宁夏银川市第十五中学2021—2022学年八年级下学期期中数学试题

这是一份宁夏银川市第十五中学2021—2022学年八年级下学期期中数学试题，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）如图，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（ ）
A．AC，BC两边高线的交点处
B．AC，BC两边中线的交点处
C．AC，BC两边垂直平分线的交点处
D．∠A，∠B两内角平分线的交点处
3．（3分）下列各式中不能用平方差公式分解的是（ ）
A．﹣a2+b2B．49x2y2﹣m2C．16m4﹣25n2D．﹣x2﹣y2
4．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
5．（3分）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过A、B两点，则kx+b＞0解集是（ ）
A．x＞0B．x＞﹣3C．x＞2D．﹣3＜x＜2
6．（3分）如果的解集是﹣2＜x≤2，那么a的值是（ ）
A．4B．﹣4C．a＜2D．﹣2
7．（3分）等腰三角形两边长分别是2cm和5cm，则这个三角形周长是（ ）
A．9cmB．12cmC．9cm或12cmD．14cm
8．（3分）一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（ ）
A．30海里B．40海里C．50海里D．60海里
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）3m2﹣27＝ ．
10．（3分）已知点P（x，﹣3）和点Q（4，y）关于原点对称，则x+y等于 ．
11．（3分）如图，在△ABC中，点D是BC上一点，∠BAD＝80°，AB＝AD＝DC，则∠C＝ 度．
12．（3分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD的度数是 ．
13．（3分）当x 时，代数式的值是非负数．
14．（3分）函数y1＝2x+4，y2＝5x﹣10，使y1＜y2的x的范围是 ．
15．（3分）若多项式x2+2mx+16是完全平方式，则m的值等于 ．
16．（3分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为6，则其底边上的高是 ．
三、解答题（共72分）
17．（6分）因式分解．
（1）x4﹣1；
（2）4x2y﹣4xy2+y3．
18．（8分）解下列不等式组并在数轴上表示解集．
（1）；
（2）．
19．（6分）如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形．
（1）将△ABC向右平移6个单位长度，画出平移后的△A1B1C1并写出点A1的坐标．
（2）将△ABC绕点O旋转180°，画出旋转后的△A2B2C2并写出点A2的坐标．
20．（6分）先因式分解2（2m﹣n）3﹣5n（n﹣2m）2，再求值．其中2m﹣n＝3，4m﹣7n＝1．
21．（6分）如图，AD∥BC，∠A＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2．
求证：△ADE≌△BEC．
22．（6分）某电器商场销售A、B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元，商场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元．
（1）求商场销售A、B两种型号计算器的销售价格分别是多少元？（利润＝销售价格﹣进货价格）
（2）商场准备用不多于2500元的资金购进A、B两种型号计算器共70台，问最少需要购进A型号的计算器多少台？
23．（6分）如图在△ABC和△ADE中点E在BC边上，∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D，AB＝AD．
（1）求证：△ABC≌△ADE
（2）如果∠AEC＝65°，将△ADE绕着A旋转一个锐角后与△ABC重合，求这个旋转角的大小．
24．（8分）如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于点D，若DE垂直平分AB，AB＝10，△ACD的周长为5+5．
（1）求∠B的度数；
（2）求△ACB的周长．
25．（10分）如图，一次函数l1：y＝2x﹣2的图象与x轴交于点D，一次函数l2：y＝kx+b的图象与x轴交于点A，且经过点B（3，1），两函数图象交于点C（m，2）．
（1）求m的值和一次函数l2：y＝kx+b的解析式；
（2）根据图象，直接写出kx+b＜2x﹣2的解集．
26．（10分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝6cm，点D从点A出发以1cm/s的速度沿AC向点C运动，同时点E从点C出发以2cm/s的速度沿CB向点B运动，运动的时间为t s．连接DE．
（1）当t为何值时，BE＝5cm？
（2）当t为何值时，△DEC为等边三角形？
（3）当t为何值时，△DEC为直角三角形？
参考答案
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；
轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；
A、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误．
故选：C．
2．（3分）如图，A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在（ ）
A．AC，BC两边高线的交点处
B．AC，BC两边中线的交点处
C．AC，BC两边垂直平分线的交点处
D．∠A，∠B两内角平分线的交点处
【解答】解：A，B，C表示三个居民小区，为丰富居民们的文化生活，现准备建一个文化广场，使它到三个小区的距离相等，则文化广场应建在AC，BC两边垂直平分线的交点处．
故选：C．
3．（3分）下列各式中不能用平方差公式分解的是（ ）
A．﹣a2+b2B．49x2y2﹣m2C．16m4﹣25n2D．﹣x2﹣y2
【解答】解：A、﹣a2+b2＝（b+a）（b﹣a），能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意；
B、49x2y2﹣m2＝（7xy+m）（7xy﹣m），能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意；
C、16m4﹣25n2＝（4m2+5n）（4m2﹣5n），能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意；
D、﹣x2﹣y2不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式进行因式分解，故此选项符合题意．
故选：D．
4．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD，
∴S△ABD＝AB•DE＝×10•DE＝15，
解得：DE＝3，
∴CD＝3．
故选：A．
5．（3分）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过A、B两点，则kx+b＞0解集是（ ）
A．x＞0B．x＞﹣3C．x＞2D．﹣3＜x＜2
【解答】解：一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣3，0），函数值y随x的增大而增大；
因此当x＞﹣3时，y＝kx+b＞0；
即kx+b＞0的解集为x＞﹣3．
故选：B．
6．（3分）如果的解集是﹣2＜x≤2，那么a的值是（ ）
A．4B．﹣4C．a＜2D．﹣2
【解答】解：由2x＞a，得：x＞，
由x﹣1≤1，得：x≤2，
∵不等式组的解集为﹣2＜x≤2，
∴＝﹣2，
解得a＝﹣4，
故选：B．
7．（3分）等腰三角形两边长分别是2cm和5cm，则这个三角形周长是（ ）
A．9cmB．12cmC．9cm或12cmD．14cm
【解答】解：当腰长是2cm时，因为2+2＜5，不符合三角形的三边关系，应排除；
当腰长是5cm时，因为2+5＞5，符合三角形三边关系，此时周长是12cm；
故选：B．
8．（3分）一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距（ ）
A．30海里B．40海里C．50海里D．60海里
【解答】解：由题意得∠ABC＝60°，AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB＝40海里．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共24分）
9．（3分）3m2﹣27＝ 3（m+3）（m﹣3） ．
【解答】解：3m2﹣27＝3（m2﹣9）
＝3（m+3）（m﹣3）．
故答案为：3（m+3）（m﹣3）．
10．（3分）已知点P（x，﹣3）和点Q（4，y）关于原点对称，则x+y等于 ﹣1 ．
【解答】解：∵点P（x，﹣3）和点Q（4，y）关于原点对称，
∴x＝﹣4，y＝3，
∴x+y＝﹣4+3＝﹣1，
故答案为﹣1．
11．（3分）如图，在△ABC中，点D是BC上一点，∠BAD＝80°，AB＝AD＝DC，则∠C＝ 25 度．
【解答】解：∵∠BAD＝80°，AB＝AD＝DC，
∴∠ABD＝∠ADB＝50°，
由三角形外角与外角性质可得∠ADC＝180°﹣∠ADB＝130°，
又∵AD＝DC，
∴∠C＝∠DAC＝（180°﹣∠ADC）＝25°，
∴∠C＝25°．
12．（3分）如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△COD，若∠AOB＝15°，则∠AOD的度数是 60° ．
【解答】解：如图，由题意及旋转变换的性质得：∠AOC＝45°，
∵∠AOB＝15°，
∴∠AOD＝45°+15°＝60°，
故答案为：60°．
13．（3分）当x 时，代数式的值是非负数．
【解答】解：∵≥0，
∴2x﹣3≥0，
∴x≥．
故答案为：≥．
14．（3分）函数y1＝2x+4，y2＝5x﹣10，使y1＜y2的x的范围是 x＞ ．
【解答】解：y1＝2x+4，y2＝5x﹣10，
当y1＜y2时，2x+4＜5x﹣10，
解得x＞，
所以使y1＜y2的x的范围是x＞．
故答案为：x＞．
15．（3分）若多项式x2+2mx+16是完全平方式，则m的值等于 ±4 ．
【解答】解：∵多项式x2+2mx+16是完全平方式，
∴x2+2mx+16＝（x±4）2，
∴m＝±4．
故答案为：±4．
16．（3分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为6，则其底边上的高是 3或3 ．
【解答】解：①三角形是钝角三角形时，如图1，
∵∠ABD＝30°，
∴AD＝AB＝×6＝3，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAD＝（90°﹣30°）＝30°，
∴∠ABD＝∠ABC，
∴底边BC上的高AE＝AD＝3；
②三角形是锐角三角形时，如图2，∵∠ABD＝30°，
∴∠A＝90°﹣30°＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴底边上的高为×6＝3，
综上所述，底边上的高是3或3．
故答案为：3或3．
三、解答题（共72分）
17．（6分）因式分解．
（1）x4﹣1；
（2）4x2y﹣4xy2+y3．
【解答】解：（1）x4﹣1＝（x2+1）（x2﹣1）
＝（x2+1）（x﹣1）（x+1）；
（2）4x2y﹣4xy2+y3
＝y（4x2﹣4xy+y2）
＝y（2x﹣y）2．
18．（8分）解下列不等式组并在数轴上表示解集．
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）由2x+3≤5，得：x≤1，
由3x﹣2≥4，得：x≥2，
则不等式组的无解，
将解集表示在数轴上如下：
（2）由2x+1＞3（x﹣1），得：x＜4，
由﹣≤1，得：x≤1，
则不等式组的解集为x≤1，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
19．（6分）如图，每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形．
（1）将△ABC向右平移6个单位长度，画出平移后的△A1B1C1并写出点A1的坐标．
（2）将△ABC绕点O旋转180°，画出旋转后的△A2B2C2并写出点A2的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
点A1的坐标为（4，3）．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
点A2的坐标为（2，﹣3）．
20．（6分）先因式分解2（2m﹣n）3﹣5n（n﹣2m）2，再求值．其中2m﹣n＝3，4m﹣7n＝1．
【解答】解：2（2m﹣n）3﹣5n（n﹣2m）2
＝（2m﹣n）2[2（2m﹣n）﹣5n]
＝（2m﹣n）2（4m﹣7n），
当2m﹣n＝3，4m﹣7n＝1时，原式＝32×1＝9．
21．（6分）如图，AD∥BC，∠A＝90°，E是AB上的一点，且AD＝BE，∠1＝∠2．
求证：△ADE≌△BEC．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴DE＝CE．
∵AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠B＝90°．
∴△ADE和△EBC是直角三角形，
Rt△ADE和Rt△BEC中，
，
∴△ADE≌△BEC（HL）．
22．（6分）某电器商场销售A、B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元，商场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元．
（1）求商场销售A、B两种型号计算器的销售价格分别是多少元？（利润＝销售价格﹣进货价格）
（2）商场准备用不多于2500元的资金购进A、B两种型号计算器共70台，问最少需要购进A型号的计算器多少台？
【解答】解：（1）设A种型号计算器的销售价格是x元，B种型号计算器的销售价格是y元，由题意得：
，
解得：；
答：A种型号计算器的销售价格是42元，B种型号计算器的销售价格是56元；
（2）设购进A型计算器a台，则购进B型计算器：（70﹣a）台，
则30a+40（70﹣a）≤2500，
解得：a≥30，
答：最少需要购进A型号的计算器30台．
23．（6分）如图在△ABC和△ADE中点E在BC边上，∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D，AB＝AD．
（1）求证：△ABC≌△ADE
（2）如果∠AEC＝65°，将△ADE绕着A旋转一个锐角后与△ABC重合，求这个旋转角的大小．
【解答】（1）证明：在△ABC和△DAE中，
，
∴△ABC≌△ADE（ASA）；
（2）解：∵将△ADE绕着A旋转一个锐角后与△ABC重合，
∴AE＝AC，
∵∠AEC＝65°，
∴∠C＝∠AEC＝65°，
∴∠EAC＝180°﹣∠AEC﹣∠C＝50°，
即这个旋转角的大小是50°．
24．（8分）如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，∠CAB的平分线AD交BC于点D，若DE垂直平分AB，AB＝10，△ACD的周长为5+5．
（1）求∠B的度数；
（2）求△ACB的周长．
【解答】解：（1）∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，
∴∠B＝∠DAB，
∵∠CAB的平分线AD，
∴∠CAD＝∠DAB＝∠B，
∵∠C＝90°，
∴3∠B＝90°，
∴∠B＝30°；
（2）∵△ACD的周长为5+5．
∴AC+CD+AD＝5+5，
∵AD＝BD，
∴AC+CD+BD＝AC+BC＝5+5，
∵AB＝10，
∴△ACB的周长是AC+BC+AB＝5+5+10＝15+5．
25．（10分）如图，一次函数l1：y＝2x﹣2的图象与x轴交于点D，一次函数l2：y＝kx+b的图象与x轴交于点A，且经过点B（3，1），两函数图象交于点C（m，2）．
（1）求m的值和一次函数l2：y＝kx+b的解析式；
（2）根据图象，直接写出kx+b＜2x﹣2的解集．
【解答】解：（1）∵两函数图象交于点C（m，2），
∴把点C的坐标代入y＝2x﹣2得：2＝2m﹣2，
解得：m＝2，
即C（2，2），
∵函数y＝kx+b经过点B（3，1），点C（2，2），
∴，
解得：k＝﹣1，b＝4，
即y＝﹣x+4，
所以m＝2，一次函数l2：y＝kx+b的解析式是y＝﹣x+4；
（2）由图象可知不等式kx+b＜2x﹣2的解集是x＞2．
26．（10分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝6cm，点D从点A出发以1cm/s的速度沿AC向点C运动，同时点E从点C出发以2cm/s的速度沿CB向点B运动，运动的时间为t s．连接DE．
（1）当t为何值时，BE＝5cm？
（2）当t为何值时，△DEC为等边三角形？
（3）当t为何值时，△DEC为直角三角形？
【解答】解：（1）在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，AC＝6cm，
则BC＝2AC＝12cm，
由题意得：CE＝2t cm，
则BE＝（12﹣2t）cm，
当BE＝5cm时，12﹣2t＝5，
解得：t＝3.5，
则当t＝3.5时，BE＝5cm；
（2）在△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，
则∠C＝90°﹣30°＝60°，
当CD＝CE时，△DEC为等边三角形，
此时，6﹣t＝2t，
解得：t＝2，
则当t＝2时，△DEC为等边三角形；
（3）当∠EDC＝90°时，∠C＝60°，
则∠DEC＝30°，
∴CE＝2CD，即2t＝2（6﹣t），
解得：t＝3，
当∠DEC＝90°时，∠C＝60°，
则∠EDC＝30°，
∴CD＝2CE，即6﹣t＝2×2t，
解得：t＝，
综上所述，当t＝3或时，△DEC为直角三角形
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