新疆乌鲁木齐市第126中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题（解析版）

这是一份新疆乌鲁木齐市第126中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题（解析版），共19页。试卷主要包含了 下列方程是一元二次方程的是， 关于的方程的根的情况是， 对称轴为直线的抛物线等内容，欢迎下载使用。

1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程，据此即可判定求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
【详解】、当时，方程为是一元一次方程，该选项不合题意；
、方程是一元二次方程，该选项符合题意；
、方程的左边不是整式，方程不是一元二次方程，该选项不合题意；
、方程整理为，是一元一次方程，该选项不合题意；
故选：．
2. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程－配方法．利用解一元二次方程配方法，进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
故选：D．
3. 关于的方程的根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 无实数根
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．根据根的判别，即可判断方程根的情况．
【详解】解：∵，
∴方程有两个相等的实数根．
故选A．
4. 在长为，宽为的长方形田地中开辟三条宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为，求道路的宽度．设道路的宽度为，则可列方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据余田的面积为468列出方程即可．
【详解】解：设入口的宽度为x m，由题意得：
（30-2x）（20-x）=468．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．
5. 二次函数部分图象如图所示，可知方程的一个根为，则方程的另一个根为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为，从而可确定方程的另一个根．
【详解】解：抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为，
抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
方程的根为，
即方程另一个根为：．
故选：A．
6. 若，，三点都在二次函数的图象上，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据二次函数的图象与性质进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线对称轴为，
∴抛物线上的点离对称轴越近，函数值越大，
∵抛物线上的点离对称轴较远，离对称轴较近，
∴，
故选：B．
7. 一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由二次函数的解析式可知，二次函数图象经过原点，则只有选项A,D可能正确，B,C不符合舍去，然后对A,D选项，根据二次函数的图象确定a和b的符号，然后根据一次函数的性质看一次函数图象的位置是否正确，若正确，说明它们可在同一坐标系内存在．
【详解】解：由二次函数的解析式可知，二次函数图象经过原点，则只有选项A,D符合，B,C不符合舍去，
A、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＞0，再根据>0得到b＜0，则一次函数y=ax+b经过第一、三、四象限，所以A选项正确；
D、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＜0，再根据<0得到b＜0，则一次函数y=ax+b经过第二、三、四象限，所以D选项错误．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的图象：二次函数的图象为抛物线，可能利用列表、描点、连线画二次函数的图象．也考查了二次函数图象与系数的关系．
8. 某机械长今年生产零件50万个，计划明后两年共生产零件132万个，设该厂每年的平均增长率为x，那么x满足方程（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用-增长率问题，设出未知数，分别表示明年、后年生产的零件数量，根据“明后两年共生产零件132万个”即可列出方程．
【详解】解：根据题意得明年生产零件为（万个），后年生产零件为（万个），
由题意得．
故选：C
9. 二次函数在的范围内有最小值为，则c的值（ ）
A. 3或B. C. 或1D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】把二次函数解析式化为顶点式可得二次函数图象的对称轴为直线，从而得到当时，二次函数取最小值，最小值为，从而得到，即可求解．
【详解】解：
∴二次函数图象的对称轴为直线，
∵，
∴二次函数的图象开口向下，
∵，且，
∴当时，二次函数取最小值，最小值为，
∵在的范围内有最小值为，
∴，
解得：或3．
故选：A
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质的知识点，解答本题的关键是求出二次函数的对称轴，本题比较简单．
10. 对称轴为直线的抛物线（a，b，c为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④⑤当时，y随x的增大而减小．其中结论正确为（ ）
对称轴为直线的抛物线(a，b，c为常数，且)如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤(m为任意实数)，⑥当时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（ ）
A. ①②④B. ①③⑤C. ①②③D. ①④⑤
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点确定．由抛物线的开口方向判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，结合对称轴判断①，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况判断②，根据对称性求得时的函数值小于0，判断③；根据时的函数值，结合，代入即可判断④，根据顶点坐标即可判断⑤．
【详解】解：①由图象可知：，，
∵，
∴，
∴，故①正确，符合题意；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，
∴，故②错误，不符合题意；
③根据函数图象可知，抛物线的对称轴为直线x=1，抛物线与x轴的一个交点在与0之间，因此抛物线与x轴的交点在2与3之间，所以当时，，即，故③错误，不符合题意；
④当时，y=a-b+c=a--2a+c>0，
∴，故④正确，符合题意；
⑤由图象可知，当时，y随x的增大而减小，故⑤正确，符合题意；
综上分析可知：正确的有①④⑤，故D正确．
故选：D．
二．填空题（共6小题，每小题4分）
11. 二次函数的顶点坐标是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的顶点式．根据顶点式的顶点坐标为求解即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故答案为：．
12. “六一”儿童节上，某小队建议每位同学向其他同学赠送1句祝福语，结果小队内共收到210句祝福语，设小队共有x人，那么根据题意所列方程为_________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，计算全班共送多少句，首先确定一个人送出多少句是解题关键．
如果全班有名同学，那么每名同学要送出句，共有名学生，那么总共送的名数应该是句，即可列出方程．
【详解】解：全班有名同学，依题意有：．
故答案为：．
13. 若抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次函数图象与轴交点问题．熟练掌握抛物线与轴有交点：，是解题的关键．根据抛物线与x轴有交点，，列式计算即可．
【详解】解：∵抛物线与x轴有交点，
∴有实数根，
∴，
解得：；
故答案为：．
14. 若是方程的两个实数根，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，根据根与系数的关系得到，根据一元二次方程解的定义得到，再由，利用整体代入法求解即可；对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则．
【详解】解：∵是方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴
，
故答案为：．
15. 某段公路上汽车紧急刹车后前行的距离（单位：）关于行驶时间（单位：）的函数解析式是，遇到刹车时，汽车从刹车后到停下来前进了______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的解析式可得出汽车刹车时时间，将其代入二次函数解析式中即可得出的值.
【详解】解：根据二次函数解析式
可知，汽车的刹车时间为，
当时，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数性质的应用，掌握二次函数的性质是解题的关键．
16. 如图，已知抛物线和线段，点和点的坐标分别为，将抛物线向上平移个单位长度后与线段仅有一个交点，则的取值范围是______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查二次函数的性质及图象的平移，由题意可知，将抛物线向上平移个单位长度后抛物线为，结合图形，找到临界点：当抛物线顶点恰好平移到线段上，当抛物线经过点时，求出对应的值，结合图形即可求解．
【详解】，
将抛物线向上平移个单位长度后抛物线为，

当抛物线顶点恰好平移到线段上，此时，，可得；
当抛物线经过点时，此时，可得，
此时关于对称轴对称的点，在线段上，不符合题意；
当抛物线经过点时，此时，可得，
此时关于对称轴对称的点，不在线段上，符合题意；
结合图形可知，平移后的抛物线与线段仅有一个交点时，或；
故答案为：或．
三．解答题（共7小题，17题20分，18--19题10分，20--21题12分，22题8分，23题14分）
17. 解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）
【解析】
【分析】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，配方法，公式法，直接开平方法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
（1）利用解一元二次方程﹣直接开平方法进行计算，即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣配方法进行计算，即可解答；
（3）利用解一元二次方程﹣公式法进行计算，即可解答；
（4）利用解一元二次方程﹣因式分解法进行计算，即可解答．
【小问1详解】
解：
，
或，
；
【小问2详解】
解：
，
或，
；
【小问3详解】
解：，
∴
；
【小问4详解】
解：
或，
．
18. 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．
（1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？
【答案】（1）每轮传染中平均一个人传染8个人
（2）经过三轮传染后共有729人会患流感
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．
（1）设每轮传染中平均一个人传染个人，根据经过两轮传染后共有81人患了流感，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）根据经过三轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数经过两轮传染后患流感的人数，即可求出结论．
【小问1详解】
解：设每轮传染中平均一个人传染个人，
根据题意得：，
整理，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染8个人；
【小问2详解】
解：（人．
答：经过三轮传染后共有729人会患流感．
19. 如图，要使用长为27米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为12米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．
（1）如果要围成面积为54平方米的花圃，那么的长为多少米？
（2）能否围成面积为90平方米的花圃？若能，请求出的长；若不能，请说明理由．
【答案】（1）的长为米
（2）不能围成面积为平方米的花圃．理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据题目设 AD的长为x 米，则 AB=27-3x，得x（27-3x）=54，解一元二次方程，按照条件，解得AD的长；
（2）根据题意得：x（27-3x）=90，通过判别式确定方程无根，可得不能围成面积为 90平方米的花圃．
【详解】（1）设的长为米，则，根据题意，得，
整理，得，
解得，，
∵墙的最大可用长度为米，
∴，
∴，
∴，即的长为米；
（2）不能围成面积为平方米的花圃．
理由如下：
根据题意，得，整理，得．
∵，
∴该方程无实数根，
∴不能围成面积为平方米的花圃．
【点睛】本题考查用一元二次方程解实际问题，按照题意列出方程，是解题的关键．
20. 年月日，神舟十五号发射升空，中国首次实现空间站三船三舱构型，以及6名航天员同时在轨驻留．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已经知该模型平均每天可售出个，每个盈利元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个．
（1）若每个模型降价4元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？
（2）在每个模型盈利不少于元的前提，要使“中国空间站”模型每天获利元，每个模型应降价多少元？
【答案】（1）平均每天可以售出个模型，此时每天获利元．
（2）要使“中国空间站”模型每天获利元，每个模型应降价元..
【解析】
【分析】（1）根据降价，求出降价后得每件利润和每天得销量，即可求出利润；
（2）设每个模型降价x元，则每件利润 元，平均每天可以售出个模型，根据利润可列方程和不等式，解方程即可
【小问1详解】
解：依题意得：
降价4元后每件利润：（元），
降价4元后销量：（个），
降价4元后每天获利：（元），
答：每个模型降价4元，平均每天可以售出个模型，此时每天获利元．
【小问2详解】
解：设每个模型降价x元，
则每件利润 元，平均每天可以售出个模型，
依题意得：
即：，
解得，，
因为每个模型盈利不少于元，
所以
即，
故，
答：要使“中国空间站”模型每天获利元，每个模型应降价元.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用——盈利问题，根据销售问题列出方程并正确求解是解题的关键.
21. 已知二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示：
（1）求二次函数的解析式及顶点坐标；
（2）直接写出当时，x的取值范围．
【答案】（1），
（2）或
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法，图象法求自变量取值范围；
（1）将，；，；，代入解析式，再根据顶点坐标公式，即可求解；
（2）根据函数图象即可求解；
掌握待定系数法和数形结合法是解题的关键．
【小问1详解】
解：由表格得
当，时；
当，时；
当，时；
，
解得：，
，
当时，
，
顶点坐标为；
故二次函数的解析式为，顶点坐标；
小问2详解】
解：当时，
，
解得：，，
由图象得：
当时，或时，
故当时，x的取值范围为或．
22. 阅读下面的材料，回答问题．
解方程：．
这是一个一元四次方程，它的解法通常是：
设，那么，∴原方程可变．解得：．
当时，，∴．
当时，，∴．
∴原方程有4个根：．
请参照例题解方程．
【答案】；．
【解析】
【分析】仿照例题，设，则，再解一元二次方程即可．
【详解】解：设，则，
∴原方程可变为，即，
解得，．
当时，，即，
，
∴此方程无解；
当时，，即，
∴，
∴；；
∴原方程有两个根：；．
【点睛】此题考查了解一元二次方程，正确掌握解一元二次方程的解法及理解题意是解题的关键．
23. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，点A在原点的左侧，点B的坐标为，点P是抛物线上一个动点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使得的面积等于10．若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
（3）若点P在直线的上方，当点P运动到什么位置时，的面积最大？请求出点P的坐标．
【答案】（1）
（2）存在，点P的坐标为或
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合：
（1）利用待定系数法可直接求出二次函数的解析式；
（2）先求出点A坐标，进而得到，再根据三角形面积计算公式求出点P的纵坐标，进而求出点P的坐标即可；
（3）先设出点的坐标，然后作平行轴交与点，将三角形和三角形的面积表示出来，再求出最大值的条件和最大值．
【小问1详解】
解：把点，点的坐标代入中得，
解得，
二次函数得表达式为；
【小问2详解】
解：在中，当时，或，
∴,
又∵，
∴，
∵的面积等于10，
∴，
∴，
∴，
在中，当时，此时，方程无解，不符合题意；
在中，当时，解得或，
∴点P的坐标为或，
∴存在点P，使得的面积等于10，点P的坐标为或；
【小问3详解】
解：如图，过点作轴的平行线与交于点，

设，
设直线的解析式为，
则有，
解得：，
∴直线的解析式为，
则，
，
当时，的面积最大，
将代入，得，
点的坐标为，的面积的最大值为．
x
…
0
1
2
4
…
y
…
8
3
0
3
…