上教版 (2020)必修 第一册第2章 等式与不等式2.2 不等式的求解学案

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课堂引入
对于一元二次函数，若令y＝0，就得到一元二次方程，若令y＞0或y＜0，就得到不等式或．如何解不等式或？这就是本节所要学习的主要内容．
知识梳理
一、在含有未知数的不等式中，能使此不等式成立的未知数的值为该不等式的解.一个不等式的解的全体所组成的集合称为此不等式的解集.求不等式解集的过程称为不等式的求解，或解不等式.将多个含有同样的未知数的不等式联立起来，即得到不等式组.解不等式组就是求解不等式组中的所有不等式的解集的交集.
解不等式时，常常要通过等价变形.将原不等式化为较简单的不等式或不等式组，从而求得原不等式的解集.
二、一元一次不等式及一元一次不等式组的求解
注意含参分类讨论，恒等变形.
三、一元二次不等式的解法
定义 设为实数，且，形如的不等式统称为一元二次不等式.
像这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．
1、我们来探究一元二次不等式的解集：
（1）探究二次方程的根与二次函数的零点的关系．
容易知道：二次方程有两个实数根：；二次函数有两个零点：．
于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点．
（2）观察图像，获得解集．
画出二次函数的图像，如图，观察函数图像，可知：当或时，函数图像位于轴上方，此时，，即；当时，函数图像位于轴下方，此时，，即；所以，不等式的解集是．
下面我们来探究一般的一元二次不筹式的解法．
任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：
或 ．
从上面的例子出发，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：
（1）抛物线与轴的相关位置，也就是一元二次方程的根的情况；
（2）抛物线的开口方向，也就是的符号．
总结结果：
（1）抛物线与轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程的判别式三种取值情况（）来确定．因此，要分三种情况讨论．（可以转化为）
（2）分三种情况，得到一元二次不等式与的解集．
设的一元二次方程的两根为、且，，则不等式的解的各种情况如下表：
2．含参的一元二次不等式
如何求含参数的一元一元二次不等式的解集？
回顾不含参一元二次方程的求解“三步曲”：（1）解方程，（2）画草图，（3）写解集．
即：解关于x的不等式
“三步曲”：解方程—— 常对“”的正负进行讨论．
画草图—— 常对的正负进行讨论．
写解集—— 常对两根的大小进行讨论．
故对含参的一元二次不等式大致可以分为三类：①根的大小；②二次项系数；③判别式．
四、韦达定理与一元二次不等式
我们已经知道一元二次方程的两根为、，则满足，
在方程转化为不等式时，不等式解集的端点即为方程的解，也同样满足上述等式关系（韦达定理）．
五、恒成立及有解问题
一元二次不等式的恒成立及有解问题问题，即可以看成一个函数的图象与轴的位置关系问题．
若是不等式恒成立，则函数图象恒在轴上方，且与轴无交点，即；
若是不等式恒成立，则函数图象恒在轴下方，且与轴无交点，即；
若是不等式有解，则函数存在一部分图像在轴上方，即（要有最大值）；
若是不等式有解，则函数存在一部分图像在轴下方，即（要有最小值）；
六、一元二次不等式的综合应用
在一元二次不等式的实际应用中，常见类型有：面积问题、利润问题等常见的优化设计的最值问题；在一元二次不等式的综合应用中，将函数、方程、不等式三者一起综合探讨，对图象、性质、特殊解等进行求解和讨论，注意利用数形结合、参变分离、方程与函数的转化等方法来解决．
例题分析
【例1】若不等式(a+1)x>a+1的解集是{x|x