湖南省长沙市周南中学2025届高三第二阶段考试数学模拟试卷

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这是一份湖南省长沙市周南中学2025届高三第二阶段考试数学模拟试卷，文件包含湖南省长沙市周南中学2025届高三第二阶段考试模拟试卷参考答案docx、湖南省长沙市周南中学2025届高三第二阶段考试模拟试卷docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共16页，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若复数满足，则（）
A．B．C．D．
2．“”是“”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
3．已知向量，满足，，则（）
A．B．C．D．
4．水果店有一批大小不一的橘子，某顾客从中选购了个头大且均匀的橘子若干个，设原有橘子的重量的平均数和方差分别是，，该顾客选购的橘子的重量的平均数和方差分别是，，则下列结论一定成立的是（）
A．B．C．D．
5．直线被圆所截得的弦长为，则（）
A．B．C．3D．2
6．将函数的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度，所得函数图象的一条对称轴为（）
A．B．C．D．
7．一个高为的直三棱柱容器内装有水，将侧面水平放置如图（1），水面恰好经过棱，，，的中点，现将底面水平放置如图（2），则容器中水面的高度是（）.
A．B．C．D．
8．给定函数，用表示中的最大者，记作，若，则实数的最大值为（）
A．B．1C．D．
二、多选题
9．在中，内角的对边分别为，下列说法中正确的是（）
A．
B．
C．若，则是钝角三角形
D．（为外接圆的半径）
10．已知拋物线上的动点到焦点的距离最小值是2，经过点的直线与有且仅有一个公共点，直线与交于两点，则（）
A．B．抛物线的准线方程为
C．D．满足条件的直线有2条
11．已知函数及其导函数的定义域为，若与均为偶函数，且，则下列结论正确的是（）
A．B．4是的一个周期
C．D．的图象关于点对称
三、填空题
12．在数列中，，，若，则．
13．甲、乙、丙、丁四支足球队进行单循环比赛（即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛），最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时，甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为．
14．已知，，其中，则 .
四、解答题
15．已知分别为三个内角的对边，且，．
(1)求及的面积S；
(2)若为边上一点，且，求的正弦值．
16．如图，多面体中，直角梯形所在平面与正三角形所在平面垂直，，．
(1)求该多面体的体积V；
(2)在棱上是否存在点P，使得直线和平面所成的角大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
17．已知函数，.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，证明：.
18．某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人棋型，它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话．聊天机器人棋型的开发主要采用RLHF（人类反馈强化学习）技术，在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为90%，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为.
(1)在某次测试中输入了7个问题，聊天机器人棋型的回答有5个被采纳，现从这7个问题中抽取4个，以表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数，求的分布列和数学期望；
(2)设输入的问题出现语法错误的概率为，若聊天机器人棋型的回答被采纳的概率为，求的值．
19．如图，双曲线的离心率为，实轴长为，，分别为双曲线的左右焦点，过右焦点的直线与双曲线右支交于A，B两点，其中点A在第一象限.连接与双曲线左支交于点C，连接分别与x，y轴交于D，E两点.
(1)求该双曲线的标准方程；
(2)求面积的最小值.