四川省大数据精准教学联盟2025届高三第一次统一监测数学试题（Word版附答案）

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本试卷满分150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、班级、考场/座位号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”.
2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其他答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.
3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1. 已知为虚数单位，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据条件，利用复数运算法则及虚数单位的性质，即可求解.
【详解】因为
故选：B.
2. 已知集合，，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据条件，利用充分条件和必要条件的判断方法，即可求出结果.
【详解】当时，，此时，即可以推出，
若，所以，得到，所以推不出，
即“”是“”的充分不必要条件，
故选：A.
3. 若双曲线：的一条渐近线的斜率为，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出双曲线的渐近线方程为，结合条件得到，即可求解.
【详解】因为双曲线的渐近线方程为，由题知，
所以离心率，
故选：B.
4. 如图，在中，点，分别在，边上，且，，点为中点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据条件，结合图形，利用向量的中线公式，得到，再利用向量的线性运算，即可求解.
【详解】因为点为中点，所以，又，，
所以
故选：C.
5. 一家水果店为了解本店苹果的日销售情况，记录了过去天的日销售量（单位：kg），将全部数据按区间50,60，60,70，…，90,100分成5组，得到如图所示的频率分布直方图：
根据图中信息判断，下列说法中不恰当的一项是（ ）
A. 图中的值为
B. 这天中有天的日销售量不低于kg
C. 这天销售量的中位数的估计值为kg
D. 店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能地满足顾客的需要（在天中，大约有天可以满足顾客的需求），则每天的苹果进货量应为kg
【答案】D
【解析】
【分析】选项A，利用频率分布直方图的性质，即可求解；选项B，利用频率分布直方图，得到不低于kg的频率为，即可求解；选项C，设中位数为，根据条件，建立方程，即可求解；选项D，将问题转化成求第分位数，即可判断出正误.
【详解】对于选项A，由图知，解得，所以选项A正确，
对于选项B，由图知日销售量不低于kg的频率为，由，所以选项B正确，
对于选项C，设中位数为，由，解得，所选项C正确，
对于选项D，设第分位数为，则有，得到，所以选项D错误，
故选：D.
6. 函数，的图象大致为（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据条件，得到为奇函数，从而可排除选项A和B，再结合与在上的正负值，即可求解.
【详解】因为定义域关于原点对称，又，
即为奇函数，所以选项A和B错误，
又当时，，当时，，此时，
又易知当时，，所以时，，结合图象可知选项C错误，选项D正确，
故选：D.
7. 已知正四棱锥的各顶点都在同一球面上，且该球的体积为，若正四棱锥的高与底面正方形的边长相等，则该正四棱锥的底面边长为（ ）
A. 16B. 8C. 4D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】根据正四棱锥及球的特征、体积公式结合勾股定理计算即可.
【详解】
如图所示，设P在底面的投影为G，易知正四棱锥的外接球球心在上，
不妨设球半径，
该球的体积为，即，
又正四棱锥的高与底面正方形的边长相等，
则，
即.
故选：C
8. 已知，且满足，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】构造函数，利用导数研究其单调性，结合二倍角公式及余弦函数图象计算即可.
【详解】
令，
则，
所以fx,gx均单调递增，
又，所以，
，
由，即为的零点，
而，即为的零点，
作出大致图象如上，易知，
因为，综上.
故选：A
【点睛】方法点睛：对于比大小问题，通常利用构造函数的方法，利用导数研究其单调性，还可以通过数形结合的方法比较大小.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数最小正周期为，则（ ）
A. 的最大值为2
B. 在上单调递增
C. 的图象关于点中心对称
D. 的图象可由的图象向右平移个单位得到
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用辅助角公式及周期公式可得函数解析式，根据三角函数的值域、单调性、对称性及图象变换一一判定选项即可.
【详解】易知，其最小正周期为，
所以，即，显然，故A正确；
令，
显然区间不是区间的子区间，故B错误；
令，则是的一个对称中心，故C正确；
将的图象向右平移个单位得到
，
故D正确.
故选：ACD
10. 已知椭圆的左顶点为，左、右焦点分别为，过点的直线与椭圆相交于两点，则（ ）
A.
B.
C. 当不共线时，的周长为
D. 设点到直线的距离为，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据椭圆方程、焦点弦性质和椭圆定义可知ABC正误；设Px0,y0，结合两点间距离公式和点在椭圆上可化简求得D正确.
【详解】
对于A，由题意知：，，，，A错误；
对于B，为椭圆的焦点弦，，B正确；
对于C，，
的周长为，C正确；
对于D，作垂直于直线，垂足为，
设Px0,y0，则，
，，
，，D正确.
故选：BCD.
11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的极小值一定小于
B. 函数有6个互不相同的零点
C. 若对于任意的x∈R，，则的值为
D. 过点有且仅有1条直线与曲线y=fx相切
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A项，利用导数研究函数的单调性结合隐零点判定极小值点的范围，计算即可；对于B项，利用数形结合的思想结合A的结论即可判定；对于C项，含参讨论结合端点效应计算即可；对于D项，利用导数的几何意义转化为函数零点个数的问题，根据导数研究函数的单调性与极值、最值即可.
【详解】对于A，易知，令，
易知上单调递减，上单调递增，
而时恒成立，
且，，
所以使得，
则在上单调递减，在上单调递增，
即时，取得极小值，极小值为，故A正确；
对于B，由上知在上单调递减，在上单调递增，
且，，
则，使得，
又知
则，显然存在两个不同的根，且也存在两个不同的根，
即函数有4个互不相同零点，故B错误；
对于C，若对于任意的，，
即，
令，
若，则，
根据上证的性质知，使得，
即上单调递减，此时，不符合题意，
若，则有在上单调递减，上单调递增，
即，符合题意，
若，此时，
则区间上一定存在子区间使得单调递增，
而，则含有小于零的值，不符合题意，故C正确；
对于D，设过与曲线相切的切线切点为，
则，
整理得，
令，
可得上单调递减，上单调递增，
即时取得极大值，
，则使得，且的根唯一，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：对于A项，利用隐零点判定极小值点的范围，结合单调性即可判定；对于B项，利用数形结合的思想结合A的结论即可判定；对于C项，利用端点效应含参讨论即可；对于D项，利用导数的几何意义转化为函数零点个数的问题，根据导数研究函数的单调性与极值、最值即可.本题需要多积累一些常用函数的图象与性质可提高做题速度，
如：型.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.
12. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则________.
【答案】
【解析】
【分析】利用三角函数的定义先计算，再利用二倍角公式计算即可.
【详解】由题意可知，
所以，
故答案为：
13. 已知数列an满足，，，设an的前项和为，则________.
【答案】
【解析】
【分析】根据题意可得数列为等差数列，设出公差及首项，再结合与，从而可求解.
【详解】由，所以，所以数列为等差数列，
并设其公差为，首项为，又因为，
即，解得，
因为，所以，，
所以.
故答案为：.
14. 条件概率与条件期望是现代概率体系中的重要概念，近年来，条件概率和条件期望已被广泛的应用到日常生产生活中.定义：设，是离散型随机变量，则在给定事件条件下的期望为，其中为的所有可能取值集合，表示事件“”与事件“”都发生的概率.某商场进行促销活动，凡在该商场每消费500元，可有2次抽奖机会，每次获奖的概率均为，某人在该商场消费了1000元，共获得4次抽奖机会.设表示第一次抽中奖品时的抽取次数，表示第二次抽中奖品时的抽取次数.则________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据题意可知可取，然后再分别算出相应的概率值，再结合从而可求解.
【详解】由题意可知可取，
所以，，
，
又因为，
所以
.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：对于本题主要是根据题中所给条件分别求出不同情况下的概率，然后再结合定义中的公式求出其期望值.
四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知的内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求角；
（2）若的平分线交边于点，且，，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理化角为边结合余弦定理计算即可；
（2）利用余弦定理先计算与，再根据三角形内角和计算，利用正弦定理得c，由面积公式计算即可.
【小问1详解】
因为，
所以，则，
所以，
因为，所以；
【小问2详解】
根据题意及余弦定理有，
所以，
则，
根据正弦定理有，
所以.
16. 如图，在三棱锥中，平面，.
（1）求证；平面平面；
（2）若，，三棱锥的体积为100，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由平面得到，再结合，可证明平面，从而可求解；
（2）由题意知求出，建立空间直角坐标系，再利用空间面面夹角向量方法，从而可求解.
【小问1详解】
证明：由题意得平面，因为平面，所以，
又因为，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面.
【小问2详解】
因为，，，所以，
又因为三棱锥体积为，即，得，
由题意可得以原点，分别以平行于，及，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，则，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，则，
设二面角为，则.
所以锐二面角的余弦值为.
17. 已知函数.
（1）若在上单调递减，求的取值范围；
（2）若，证明：.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意可得在区间上恒成立，构造函数，求得其最大值，即可得到结果；
（2）根据题意要证等价于证明，构造函数，利用导数求出其最小值，从而可求解.
【小问1详解】
由，则，
因为在上单调递减，所以在上恒成立，
所以，即，
构造函数，所以，
当时，；当时，，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以当x=1时取得极大值也是最大值，即，所以，
所以的取值范围为.
【小问2详解】
由题意得的定义域为，
当时，要证，即证：，等价于证明
构造函数，即证；
所以，令，
因为函数的对称轴为，所以在上单调递增，
且，，所以存在，使，
所以当时，，即，
当时，，即，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，有极小值也是最小值，
又因为，得，所以，
令，则在上恒成立，
所以在上单调递减，所以，即，
所以即证，所以可证.
18. 甲、乙两名同学进行定点投篮训练，据以往训练数据，甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，各次投篮互不影响、现甲、乙两人开展多轮次的定点投篮活动，每轮次各投个球，每投进一个球记分，未投进记分.
（1）求甲在一轮投篮结束后的得分不大于的概率；
（2）记甲、乙每轮投篮得分之和为.
①求的分布列和数学期望；
②若，则称该轮次为一个“成功轮次”.在连续轮次的投篮活动中，记“成功轮次”为，当为何值时，的值最大？
【答案】（1）
（2）①分布列见解析，；②或或
【解析】
【分析】（1）将问题转化成甲在一轮投篮中至多命中一次，再利用对立事件和相互独立事件同时发生的概率公式，即可求解；
（2）①由题知可能取值为，根据条件，求出相应的概率，即可求出分布列，再利用期望公式，即可求解；②根据条件，得到，再由，即可求解.
【小问1详解】
甲在一轮投篮结束后的得分不大于，即甲在一轮投篮中至多命中一次，
所以甲在一轮投篮结束后的得分不大于的概率为.
【小问2详解】
①由题知可能取值为，
，，
，
，，
所以的分布列为
数学期望.
②由①知，由题知，所以，
由，
得到且，
整理得到，即，
得到，所以，
由题有，所以，得到，又，所以或或.
【点睛】关键点点晴：本题的关键在第（2）中的②问，根据条件得到，从而得到，再将问题转化成求解不等式，即可求解.
19. 已知抛物线：的焦点为，过点的直线与相交于点，，面积的最小值为（为坐标原点）.按照如下方式依次构造点：的坐标为，直线，与的另一个交点分别为，，直线与轴的交点为，设点的横坐标为.
（1）求的值；
（2）求数列的通项公式；
（3）数列中，是否存在连续三项（按原顺序）构成等差数列？若存在，指出所有这样的连续三项；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）设直线与相关点的坐标，然后联立抛物线和直线方程，利用韦达定理计算出需要的值，最后表示出面积，计算其最值，求出即可；
（2）利用抛物线中点弦定理，求出相关直线方程，然后表示出，然后找到两者关系，最后利用其关系求得通项公式即可；
（3）利用等差中项的判断方式，判断数列不可能存在连续三项是等差数列.
【小问1详解】
设直线，Ax1,y1,Bx2,y2
联立，得，
得
由韦达定理可知：
由题可知：
因为面积的最小值为，且，
所以
【小问2详解】
设，
由题可知，，两式求差可得
所以，
所以直线方程为，整理得
同理：方程为：
令可得
可知，方程为：
因为过焦点12,0，所以有
方程为：
令可得
由，可知
因为，
得
取对数可得
由题可知，
所以数列是以为首项，2为公比的等比数列；
所以有
解得
【小问3详解】
不存在，理由如下
假设存在，则一定有
因为，得
化简得
因为
显然
所以在无解；
故不存在连续的三项为等差数列.
【点睛】关键点点睛：第一问，可以利用常规的计算方式计算，也可以利用抛物线的焦点三角形的面积公式（为直线倾斜角）判断即可，最好证明该二级结论；
第二问，主要是需要找到关系，所以需要多建立直线方程，最好用相同的容易计算的方式，所以利用中点弦定理，建立方程，比较容易计算，得到，此种数列，去对数求解即可;
第三问，判断是否存在连续三项为等差数列，假设存在，然后直接用反证法证明即可.