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江苏省镇江市外国语学校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版）
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这是一份江苏省镇江市外国语学校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题（原卷版+解析版），文件包含江苏省镇江市外国语学校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题原卷版docx、江苏省镇江市外国语学校2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】要使圆与斜边AB有两个交点,则应满足直线和圆相交,且半径不大于AC.要保证相交,只需求得相切时,圆心到斜边的距离,即斜边上的高即可.
【详解】如图,
∵BC>AC,
∴以C为圆心,R为半径所作的圆与斜边AB有两个交点,则圆的半径应大于CD,小于或等于AC,
由勾股定理知, =5.
∵,
∴CD=,
即R的取值范围是.
故选D.
【点睛】本题利用了勾股定理和垂线段最短的定理,以及直角三角形的面积公式求解.特别注意:圆与斜边有两个交点,即两个交点都应在斜边上.
2. 关于x的一元二次方程的一个根为0，则实数a的值为
A. B. 0C. 1D. 或1
【答案】A
【解析】
【分析】先把x=0代入方程求出a的值，然后根据二次项系数不能为0，把a=1舍去．
【详解】解：把x=0代入方程得：
|a|-1=0，
∴a=±1，
∵a-1≠0，
∴a=-1．
故选：A．
3. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程2x2﹣13x+15＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A. 8B. 11.5C. 10D. 8或11.5
【答案】B
【解析】
【分析】首先利用因式分解法解方程，再利用三角形三边关系得出各边长，进而得出答案．
【详解】解：2x2﹣13x+15＝0
（x-5）（2x-3）=0，
解得：x1=5，x2=1.5，
①当等腰三角形的三边为5，1.5，1.5时，1.5+1.5＜5，不符合三角形的三边关系定理，不能组成三角形，舍去；
②当等腰三角形的三边为5，5，1.5时，此时能组成三角形，三角形的周长是5+5+1.5=11.5，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解一元二次方程，三角形的三边关系定理等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．
4. 已知a是方程x2+x﹣1=0的一个根，则的值为（ ）
A. B. C. ﹣1D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】先化简，由a是方程x2+x﹣1=0的一个根，得a2+a﹣1=0，则a2+a=1，
再整体代入即可．
【详解】原式==，
∵a是方程x2+x﹣1=0的一个根，
∴a2+a﹣1=0，
即a2+a=1，
∴原式==1．
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解与分式的混合运算的应用，注意运用整体代入的思想．
5. 关于x的方程的解是（a，m，b均为常数，a≠0），则方程的解是（ ）
A. B.
C. D. 无法求解
【答案】C
【解析】
【分析】可以把方程看作是关于的一元二次方程，从而得到，即可求解．
【详解】解：根据题意得：方程可以看作是关于的一元二次方程，
∵关于x的方程的解是，
∴关于方程的解是，
∴．
故选：C
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
6. 已知关于x的一元二次方程有实数根，设此方程得一个实数根为t，令，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由一元二次方程根的判别式先求解再利用根与系数的关系可得从而可得再利用不等式的性质可得答案．
【详解】解： 关于x的一元二次方程有实数根，
解得：
设方程的两根分别为
解得：
即
故选B
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一次函数的性质，不等式的性质，熟练的运用一元二次方程根的判别式与根与系数的关系是解本题的关键．
7. 已知关于x的方程的一个根是2，且二次函数的对称轴是直线，则这条抛物线的顶点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由二次函数的对称轴是直线，得出顶点横坐标为2，代入函数解析式得出纵坐标，由此求得顶点坐标即可．
【详解】解：二次函数的对称轴是直线，方程的一个根是2，
当时，，
抛物线的顶点坐标是．
故选C．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握顶点坐标的计算方法是解决问题的关键．
8. 如图，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意分情况进行分析：①当a＞0时，抛物线开口向下，经过原点且对称轴为直线，②当a＜0时，抛物线开口向上，经过原点且对称轴为直线，因此选择D．
【详解】解：，
，
一次函数图象与轴的正半轴相交，
①当时，
则二次函数的图象开口向下，经过原点且对称轴为直线，
②当时，
则二次函数的图象开口向上，经过原点且对称轴为直线，
故正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象、一次函数的图象，关键在于熟练掌握图象与系数的关系．
9. 若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】分析：根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，即可找出该抛物线的解析式，利用平移的“左加右减，上加下减”找出平移后新抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可找出结论．
详解：∵某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，
∴该定弦抛物线过点（0，0）、（2，0），
∴该抛物线解析式为y=x（x-2）=x2-2x=（x-1）2-1．
将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新抛物线的解析式为y=（x-1+2）2-1-3=（x+1）2-4．
当x=-3时，y=（x+1）2-4=0，
∴得到的新抛物线过点（-3，0）．
故选B．
点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，求出原抛物线的解析式是解题的关键．
二．填空题（共11小题）
10. 已知关于x的方程（m＋2）x²＋4mx＋1＝0是一元二次方程，则m的取范围值是_______．
【答案】m≠—2
【解析】
【详解】分析：根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行解答即可．
详解：由题意得： m+2≠0 ，
解得： m≠−2 ，
故答案为 m≠−2.
点睛：本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程注意几个方面：化简后；一个未知数；未知数的最高次数是2；二次项的系数不为0；整式方程.
11. 方程中较小的根是 _____．
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．利用因式分解法求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
则或，
解得，，
∴方程中较小的根是0，
故答案为：0．
12. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为和，则外接圆的圆心坐标是 ____________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的外接圆以及圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．由于是直角三角形，根据直径所对的圆周角为直角，可得外接圆的圆心是斜边的中点，再利用中点坐标公式即可得解．
【详解】解：∵是直角三角形，,
∴外接圆的圆心是斜边的中点，
∵点A、B的坐标分别为和，
∴外接圆的圆心坐标是，
故答案为：．
13. 若一个三角形两条边长为2和4，第三边长满足方程，则此三角形周长为_______．
【答案】11
【解析】
【分析】本题考查了因式分解解一元二次方程，三角形三边关系，先解一元二次方程得出或，再根据三角形三边关系判断即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
则或，
解得：或，
当时，三边，不能构成三角形；
当时，此三角形的周长为，
故答案为：11．
14. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查了根判别式，根据方程的根的判别式且计算即可．
【详解】∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴且，
解得且，
故答案为：且．
15. 如图，在等腰直角△ABC中，斜边AB的长度为8，以AC为直径作圆，点P为半圆上的动点，连接BP，取BP的中点M，则CM的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】连接PA、PC，取AB、BC的中点E、F，连接EF、EM、FM，取EF的中点O，连接OM，OC，CM．根据图形结合题意易证明∠EMF=90°，得出结论点M的运动轨迹是弧EF，即以EF为直径的半圆，再根据题意可求出AC、BC的值，即得出CF，EF的值，由勾股定理可求出OC的值，最后利用CM≥OC-OM即可求出CM的最小值．
【详解】如图，连接PA、PC，取AB、BC的中点E、F，连接EF、EM、FM，取EF的中点O，连接OM，OC，CM．
∵AC是直径，
∴∠APC=90°，
∵BE=EA，BM=MP，
∴EM∥PA，同理FM∥PC，
∴∠BME=∠BPA，∠BMF=∠BPC，
∴∠BME+∠BMF=∠BPA+∠BPC=90°，
∴∠EMF=90°，
∴点M的轨迹是弧EF，（EF为直径的半圆）
∵BC=AC，∠ACB=90°，AB=8，
∴AC=BC=4，
∵AE=EB，BF=CF=2，
∴EF=AC=2，EF∥AC，
∴∠EFB=∠EFC=∠ACB=90°，OE=OF=OM=，
∴OC===，
∵CM≥OC-OM，
∴CM≥
综上可知CM最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查轨迹、等腰直角三角形的性质、圆的有关知识，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找点M的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题．
16. 若一元二次方程有实数根，则的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据判别式大于等于0即可求解．
【详解】解：一元二次方程有实数根
∴，解得
故答案为．
【点睛】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握相关基础知识是解题的关键．
17. 已知，，则的值为______．
【答案】-4
【解析】
【分析】由a−b＝8，得到a＝8＋b，代入ab＋16≤0，得到（b＋4）2＝0，根据非负数的性质得到结论．
【详解】解：∵a−b＝8，
∴a＝8＋b，
∵ab＋16≤0，
∴（8＋b）b＋16＝b2＋8b＋16＝（b＋4）2≤0，
∴（b＋4）2＝0，
∴b＝−4，a＝4，
∴a＋2b＝4＋2×（−4）＝−4，
故答案为：−4．
【点睛】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，正确的理解题意是解题的关键．
18. 如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，∠A＝30°，OB＝4，以点O为圆心，OB为半径画弧，分别交OA、AB于点C、D，则图中阴影部分的面积是_____（结果保留π）
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，首先证明根据计算即可．
【详解】解： OB＝4，
∴△OBD是等边三角形
故答案为∶．
【点睛】本题主要考查了扇形的面积，等边三角形的判定和性质等知识，学会添加辅助线和数据公式是解题关键．
19. 已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②4a+b＝0；③a﹣b+c＜0；④b2＞4ac；⑤当x＜2时，y随x的增大而增大，你认为其中正确的是 _____.（填序号）
【答案】①②④
【解析】
【分析】①由抛物线的对称轴结合抛物线与x轴的一个交点坐标，可求出另一交点坐标，结论①正确；
②由抛物线对称轴为2以及抛物线过原点，即可得出b＝﹣4a，即4a+b＝0，结论②正确；
③根据抛物线的对称性结合当x＝1时y＞0，即可得出a﹣b+c＞0，结论③错误；
④根据抛物线与x轴有两个交点，所以 ，即有b2＞4ac，结论④正确；
⑤观察函数图象可知，当x＜2时，y随x增大而减小，结论⑤错误．
综上即可得出结论．
【详解】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（0，0），结论①正确；
②∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝2，且抛物线过原点，
∴ ＝2，c＝0，
∴b＝﹣4a，c＝0，
∴4a+b＝0，结论②正确；
③∵当x＝﹣1时，y值为正，
∴a﹣b+c＞0，结论③错误；
④根据抛物线与x轴有两个交点，即 有两个不等的实数根，所以 ，即有b2＞4ac，结论④正确；
⑤当x＜2时，y随x的增大而减小，结论⑤错误．
综上所述，正确的结论有：①②④．
故答案是：①②④．
【点睛】主要考查抛物线与x轴的交点，图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
20. 当时，二次函数有最大值4，则实数m的值为_________．
【答案】2或
【解析】
【分析】求出二次函数对称轴为直线，分两种情况分析：时，时，根据二次函数的增减性列方程求解即可．
【详解】解：二次函数的对称轴为直线，且开口向下，
①时，取得最大值，
∴，
解得，
∵，
∴；
②时，x=1取得最大值，
，
解得，
综上所述，或时，二次函数有最大值．
故答案为：2或．
【点睛】本题考查了二次函数的最值，熟悉二次函数的性质及图象能分类讨论是解题的关键．
三．解答题（共7小题）
21. 如图，为外接圆的直径，，垂足为点F，的平分线交于点E，连接，．
（1）求证：；
（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以为半径的圆上？并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）B，E，C三点在以D为圆心，以为半径圆上．理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质等知识，掌握圆的相关性质是解题关键．
（1）根据垂径定理求解即可；
（2）由（1）知：，，由等弧所对的圆周角相等，得到，再结合角平分线的定义和三角形外角的性质，得出，从而推出，即可得出结论．
【小问1详解】
解：∵为直径，，
∴由垂径定理得：，
∴根据圆心角、弧、弦之间的关系得：，
【小问2详解】
解：B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上，
理由：由（1）知：，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴B，E，C三点在以D为圆心，以为半径的圆上．
22. 已知一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为1，且a、b满足b＝+3，求c的值．
【答案】-5
【解析】
【分析】先根据二次根式有意义的条件得到a-2≥0，a-2≤0，解得a=2，则可计算出b=3，再根据一元二次方程解的定义得到a+b+c=0，然后把a和b的值代入即可求出c的值．
【详解】解：∵a、b满足b＝+3，
∴a-2≥0，a-2≤0，
∴a=2，
∴b=3，
∵一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根是1，
∴a+b+c=0，
∴2+3+c=0，
∴c=-5．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，也考查了二次根式有意义的条件．
23. 已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m2＝0．
（1）求证：该方程有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个实数根x1，x2满足，求m的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=16+4m2＞0，由此可证出该方程有两个不等的实根；
（2）根据根与系数的关系可得 ①、②，结合③，可求出、的值，将其代入③中即可求出m的值．
【详解】解：（1）∵在方程中，
△=（﹣4）2﹣4×1×（﹣m2）=16+4m2＞0，
∴该方程有两个不等的实根；
（2）解：∵该方程的两个实数根分别为、，
∴ ①、②．
∵③，
∴将①②代入③得，，
解得．
【点睛】本题考查根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系．
24. 矩形ABCD中，AB=17，BC=，点P在AB边上，且满足AP=3PC，求PB之长．
【答案】2
【解析】
【分析】设PB为x，则，由AP=3PC，可得，在中，根据已知条件以及勾股定理列出方程，解方程即可
【详解】设PB为x，
AP=3PC，AB=17，BC=，
，
四边形是矩形，
，
在中，根据勾股定理可得，
x2+21=（
4x2-17x-50=0
， x2= （舍去）
答：PB之长为2．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
25. 已知CD为△ABC的中线，∠A及∠BDC的度数分别是方程x2-75x+1350=0的两根，
（1）求∠A及∠BDC的度数；
（2）求∠B的度数．
【答案】（1）；（2）105°
【解析】
【分析】（1）根据题意，解一元二次方程，并根据三角形的外角的性质可得，进而确定∠A及∠BDC的度数；
（2）过点B作BH⊥AC于H，连接DH，根据（1）的结论，以及CD为△ABC的中线可得，△BHD为正三角形，根据以及可得，进而可得△BHC为等腰直角三角形，进而求得∠ABC的度数．
【详解】（1） ∠A及∠BDC的度数分别是方程x2-75x+1350=0的两根，
，
，
解得，
，
，
∠A=30°，∠BDC=45° ；
（2）过点B作BH⊥AC于H，连接DH，
，
，
是△ABC的中线，
，
，
△BHD为正三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
△BHC为等腰直角三角形，
，
．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，三角形的中线的性质，三角形内角和以及三角形外角的性质，等角对等边；第一问，根据题意求得方程的解，第二问添加辅助线是解题的关键．
26. 王老师提出问题：求代数式的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．
同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法；
解：，
，．
当时，的值最小，最小值是1．
的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：
（1）直接写出的最小值为 ．
（2）求代数式的最小值．
（3）你认为代数式有最大值还是有最小值？求出该最大值或最小值．
（4）若，求的最小值．
【答案】（1）3 （2）7
（3）有最大值，最大值为8
（4）2
【解析】
【分析】（1）根据偶次方的非负性可求得；
（2）根据题意用配方法和偶次方的非负性可直接求得；
（3）根据题意用配方法和偶次方的非负性可直接求得；
（4）根据，用x表示出，写出，先根据题意用配方法和偶次方的非负性可求．
【小问1详解】
解：的最小值为3．
故答案为：3；
【小问2详解】
，
，
，
当时，的值最小，最小值为7，
的最小值为7；
【小问3详解】
，
，
，
代数式有最大值，最大值为8；
小问4详解】
，
，
，
，
，
当时，的值最小，最小值为2，
的最小值为2．
【点睛】本题考查了配方法的应用和偶次方为非负数，解题的关键是能够将代数式配成完全平方式的形式．
27. 如图一，AB是的直径，AC是弦，直线EF和相切与点C，，垂足为D．
（1）求证：；
（2）如图二，若把直线EF向上移动，使得EF与相交于G，C两点（点C在点G的右侧），连结AC，AG，若题中其他条件不变，这时图中是否存在与相等的角．若存在，找出一个这样的角，并证明；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）∠CAD=∠BAG；证明见解析．
【解析】
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质定理以及等角的余角相等即可证明；
（2）构造直径所对的圆周角，根据等弧所对的圆周角相等以及等角的余角相等，发现∠BAC=∠GAD，再根据等式的性质即可证明∠BAG=∠DAC．
【详解】解：（1）如图一，连接OC，则OC⊥EF，且OC=OA，
易得∠OCA=∠OAC．
∵AD⊥EF，
∴OC∥AD．
∴∠OCA=∠CAD，
∴∠CAD=∠OAC．
即∠CAD=∠BAC．
（2）解：与∠CAD相等的角是∠BAG．
证明如下：
如图二，连接BG．
∵四边形ACGB是⊙O的内接四边形，
∴∠ABG+∠ACG=180°．
∵D，C，G共线，
∴∠ACD+∠ACG=180°．
∴∠ACD=∠ABG．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BAG+∠ABG=90°
∵AD⊥EF
∴∠CAD+∠ACD=90°
∴∠CAD=∠BAG．
【点睛】本题考查切线的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质．
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】要使圆与斜边AB有两个交点,则应满足直线和圆相交,且半径不大于AC.要保证相交,只需求得相切时,圆心到斜边的距离,即斜边上的高即可.
【详解】如图,
∵BC>AC,
∴以C为圆心,R为半径所作的圆与斜边AB有两个交点,则圆的半径应大于CD,小于或等于AC,
由勾股定理知, =5.
∵,
∴CD=,
即R的取值范围是.
故选D.
【点睛】本题利用了勾股定理和垂线段最短的定理,以及直角三角形的面积公式求解.特别注意:圆与斜边有两个交点,即两个交点都应在斜边上.
2. 关于x的一元二次方程的一个根为0，则实数a的值为
A. B. 0C. 1D. 或1
【答案】A
【解析】
【分析】先把x=0代入方程求出a的值，然后根据二次项系数不能为0，把a=1舍去．
【详解】解：把x=0代入方程得：
|a|-1=0，
∴a=±1，
∵a-1≠0，
∴a=-1．
故选：A．
3. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程2x2﹣13x+15＝0的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A. 8B. 11.5C. 10D. 8或11.5
【答案】B
【解析】
【分析】首先利用因式分解法解方程，再利用三角形三边关系得出各边长，进而得出答案．
【详解】解：2x2﹣13x+15＝0
（x-5）（2x-3）=0，
解得：x1=5，x2=1.5，
①当等腰三角形的三边为5，1.5，1.5时，1.5+1.5＜5，不符合三角形的三边关系定理，不能组成三角形，舍去；
②当等腰三角形的三边为5，5，1.5时，此时能组成三角形，三角形的周长是5+5+1.5=11.5，
故选：B．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，解一元二次方程，三角形的三边关系定理等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键，用了分类讨论思想．
4. 已知a是方程x2+x﹣1=0的一个根，则的值为（ ）
A. B. C. ﹣1D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】先化简，由a是方程x2+x﹣1=0的一个根，得a2+a﹣1=0，则a2+a=1，
再整体代入即可．
【详解】原式==，
∵a是方程x2+x﹣1=0的一个根，
∴a2+a﹣1=0，
即a2+a=1，
∴原式==1．
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解与分式的混合运算的应用，注意运用整体代入的思想．
5. 关于x的方程的解是（a，m，b均为常数，a≠0），则方程的解是（ ）
A. B.
C. D. 无法求解
【答案】C
【解析】
【分析】可以把方程看作是关于的一元二次方程，从而得到，即可求解．
【详解】解：根据题意得：方程可以看作是关于的一元二次方程，
∵关于x的方程的解是，
∴关于方程的解是，
∴．
故选：C
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
6. 已知关于x的一元二次方程有实数根，设此方程得一个实数根为t，令，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由一元二次方程根的判别式先求解再利用根与系数的关系可得从而可得再利用不等式的性质可得答案．
【详解】解： 关于x的一元二次方程有实数根，
解得：
设方程的两根分别为
解得：
即
故选B
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，一次函数的性质，不等式的性质，熟练的运用一元二次方程根的判别式与根与系数的关系是解本题的关键．
7. 已知关于x的方程的一个根是2，且二次函数的对称轴是直线，则这条抛物线的顶点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由二次函数的对称轴是直线，得出顶点横坐标为2，代入函数解析式得出纵坐标，由此求得顶点坐标即可．
【详解】解：二次函数的对称轴是直线，方程的一个根是2，
当时，，
抛物线的顶点坐标是．
故选C．
【点睛】本题考查的是二次函数的性质，掌握顶点坐标的计算方法是解决问题的关键．
8. 如图，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意分情况进行分析：①当a＞0时，抛物线开口向下，经过原点且对称轴为直线，②当a＜0时，抛物线开口向上，经过原点且对称轴为直线，因此选择D．
【详解】解：，
，
一次函数图象与轴的正半轴相交，
①当时，
则二次函数的图象开口向下，经过原点且对称轴为直线，
②当时，
则二次函数的图象开口向上，经过原点且对称轴为直线，
故正确；
故选：D．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象、一次函数的图象，关键在于熟练掌握图象与系数的关系．
9. 若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】分析：根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，即可找出该抛物线的解析式，利用平移的“左加右减，上加下减”找出平移后新抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可找出结论．
详解：∵某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，
∴该定弦抛物线过点（0，0）、（2，0），
∴该抛物线解析式为y=x（x-2）=x2-2x=（x-1）2-1．
将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新抛物线的解析式为y=（x-1+2）2-1-3=（x+1）2-4．
当x=-3时，y=（x+1）2-4=0，
∴得到的新抛物线过点（-3，0）．
故选B．
点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，求出原抛物线的解析式是解题的关键．
二．填空题（共11小题）
10. 已知关于x的方程（m＋2）x²＋4mx＋1＝0是一元二次方程，则m的取范围值是_______．
【答案】m≠—2
【解析】
【详解】分析：根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程进行解答即可．
详解：由题意得： m+2≠0 ，
解得： m≠−2 ，
故答案为 m≠−2.
点睛：本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程注意几个方面：化简后；一个未知数；未知数的最高次数是2；二次项的系数不为0；整式方程.
11. 方程中较小的根是 _____．
【答案】0
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．利用因式分解法求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
则或，
解得，，
∴方程中较小的根是0，
故答案为：0．
12. 如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为和，则外接圆的圆心坐标是 ____________________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了直角三角形的外接圆以及圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．由于是直角三角形，根据直径所对的圆周角为直角，可得外接圆的圆心是斜边的中点，再利用中点坐标公式即可得解．
【详解】解：∵是直角三角形，,
∴外接圆的圆心是斜边的中点，
∵点A、B的坐标分别为和，
∴外接圆的圆心坐标是，
故答案为：．
13. 若一个三角形两条边长为2和4，第三边长满足方程，则此三角形周长为_______．
【答案】11
【解析】
【分析】本题考查了因式分解解一元二次方程，三角形三边关系，先解一元二次方程得出或，再根据三角形三边关系判断即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
则或，
解得：或，
当时，三边，不能构成三角形；
当时，此三角形的周长为，
故答案为：11．
14. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．
【答案】且
【解析】
【分析】本题考查了根判别式，根据方程的根的判别式且计算即可．
【详解】∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴且，
解得且，
故答案为：且．
15. 如图，在等腰直角△ABC中，斜边AB的长度为8，以AC为直径作圆，点P为半圆上的动点，连接BP，取BP的中点M，则CM的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】连接PA、PC，取AB、BC的中点E、F，连接EF、EM、FM，取EF的中点O，连接OM，OC，CM．根据图形结合题意易证明∠EMF=90°，得出结论点M的运动轨迹是弧EF，即以EF为直径的半圆，再根据题意可求出AC、BC的值，即得出CF，EF的值，由勾股定理可求出OC的值，最后利用CM≥OC-OM即可求出CM的最小值．
【详解】如图，连接PA、PC，取AB、BC的中点E、F，连接EF、EM、FM，取EF的中点O，连接OM，OC，CM．
∵AC是直径，
∴∠APC=90°，
∵BE=EA，BM=MP，
∴EM∥PA，同理FM∥PC，
∴∠BME=∠BPA，∠BMF=∠BPC，
∴∠BME+∠BMF=∠BPA+∠BPC=90°，
∴∠EMF=90°，
∴点M的轨迹是弧EF，（EF为直径的半圆）
∵BC=AC，∠ACB=90°，AB=8，
∴AC=BC=4，
∵AE=EB，BF=CF=2，
∴EF=AC=2，EF∥AC，
∴∠EFB=∠EFC=∠ACB=90°，OE=OF=OM=，
∴OC===，
∵CM≥OC-OM，
∴CM≥
综上可知CM最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查轨迹、等腰直角三角形的性质、圆的有关知识，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找点M的运动轨迹，属于中考选择题中的压轴题．
16. 若一元二次方程有实数根，则的取值范围是____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据判别式大于等于0即可求解．
【详解】解：一元二次方程有实数根
∴，解得
故答案为．
【点睛】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握相关基础知识是解题的关键．
17. 已知，，则的值为______．
【答案】-4
【解析】
【分析】由a−b＝8，得到a＝8＋b，代入ab＋16≤0，得到（b＋4）2＝0，根据非负数的性质得到结论．
【详解】解：∵a−b＝8，
∴a＝8＋b，
∵ab＋16≤0，
∴（8＋b）b＋16＝b2＋8b＋16＝（b＋4）2≤0，
∴（b＋4）2＝0，
∴b＝−4，a＝4，
∴a＋2b＝4＋2×（−4）＝−4，
故答案为：−4．
【点睛】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，正确的理解题意是解题的关键．
18. 如图，在△AOB中，∠AOB＝90°，∠A＝30°，OB＝4，以点O为圆心，OB为半径画弧，分别交OA、AB于点C、D，则图中阴影部分的面积是_____（结果保留π）
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，首先证明根据计算即可．
【详解】解： OB＝4，
∴△OBD是等边三角形
故答案为∶．
【点睛】本题主要考查了扇形的面积，等边三角形的判定和性质等知识，学会添加辅助线和数据公式是解题关键．
19. 已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线过原点；②4a+b＝0；③a﹣b+c＜0；④b2＞4ac；⑤当x＜2时，y随x的增大而增大，你认为其中正确的是 _____.（填序号）
【答案】①②④
【解析】
【分析】①由抛物线的对称轴结合抛物线与x轴的一个交点坐标，可求出另一交点坐标，结论①正确；
②由抛物线对称轴为2以及抛物线过原点，即可得出b＝﹣4a，即4a+b＝0，结论②正确；
③根据抛物线的对称性结合当x＝1时y＞0，即可得出a﹣b+c＞0，结论③错误；
④根据抛物线与x轴有两个交点，所以 ，即有b2＞4ac，结论④正确；
⑤观察函数图象可知，当x＜2时，y随x增大而减小，结论⑤错误．
综上即可得出结论．
【详解】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点坐标为（4，0），
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（0，0），结论①正确；
②∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝2，且抛物线过原点，
∴ ＝2，c＝0，
∴b＝﹣4a，c＝0，
∴4a+b＝0，结论②正确；
③∵当x＝﹣1时，y值为正，
∴a﹣b+c＞0，结论③错误；
④根据抛物线与x轴有两个交点，即 有两个不等的实数根，所以 ，即有b2＞4ac，结论④正确；
⑤当x＜2时，y随x的增大而减小，结论⑤错误．
综上所述，正确的结论有：①②④．
故答案是：①②④．
【点睛】主要考查抛物线与x轴的交点，图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
20. 当时，二次函数有最大值4，则实数m的值为_________．
【答案】2或
【解析】
【分析】求出二次函数对称轴为直线，分两种情况分析：时，时，根据二次函数的增减性列方程求解即可．
【详解】解：二次函数的对称轴为直线，且开口向下，
①时，取得最大值，
∴，
解得，
∵，
∴；
②时，x=1取得最大值，
，
解得，
综上所述，或时，二次函数有最大值．
故答案为：2或．
【点睛】本题考查了二次函数的最值，熟悉二次函数的性质及图象能分类讨论是解题的关键．
三．解答题（共7小题）
21. 如图，为外接圆的直径，，垂足为点F，的平分线交于点E，连接，．
（1）求证：；
（2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以为半径的圆上？并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）B，E，C三点在以D为圆心，以为半径圆上．理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质等知识，掌握圆的相关性质是解题关键．
（1）根据垂径定理求解即可；
（2）由（1）知：，，由等弧所对的圆周角相等，得到，再结合角平分线的定义和三角形外角的性质，得出，从而推出，即可得出结论．
【小问1详解】
解：∵为直径，，
∴由垂径定理得：，
∴根据圆心角、弧、弦之间的关系得：，
【小问2详解】
解：B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上，
理由：由（1）知：，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴B，E，C三点在以D为圆心，以为半径的圆上．
22. 已知一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个根为1，且a、b满足b＝+3，求c的值．
【答案】-5
【解析】
【分析】先根据二次根式有意义的条件得到a-2≥0，a-2≤0，解得a=2，则可计算出b=3，再根据一元二次方程解的定义得到a+b+c=0，然后把a和b的值代入即可求出c的值．
【详解】解：∵a、b满足b＝+3，
∴a-2≥0，a-2≤0，
∴a=2，
∴b=3，
∵一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根是1，
∴a+b+c=0，
∴2+3+c=0，
∴c=-5．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，也考查了二次根式有意义的条件．
23. 已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m2＝0．
（1）求证：该方程有两个不相等的实数根；
（2）若该方程的两个实数根x1，x2满足，求m的值．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=16+4m2＞0，由此可证出该方程有两个不等的实根；
（2）根据根与系数的关系可得 ①、②，结合③，可求出、的值，将其代入③中即可求出m的值．
【详解】解：（1）∵在方程中，
△=（﹣4）2﹣4×1×（﹣m2）=16+4m2＞0，
∴该方程有两个不等的实根；
（2）解：∵该方程的两个实数根分别为、，
∴ ①、②．
∵③，
∴将①②代入③得，，
解得．
【点睛】本题考查根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系．
24. 矩形ABCD中，AB=17，BC=，点P在AB边上，且满足AP=3PC，求PB之长．
【答案】2
【解析】
【分析】设PB为x，则，由AP=3PC，可得，在中，根据已知条件以及勾股定理列出方程，解方程即可
【详解】设PB为x，
AP=3PC，AB=17，BC=，
，
四边形是矩形，
，
在中，根据勾股定理可得，
x2+21=（
4x2-17x-50=0
， x2= （舍去）
答：PB之长为2．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
25. 已知CD为△ABC的中线，∠A及∠BDC的度数分别是方程x2-75x+1350=0的两根，
（1）求∠A及∠BDC的度数；
（2）求∠B的度数．
【答案】（1）；（2）105°
【解析】
【分析】（1）根据题意，解一元二次方程，并根据三角形的外角的性质可得，进而确定∠A及∠BDC的度数；
（2）过点B作BH⊥AC于H，连接DH，根据（1）的结论，以及CD为△ABC的中线可得，△BHD为正三角形，根据以及可得，进而可得△BHC为等腰直角三角形，进而求得∠ABC的度数．
【详解】（1） ∠A及∠BDC的度数分别是方程x2-75x+1350=0的两根，
，
，
解得，
，
，
∠A=30°，∠BDC=45° ；
（2）过点B作BH⊥AC于H，连接DH，
，
，
是△ABC的中线，
，
，
△BHD为正三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
△BHC为等腰直角三角形，
，
．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，三角形的中线的性质，三角形内角和以及三角形外角的性质，等角对等边；第一问，根据题意求得方程的解，第二问添加辅助线是解题的关键．
26. 王老师提出问题：求代数式的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．
同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法；
解：，
，．
当时，的值最小，最小值是1．
的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：
（1）直接写出的最小值为 ．
（2）求代数式的最小值．
（3）你认为代数式有最大值还是有最小值？求出该最大值或最小值．
（4）若，求的最小值．
【答案】（1）3 （2）7
（3）有最大值，最大值为8
（4）2
【解析】
【分析】（1）根据偶次方的非负性可求得；
（2）根据题意用配方法和偶次方的非负性可直接求得；
（3）根据题意用配方法和偶次方的非负性可直接求得；
（4）根据，用x表示出，写出，先根据题意用配方法和偶次方的非负性可求．
【小问1详解】
解：的最小值为3．
故答案为：3；
【小问2详解】
，
，
，
当时，的值最小，最小值为7，
的最小值为7；
【小问3详解】
，
，
，
代数式有最大值，最大值为8；
小问4详解】
，
，
，
，
，
当时，的值最小，最小值为2，
的最小值为2．
【点睛】本题考查了配方法的应用和偶次方为非负数，解题的关键是能够将代数式配成完全平方式的形式．
27. 如图一，AB是的直径，AC是弦，直线EF和相切与点C，，垂足为D．
（1）求证：；
（2）如图二，若把直线EF向上移动，使得EF与相交于G，C两点（点C在点G的右侧），连结AC，AG，若题中其他条件不变，这时图中是否存在与相等的角．若存在，找出一个这样的角，并证明；若不存在，说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）∠CAD=∠BAG；证明见解析．
【解析】
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质定理以及等角的余角相等即可证明；
（2）构造直径所对的圆周角，根据等弧所对的圆周角相等以及等角的余角相等，发现∠BAC=∠GAD，再根据等式的性质即可证明∠BAG=∠DAC．
【详解】解：（1）如图一，连接OC，则OC⊥EF，且OC=OA，
易得∠OCA=∠OAC．
∵AD⊥EF，
∴OC∥AD．
∴∠OCA=∠CAD，
∴∠CAD=∠OAC．
即∠CAD=∠BAC．
（2）解：与∠CAD相等的角是∠BAG．
证明如下：
如图二，连接BG．
∵四边形ACGB是⊙O的内接四边形，
∴∠ABG+∠ACG=180°．
∵D，C，G共线，
∴∠ACD+∠ACG=180°．
∴∠ACD=∠ABG．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BAG+∠ABG=90°
∵AD⊥EF
∴∠CAD+∠ACD=90°
∴∠CAD=∠BAG．
【点睛】本题考查切线的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质．
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