地满足顾客的需要(在100天中，大约有85天可以满足顾客的需求)，则每天的苹果进货量应为91kg
6.函数f(x)=14csπx⋅(ex−e−x)，x∈(−4,4)的图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.已知正四棱锥P−ABCD的各顶点都在同一球面上，且该球的体积为36π，若正四棱锥P−ABCD的高与底面正方形的边长相等，则该正四棱锥的底面边长为( )
A. 16B. 8C. 4D. 2
8.已知a，b，c∈(0,4)，且满足 a+12=cs2a2，be2b=1，ln(c+1)=csc，则( )
A. c>a>bB. c>b>aC. a>c>bD. a>b>c
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)=sinωx+ 3csωx(ω>0)的最小正周期为π，则( )
A. f(x)的最大值为2
B. f(x)在(−π3,π6)上单调递增
C. f(x)的图象关于点(−π6,0)中心对称
D. f(x)的图象可由y=2cs2x的图象向右平移π12个单位得到
10.已知椭圆E：x24+y23=1的左顶点为A，左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与椭圆相交于P，Q两点，则( )
A. |F1F2|=1
B. |PQ|≤4
C. 当F2，P，Q不共线时，△F2PQ的周长为8
D. 设点P到直线x=−4的距离为d，则d=2|PF1|
11.已知函数f(x)=(x−1)ex−x，则下列说法正确的是( )
A. f(x)的极小值一定小于−1
B. 函数y=f(f(x))有6个互不相同的零点
C. 若对于任意的x∈R，f(x)≥ax−1，则a的值为−1
D. 过点(0,−2)有且仅有1条直线与曲线y=f(x)相切
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P(1,2)，则cs2α= ______．
13.已知数列{an}满足a3=5，a2n=2an+1，2an+1=an+an+2(n∈N*)，设{an}的前n项和为Sn，则Sn= ______．
14.条件概率与条件期望是现代概率体系中的重要概念，近年来，条件概率和条件期望已被广泛的应用到日常生产生活中.定义：设X，Y是离散型随机变量，则X在给定事件Y=y条件下的期望为E(X|Y=y)=i=1nxi⋅P(X=xi|Y=y)=i=1nxi⋅P(X=xi,Y=y)P(T=y)，其中{x1,x2,…,xn}为X的所有可能取值集合，P(X=x,Y=y)表示事件“X=x”与事件“Y=y”都发生的概率.某商场进行促销活动，凡在该商场每消费500元，可有2次抽奖机会，每次获奖的概率均为p(00)的焦点为F，过点F的直线与C相交于点A，B，△AOB面积的最小值为12(O为坐标原点).按照如下方式依次构造点Fn(n∈N*)：F1的坐标为(p,0)，直线AFn，BFn与C的另一个交点分别为An，Bn，直线AnBn与x轴的交点为Fn+1，设点Fn的横坐标为xn．
(1)求p的值；
(2)求数列{xn}的通项公式；
(3)数列{xn}中，是否存在连续三项(按原顺序)构成等差数列？若存在，指出所有这样的连续三项；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：(1+i)2+2(1−i)=1+2i+i2+2−2i=2．
故选：B．
根据条件，利用复数运算法则及虚数单位的性质，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：当a=1时，B={x|−1≤x≤2}，此时A=B，即a=1可以推出A⊆B，
若A⊆B，所以−a≤−1a+1≥2，得到a≥1，
所以A⊆B推不出a=1，即“a=1”是“A⊆B”的充分不必要条件，
故选：A．
根据条件，利用充分条件和必要条件的判断方法，即可求出结果．
本题主要考查了集合包含关系的的判断，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：由题意得ba= 3，
∴e=ca= 1+3=2，
故选C．
由题意得ba= 3，利用e=ca，可得结论．
本题考查双曲线的离心率的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用．
4.【答案】C
【解析】解：因为点F为DE中点，
所以BF=12(BD+BE)，
又BD=DA，AE=3EC，
所以BF=12(BD+BE)=14BA+12(BC+14CA)
=14BA+12BC+18(BA−BC)
=38BA+38BC．
故选：C．
根据条件，结合图形，利用向量的中线公式，得到BF=12(BD+BE)，再利用向量的线性运算，即可求解．
本题考查平面向量的线性运算，属基础题．
5.【答案】D
【解析】解：对于选项A，由图知(a+a+0.02+0.04+0.03)×10=1，解得a=0.005，所以选项A正确，
对于选项B，由图知日销售量不低于80kg的频率为0.7，由0.7×200=140，所以选项B正确，
对于选项C，设中位数为x，由(x−80)×0.4=0.5−0.2−0.05−0.05，解得x=85，所选项C正确，
对于选项D，设第85%分位数为a，则有(100−a)×0.03=0.15，得到a=95，所以选项D错误．
故选：D．
选项A，利用频率分布直方图的性质，即可求解；选项B，利用频率分布直方图，得到不低于80kg的频率为0.7，即可求解；选项C，设中位数为x，根据条件，建立方程(x−80)×0.4=0.2，即可求解；选项D，将问题转化成求第85%分位数，即可判断出正误．
本题主要考查频率分布直方图的应用，属于基础题．
6.【答案】D
【解析】解：因为定义域关于原点对称，又f(−x)=14cs(−πx)⋅(e−x−ex)=−14csπx⋅(ex−e−x)=−f(x)，
即f(x)=14csπx⋅(ex−e−x)为奇函数，所以选项A和B错误；
又当x=72时，csπx=cs7π2=0，当x∈(72,4)时，πx∈(7π2,4π)，此时csπx>0，
又易知当x>0时，ex−e−x>0，所以x∈(72,4)时，f(x)>0，结合图象可知选项C错误，选项D正确．
故选：D．
根据条件，得到f(x)为奇函数，从而可排除选项A和B，再结合csπx与ex−e−x在x∈(72,4)上的正负值，即可求解．
本题考查函数的奇偶性的性质的应用，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】解：如图所示，设P在底面的投影为G，易知正四棱锥P−ABCD的外接球球心在PG上，
不妨设球半径r，OG=h，AB=2a，
该球的体积为36π，
即43πr3=36π⇒r=3=OA=OP，
又正四棱锥P−ABCD的高与底面正方形的边长相等，
则AG= 2a,PG=2a,AG2+OG2=r2=(PG−OG)2，
即(2a−h)2=92a2+h2=9⇒h=12a=4．
故选：C．
根据正四棱锥及球的特征、体积公式结合勾股定理计算即可．
本题考查正四棱锥的结构特征，属于中档题．
8.【答案】A
【解析】解：令f(x)=xe2x(x>0),g(x)= x−ln(x+1)(x>0)，
则f′(x)=2xe2x>0,g′(x)=( x−1)22 x(x+1)≥0，
所以f(x)，g(x)均单调递增，
又f(12)=e2>1,f(0)=0，所以b∈(0,12)，
g(0)=0ln(x+1)，
由 a+12=cs2a2⇒ a=csa，即a为 x=csx的零点，
而ln(c+1)=csc，即c为ln(x+1)=csx的零点，
作出y= x,y=ln(x+1),y=csx大致图象如上，易知c>a，
因为 12= 22< 32=csπ612，综上c>a>b．
故选：A．
构造函数f(x)=xe2x(x>0),g(x)= x−ln(x+1)(x>0)，利用导数研究其单调性，结合二倍角公式及余弦函数图象计算即可．
本题主要考查了导数与单调性关系在函数值大小比较中的应用，属于中档题．
9.【答案】ACD
【解析】解：易知f(x)=sinωx+ 3csωx=2sin(ωx+π3)，其最小正周期为T=2πω=π，
所以ω=2，即f(x)=2sin(2x+π3)，显然f(x)≤2，故A正确；
令2x+π3∈[−π2+2kπ,π2+2kπ]⇒x∈[−π12+kπ,π12+kπ](k∈Z)，
显然区间(−π3,π6)不是区间[−π12+kπ,π12+kπ](k∈Z)的子区间，故B错误；
令x=−π6⇒2x+π3=0，则(−π6,0)是f(x)的一个对称中心，故C正确；
将y=2cs2x的图象向右平移π12个单位得到y=cs[2(x−π12)]=cs(2x−π6)=sin[π2+(2x−π6)]=sin(2x+π3)=f(x)，故D正确．
故选：ACD．
利用辅助角公式及周期公式可得函数解析式，根据三角函数的值域、单调性、对称性及图象变换一一判定选项即可．
本题考查了三角函数恒等变换，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换以及正弦函数的性质的应用，考查了函数思想，属于中档题．
10.【答案】BCD
【解析】解：对于选项A：因为a=2，b= 3，
所以c= a2−b2=1，
则|F1F2|=2c=2，故选项A错误；
对于选项B：因为PQ为椭圆C的焦点弦，
所以|PQ|≤2a=4，故选项B正确；
对于选项C：因为|PF1|+|PF2|=|QF1|+|QF2|=2a=4，
所以△F2PQ的周长为|PQ|+|PF2|+|QF2|=|PF1|+|PF2|+|QF1|+|QF2|=8，故选项C正确；
对于选项D：作PM垂直于直线x=−4，垂足为M，
设P(x0,y0)，
此时d=|PM|=|x0+4|，
因为F1(−1,0)，
所以|PF1|= (x0+1)2+y02= (x0+1)2+3−34x02= 14x02+2x0+4= (12x0+2)2=|12x0+2|，
可得2|PF1|=|x0+4|，
则d=2|PF1|，故选项D正确．
故选：BCD．
由题意，根据椭圆方程、焦点弦性质和椭圆定义即可判断选项A，B，C；设P(x0,y0)，结合两点间距离公式和点在椭圆上即可判断选项D．
本题考查椭圆的定义和焦点弦性质，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：对于A，易知f′(x)=xex−1，令g(x)=xex−1⇒g′(x)=(x+1)ex，
易知(−∞,−1)上g(x)单调递减，(−1,+∞)上g(x)单调递增，
而x2,f(−3)=3−4e3>2
则f(x)=x1，显然存在两个不同的根，且f(x)=x2也存在两个不同的根，
即函数y=f(f(x))有4个互不相同的零点，故B错误；
对于C，若对于任意的x∈R，f(x)≥ax−1，
即(x−1)ex−(a+1)x+1≥0，
令h(x)=(x−1)ex−(a+1)x+1⇒h′(x)=xex−(a+1)，
若a>−1，则h′(0)=−a−10，使得h′(x3)=0，
即(0,x3)上h(x)单调递减，此时h(x)0)，所以g′(x)=1x⋅2x−2(lnx+1)4x2=−2lnx4x2，
当x∈(0,1)时，g′(x)>0；当x∈(1,+∞)时，g′(x)0，等价于证明lnx−ax+1x>0
构造函数h(x)=lnx−ax+1x(x>0)，即证h(x)min>0；
所以h′(x)=1x−a−1x2=−ax2+x−1x2，令T(x)=−ax2+x−1(x>0)，
因为函数T(x)的对称轴为x=12a0)，利用导数求出其最小值h(x)min>0，从而可求解．
本题主要考查了导数与单调性关系，极值关系的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)甲在一轮投篮结束后的得分不大于0，即甲在一轮投篮中至多命中一次，
所以甲在一轮投篮结束后的得分不大于0的概率为P=1−(23)2=59；
(2)①由题知X可能取值为−4，−2，0，2，4，
则P(X=−4)=13×13×12×12=136，P(X=−2)=13×13×C21(12)2+C21×23×13×(12)2=16，
P(X=0)=13×13×12×12+C2123×13C21(12)2+23×23×12×12=1336，P(X=2)=23×23×C21(12)2+C21×23×13×(12)2=13，
P(X=4)=(23)2(12)2=19，
所以X的分布列为：
数学期望E(X)=(−4)×136+(−2)×16+0×1336+2×13+4×19=23；
②由①知P(X>0)=13+19=49，
由题知Y～B(n,49)，
P(Y=k)=Cnk(49)k(1−49)n−k(0≤k≤n,k∈N)，
由P(n=k)≥P(n=k−1)P(n=k)≥P(n=k+1)，
得到Cnk(49)k(1−49)n−k≥Cnk−1(49)k−1(1−49)n+1−k且Cnk(49)k(1−49)n−k≥Cnk+1(49)k+1(1−49)n−k−1，
整理得到4Cnk≥5Cnk−15Cnd≥4Cnd+1，即4×n!k!(n−k)!≥5×n!(k−1)!(n−k+1)!,5×n!π!(n−k)!≥4×n!(k+1)!(n−k−1)!，
得到4×(n−k+1)≥5k5×(k+1)≥4(n−k)，
所以4n−59≤k≤4n+49，
由题有k=8，
所以4n−59≤8≤4n+49，得到17≤n≤774，又n∈N*，
所以n=17或18或19．
【解析】(1)将问题转化成甲在一轮投篮中至多命中一次，再利用对立事件和相互独立事件同时发生的概率公式，即可求解；
(2)①由题知X可能取值为−4，−2，0，2，4，根据条件，求出相应的概率，即可求出分布列，再利用期望公式，即可求解；②根据条件，得到Y～B(n,49)，再由P(n=k)≥P(n=k−1)P(n=k)≥P(n=k+1)即可求解．
本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
19.【答案】解：(1)设直线AB：x=ty+p2，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
联立方程组y2=2pxx=ty+p2得：y2−2pty−p2=0，得Δ=(2pt)2+4p2>0，
由韦达定理可知：y1y2=−p2；y1+y2=2pt．
由题可知：S△OAB=12|OF||y1−y2|=p4 (y1+y2)2−4y1y2=p4 (2pt)2+4p2=p22 t2+1≥p22，
因为△AOB面积的最小值为12，且p>0，
所以p22=12⇒p=1．
(2)设An(xan,yan)，Bn(xbn,ybn)，A(xa,ya)，B(xb,yb)，
由题可知yan2=2xan，ya2=2xa，
两式求差可得：(yan+ya)(yan−ya)=2(xan−xa)，即yan−yaxan−xa=2yan+ya，
所以kAAn=yan−yaxan−xa=2yan+ya，
所以直线AAn方程为y−ya=2yan+ya(x−xa)，整理得(yan+ya)y=2x+yanya．
同理：直线BBn方程为(ybn+yb)y=2x+ybnyb．
令y=0可得：−2xn=yanya−2xn=ybnyb，所以直线AB的方程为(ya+yb)y=2x+yayb．
因为直线AB过焦点(12,0)，所以有yayb=−1，
直线AnBn方程为(yan+ybn)y=2x+yanybn．
令y=0可得−2xn+1=yanybn．
由−2xn=yanya−2xn=ybnyb可知：(−2xn)2=yanybnyayb．
因为yayb=−1，−2xn+1=yanybn，所以xn+1=2xn2，
所以两边取对数可得：lg2xn+1=2lg2xn+1⇒lg2xn+1+1=2(lg2xn+1)．
由题可知x1=1，所以数列{lg2xn+1}是以lg2x1+1=1为首项，2为公比的等比数列，
所以有lg2xn+1=2n−1，解得xn=22n−1−1．
(3)不存在，理由如下：
假设存在，则一定有2an+1=an+an+2
因为xn=22n−1−1，得22n=22n−1−1+22n+1−1=22n(22n−1−1−2n+22n+1−1−2n)，
化简得1=2−2n−1−1+22n−1．
因为n∈N*，
显然2−2n−1−1>0,22n−1>1，⇒2−2n−1−1+22n−1>1，
所以1=2−2n−1−1+22n−1在n∈N*无解．
故不存在连续的三项为等差数列．
【解析】(1)设直线AB：x=ty+p2与相关点的坐标，然后联立抛物线和直线方程，利用韦达定理计算出需要的值，最后表示出面积，计算其最值，求出p即可；
(2)利用抛物线中点弦定理，求出相关直线方程，然后表示出xn，xn+1，然后找到两者关系，最后利用其关系求得通项公式即可；
(3)利用等差中项的判断方式，判断数列{xn}不可能存在连续三项是等差数列．
本题考查抛物线的标准方程、简单几何性质、等差数列和等比数列的性质，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属难题．x
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2
4
P
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1336
13
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