九年级数学上第一次月考试卷 (13)

这是一份九年级数学上第一次月考试卷 (13)，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、该方程中含有2个未知数且未知数的最高次数为1，是二元一次方程，故本选项错误；
B、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项正确；
C、该方程不是整式方程，故本选项错误；
D、由原方程整理，得x＝-1，属于一元一次方程，故本选项错误；
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2. 不解方程，判别方程2x2﹣2x+1＝0根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】B
【解析】
【分析】找出方程a，b及c的值a=2，b=，c=1，计算出根的判别式的值△=b2﹣4ac=0，即可判断．
【详解】解：∵，
∴a=2，b=，c=1，
∴，
∴方程有两个相等的实数根，
故选B．
【点睛】本题主要考查了根的判别式，熟练掌握当△=0时方程有两个相等的实数根是解题的关键．
3. 将抛物线y＝﹣2x2向右平移2个单位，在向上平移3个单位，所得抛物线为（ ）
A. y＝﹣2（x﹣2）2﹣3B. y＝﹣2（x+2）2+3
C. y＝﹣2（x+2）2﹣3D. y＝﹣2（x﹣2）2+3
【答案】D
【解析】
【分析】抛物线y=2x2的顶点坐标为（0，0），向右平移2个单位，在向上平移3个单位，所得的抛物线的顶点坐标为（2，3），根据顶点式可确定所得抛物线解析式．
【详解】解：依题意可知，原抛物线顶点坐标为（0，0），
平移后抛物线顶点坐标为（2，3），
又因为平移不改变二次项系数，
∴所得抛物线解析式为：y＝﹣2（x﹣2）2+3．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，属于基础题，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．
4. 已知a，b，4是等腰三角形的三边长，且a，b是关于x的方程的两个实数根，则m的值是（ ）
A B. C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】分两种情况讨论，①当4为底时，a、b为腰，②当4为腰时，则a为腰，b为底或a为底，b为腰，再结合一元二次方程根与系数的关系分别求解即可．
【详解】解：由题意得：，，
∵，，4是等腰三角形的三边长，
①当4为底时，则、为腰，
∴，
又∵a，b是关于x的方程的两个实数根，
则，
∴，
∴，
∴；
②当4为腰，则a为腰，b为底或a为底，b为腰，
当a为腰，b为底时，
则a=4，b=2，
；
当a为底，b为腰时，
则a=2，b=4，
同理得出：，
综上， 或．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程根与系数的关系；解题的关键是根据等腰三角形的性质进行分类讨论，结合韦达定理和三角形三边的关系是解题的关键．
5. 某超市一月份营业额为100万元，一月、二月、三月的营业额共500万元，如果平均每月增长率为x，则由题意可列方程（ ）
A. 100（1+x）2＝500
B. 100+100•2x＝500
C. 100+100•3x＝500
D. 100[1+（1+x）+（1+x）2]＝500
【答案】D
【解析】
【分析】如果平均每月增长率为x，根据某超市一月份营业额为100万元，一月、二月、三月的营业额共500万元，可列方程．
【详解】设平均每月增长率为x，
100[1+（1+x）+（1+x）2]=500．
故选D．
【点睛】本题考查理解题意的能力，分别求出一，二，三月份的，以总和为等量关系列出方程．
6. 甲、乙两位同学在解一道二次项系数是1的一元二次方程时，甲同学看错了常数项，得到方程的两根是8和2，乙同学写错了一次项系数，得到方程的两根为和，则原来的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系进行求解即可．
【详解】解：该一元二次方程为，
∵甲同学看错了常数项，得到方程的两根是8和2，
∴甲同学的两根满足一次项系数，
∴；
∵乙同学写错了一次项系数，得到方程的两根为和
∴乙同学的两根满足常数项，
∴，
∴该方程为，
故选B．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则．
7. 已知抛物线上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表：
以下结论正确的是（ ）
A. 抛物线的开口向下
B. 当时，y随x增大而增大
C. 方程的根为0和2
D. 当时，x的取值范围是
【答案】C
【解析】
【分析】利用表中数据求出抛物线的解析式，根据解析式依次进行判断．
【详解】解：将代入抛物线的解析式得；
，
解得：，
所以抛物线的解析式为：，
A、，抛物线开口向上，故选项错误，不符合题；
B、抛物线的对称轴为直线，在时，y随x增大而增大，故选项错误，不符合题意；
C、方程的根为0和2，故选项正确，符合题意；
D、当时，x的取值范围是或，故选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法和函数的图象与性质，解题的关键是：利用待定系数法求出解析式，然后利用函数的图象及性质解答．
8. 已知等腰三角形的三边长分别为，且a、b是关于的一元二次方程的两根，则的值是（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】分三种情况讨论，①当a=4时，②当b=4时，③当a=b时；结合韦达定理即可求解；
【详解】解：当时，，
是关于的一元二次方程的两根，
，
不符合；
当时，，
是关于的一元二次方程的两根，
，
不符合；
当时，
是关于的一元二次方程的两根，
，
，
，
；
故选A．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系；根据等腰三角形的性质进行分类讨论，结合韦达定理和三角形三边关系进行解题是关键．
9. 已知抛物线的对称轴为直线，若关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，则t的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，先根据对称轴计算公式求出，再根据题意可得二次函数与直线在的范围内有交点，据此求出时，二次函数的函数值的取值范围即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∵关于x的一元二次方程（t为实数）在的范围内有解，
∴二次函数与直线在的范围内有交点，
∵二次函数的对称轴为直线且开口向下，
∴离对称轴越远函数值越小，
当时，，
当时，，
当时，，
∴当时，，
∴当时，二次函数与直线在的范围内有交点，
故选：D．
10. 如图，在中，，，垂足为E．点F在上，，连接，点M，N分别是的中点，连接，则的长为（ ）

A. 3B. C. 4D.
【答案】B
【解析】
【分析】连接，取的中点H，连接交于点I，连接，由平行线的性质得，由点M，N分别是的中点，根据三角形中位线得，则，所以，得到问题的答案．
【详解】解：连接，取的中点H，连接交于点I，连接，如下图所示，

∵四边形是平行四边形，，
∴，
∵点M，N分别是中点，
∴，
∵，垂足为E，
∴，
∴在中，，
故选：B．
【点睛】此题重点考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、平行线的性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11. 方程的根是_______．
【答案】，；
【解析】
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，把方程化为，再化为两个一次方程即可，掌握因式分解的方法解方程是解本题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴或，
解得：，；
12. 已知抛物线经过和两点，则________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据和可以确定函数的对称轴，再由对称轴的即可求解．
【详解】解：抛物线经过和两点，
可知函数的对称轴，
，
；
故答案为：2．
【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标；熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键．
13. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，则每个支干长出小分支的数量是______．
【答案】9
【解析】
【分析】本题涉及一元二次方程的应用，根据主干、支干和小分支的总数为91列出方程求解即可. 解答此题的关键是根据主干、支干和分支的关系列出方程．
【详解】设每个支干长出的小分支的数目是个，根据题意列方程得：，
解得：或（不合题意，应舍去）．
∴．
故答案为：9．
14. 《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小唐按此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为64，则该方程的正数解为_________．

【答案】4
【解析】
【分析】根据已知的数学模型，同理可得空白小正方形的边长为3，先计算出大正方形的面积=阴影部分的面积+4个小正方形的面积，可得大正方形的边长，从而得结论．
【详解】解：，
∵阴影部分的面积为64，
∴，
设，
则，
同理：先构造一个面积为的正方形，
再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，
得到大正方形的面积为，
则该方程的正数解为，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
15. 已知是一元二次方程的两根，则的值是_________
【答案】4
【解析】
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系，可得，，然后将化简、代入求值即可．
【详解】解：对于一元二次方程，
根据一元二次方程根与系数的关系，可得，，
所以．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系以及分式化简求值，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．
16. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，E为边CD上一点，DE＝2．将△BCE沿BE折叠，点C落在F处，BF交AD于点M．若∠MEB＝45°，则BC＝_________
【答案】15．
【解析】
【分析】过E点作EN⊥ME，交BE于点N，根据折叠的性质，结合矩形的性质，通过证明△MBE≌△NBE，△DME≌△CEN，可表示BM=BN=BC-2，AM=BC-3，再根据勾股定理列式计算即可求解．
【详解】解：过E点作EN⊥ME，交BE于点N，连接MN，
由折叠可知：∠MBE=∠NBE，
∵∠MEB=45°，
∴∠NEB=45°，
∴∠MEB=∠NEB，
∵BE=BE，
∴△MBE≌△NBE（ASA），
∴ME=NE，BM=BN，
在矩形ABCD中，∠D=∠C=90°，DC=AB=5，AD=BC，
∴∠DME+∠DEM=90°，
∵∠DEM+∠CEN=90°，
∴∠DME=∠CEN，
∴△DME≌△CEN（AAS），
∴DE=CN，DM=CE，
∵DE=2，
∴CN=2，DM=CE=5-2=3，
∴BM=BN=BC-2，AM=BC-3，
在Rt△ABM中，AB2+AM2=BM2，
即52+（BC-3）2=（BC-2）2，
解得BC=15，
故答案是：15．
【点睛】本题主要考查矩形的性质，翻折变换，全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识的综合运用，能利用勾股定理列方程是解题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 解方程
（1）2x2+4x+1=0 （配方法）
（2）x2+6x=5（公式法）
【答案】（1）
（2），．
【解析】
【分析】（1）配方法求解可得；
（2）公式法求解可得．
【小问1详解】
（1）解：2x2+4x=﹣1，
x2+2x=﹣ ，
x2+2x+1=﹣ +1，即（x+1）2= ，
∴x+1=± ，
则x=﹣1±
∴
【小问2详解】
解：x2+6x﹣5=0，
∵a=1，b=6，c=﹣5，
∴△=36﹣4×1×（﹣5）=56，
则x= =﹣3
，．
【点睛】本题考查了公式法和配方法解一元二次方程，熟悉用公式法和配方法解一元二次方程的解题步骤是解题的关键．
18. 关于x的方程x2+（2a﹣3）x+a2＝0．
（1）若方程有两个实数根，求a的取值范围；
（2）若x1、x2是方程的两根，且x1+x2＝x1•x2，求a的值．
【答案】（1）；（2）-3
【解析】
【分析】（1）根据方程“有两个实数根”，结合一元二次方程根的判别式，得到关于a的一元一次不等式，解之即可，
（2）根据一元二次方程根与系数关系解答．
【详解】解：（1）∵方程有两个实数根，
∴，
整理得：9﹣12a≥0，
解得：，
即a的取值范围为：；
（2）根据题意得：x1+x2＝3﹣2a，x1x2＝a2，
∵x1+x2＝x1•x2
∴3﹣2a＝a2，
整理，得（a+3）（a﹣1）＝0．
解得a1＝﹣3，a2＝1（舍去）．
故a的值是﹣3．
【点睛】本题考查了根与系数的关系，根的判别式，解题的关键：（1）正确掌握一元二次方程根的判别式，（2）正确掌握一元二次方程根与系数的关系．
19. 如图，抛物线的图象交 x轴于点A、B两点，与交y轴交于点C．点在抛物线上．

（1）求四边形的面积；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最大，若存在，试求出点P的坐标
【答案】（1）9 （2）存在，
【解析】
【分析】（1）根据题意求出四点的坐标，根据求解即可；
（2）作直线AC交直线于点P，可得，通过求出直线的解析式即可求解．
【小问1详解】
解：连接，如图，

∵抛物线的图象交 x轴于点A、B两点，与交y轴交于点C，
令，解得，
∴，
令，解得，，
∴，
∵点在抛物线上，
把代入，解得：，
∴，
∴
【小问2详解】
解：由题意得：对称轴，
作直线交直线于点P，如图，

此时最大
∴，
设直线的解析式为：，
把代入得：，解得，
，
当时，，
∴；
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，涉及到求线段最大值问题，四边形的面积等，掌握二次函数的图象的对称性是关键．
20. 阅读材料：
材料1：若关于的一元二次方程的两个根为，；
则，；
材料2：已知一元二次方程的两个实数根分别为，，求的值．
解：一元二次方程的两个实数根分别为，；
，；
则．
根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：
（1）材料理解：一元二次方程的两个根为，，则 ______ ， ______ ；
（2）类比应用：已知一元二次方程的两根分别为、，求的值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用根与系数的关系，即可得出及的值；
（2）利用根与系数的关系，可得出，，将其代入中，即可求出结论．
【小问1详解】
解：一元二次方程的两个根为，，
，，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：一元二次方程的两根分别为，，
，，
．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，．
21. 如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2＋x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2＋x＝0是“邻根方程”．
（1）通过计算，判断方程2x2﹣2x＋1＝0是否是“邻根方程”？
（2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值；
【答案】（1）2x2﹣2x＋1＝0是“邻根方程”；（2）m＝0或−2
【解析】
【分析】（1）根据解一元二次方程的方法解出已知方程的解，再比较两根的差是否为1，从而确定方程是否为“邻根方程”；
（2）先解方程求得其根，再根据新定义列出m的方程，注意有两种情况
【详解】解：（1）2x2﹣2x＋1＝0，
∵，
∴，
∴ ，
∵ ，
∴ 2x2﹣2x＋1＝0是“邻根方程”；
（2）解方程得：（x−m）（x＋1）＝0，
∴x＝m或x＝−1，
∵方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，
∴m＝−1＋1或m＝−1−1，
∴m＝0或−2．
【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义，本题属于中等题型．
22. 已知的两边，的长是关于x的方程的两个根，第三边的长是10．
（1）求证：无论n取何值，此方程总有两个不相等的实数根．
（2）当n为何值时；为等腰三角形？并求的周长．
（3）当n为何值时，是以为斜边的直角三角形？
【答案】（1）见解析 （2），32或，28
（3）6
【解析】
【分析】（1）计算判别式，即可得证；
（2）根据是等腰三角形，可知是方程的一个根，代入方程，求出，①当时，②当时，再根据根与系数的关系，求出底，即可求出的周长；
（3）根据勾股定理列方程，求出的值，再检验即可确定．
【小问1详解】
解：，
，
∴无论取何值，此方程总有两个不相等得实根；
【小问2详解】
解：，
，
解得：，
①，
，
②，
；
【小问3详解】
解：，的长是关于的一元二次方程的两个根，
是以为斜边的直角三角形，且，
，
，
，
（舍）
．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，涉及等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握这些知识是解题的关键，本题综合性较强．
23. 围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史．某商家销售A、B两种材质的围棋，每套进价分别为200元、170元，下表是近两个月的销售情况：
（1）求A、B两种材质的围棋每套的售价．
（2）若商家准备用不多于5400元的金额再采购A、B两种材质的围棋共30套，求A种材质的围棋最多能采购多少套？
（3）在（2）的条件下，商店销售完这30套围棋能否实现利润为1300元的目标？请说明理由．
【答案】（1）A种材质的围棋每套的售价为250元，B种材质的围棋每套的售价为210元；
（2）A种材质的围棋最多能采购10套；
（3）商店销售完这30套围棋能实现利润为1300元的目标；理由见解析．
【解析】
【分析】（1）设A种材质的围棋每套的售价为x元，B种材质的围棋每套的售价为y元，根据表格中的销量和收入列方程组求解即可；
（2）设A种材质的围棋采购a套，则B种材质的围棋采购套，根据“用不多于5400元的金额再采购A、B两种材质的围棋共30套”列不等式求解即可；
（3）设销售利润为w，根据题意列出一次函数解析式，然后利用一次函数的性质求解．
【小问1详解】
解：设A种材质的围棋每套的售价为x元，B种材质的围棋每套的售价为y元，
由题意得：，
解得：，
答：A种材质的围棋每套的售价为250元，B种材质的围棋每套的售价为210元；
【小问2详解】
解：设A种材质的围棋采购a套，则B种材质的围棋采购套，
由题意得：，
解得：，
所以a的最大值为10，
答：A种材质围棋最多能采购10套；
【小问3详解】
解：商店销售完这30套围棋能实现利润为1300元的目标；
理由：设销售利润为w，
由题意得：，
∵，
∴w随a的增大而增大，
∵a的最大值为10，
∴当时，w取最大值1300，
即商店销售完这30套围棋能实现利润为1300元的目标．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列出方程组、不等式以及一次函数解析式．
24. 如图1，已知抛物线y＝x2与直线y＝x+1交于A、B两点（A在B的左侧）
（1）求A、B两点的坐标．
（2）在直线AB的上方的抛物线上有一点D，，求点D的坐标．
（3）如图2，直线y＝kx+2与抛物线交于点E、F，点P是抛物线上的动点，延长PE、PF分别交直线y＝﹣2于M、N两点，MN交y轴于Q点，求QM•QN的值．
【答案】（1）A点坐标为（-4，4），B点坐标为（1，）；（2）点D的坐标为：（-6，9）或（3，）；（3）8
【解析】
【分析】（1）直线解析式与二次函数解析式组成方程组，求得点A，B的坐标；
（2）过点B作BH//x轴，作AG⊥BH于点G，DH⊥BH于H，则AG=，设，根据列方程求解即可；
（3）设，运用待定系数法求出直线PE和PF的解析式，进一步求出点M、点N的横坐标，联立得，，进而得出，，从而可求出QM•QN的值．
【详解】解：（1）联立直线与抛物线，得
解得：x2+3x-4=0，
解得x=-4或x=1．
当x=-4时y=4，
当x=1时，y=；
A点坐标为（-4，4），B点坐标为（1，）；
（2）如图，过点B作BH//x轴，作AG⊥BH于点G，DH⊥BH于H，则AG=
设
∴，
∵
∴
化简，得：
解得，
当时，
当时，
∴点D的坐标为：（-6，9）或（3，）；
（3）设
设直线EP的解析式为：，代入P，E点坐标得，
解得，
∴直线EP的解析式为：
当y=-2时，
∴
同理可求出直线FP的解析式为：
当y=-2时，
∴
由得，
∵点E，F为它们的交点，
∴，
∴
∴QM•QN=8x
…
-1
0
1
2
3
…
y
…
3
0
-1
m
3
…
销售时段
销售数量
销售收入
A种材质
B种材质
第一个月
3套
5套
1800元
第二个月
4套
10套
3100元