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上教版 (2020)必修 第一册1.2 常用逻辑用语导学案
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这是一份上教版 (2020)必修 第一册1.2 常用逻辑用语导学案，文件包含12常用逻辑用语教师版docx、12常用逻辑用语学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共21页， 欢迎下载使用。
课堂引入
在初中时已经知道，用自然语言、符号或式子表达，且可以判断真假的语句叫做命题（prpsitin）. 命题通常用陈述句表述.其含义判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题.例如：“4能被2整除”是真命题.“3能被2整除”是假命题.
知识梳理
常用逻辑用语
一、命题
1、一般地，我们把用语言、符号或者式子表达，且可以判断其真假的语句叫做命题（prpsitin）．
2、命题通常用陈述句表述，其含义判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题．
3、在形如 “若，则”的命题中，陈述句称为条件，称为结论.
命题“若，则”是真命题，是指所有满足条件的对象都满足结论.用集合的语言描述即
.
命题“若，则”是假命题，是指存在满足条件的对象，它不满足结论.
定义 如果命题“若，则”是真命题，那么就称推出，记作（或）.
因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：
若，则.它是逻辑推理的基础.
4、常见结论的否定形式：
四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；
二、充分条件与必要条件
1、定义 对于两个陈述句与，如果，就称是的充分条件（sufficient cnditin），亦称是的必要条件（necessary cnditin）.
如果“若，则”为假命题，那么由条件不能推出结论，记作.此时，我们就说不是的充分条件，不是的必要条件.
2、充要条件：
定义 对于两个陈述句与，如果既有，又有，就称是的充分必要条件，简称充要条件（sufficient and necessary cnditin），记作，读作“与等价”或“成立当且仅当成立”.
三、反证法
数学家哈代曾说过：“反证法是数学家最好的武器之一”.
在这一小节，我们学习如何用反证法证明一些命题.
判断命题“若，则”是假命题，只要存在一个满足条件的但不满足的对象就行了.
但是要判断命题“若，则”是真命题，就需要证明所有满足条件的对象都满足结论.但有时直接验证这一点并不是意见容易的事.
例：设.证明：若是偶数，则也是偶数.
证明 假设结论“是偶数”不成立，即假设是奇数.由是奇数，可设.
因为，这说明是奇数，与已知条件是偶数矛盾.
所以一开始的假设不成立，即是偶数.
上例的证明方法与以前的证明方法不同，它首先假设结论不成立（为假），然后经过正确的逻辑推理得出与已知条件或（已学）定理等相矛盾的结论，从而说明“为假”是不可能发生的，即结论是正确的.这样的证明方法叫反证法.
1、应用反证法证明命题的第一步是假设命题的结论不成立，即否定命题的结论.
一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假.
反证法，是指通过否定结论，推出矛盾，进而证明 结论成立的证明方法.
2、一些常用的否定形式见表
3、数学命题中的“所有的”也可称为“对任意给定的一个”或“对每一个”.
4、短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称变量，并用符号“”表示；
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.
5、一个实数是有理数等价于它可以表示成两个整数的商.如果与有公因子，总可以把公因子除掉.所以不妨设与是互素的.
6、素数（也称质数）：如果一个大于1的整数，除1和自身外无其他正因数，则称这个正整数为素数.最小的素数为2.
合数：合数是指在大于1的整数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数.最小的合数是4.
1既不是质数，也不是合数.
例题分析
【例1】已知为实数，若，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分性和必要性的判断方法来判断即可．
【详解】当时，若，不能推出，不满足充分性；
当，则，有，满足必要性；
所以是的必要不充分条件．
故选:B．
【例2】如图，点，分别为的边，上的两点，若：，：，则是的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
【答案】C
【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得出结论.
【详解】解：因为，所以，
所以，所以，
所以是的充分条件，
由，可得，所以，
所以，
所以是的必要条件，
所以是的充要条件.
故选：C.
【例3】“对任意，都有”的否定形式为（ ）
A．对任意，都有B．不存在，使得
C．存在，使得D．存在，使得
【答案】D
【分析】根据全称命题的否定变量词否结论即可得正确选项.
【详解】对任意，都有”的否定形式为存在，使得,
故选：D.
【例4】关于的一元二次方程有两个不相等正根的充要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】有两个不相等正根的充要条件是：，解不等式组即可求出a的取值范围.
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等正根的充要条件是：
，解得，
故选：B.
【例5】若“”是“”的充分而不必要条件，则实数的取值范围是________.
【答案】
【分析】
根据充分必要条件与集合间的包含关系求解．
【详解】
∵“”是“”的充分而不必要条件，∴是的真子集，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查由充分必要条件求参数取值范围，解题方法是根据充分必要条件与集合间的包含关系求解．对应集合，对应集合，则是的充分条件，等价于，是的必要条件，等价于，是的充要条件，等价于．
【例6】若，使得成立是假命题，则实数可能取值是（ ）．
A．B．C．4D．5
【答案】B
【分析】由题意得到，成立是真命题，转化为在上恒成立，由基本不等式得到，从而得到，从而求出答案.
【详解】由题意得：，成立是真命题，
故在上恒成立，
由基本不等式得：，当且仅当，
即时，等号成立，
故，故选：B.
【例7】已知命题”的否定为真命题，则实数的取值范围是______________.
【答案】
【分析】问题等价于有解，即或，解得答案.
【详解】已知问题等价于有解，即或，解得.
故答案为：
【例8】已知集合，，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】先求出，在判断两个集合的关系，从而可得出答案.
【详解】，
则集合是集合的真子集，
所以，，，，
故ABD错误，A正确.
故选：C.
【例9】已知命题（为自然对数的底数），则下列为真命题的是（ ）
A．真，假B．真，真
C．假，真D．假，假
【答案】C
【分析】由全称量词，存在量词定义判断命题p，q正误可得答案.
【详解】命题为假命题，，必有，所以，
命题为真命题.
故选：C.
【例10】已知“”是假命题,则实数的取值范围为________.
【答案】
【分析】
求出命题的否定，由原命题为假命题，得命题的否定为真命题，参变分离得到，构造函数求在所给区间上的最小值.
【详解】
解：由题意可知，是真命题
对恒成立，
令
令则；令则；
即在上单调递减，上单调递增；
故答案为：
【点睛】
本题考查根据命题的真假求参数的取值范围，关键是将问题进行转化，属于中档题.
师生总结
1、请回顾本节课所讲的知识重点.
命题和充要条件是高中数学的重要内容，在高考中占有很高的地位．历年高考命题中，充分条件和必要条件已经成了高考考查的一个热点，虽然这一部分在课本中只占一小节内容，定义也很简单，但它涉及的知识面很广，几乎渗透了高中数学的每一个角落；充要条件是数学中极其重要的一个概念，有关充要条件问题的求解是解题的一个难点，解这类问题需熟练掌握条件的概念，理解其含义，结合题设条件正确地分清条件与结论．在高考数学卷中，判断充要条件的问题常出现在选择题中，一般会与函数、不等式等知识结合起来进行考查．
2、方法提炼.
3、请把存在疑惑的地方提出来.
自主巩固
1．若命题“时，”是假命题，则m的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由否命题为真命题可得，求的最小值即可.
【详解】因为命题“时，”是假命题，
所以命题“时，”是真命题，
即有，
易知当，有最小值0,
所以.
故选：C
2．已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题知时，，再根据二次函数求最值即可得答案.
【详解】解：因为命题“，”为真命题，
所以，命题“，”为真命题，
所以，时，，
因为，，
所以，当时，，当且仅当时取得等号.
所以，时，，即实数的取值范围是
故选：C
3．已知命题，若为真命题，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【分析】根据题意知恒成立，求出时，的最小值，即可求出实数的取值范围.
【详解】若为真命题，等价于，
∵，当且仅当时，等号成立，
∴，即，
可得，故实数的取值范围是.
故答案为：.
4．已知“，都有不等式成立”是假命题，则实数的取值范围为______．
【答案】
【分析】根据命题的否定得“，使得成立”是真命题，进而转化成最值问题，利用二次函数的性质即可求解最值.
【详解】“，都有不等式成立”是假命题，故“，使得成立”是真命题，
因此，使，只需要，
而二次函数在单调递减，在单调递增，故当时，取最大值，因此，
故答案为：
5．若“”是真命题，则实数的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据一元二次方程有解，利用判别式求解.
【详解】根据题意知，，解得，，
所以实数m的取值范围是.
故答案为：
6. “”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】
解不等式，再由充分必要条件的定义判断即可.
【详解】
由，解得
故“”是“”的必要不充分条件
故选：B
7. 设、，则“且”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】
利用不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】
充分性：若且，则且，从而可得，充分性成立；
必要性：取，，则成立，但“且”不成立，必要性不成立.
因此，“且”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
8. 已知命题“”是假命题，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】
当命题为真时，由且可得，故命题为假时，，故选C．
9. 若命题“，”是假命题，则实数m的最小值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】
由“，”是假命题可知“”是真命题，利用判别式求解即可.
【详解】
因为命题“，”是假命题，
所以命题“”是真命题，
所以，
解得，
所以实数m的最小值为1.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了命题的否定，不等式恒成立，属于中档题.
10. 已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
原命题等价于恒成立，故即可，解出不等式即可.
【详解】
因为命题“，使”是假命题，所以恒成立，所以，解得，故实数的取值范围是．
故选B．
【点睛】
对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数．而二次函数的恒成立问题，也可以采取以上方法，当二次不等式在R上大于或者小于0恒成立时，可以直接采用判别式法.
原结论
否定形式
原结论
否定形式
是
不是
至少有一个
没有
都是
不都是
至多有一个
至少有二个
大于
小于或等于
至少有个
至多有-1个
小于
大于或等于
至多有个
至少有+1个
对所有的成立
存在不成立
或
非且非
对任何的不成立
存在成立
且
非或非
陈述句
的否定形式
或
且
至少有2个
最多有1个
所有的的满足性质
至少存在一个不满足性质
所有的的不满足性质
至少存在一个满足性质
课堂引入
在初中时已经知道，用自然语言、符号或式子表达，且可以判断真假的语句叫做命题（prpsitin）. 命题通常用陈述句表述.其含义判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题.例如：“4能被2整除”是真命题.“3能被2整除”是假命题.
知识梳理
常用逻辑用语
一、命题
1、一般地，我们把用语言、符号或者式子表达，且可以判断其真假的语句叫做命题（prpsitin）．
2、命题通常用陈述句表述，其含义判断为真的命题叫做真命题，判断为假的命题叫做假命题．
3、在形如 “若，则”的命题中，陈述句称为条件，称为结论.
命题“若，则”是真命题，是指所有满足条件的对象都满足结论.用集合的语言描述即
.
命题“若，则”是假命题，是指存在满足条件的对象，它不满足结论.
定义 如果命题“若，则”是真命题，那么就称推出，记作（或）.
因为子集关系满足传递性，所以推出关系也满足传递性：
若，则.它是逻辑推理的基础.
4、常见结论的否定形式：
四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性；
二、充分条件与必要条件
1、定义 对于两个陈述句与，如果，就称是的充分条件（sufficient cnditin），亦称是的必要条件（necessary cnditin）.
如果“若，则”为假命题，那么由条件不能推出结论，记作.此时，我们就说不是的充分条件，不是的必要条件.
2、充要条件：
定义 对于两个陈述句与，如果既有，又有，就称是的充分必要条件，简称充要条件（sufficient and necessary cnditin），记作，读作“与等价”或“成立当且仅当成立”.
三、反证法
数学家哈代曾说过：“反证法是数学家最好的武器之一”.
在这一小节，我们学习如何用反证法证明一些命题.
判断命题“若，则”是假命题，只要存在一个满足条件的但不满足的对象就行了.
但是要判断命题“若，则”是真命题，就需要证明所有满足条件的对象都满足结论.但有时直接验证这一点并不是意见容易的事.
例：设.证明：若是偶数，则也是偶数.
证明 假设结论“是偶数”不成立，即假设是奇数.由是奇数，可设.
因为，这说明是奇数，与已知条件是偶数矛盾.
所以一开始的假设不成立，即是偶数.
上例的证明方法与以前的证明方法不同，它首先假设结论不成立（为假），然后经过正确的逻辑推理得出与已知条件或（已学）定理等相矛盾的结论，从而说明“为假”是不可能发生的，即结论是正确的.这样的证明方法叫反证法.
1、应用反证法证明命题的第一步是假设命题的结论不成立，即否定命题的结论.
一个命题和它的否定不能同时为真命题，也不能同时为假命题，只能一真一假.
反证法，是指通过否定结论，推出矛盾，进而证明 结论成立的证明方法.
2、一些常用的否定形式见表
3、数学命题中的“所有的”也可称为“对任意给定的一个”或“对每一个”.
4、短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称变量，并用符号“”表示；
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.
5、一个实数是有理数等价于它可以表示成两个整数的商.如果与有公因子，总可以把公因子除掉.所以不妨设与是互素的.
6、素数（也称质数）：如果一个大于1的整数，除1和自身外无其他正因数，则称这个正整数为素数.最小的素数为2.
合数：合数是指在大于1的整数中除了能被1和本身整除外，还能被其他数（0除外）整除的数.最小的合数是4.
1既不是质数，也不是合数.
例题分析
【例1】已知为实数，若，则是的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分性和必要性的判断方法来判断即可．
【详解】当时，若，不能推出，不满足充分性；
当，则，有，满足必要性；
所以是的必要不充分条件．
故选:B．
【例2】如图，点，分别为的边，上的两点，若：，：，则是的（ ）
A．充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既非充分也非必要条件
【答案】C
【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得出结论.
【详解】解：因为，所以，
所以，所以，
所以是的充分条件，
由，可得，所以，
所以，
所以是的必要条件，
所以是的充要条件.
故选：C.
【例3】“对任意，都有”的否定形式为（ ）
A．对任意，都有B．不存在，使得
C．存在，使得D．存在，使得
【答案】D
【分析】根据全称命题的否定变量词否结论即可得正确选项.
【详解】对任意，都有”的否定形式为存在，使得,
故选：D.
【例4】关于的一元二次方程有两个不相等正根的充要条件是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】有两个不相等正根的充要条件是：，解不等式组即可求出a的取值范围.
【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等正根的充要条件是：
，解得，
故选：B.
【例5】若“”是“”的充分而不必要条件，则实数的取值范围是________.
【答案】
【分析】
根据充分必要条件与集合间的包含关系求解．
【详解】
∵“”是“”的充分而不必要条件，∴是的真子集，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查由充分必要条件求参数取值范围，解题方法是根据充分必要条件与集合间的包含关系求解．对应集合，对应集合，则是的充分条件，等价于，是的必要条件，等价于，是的充要条件，等价于．
【例6】若，使得成立是假命题，则实数可能取值是（ ）．
A．B．C．4D．5
【答案】B
【分析】由题意得到，成立是真命题，转化为在上恒成立，由基本不等式得到，从而得到，从而求出答案.
【详解】由题意得：，成立是真命题，
故在上恒成立，
由基本不等式得：，当且仅当，
即时，等号成立，
故，故选：B.
【例7】已知命题”的否定为真命题，则实数的取值范围是______________.
【答案】
【分析】问题等价于有解，即或，解得答案.
【详解】已知问题等价于有解，即或，解得.
故答案为：
【例8】已知集合，，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】C
【分析】先求出，在判断两个集合的关系，从而可得出答案.
【详解】，
则集合是集合的真子集，
所以，，，，
故ABD错误，A正确.
故选：C.
【例9】已知命题（为自然对数的底数），则下列为真命题的是（ ）
A．真，假B．真，真
C．假，真D．假，假
【答案】C
【分析】由全称量词，存在量词定义判断命题p，q正误可得答案.
【详解】命题为假命题，，必有，所以，
命题为真命题.
故选：C.
【例10】已知“”是假命题,则实数的取值范围为________.
【答案】
【分析】
求出命题的否定，由原命题为假命题，得命题的否定为真命题，参变分离得到，构造函数求在所给区间上的最小值.
【详解】
解：由题意可知，是真命题
对恒成立，
令
令则；令则；
即在上单调递减，上单调递增；
故答案为：
【点睛】
本题考查根据命题的真假求参数的取值范围，关键是将问题进行转化，属于中档题.
师生总结
1、请回顾本节课所讲的知识重点.
命题和充要条件是高中数学的重要内容，在高考中占有很高的地位．历年高考命题中，充分条件和必要条件已经成了高考考查的一个热点，虽然这一部分在课本中只占一小节内容，定义也很简单，但它涉及的知识面很广，几乎渗透了高中数学的每一个角落；充要条件是数学中极其重要的一个概念，有关充要条件问题的求解是解题的一个难点，解这类问题需熟练掌握条件的概念，理解其含义，结合题设条件正确地分清条件与结论．在高考数学卷中，判断充要条件的问题常出现在选择题中，一般会与函数、不等式等知识结合起来进行考查．
2、方法提炼.
3、请把存在疑惑的地方提出来.
自主巩固
1．若命题“时，”是假命题，则m的取值范围（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由否命题为真命题可得，求的最小值即可.
【详解】因为命题“时，”是假命题，
所以命题“时，”是真命题，
即有，
易知当，有最小值0,
所以.
故选：C
2．已知命题“，”为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题知时，，再根据二次函数求最值即可得答案.
【详解】解：因为命题“，”为真命题，
所以，命题“，”为真命题，
所以，时，，
因为，，
所以，当时，，当且仅当时取得等号.
所以，时，，即实数的取值范围是
故选：C
3．已知命题，若为真命题，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【分析】根据题意知恒成立，求出时，的最小值，即可求出实数的取值范围.
【详解】若为真命题，等价于，
∵，当且仅当时，等号成立，
∴，即，
可得，故实数的取值范围是.
故答案为：.
4．已知“，都有不等式成立”是假命题，则实数的取值范围为______．
【答案】
【分析】根据命题的否定得“，使得成立”是真命题，进而转化成最值问题，利用二次函数的性质即可求解最值.
【详解】“，都有不等式成立”是假命题，故“，使得成立”是真命题，
因此，使，只需要，
而二次函数在单调递减，在单调递增，故当时，取最大值，因此，
故答案为：
5．若“”是真命题，则实数的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据一元二次方程有解，利用判别式求解.
【详解】根据题意知，，解得，，
所以实数m的取值范围是.
故答案为：
6. “”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】
解不等式，再由充分必要条件的定义判断即可.
【详解】
由，解得
故“”是“”的必要不充分条件
故选：B
7. 设、，则“且”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】
利用不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.
【详解】
充分性：若且，则且，从而可得，充分性成立；
必要性：取，，则成立，但“且”不成立，必要性不成立.
因此，“且”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
8. 已知命题“”是假命题，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】
当命题为真时，由且可得，故命题为假时，，故选C．
9. 若命题“，”是假命题，则实数m的最小值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】
由“，”是假命题可知“”是真命题，利用判别式求解即可.
【详解】
因为命题“，”是假命题，
所以命题“”是真命题，
所以，
解得，
所以实数m的最小值为1.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了命题的否定，不等式恒成立，属于中档题.
10. 已知命题“，使”是假命题，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
原命题等价于恒成立，故即可，解出不等式即可.
【详解】
因为命题“，使”是假命题，所以恒成立，所以，解得，故实数的取值范围是．
故选B．
【点睛】
对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数．而二次函数的恒成立问题，也可以采取以上方法，当二次不等式在R上大于或者小于0恒成立时，可以直接采用判别式法.
原结论
否定形式
原结论
否定形式
是
不是
至少有一个
没有
都是
不都是
至多有一个
至少有二个
大于
小于或等于
至少有个
至多有-1个
小于
大于或等于
至多有个
至少有+1个
对所有的成立
存在不成立
或
非且非
对任何的不成立
存在成立
且
非或非
陈述句
的否定形式
或
且
至少有2个
最多有1个
所有的的满足性质
至少存在一个不满足性质
所有的的不满足性质
至少存在一个满足性质
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