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2025高考物理一轮复习讲义：第六讲 机械能守恒定律
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1.功的定义：一个物体受到力的作用，如果在力的方向上发生一段位移，这个力对物体做了功。
（1）做功的条件：力和在力的方向上的位移。
（2）功是标量，没有方向，但有正负值；功的大小比较的是绝对值。正负不表示大小，表示能量流动的方向。“＋”表示物体获得了能量，对应的力F为动力；“—”表示能量从物体流向外界，F为阻力。
2.恒力功的计算：W=F·scsα，单位：焦耳（J）；1J=1N·m。
其中，F为物体受到的作用力，s为力的作用点的位移，并不总是等于物体的位移。α为力和位移方向的夹角。
3.正功和负功：【α为F与s（或v）的夹角】
4.重力做功：WG＝±mgh，与路径无关，仅取决于始点与终点的位置。
5.摩擦力做功：与路径有关
（1）不论是静摩擦力，还是滑动摩擦力，都可以是动力也可以是阻力，也可能与位移方向垂直，所以不论是静摩擦力，还是滑动摩擦力，既可能对物体做正功，也可能对物体做负功，还可能不对物体做功．
（2）一对相互作用的静摩擦力等大反向且物体之间相对静止，即两个物体的对地位移相同，由W＝Flcs α可判断两个相互作用的静摩擦力做功的总和为零．
（3）一对相互作用的滑动摩擦力等大反向但物体之间相对滑动，即两个物体的对地位移不相同，由W＝Flcs α可判断两个相互作用的滑动摩擦力做功的总和不为零，且两力做功的总和一定为负值．
6.总功的计算：
（1）先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W总＝W1＋W2＋W3＋…求总功，注意代入“＋”“－”再求和。
（2）先求合力F合，再用W总＝F合scs α求功
7.变力做功的计算：
（1）微元法：将物体的位移分割成许多小段，因每一小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个位移上的恒力所做功的代数和。此法常用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题。
（2）平均力法：当物体受到的力方向不变，而大小随位移均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为eq \(F,\s\up6(—))＝eq \f(F1＋F2,2)的恒力作用，F1、F2分别为物体在初、末位置所受到的力，然后用公式W＝eq \(F,\s\up6(—))lcs α求此变力所做的功。
（3）F-x图象法：在F x图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移内所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正功，位于x轴下方的“面积”为负功，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形)。
（4）转化法：有些变力做功问题通过转换研究对象，可转化为恒力做功，用W＝Fscs α求解。此法常用于轻绳通过定滑轮拉物体做功的问题中。
（5）动能定理：ΔEk=W恒+W变⟹ W变=ΔEk-W恒
（6）恒定功率求解：W=Pt；
【例1】（功的计算、合力的功）如图所示，质量为1 kg的物体静止在倾角为53°的斜面上，现使斜面水平向左匀速移动距离1 m，可以求得斜面对物体的支持力N＝6 N，静摩擦力f＝8 N。（物体与斜面相对静止）
（1）重力对物体做的功WG＝________J；
（2）支持力对物体做的功WN＝________J；
（3）摩擦力对物体做的功为Wf＝________J；
（4）斜面对物体做的功W斜＝________，各力对物体所做的总功W总＝___________。
【例2】（力的作用点的位移）如图所示，重物的质量为1 kg，动滑轮质量不计，竖直向上拉动细绳，使重物匀速上升5 m。（g取10 m/s2）
（1）拉力F多大？
（2）此过程拉力F做的功WF多大？
【例3】如图所示，自动卸货车静止在水平地面上，在液压机的作用下，车厢与水平方向的夹角θ缓慢增大，此过程中货物相对车厢一直静止，下列说法正确的是( )
A．货物受到的支持力做正功
B．货物受到的支持力不做功
C．货物受到的摩擦力做负功
D．货物受到的摩擦力做正功
【变式训练】如图所示，长为L的木板水平放置，在木板的A端放置一个质量为m的物体，现缓慢抬高A端，使木板以左端为轴在竖直面内转动，当木板转到与水平面成α角时物体开始滑动，此时停止转动木板，物体滑到木板底端时的速度为v，则在整个过程中（）（多选）
A．支持力对物体做功为0
B．摩擦力对物体做功为mgLsin α
C．摩擦力对物体做功为eq \f(1,2)mv2－mgLsin α
D．木板对物体做功为eq \f(1,2)mv2
【例4】如图所示，质量为m的小物体，从高为h、底边长为L的固定粗糙斜面顶端由静止开始沿斜面下滑，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，在物体从斜面顶端滑至斜面底端的过程中，摩擦力所做的功为( )
A．－μmgeq \f(h2,L) B．－eq \f(μmgh2,\r(L2＋h2))
C．－μmgL D．－μmgeq \r(L2＋h2)
【例5】如图所示，质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面体上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，现使斜面体水平向左匀速运动距离l，物体始终与斜面体保持相对静止，重力加速度为g.则在斜面体水平向左匀速运动距离l的过程中( )
A．摩擦力对物体做的功为－μmglcs θ
B．斜面体对物体的支持力做的功为mglsin θcs2θ
C．重力对物体做的功为mgl
D．斜面体对物体做的功为零
【例6】如图，一个质量为 m 的小球，用长为 l 的轻绳悬挂于 O 点，小球在水平恒力 F 的作用下，从平衡位置 P 点移动到 Q 点，此时轻绳偏转了 θ 角，则 F 所做的功为___________，小球克服重力做功为___________，重力势能增加了___________。
P
F
Q
O
θ
l
【例7】(多选)如图所示，一子弹以水平速度射入放置在光滑水平面上原来静止的木块，并留在木块中，在此过程中子弹钻入木块的深度为d，木块的位移为l，木块与子弹间的摩擦力大小为F，则( )
A．F对木块做功为Fl
B．F对木块做功为F(l＋d)
C．F对子弹做功为－Fd
D．F对子弹做功为－F(l＋d)
【例8】我国自行研制、具有完全自主知识产权的新一代大型喷气式客机C919首飞成功后，拉开了全面试验试飞的新征程，假设飞机在水平跑道上的滑跑是初速度为零的匀加速直线运动，当位移时才能达到起飞所要求的速度。已知飞机质量，滑跑时受到的阻力为自身重力的0.1倍，取重力加速度，在飞机滑跑过程中，求：
（1）飞机克服阻力所做的功；
（2）牵引力的大小；
（3）牵引力对飞机所做的功。
【例9】如图，用 10 N 的力 F 拉一个重 200 N 的物体使其在水平地面上做匀速直线运动。若物体前进了 25 m，在这一过程中，求：
G
F
37°
（1）拉力 F 做的功 WF；
（2）重力 G 做的功 WG；
（3）物体克服摩擦阻力 f 做的功 Wf；
（4）物体受到的各力对物体做的总功。
【例10】在水平面上有一弯曲的槽道AB，由半径分别为eq \f(R,2)和R的两个半圆构成．如图所示，现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点拉至B点，若拉力F的方向时刻与小球运动方向相同，则此过程中拉力所做的功为( )
A．0 B．FR C.eq \f(3,2)πFR D．2πFR
【例11】如图所示，摆球质量为m，悬线长度为L，把悬线拉到水平位置后放手．设在摆球从A点沿圆弧运动到B点的过程中空气阻力的大小f不变，则下列说法正确的是( )
A．重力做功为0
B．悬线的拉力做功为mgL
C．空气阻力做功为－eq \f(1,2)fπL
D．摆球克服空气阻力做功为fL
【例12】静置于水平地面上质量为1 kg的物体，在水平拉力F＝4＋2x(式中F为力的大小、x为位移的大小，力F、位移x的单位分别是N、m)作用下，沿水平方向移动了5 m．已知物体与地面间的动摩擦因数为0.2，取重力加速度g＝10 m/s2，则在物体移动5 m的过程中拉力所做的功为( )
A．35 J B．45 J C．55 J D．65 J
【例13】如图甲所示，静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F的作用下，沿x轴正方向运动，拉力F随物块所在位置坐标x的变化关系如图乙所示，图线为半圆．则小物块运动到x0处时拉力F做的功为( )
A．0 B.eq \f(1,2)Fmx0 C.eq \f(π,4)Fmx0 D.eq \f(π,4)x02
【例14】(多选)质量为m的物体静止在光滑的水平面上，物体在下列四种变化规律不同的合外力F作用下都通过相同的位移x0，下列说法正确的是( )
A．甲图和乙图合外力做功相等
B．丙图和丁图合外力做功相等
C．四个图合外力做功均相等
D．四个图中合外力做功最多的是丙图
【例15】一物体在推力 F 作用下克服恒定的阻力运动，其 v-t 图和 F-x 图如图（a）、图（b），则在第一个 5 s、第二个 5 s、第三个 5 s 内，力 F 对物体做的功分别为_________J，__________J，__________J；在 15 s 内阻力共做功__________J。
【例16】(多选)如图所示，人以大小恒为10 N的拉力通过一根轻绳拉船，人收绳的速度恒为1 m/s，将船从A位置拉到B位置，A、B位置轻绳与水平方向的夹角分别为30°和60°，A、B间的水平距离为4 m，则( )
A．A位置船速大小为eq \f(\r(3),2) m/s
B．B位置船速大小为2 m/s
C．船从A运动到B的过程中，人的拉力做的功为20eq \r(3) J
D．船从A运动到B的过程中，人的拉力做的功为40(eq \r(3)－1) J
【例17】力F对物体所做的功可由公式W＝Fscs α求得．但用这个公式求功是有条件的，即力F必须是恒力．而实际问题中，有很多情况是变力在对物体做功．那么，用这个公式不能直接求变力的功，我们就需要通过其他的一些方法来求解变力所做的功．如图，对于甲、乙、丙、丁四种情况下求解某个力所做的功，下列说法正确的是( )
A．甲图中若F大小不变，物块从A到C过程中力F做的功为W＝F(OA－OC)
B．乙图中，全过程F做的总功为108 J
C．丙图中，绳长为R，若空气阻力f大小不变，小球从A运动到B过程中空气阻力做的功W＝eq \f(1,2)πRf
D．丁图中，F始终保持水平，无论是F缓慢将小球从P拉到Q，还是F为恒力将小球从P拉到Q，F做的功都是W＝Flsin θ
【例18】如图所示，A、B两物体叠放在一起，A被不可伸长的水平细绳系于左墙上，B在拉力F作用下，向右匀速运动，在此过程中，A、B间的摩擦力做功情况是( )
A．对A、B都做负功
B．对A、B都不做功
C．对A不做功，对B做负功
D．对A做正功，对B做负功
【例19】如图，若物体沿不同路径 I 和 Ⅱ 从 A 滑到 B，路径 I、Ⅱ 与物体间的动摩擦因数相同，则沿路径 I 和 Ⅱ 运动过程中，重力做功__________，摩擦力做功_________（均选填“相同”或“不同”）
考点二：能
机械能E
标量，状态量
动能
重力势能
弹性势能
Ek=EQ
\F(1,2) mv2
Ep=mgh
Ep＝eq \f(1,2)kx2
1．重力做功只与重力和物体高度变化有关，与运动路径无关．
2．物体下降时重力做正功，WG＝mgh；
物体上升时重力做负功，WG＝－mgh.
3．重力做功的特点可推广到任一恒力做功，即恒力做功的特点是：与具体路径无关，即恒力做的功等于力与在力的方向上的位移大小的乘积，跟初、末位置有关．
4．重力势能与重力势能的变化量
(1)重力势能Ep＝mgh具有相对性，与参考平面的选取有关，其中h是相对参考平面的高度．当物体在参考平面下方h处时，重力势能Ep＝－mgh.
(2)重力势能是标量，但有正负，正负表示重力势能的大小．
(3)重力势能的变化ΔEp与参考平面的选取无关，它的变化是绝对的．
5．重力做功与重力势能变化的关系
WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp
(1)当物体由高处运动到低处时，重力做正功，重力势能减少，重力势能的减少量等于重力所做的功．
(2)当物体由低处运动到高处时，重力做负功(物体克服重力做功)，重力势能增加，重力势能的增加量等于物体克服重力所做的功．
6.弹性势能与弹力做功的关系：弹性势能的变化只与弹力做功有关，弹力做负功，弹性势能增大，反之则减小．
7．弹性势能表达式的推导
根据胡克定律F＝kx，作出弹力F与弹簧形变量x关系的F－x图线，如图所示，根据W＝Fx知，图线与横轴所围的面积表示F所做的功，即W＝eq \f(kx·x,2)＝eq \f(1,2)kx2，所以Ep＝eq \f(1,2)kx2.
【例20】质量为m的的小球，从离桌面H高处由静止下落，桌面离地面高度为h。如图所示。（空气阻力不计）
h
H
（1）若以桌面为参考平面，那么小球落地时的重力势能Ep1＝_______，整个下落过程中重力势能的变化量ΔEp1＝_________，动能变化量ΔEk1＝________；
（2）若以释放点为参考平面，那么小球落地时的重力势能Ep2＝_______，整个下落过程中重力势能的变化量ΔEp2＝_________，动能变化量ΔEk2＝________；
（3）若空气阻力不能忽略不计，则整个下落过程中重力势能的变化量ΔEp3_____ΔEp2，动能变化量ΔEk3_____ΔEk2（选填“＞”“＜”或“＝”）
【启示】重力势能是相对的，重力势能的变化量是绝对的，与零势能面的选取无关。
【例21】（上海高考）撑杆运动员在最高点上放开撑杆，并水平越过横杆，若撑杆的弹性势能为Ee，运动员的动能为Ek，运动员的重力势能为Ep，则在运动员放手瞬间，三种能量的相对大小为（ ）
Ee
Ep
Ek
Ee
Ep
Ek
Ee
Ep
Ek
Ee
Ep
Ek
考点三：功率的计算
1.平均功率的计算方法
(1)利用P=Wt。
(2)利用P=Fvcs α,其中v为物体运动的平均速度,α为F与v的夹角。
2.瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P=Fvcs α,其中v为t时刻的瞬时速度,α为F与v的夹角。
(2)利用公式P=FvF,其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度。
(3)利用公式P=Fvv,其中Fv为物体受到的外力F在速度v方向上的分力。
3.P＝Fv中三个量的制约关系
【例22】如图所示，汽车在粗糙水平面上做匀加速直线运动的过程中，阻力f对汽车做___________（填“正功”或“负功”或“不做功”），牵引力F的瞬时功率将___________（填“增大”或“减小”或“不变”）。
F
A
F
B
【例23】物体A、B质量相同，A放在光滑的水平面上，B放在粗糙的水平面上，在相同的力F作用下，由静止开始都通过了相同的位移s，如图所示，那么（ ）
（A）力F对A做功较多，做功的平均功率也较大
（B）力F对B做功较多，做功的平均功率也较大
（C）力F对A、B做的功和做功的平均功率都相同
（D）F对A、B做功相等，但对A做功的平均功率较大
【例24】如图所示，质量为m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的足够长的固定斜面上由静止开始下滑，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，已知：sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，g取10 m/s2，求：
(1)前2 s内重力做的功；
(2)前2 s内重力的平均功率；
(3)2 s末重力的瞬时功率．
【变式训练】（上海市南洋模范期中）如图所示，足够长的倾角θ＝37°的粗糙斜面固定在水平面上，一质量m＝10 kg的物体在平行于斜面向上的推力F＝180 N作用下，由底端从静止开始向上运动，已知物体与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，sin37°＝0.6，cs37°＝0.8，g＝10 m/s2。
（1）求物体在推力F作用下向上运动的加速度大小；
（2）求物体从底端向上运动4 m时推力F的瞬时功率；
（3）若物体向上运动4 m后撤去推力F，则物体从底端沿斜面运动到最高点过程中克服摩擦力做多少功？
【例25】如图所示，设高铁运行时受到的阻力与速度成正比，若高铁以速度v匀速行驶，发动机的功率为P.则当高铁发动机功率为4P时，其匀速行驶的速度为( )
A．2v B．3v C．4v D．8v
【例26】如图所示，飞行员进行素质训练时，抓住秋千杆由水平状态开始下摆，到达竖直状态的过程，飞行员所受重力的瞬时功率变化情况是( )
A．一直增大 B．一直减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
【例27】如图所示，位于水平面上的物体A，在斜向上的恒定拉力F作用下，由静止开始向右做匀加速直线运动．已知物体质量为10 kg，F的大小为100 N，方向与速度v的夹角为37°，物体与水平面间的动摩擦因数为0.5，取g＝10 m/s2.(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)则：
(1)第2 s末，拉力F对物体做功的功率是多大？
(2)从开始运动到物体前进12 m的过程中，拉力对物体做功的平均功率是多大？
【例28】如图，A、B和C三个相同小球等高，且都可视为质点，A小球无初速度自由下落，B小球无初速度沿光滑固定斜面下滑，C小球做平抛运动，不计空气阻力，三者同时开始运动．下列说法正确的是( )
A．三小球同时落地
B．从开始运动到落地A和C两小球重力的平均功率相等
C．落地瞬间A和B两小球的重力功率相等
D．落地瞬间三者速度相同
考点四：两种启动方式的比较
【例29】在水平路面上运动的汽车的额定功率为100 kW，质量为10 t，设阻力大小恒定，且为车重力的0.1倍(g取10 m/s2)，汽车以不变的额定功率从静止启动，则：
(1)汽车的加速度如何变化？
(2)当汽车的加速度为2 m/s2时，速度为多大？
(3)汽车在运动过程中所能达到的最大速度的大小是多少？
【例30】在水平路面上运动的汽车的额定功率为60 kW，若其总质量为5 t，在水平路面上所受到的阻力大小恒为5×103 N，求：
(1)汽车所能达到的最大速度的大小；
(2)若汽车以0.5 m/s2的加速度由静止开始做匀加速直线运动，这一过程能维持多长的时间；
(3)若汽车以额定功率启动，则汽车的车速为v1＝2 m/s时的加速度多大；
(4)若汽车以v2＝6 m/s的速度匀速行驶，汽车的实际功率多大．
【例31】一辆汽车在水平路面上的启动过程的v-t图像如图所示，其中Oa为过原点的倾斜直线，ab段表示以额定功率P行驶时的加速阶段，bc段是与ab段相切的水平直线，若汽车的质量为m，行驶过程中所受阻力恒为F阻，则下列说法正确的是（ ）
A．汽车在t1时刻的牵引力和功率都是最大值，t2~t3时间内其牵引力等于F阻
B．0~t1时间内汽车做变加速运动
C．0~t2时间内汽车的平均速度等于
D．t1~t2时间内汽车克服阻力所做的功为P（t2-t1）+
【例32】（松江一模）汽车以恒定功率沿公路做直线运动，途中进入一块很大的沙地。汽车在公路及沙地上所受阻力均为恒力，且在沙地上受到的阻力是在公路上受到阻力的2倍。汽车在驶入沙地前已做匀速直线运动，速度为v0，则汽车在驶入沙地后的运动情况是：____________________________________________，汽车在沙地上的最终速度为_________。
【例33】额定功率为80 kW的汽车，在平直公路上行驶的最大速度是20 m/s，汽车质量是2×103 kg，如果汽车从静止开始先做加速度为2 m/s2的匀加速直线运动，达到额定功率后以额定功率行驶，在运动过程中阻力不变，则：
（1）汽车受到的阻力多大？
（2）汽车匀加速运动时受到的牵引力多大？
（3）汽车做匀加速直线运动的最大速度多大？
（4）汽车从静止开始运动11 s的过程中牵引力做的功多大？
【变式训练】（上海市交大附中期中）某日凌晨，交大附中旁的殷高路上没有任何行人车辆。一辆额定功率、质量的汽车，从十字路口由静止启动、向西做匀加速直线运动，达到额定功率后维持功率不变、并继续做直线运动。设汽车受到的阻力为一定值，。已知在某时刻汽车的速度，加速度，求：
（1）汽车所受的阻力大小；
（2）汽车做匀加速直线运动的距离x；
（3）汽车最终做匀速直线运动的速度。
【例34】一赛车在平直赛道上以恒定功率200 kW加速运动，受到的阻力不变，加速度a和速度v的倒数的关系如图所示，则赛车( )
A．做匀加速直线运动
B．质量为200 kg
C．所受阻力大小为2 000 N
D．v′＝50 m/s时牵引力大小为2 000 N
考点五：动能定理及简单应用
1．内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化．
2．表达式：W＝eq \f(1,2)mv22－eq \f(1,2)mv12.如果物体受到几个力的共同作用，W即为合力做的功，它等于各个力做功的代数和．
①合外力对物体做正功，即W>0，ΔEk>0，表明物体的动能增大；
②合外力对物体做负功，即W<0，ΔEk<0，表明物体的动能减小；
③如果合外力对物体不做功，则动能不变．
合外力做功，动能一定变化，速度一定变化；速度变化，动能不一定变化，合外力不一定做功（匀速圆周运动）。
3．动能定理既适用于恒力做功的情况，也适用于变力做功的情况；既适用于直线运动，也适用于曲线运动．
4.应用动能定理解题的一般步骤：
(1)选取研究对象(通常是单个物体)，明确它的运动过程．
(2)对研究对象进行受力分析，明确各力做功的情况，求出外力做功的代数和．
(3)明确物体在初、末状态的动能Ek1、Ek2.
(4)列出动能定理的方程W＝Ek2－Ek1，结合其他必要的辅助方程求解并验算．
【例35】下列关于运动物体的合外力做功与动能、速度变化的关系，正确的是( )
A．物体做变速运动，合外力一定不为零，动能一定变化
B．若合外力对物体做功为零，则合外力一定为零
C．物体所受的合外力做功，它的速度大小一定发生变化
D．物体的动能不变，所受的合外力必定为零
【例36】(多选)如图所示，质量为m的物块在水平恒力F的推动下，从粗糙山坡底部的A处由静止运动至高为h的坡顶B处，并获得速度v，A、B之间的水平距离为x，重力加速度为g，则( )
A．物块克服重力所做的功是mgh
B．合外力对物块做的功是eq \f(1,2)mv2
C．推力对物块做的功是eq \f(1,2)mv2＋mgh
D．阻力对物块做的功是eq \f(1,2)mv2＋mgh－Fx
考点六：动能定理多过程分析
【例37】将质量为m的物体，以初速度v0竖直向上抛出．已知抛出过程中阻力大小恒为重力大小的eq \f(1,5)，重力加速度为g.求：
(1)物体上升的最大高度；
(2)物体落回抛出点时的速度大小．
【例38】如图所示，一质量为m＝10 kg的物体，由eq \f(1,4)光滑圆弧轨道上端从静止开始下滑，到达底端后沿水平面向右滑动1 m距离后停止．已知圆弧底端与水平面平滑连接，圆弧轨道半径R＝0.8 m，取g＝10 m/s2，求：
(1)物体滑至圆弧底端时的速度大小；
(2)物体滑至圆弧底端时对轨道的压力大小；
(3)物体沿水平面滑动过程中克服摩擦力做的功．
【例39】（复旦附中难度较大）（多选）现有一小球从风洞中的点M竖直向上抛出，小球受到大小恒定的水平风力，其运动轨迹大致如图所示，其中M、N两点在同一水平线上，O点为轨迹的最高点，小球在M点动能为16J，在O点动能为4J，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A. 小球所受重力和风力大小之比为
B. 小球落到N点时的动能为32J
C. 小球在上升和下降过程中机械能变化量之比为
D 小球从M点运动到O点和从O点运动到N点所用时间相同
【例40】（曹杨二中） 如图所示的水平轨道足够长，只有部分是粗糙的，其长度为，其余部分是光滑的，质量为1kg，长度为的粗细相同的匀质软绳静止在点的左侧（绳的右端在点），软绳与粗糙部分的动摩擦因数为，现用的水平向右的恒力作用在软绳上，软绳始终保持伸直状态且长度不变，重力加速度为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则在软绳运动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A. 软绳先做匀加速后做匀减速运动B. 软绳的左端能经过点
C. 软绳的最大动能为0.5JD. 软绳克服摩擦力做功4.0J
【例41】如图，一质量为 m 的物体从高为 h 的斜面顶端 A 点自静止开始下滑，最后停在平面上的 C 点。A 点离地面的高度为 h，AC 的水平距离为 s，已知物体与斜面、水平面之间的动摩擦因数相等，则该动摩擦因数 μ = _________。若用始终和接触面平行的力将物体从 C 点再拉回到 A 点，则拉力至少需要做的功 W = _________。
【例42】在如图的光滑轨道中，长为 2R 的水平面 AB 与半圆形轨道相接触，直径 BC 竖直，圆形轨道半径为 R。一个质量为 m 的物体放在点 A 处，物体在水平恒力 F 的作用下由静止开始运动．当物体运动到 B 点时撤去水平外力，物体恰好从圆形轨道的顶点 C 水平抛出，求水平力 F 的大小。
【变式训练】如图所示，竖直平面内有一光滑圆弧轨道，其半径为R＝0.5 m，平台与轨道的最高点等高．一质量m＝0.8 kg的小球(可视为质点)从平台边缘的A处以v0＝3 m/s的水平速度射出，恰能沿圆弧轨道上P点的切线方向进入轨道内侧，轨道半径OP与竖直线的夹角为53°，已知sin 53°＝0.8，cs 53°＝0.6.
(1)求小球到达P点时的速度大小vP；
(2)求小球到达圆弧轨道最低点时的速度大小以及对轨道的压力；
(3)小球沿轨道通过圆弧的最高点Q时对轨道的内壁还是外壁有弹力，并求出弹力的大小．
【例43】如图，是一根自由悬挂的链条，王同学将它的中点缓慢竖直向上拉动一小段距离，此过程中链条的重力势能_______；刘同学将它的中点缓慢竖直向下拉动一小段距离，此过程中链条的重力势能_______。（均选填“增大”“减小”或“不变”）
考点七：动能定理在图象中的应用
动能定理与图像结合问题的分析方法：
1．首先看清楚图像的种类(如v－t图像、F－x图像、Ek－x图像等)．
2．挖掘图像的隐含条件，求出所需物理量，如利用v－t图像与t轴所包围“面积”求位移，利用F－x图像与x轴所包围“面积”求功，利用Ek－x图像的斜率求合力等．
3．再分析还有哪些力做功，根据动能定理列方程，求出相应的物理量．
【例44】(多选)在平直的公路上，汽车由静止开始做匀加速运动．当速度达到vm后，立即关闭发动机滑行直至停止．v－t图像如图所示，汽车的牵引力大小为F1，摩擦力大小为F2，全过程中，牵引力做的功为W1，克服摩擦力做功为W2.以下关系式正确的是( )
A．F1∶F2＝1∶3 B．F1∶F2＝4∶3
C．W1∶W2＝1∶1 D．W1∶W2＝1∶3
【例45】 (多选)质量为1.0 kg的物体以某一水平初速度在水平面上滑行，由于摩擦力的作用，其动能随位移变化的情况如图所示，g取10 m/s2，则下列判断正确的是( )
A．物体与水平面间的动摩擦因数为0.2
B．物体与水平面间的动摩擦因数为0.3
C．物体滑行的总时间为2 s
D．物体滑行的总时间为4 s
【例46】（多选）从地面竖直向上抛出一物体，其动能 Ek 随它离开地面的高度 h 的变化如图，g 取 10 m/s2。由图中数据可得 （ ）
A．物体落地时速度大小为 6 m/s
B．物体初速度大小为 10 m/s
C．物体的质量为 0.9 kg
D．物体受到空气阻力的大小为 3 N
【例47】如图(a)所示，一物块以一定初速度沿倾角为30°的固定斜面上滑，运动过程中摩擦力大小Ff恒定，物块动能Ek与运动路程s的关系如图(b)所示．重力加速度大小取10 m/s2，物块质量m和所受摩擦力大小Ff分别为( )
A．m＝0.7 kg，Ff＝0.5 N
B．m＝0.7 kg，Ff＝1.0 N
C．m＝0.8 kg，Ff＝0.5 N
D．m＝0.8 kg，Ff＝1.0 N
【例48】如图甲所示，一质量为4 kg的物体静止在水平地面上，让物体在水平推力F作用下开始运动，推力F随位移x变化的关系如图乙所示，已知物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.5(g取10 m/s2)．求：
(1)水平推力F在前4 m内做的功；
(2)物体的最大滑行距离；
(3)物体在运动过程中的最大速度．
考点八：机械能守恒定律
1．内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变．
2．表达式：eq \f(1,2)mv22＋mgh2＝eq \f(1,2)mv12＋mgh1或Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1.
3．应用机械能守恒定律解决问题只需考虑运动的初状态和末状态，不必考虑两个状态间过程的细节，即可以简化计算．
4．对机械能守恒条件的理解
(1)只有重力做功，只发生动能和重力势能的相互转化．
(2)只有系统内弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化．
(3)只有重力和系统内弹力做功，只发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化．
(4)除受重力和弹力外，其他力也做功，但其他力做功的代数和始终为零．
注意：机械能守恒的物体所受合外力不一定为零．
5．判断机械能守恒的方法
(1)做功分析法(常用于单个物体)
(2)能量分析法(常用于多个物体组成的系统)
(3)机械能的定义法
机械能等于动能与势能之和，若一个过程中动能不变，势能变化，则机械能不守恒，如匀速上升的物体机械能增加．
6.应用机械能守恒定律解题的一般步骤
(1)根据题意选取研究对象；
(2)明确研究对象的运动过程，分析研究对象在此过程中的受力情况，弄清各力做功的情况，判断机械能是否守恒．
(3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在此过程中的初状态和末状态的机械能．
(4)根据机械能守恒定律的不同表达式列方程并求解．
【例49】打桩机重锤的质量是 200 kg，将它提升到离地面 10 m 高处，然后让它自由落下。则（以地面为零势能面，不考虑摩擦和空气阻力，g 取 10 m/s2）
（1）重锤在最高点时，重力势能为_________J，动能为__________J，机械能为__________J；
（2）重锤下落 5 m 时，重力势能为_________J，动能为__________J，机械能为__________J；
（3）重锤下落到地面时，重力势能为_________J，动能为__________J，机械能为__________J。
【例50】(多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )
A．甲图中，火箭升空的过程中，若匀速升空机械能守恒，若加速升空机械能不守恒
B．乙图中物体匀速运动，机械能守恒
C．丙图中小球做匀速圆周运动，机械能守恒
D．丁图中，轻弹簧将A、B两小车弹开，两小车组成的系统机械能不守恒，两小车和弹簧组成的系统机械能守恒
【变式训练】(多选)如图所示，一轻弹簧一端固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速度释放，让它自由摆下，不计空气阻力，在重物由A点摆到最低点的过程中( )
A．重物的机械能减少
B．重物与弹簧组成的系统的机械能不变
C．重物与弹簧组成的系统的机械能增加
D．重物与弹簧组成的系统的机械能减少
【例51】以相同大小的初速度v0将物体从同一水平面分别竖直上抛、斜上抛、沿光滑斜面(足够长)上滑，如图所示，三种情况达到的最大高度分别为h1、h2和h3，不计空气阻力，则( )
A．h1＝h2＞h3 B．h1＝h2＜h3
C．h1＝h3＜h2 D．h1＝h3＞h2
【例52】如图是一个设计“过山车”的试验装置的原理示意图，斜面AB与竖直面内的圆形轨道在B点平滑连接，斜面AB和圆形轨道都是光滑的，圆形轨道半径为R，一个质量为m的小车(可视为质点)在A点由静止释放沿斜面滑下，小车恰能通过圆形轨道的最高点C.已知重力加速度为g.求：
(1)A点距水平面的高度h；
(2)运动到B点时小车对圆形轨道压力的大小．
【例53】如图，将长为 2L、质量为 m 的均匀链条放在高 4L 的光滑桌面上，开始时链条的一半长度处于桌面，其余从桌边下垂，取桌面为零势能面，则此时链条的机械能为__________；从此状态释放链条，设链条能平滑地沿桌边滑下，则链条下端触地时的速度为__________。
【例54】如图，两个质量不等的小铁块 A 和 B，分别从两个高度相同的光滑斜面和光滑圆弧斜坡的顶点由静止滑向底部，则下列说法正确的是（ ）
A．它们到达底部时动能相等
B．它们到达底部时速度相等
C．下滑过程重力所做的功相等
D．它们分别在最高点时机械能总和跟到达最低点时的机械能总和相等
【例55】如图，从竖直平面上大圆的最高点 A，引出两条不同的光滑轨道，端点都在大圆上，同一物体由静止开始，从 A 点分别沿两条轨道滑到底端，则（ ）
A．到达底端的动能相等B．机械能相同
C．重力做功都相同D．所用的时间不相同
【例56】如图，质量为 m 的足球静止在水平地面上的位置 1，其被运动员踢出后落到水平地面上的位置 3。足球在空中到达最高点 2 时的高度为 h，速度为 v，已知重力加速度为 g，足球运动过程中空气阻力可忽略，则（ ）
A．运动员对足球做的功为 mgh + EQ \F(1,2) mv2
B．足球落到位置 3 时的动能为 mgh
C．足球刚离开位置 1 时的动能大于 mgh + EQ \F(1,2) mv2
D．足球在位置 2 时的动能等于其在位置 3 时的动能
【例57】如图，总长为 L 的光滑匀质铁链，跨过一个光滑的轻质小定滑轮，开始时底端相平，当略有扰动时，某一端下落，则铁链刚脱离滑轮的瞬间，其速度为（ ）
A． EQ \R(gL) B． EQ \R(\F(gL,2)) C． EQ \R(\F(gL,4)) D． EQ \R(\F(gL,8))
【例58】如图，一个粗细均匀的 U 形管内装有同种液体，管口右端用盖板 A 密闭，两液面的高度 差为 h，U 形管内液柱的总长度为 4 h。现拿去盖板，液体开始运动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为（ ）
A． EQ \R(\F(1,2) gh) B． EQ \R(\F(1,4) gh) C． EQ \R(\F(1,6) gh) D． EQ \R(\F(1,8) gh)
【例59】如图，光滑固定斜面的倾角为 30°，A、B 两物体的质量之比为 4∶1。B 用不可伸长的轻绳分别与 A 和地面相连，开始时 A、B 离地高度相同。在 C 处剪断轻绳，当 B 落地前瞬间，A、B 的速度大小之比为_________，机械能之比为_________（以地面为零势能面）。
A
B
30°
C
【例60】某同学站在水平地面上，竖直向上抛出一个物体，通过研究得到物体的机械能 E总 和重力势能 Ep 随它离开地面高度 h 的变化如图，取地面为零势能面。由图中数据，可得物体的质量为___________kg，物体回到地面时的机械能为___________J。
E/J
h/m
E总
Ep
100
60
20
1
2
3
4
40
80
0
考点九：功能关系、能量守恒定律
1.做功和能量的关系
2.能量守恒定律的两点理解
(1)某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
(2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
【例61】(多选)如图所示，质量为m的物体(可视为质点)以某一速度从A点冲上倾角为30°的固定斜面，其运动的加速度大小为eq \f(3,4)g，g为重力加速度，此物体在斜面上上升的最大高度为h，则在这个过程中物体( )
A．重力势能增加了eq \f(3,4)mgh
B．克服摩擦力做功eq \f(1,4)mgh
C．动能损失了eq \f(3,2)mgh
D．机械能损失了eq \f(1,2)mgh
【例62】如图，质量为M、长为l0的木板静止放置于光滑水平地面上，一质量为m的物块(可看成质点)以速度v0从左端冲上木板，物块与木板间的滑动摩擦力大小为Ff.当物块滑至木板最右端时，两者恰好达到共同速度v，木块移动的距离为l.
(1)物块的位移为多少？对物块列出动能定理的表达式．
(2)对木板列出动能定理的表达式．
(3)一对滑动摩擦力对系统做的功怎样表示？(用Ff、l、l0表示)；系统动能变化量为多少？(用M、m、v0、v表示)；系统摩擦力做功的过程中产生了多少热量？(用M、m、v0、v表示)与一对滑动摩擦力对系统做功的大小相等吗？这说明什么？
【针对训练】如图，木块静止在光滑水平桌面上，一子弹(可视为质点)水平射入木块的深度为d时，子弹与木块相对静止，在子弹入射的过程中，木块沿水平桌面移动的距离为x，木块对子弹的平均阻力为Ff，那么在这个过程中，下列说法不正确的是( )
A．木块的动能增量为Ffx
B．子弹的动能减少量为Ff(x＋d)
C．系统的机械能减少量为Ffd
D．产生的热量为Ff(x＋d)
【例63】(多选)(真题)一物块在高3.0 m、长5.0 m的斜面顶端从静止开始沿斜面下滑，其重力势能和动能随下滑距离s的变化如图中直线Ⅰ、Ⅱ所示，重力加速度取10 m/s2.则( )
A．物块下滑过程中机械能不守恒
B．物块与斜面间的动摩擦因数为0.5
C．物块下滑时加速度的大小为6.0 m/s2
D．当物块下滑2.0 m时机械能损失了12 J
【例64】（拓展练习）如图，abc是竖直面内的光滑固定轨道，ab水平，长度为2R；bc是半径为R的四分之一圆弧，与ab相切于b点．一质量为m的小球，始终受到与重力大小相等的水平外力的作用，自a点处从静止开始向右运动．重力加速度大小为g.小球从a点开始运动到其轨迹最高点，机械能的增量为( )
A．2mgR B．4mgR
C．5mgR D．6mgR
考点十：功能关系中的图像问题
1.图像问题的一般思路
实际情景
物理规律
数学函数
图像意义
斜率
截距
面积
2.常见的几种图象
【例65】在沿斜面向上的恒力F作用下，一物体从足够长的光滑斜面的底端由静止开始向上运动，在某一高度撤去恒力F。以地面为零势能面，设重力势能为、机械能为，则整个向上运动过程中，它们随时间t变化的图像正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【例66】一小球从地面竖直上抛，经t0时间到最高点，后又落回地面，小球运动过程中所受空气阻力大小与速率成正比。下列关于小球运动的机械能E随时间t变化的图像中，可能正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【例67】（多选）将一个物体以一定的初速度竖直向上抛出，不计空气阻力，上升过程中，物体的动能为 Ek，上升高度为 h，物体的重力势能为 Ep，运动的速度为 v，物体的机械能为 E。下列描述上述物理量关系的图像正确的是（ ）
【例68】（宝山一模）设刹车过程中某时刻自行车的速率为 v，在由初速度 5 m/s 减速至 v 的过程中自行车克服阻力做的功为 W，则如图乙所示的 W – v 图像中正确的是
乙
A
W
v
O
C
W
v
O
D
W
v
O
B
W
v
O
【例69】（虹口二模）如图，荡秋千的人连同座椅可看做质点，仅在竖直面内运动，不计阻力，A、C 为左右两侧的最高点。从 A 荡到 C 点的过程中，其动能随时间的变化关系图像为（ ）
考点十一：用DIS研究机械能守恒定律
实验器材
机械能守恒实验器、DIS（光电门传感器、数据采集器、计算机等）。
标尺盘
定位挡片
摆锤释放器
光电门传感器
实验1 定性实验
观察由同一位置释放的摆锤，当摆线长度不同时，摆锤上升的最大高度。
（1）如图所示，实验时先卸下“定位挡片”，将摆锤（圆柱形）置于A点，释放摆锤，观察它摆到左边最高点时的位置，用笔记下这个位置，看看这个高度与A点位置是否相同？
（2）装上定位挡片并置于P点位置，它对摆绳有阻挡作用。再次释放摆锤，同样观察摆锤向左摆起的最大高度，记下这个位置。
（3）依次将定位挡片下移至Q、R等位置，重复上述实验。做类似观察、记录。
A
P
定位挡片
定位挡片的作用是改变摆长。
实验结论：从同一高度由静止释放的摆锤，即使摆线长度不同，摆锤上升的最大高度都比释放位置的高度略低（或近似相等）。
实验2 定量实验
将实验装置中的光电门传感器接入数据采集器。测定摆锤在某一位置的瞬时速度，从而求得摆锤在该位置的动能，同时输入摆锤的高度，求得摆锤在该位置的重力势能，进而研究势能与动能转化时的规律。实验中A、B、C、D四点高度为0.150 m、0.100 m、0.050 m、0.000 m，已由计算机默认，不必输入。若选用其他点，则需测量实际高度并输入数据。
（1）开启电源，运行DIS应用软件，点击实验条目中的“研究机械能守恒定律”，软件界面如图所示：
（2）测量摆锤的直径Δs及其质量m，将数据输入软件界面内（软件界面中是默认值，一般不需要修改）。把光电门传感器放在标尺盘最底端的D点，并以此作为零势能点。
（3）摆锤置于A点，点击“开始记录”，同时释放摆锤，摆锤通过D点的速度将自动记录在表格的对应处。
（4）点击“数据计算”，计算D点的势能、动能和机械能。依次将光电门传感器放在标尺盘的C、B点，重复实验，得到相应的数据。
实验结论：在只有重力做功的情况下，在实验误差允许范围内，动能和重力势能相互转化，但总的机械能保持不变。
【例70】在“用DIS研究机械能守恒定律”的实验中，摆锤释放器的作用是保证每次释放摆锤时，摆锤的位置_______和速度_________。
【例71】（上海高考）在“用DIS研究机械能守恒定律”的实验中，用到的传感器是_______传感器。若摆锤直径的测量值大于其真实值会造成摆锤动能的测量值偏________。（选填：“大”或“小”）。
【例72】如图为“用DIS研究机械能守恒定律”的实验中，将一传感器先后分别固定在竖直板上的D、C和B三点，最低点D作为零势能点。逐次将摆锤从A点自由释放，分别测出摆锤经过D、C和B点时的速度。
（1）已知摆锤的直径为Δs，由传感器测出摆锤通过传感器时的挡光时间为Δt，则摆锤经过传感器时的速度大小为___________。
（2）已知B、C两点与最低点D和高度差分别为hB、hC，实验测得摆锤经过B、C两点时的速度分别为vB、vC，重力加速度为g。为了证明摆锤在B、C两点的机械能相等，需要得到的关系式是___________。
（3）某同学由于操作不当，测得摆锤在B点的机械能明显比在A、C和D的机械能大，其原因可能是___________。
【例73】（闵行一模）】某小组设计了图（a）所示的装置验证机械能守恒定律（已知重力加速度为g）。
（a）
O
Δ(v2)
h
（b）
（1）以下实验步骤中不必要的是_________（填字母标号）
A．将小车从轨道上某处释放，测出经过两个传感器的速度v1和v2（轨道摩擦可忽略）
B．在轨道上安装两个传感器，测出它们的高度差h
C．连接DIS实验线路
D．测出小车的总质量m
（2）多次改变两个传感器的距离，测得h及对应的v1和v2，取Δ(v2)＝v22－v12，并作出Δ(v2)-h图像，如图（b）所示。实验中每次释放小车的位置______（选填“必须”或“不必”）相同；该图线的斜率k＝_________。
夹角
功的正负
0＜α＜90°
力对物体做正功
α＝90°
力对物体不做功
90°＜α≤180°
力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功
定值
各量间的关系
应用
P一定
F与v成反比
汽车上坡时，要增大牵引力，应换低速挡减小速度
v一定
F与P成正比
汽车上坡时，若速度不变，应加大油门，增大输出功率，获得较大牵引力
F一定
v与P成正比
汽车在平直高速路上，加大油门增大输出功率，可以提高速度
恒定功率启动
恒定加速度启动
v-t图象
OA段
过程分析
v↑⇒F＝ EQ \F(P（不变）,v) ↓
⇒a＝ EQ \F(F－f,m) ↓
a＝ EQ \F(F－f,m) 不变⇒v↑
⇒P＝Fv↑直到
P额＝Fv1
运动性质
加速度减小的加速运动
匀加速直线运动，维持时间
t0＝ EQ \F(v1,a)
AB段
过程分析
F＝f⇒a＝0
收尾速度vm＝ EQ \F(P额,f)
v↑⇒F＝ EQ \F(P（不变）,v) ↓
⇒a＝ EQ \F(F－f,m) ↓
运动性质
以vm匀速直线运动
加速度减小的加速运动
BC段
运动性质
以vm＝ EQ \F(P额,f) 匀速直线运动
功
能量转化
关系式
重力做功
重力势能的改变
WG＝－ΔEp
弹力做功
弹性势能的改变
W弹＝－ΔEp
合外力做功
动能的改变
W合＝ΔEk
除重力、系统内弹力以外的其他力做功
机械能的改变
W＝ΔE机
滑动摩擦力与介质阻力做功FfΔx相对
内能的改变
FfΔx相对=ΔE内
EK-x图像
EP-x图像
E-x图像
E-t图像
-
-
-
-
x
O
EK
①
②
-
-
-
-
x
O
EP
①
②
-
-
-
-
x
O
E
①
②
-
-
-
-
t
O
E
①
②
斜率：合外力
①合外力沿+x方向
②合外力沿-x方向
斜率：重力、弹力等
①力沿-x方向
②力沿+x方向
斜率：除重力、弹力以外的力
①沿+x方向②沿-x方向
斜率：功率
1.功的定义：一个物体受到力的作用，如果在力的方向上发生一段位移，这个力对物体做了功。
（1）做功的条件：力和在力的方向上的位移。
（2）功是标量，没有方向，但有正负值；功的大小比较的是绝对值。正负不表示大小，表示能量流动的方向。“＋”表示物体获得了能量，对应的力F为动力；“—”表示能量从物体流向外界，F为阻力。
2.恒力功的计算：W=F·scsα，单位：焦耳（J）；1J=1N·m。
其中，F为物体受到的作用力，s为力的作用点的位移，并不总是等于物体的位移。α为力和位移方向的夹角。
3.正功和负功：【α为F与s（或v）的夹角】
4.重力做功：WG＝±mgh，与路径无关，仅取决于始点与终点的位置。
5.摩擦力做功：与路径有关
（1）不论是静摩擦力，还是滑动摩擦力，都可以是动力也可以是阻力，也可能与位移方向垂直，所以不论是静摩擦力，还是滑动摩擦力，既可能对物体做正功，也可能对物体做负功，还可能不对物体做功．
（2）一对相互作用的静摩擦力等大反向且物体之间相对静止，即两个物体的对地位移相同，由W＝Flcs α可判断两个相互作用的静摩擦力做功的总和为零．
（3）一对相互作用的滑动摩擦力等大反向但物体之间相对滑动，即两个物体的对地位移不相同，由W＝Flcs α可判断两个相互作用的滑动摩擦力做功的总和不为零，且两力做功的总和一定为负值．
6.总功的计算：
（1）先求各个力做的功W1、W2、W3、…，再应用W总＝W1＋W2＋W3＋…求总功，注意代入“＋”“－”再求和。
（2）先求合力F合，再用W总＝F合scs α求功
7.变力做功的计算：
（1）微元法：将物体的位移分割成许多小段，因每一小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将变力做功转化为在无数多个位移上的恒力所做功的代数和。此法常用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题。
（2）平均力法：当物体受到的力方向不变，而大小随位移均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为eq \(F,\s\up6(—))＝eq \f(F1＋F2,2)的恒力作用，F1、F2分别为物体在初、末位置所受到的力，然后用公式W＝eq \(F,\s\up6(—))lcs α求此变力所做的功。
（3）F-x图象法：在F x图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移内所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正功，位于x轴下方的“面积”为负功，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形)。
（4）转化法：有些变力做功问题通过转换研究对象，可转化为恒力做功，用W＝Fscs α求解。此法常用于轻绳通过定滑轮拉物体做功的问题中。
（5）动能定理：ΔEk=W恒+W变⟹ W变=ΔEk-W恒
（6）恒定功率求解：W=Pt；
【例1】（功的计算、合力的功）如图所示，质量为1 kg的物体静止在倾角为53°的斜面上，现使斜面水平向左匀速移动距离1 m，可以求得斜面对物体的支持力N＝6 N，静摩擦力f＝8 N。（物体与斜面相对静止）
（1）重力对物体做的功WG＝________J；
（2）支持力对物体做的功WN＝________J；
（3）摩擦力对物体做的功为Wf＝________J；
（4）斜面对物体做的功W斜＝________，各力对物体所做的总功W总＝___________。
【例2】（力的作用点的位移）如图所示，重物的质量为1 kg，动滑轮质量不计，竖直向上拉动细绳，使重物匀速上升5 m。（g取10 m/s2）
（1）拉力F多大？
（2）此过程拉力F做的功WF多大？
【例3】如图所示，自动卸货车静止在水平地面上，在液压机的作用下，车厢与水平方向的夹角θ缓慢增大，此过程中货物相对车厢一直静止，下列说法正确的是( )
A．货物受到的支持力做正功
B．货物受到的支持力不做功
C．货物受到的摩擦力做负功
D．货物受到的摩擦力做正功
【变式训练】如图所示，长为L的木板水平放置，在木板的A端放置一个质量为m的物体，现缓慢抬高A端，使木板以左端为轴在竖直面内转动，当木板转到与水平面成α角时物体开始滑动，此时停止转动木板，物体滑到木板底端时的速度为v，则在整个过程中（）（多选）
A．支持力对物体做功为0
B．摩擦力对物体做功为mgLsin α
C．摩擦力对物体做功为eq \f(1,2)mv2－mgLsin α
D．木板对物体做功为eq \f(1,2)mv2
【例4】如图所示，质量为m的小物体，从高为h、底边长为L的固定粗糙斜面顶端由静止开始沿斜面下滑，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，在物体从斜面顶端滑至斜面底端的过程中，摩擦力所做的功为( )
A．－μmgeq \f(h2,L) B．－eq \f(μmgh2,\r(L2＋h2))
C．－μmgL D．－μmgeq \r(L2＋h2)
【例5】如图所示，质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面体上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，现使斜面体水平向左匀速运动距离l，物体始终与斜面体保持相对静止，重力加速度为g.则在斜面体水平向左匀速运动距离l的过程中( )
A．摩擦力对物体做的功为－μmglcs θ
B．斜面体对物体的支持力做的功为mglsin θcs2θ
C．重力对物体做的功为mgl
D．斜面体对物体做的功为零
【例6】如图，一个质量为 m 的小球，用长为 l 的轻绳悬挂于 O 点，小球在水平恒力 F 的作用下，从平衡位置 P 点移动到 Q 点，此时轻绳偏转了 θ 角，则 F 所做的功为___________，小球克服重力做功为___________，重力势能增加了___________。
P
F
Q
O
θ
l
【例7】(多选)如图所示，一子弹以水平速度射入放置在光滑水平面上原来静止的木块，并留在木块中，在此过程中子弹钻入木块的深度为d，木块的位移为l，木块与子弹间的摩擦力大小为F，则( )
A．F对木块做功为Fl
B．F对木块做功为F(l＋d)
C．F对子弹做功为－Fd
D．F对子弹做功为－F(l＋d)
【例8】我国自行研制、具有完全自主知识产权的新一代大型喷气式客机C919首飞成功后，拉开了全面试验试飞的新征程，假设飞机在水平跑道上的滑跑是初速度为零的匀加速直线运动，当位移时才能达到起飞所要求的速度。已知飞机质量，滑跑时受到的阻力为自身重力的0.1倍，取重力加速度，在飞机滑跑过程中，求：
（1）飞机克服阻力所做的功；
（2）牵引力的大小；
（3）牵引力对飞机所做的功。
【例9】如图，用 10 N 的力 F 拉一个重 200 N 的物体使其在水平地面上做匀速直线运动。若物体前进了 25 m，在这一过程中，求：
G
F
37°
（1）拉力 F 做的功 WF；
（2）重力 G 做的功 WG；
（3）物体克服摩擦阻力 f 做的功 Wf；
（4）物体受到的各力对物体做的总功。
【例10】在水平面上有一弯曲的槽道AB，由半径分别为eq \f(R,2)和R的两个半圆构成．如图所示，现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点拉至B点，若拉力F的方向时刻与小球运动方向相同，则此过程中拉力所做的功为( )
A．0 B．FR C.eq \f(3,2)πFR D．2πFR
【例11】如图所示，摆球质量为m，悬线长度为L，把悬线拉到水平位置后放手．设在摆球从A点沿圆弧运动到B点的过程中空气阻力的大小f不变，则下列说法正确的是( )
A．重力做功为0
B．悬线的拉力做功为mgL
C．空气阻力做功为－eq \f(1,2)fπL
D．摆球克服空气阻力做功为fL
【例12】静置于水平地面上质量为1 kg的物体，在水平拉力F＝4＋2x(式中F为力的大小、x为位移的大小，力F、位移x的单位分别是N、m)作用下，沿水平方向移动了5 m．已知物体与地面间的动摩擦因数为0.2，取重力加速度g＝10 m/s2，则在物体移动5 m的过程中拉力所做的功为( )
A．35 J B．45 J C．55 J D．65 J
【例13】如图甲所示，静置于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F的作用下，沿x轴正方向运动，拉力F随物块所在位置坐标x的变化关系如图乙所示，图线为半圆．则小物块运动到x0处时拉力F做的功为( )
A．0 B.eq \f(1,2)Fmx0 C.eq \f(π,4)Fmx0 D.eq \f(π,4)x02
【例14】(多选)质量为m的物体静止在光滑的水平面上，物体在下列四种变化规律不同的合外力F作用下都通过相同的位移x0，下列说法正确的是( )
A．甲图和乙图合外力做功相等
B．丙图和丁图合外力做功相等
C．四个图合外力做功均相等
D．四个图中合外力做功最多的是丙图
【例15】一物体在推力 F 作用下克服恒定的阻力运动，其 v-t 图和 F-x 图如图（a）、图（b），则在第一个 5 s、第二个 5 s、第三个 5 s 内，力 F 对物体做的功分别为_________J，__________J，__________J；在 15 s 内阻力共做功__________J。
【例16】(多选)如图所示，人以大小恒为10 N的拉力通过一根轻绳拉船，人收绳的速度恒为1 m/s，将船从A位置拉到B位置，A、B位置轻绳与水平方向的夹角分别为30°和60°，A、B间的水平距离为4 m，则( )
A．A位置船速大小为eq \f(\r(3),2) m/s
B．B位置船速大小为2 m/s
C．船从A运动到B的过程中，人的拉力做的功为20eq \r(3) J
D．船从A运动到B的过程中，人的拉力做的功为40(eq \r(3)－1) J
【例17】力F对物体所做的功可由公式W＝Fscs α求得．但用这个公式求功是有条件的，即力F必须是恒力．而实际问题中，有很多情况是变力在对物体做功．那么，用这个公式不能直接求变力的功，我们就需要通过其他的一些方法来求解变力所做的功．如图，对于甲、乙、丙、丁四种情况下求解某个力所做的功，下列说法正确的是( )
A．甲图中若F大小不变，物块从A到C过程中力F做的功为W＝F(OA－OC)
B．乙图中，全过程F做的总功为108 J
C．丙图中，绳长为R，若空气阻力f大小不变，小球从A运动到B过程中空气阻力做的功W＝eq \f(1,2)πRf
D．丁图中，F始终保持水平，无论是F缓慢将小球从P拉到Q，还是F为恒力将小球从P拉到Q，F做的功都是W＝Flsin θ
【例18】如图所示，A、B两物体叠放在一起，A被不可伸长的水平细绳系于左墙上，B在拉力F作用下，向右匀速运动，在此过程中，A、B间的摩擦力做功情况是( )
A．对A、B都做负功
B．对A、B都不做功
C．对A不做功，对B做负功
D．对A做正功，对B做负功
【例19】如图，若物体沿不同路径 I 和 Ⅱ 从 A 滑到 B，路径 I、Ⅱ 与物体间的动摩擦因数相同，则沿路径 I 和 Ⅱ 运动过程中，重力做功__________，摩擦力做功_________（均选填“相同”或“不同”）
考点二：能
机械能E
标量，状态量
动能
重力势能
弹性势能
Ek=EQ
\F(1,2) mv2
Ep=mgh
Ep＝eq \f(1,2)kx2
1．重力做功只与重力和物体高度变化有关，与运动路径无关．
2．物体下降时重力做正功，WG＝mgh；
物体上升时重力做负功，WG＝－mgh.
3．重力做功的特点可推广到任一恒力做功，即恒力做功的特点是：与具体路径无关，即恒力做的功等于力与在力的方向上的位移大小的乘积，跟初、末位置有关．
4．重力势能与重力势能的变化量
(1)重力势能Ep＝mgh具有相对性，与参考平面的选取有关，其中h是相对参考平面的高度．当物体在参考平面下方h处时，重力势能Ep＝－mgh.
(2)重力势能是标量，但有正负，正负表示重力势能的大小．
(3)重力势能的变化ΔEp与参考平面的选取无关，它的变化是绝对的．
5．重力做功与重力势能变化的关系
WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp
(1)当物体由高处运动到低处时，重力做正功，重力势能减少，重力势能的减少量等于重力所做的功．
(2)当物体由低处运动到高处时，重力做负功(物体克服重力做功)，重力势能增加，重力势能的增加量等于物体克服重力所做的功．
6.弹性势能与弹力做功的关系：弹性势能的变化只与弹力做功有关，弹力做负功，弹性势能增大，反之则减小．
7．弹性势能表达式的推导
根据胡克定律F＝kx，作出弹力F与弹簧形变量x关系的F－x图线，如图所示，根据W＝Fx知，图线与横轴所围的面积表示F所做的功，即W＝eq \f(kx·x,2)＝eq \f(1,2)kx2，所以Ep＝eq \f(1,2)kx2.
【例20】质量为m的的小球，从离桌面H高处由静止下落，桌面离地面高度为h。如图所示。（空气阻力不计）
h
H
（1）若以桌面为参考平面，那么小球落地时的重力势能Ep1＝_______，整个下落过程中重力势能的变化量ΔEp1＝_________，动能变化量ΔEk1＝________；
（2）若以释放点为参考平面，那么小球落地时的重力势能Ep2＝_______，整个下落过程中重力势能的变化量ΔEp2＝_________，动能变化量ΔEk2＝________；
（3）若空气阻力不能忽略不计，则整个下落过程中重力势能的变化量ΔEp3_____ΔEp2，动能变化量ΔEk3_____ΔEk2（选填“＞”“＜”或“＝”）
【启示】重力势能是相对的，重力势能的变化量是绝对的，与零势能面的选取无关。
【例21】（上海高考）撑杆运动员在最高点上放开撑杆，并水平越过横杆，若撑杆的弹性势能为Ee，运动员的动能为Ek，运动员的重力势能为Ep，则在运动员放手瞬间，三种能量的相对大小为（ ）
Ee
Ep
Ek
Ee
Ep
Ek
Ee
Ep
Ek
Ee
Ep
Ek
考点三：功率的计算
1.平均功率的计算方法
(1)利用P=Wt。
(2)利用P=Fvcs α,其中v为物体运动的平均速度,α为F与v的夹角。
2.瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P=Fvcs α,其中v为t时刻的瞬时速度,α为F与v的夹角。
(2)利用公式P=FvF,其中vF为物体的速度v在力F方向上的分速度。
(3)利用公式P=Fvv,其中Fv为物体受到的外力F在速度v方向上的分力。
3.P＝Fv中三个量的制约关系
【例22】如图所示，汽车在粗糙水平面上做匀加速直线运动的过程中，阻力f对汽车做___________（填“正功”或“负功”或“不做功”），牵引力F的瞬时功率将___________（填“增大”或“减小”或“不变”）。
F
A
F
B
【例23】物体A、B质量相同，A放在光滑的水平面上，B放在粗糙的水平面上，在相同的力F作用下，由静止开始都通过了相同的位移s，如图所示，那么（ ）
（A）力F对A做功较多，做功的平均功率也较大
（B）力F对B做功较多，做功的平均功率也较大
（C）力F对A、B做的功和做功的平均功率都相同
（D）F对A、B做功相等，但对A做功的平均功率较大
【例24】如图所示，质量为m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的足够长的固定斜面上由静止开始下滑，木块与斜面间的动摩擦因数为μ＝0.5，已知：sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，g取10 m/s2，求：
(1)前2 s内重力做的功；
(2)前2 s内重力的平均功率；
(3)2 s末重力的瞬时功率．
【变式训练】（上海市南洋模范期中）如图所示，足够长的倾角θ＝37°的粗糙斜面固定在水平面上，一质量m＝10 kg的物体在平行于斜面向上的推力F＝180 N作用下，由底端从静止开始向上运动，已知物体与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，sin37°＝0.6，cs37°＝0.8，g＝10 m/s2。
（1）求物体在推力F作用下向上运动的加速度大小；
（2）求物体从底端向上运动4 m时推力F的瞬时功率；
（3）若物体向上运动4 m后撤去推力F，则物体从底端沿斜面运动到最高点过程中克服摩擦力做多少功？
【例25】如图所示，设高铁运行时受到的阻力与速度成正比，若高铁以速度v匀速行驶，发动机的功率为P.则当高铁发动机功率为4P时，其匀速行驶的速度为( )
A．2v B．3v C．4v D．8v
【例26】如图所示，飞行员进行素质训练时，抓住秋千杆由水平状态开始下摆，到达竖直状态的过程，飞行员所受重力的瞬时功率变化情况是( )
A．一直增大 B．一直减小
C．先增大后减小 D．先减小后增大
【例27】如图所示，位于水平面上的物体A，在斜向上的恒定拉力F作用下，由静止开始向右做匀加速直线运动．已知物体质量为10 kg，F的大小为100 N，方向与速度v的夹角为37°，物体与水平面间的动摩擦因数为0.5，取g＝10 m/s2.(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)则：
(1)第2 s末，拉力F对物体做功的功率是多大？
(2)从开始运动到物体前进12 m的过程中，拉力对物体做功的平均功率是多大？
【例28】如图，A、B和C三个相同小球等高，且都可视为质点，A小球无初速度自由下落，B小球无初速度沿光滑固定斜面下滑，C小球做平抛运动，不计空气阻力，三者同时开始运动．下列说法正确的是( )
A．三小球同时落地
B．从开始运动到落地A和C两小球重力的平均功率相等
C．落地瞬间A和B两小球的重力功率相等
D．落地瞬间三者速度相同
考点四：两种启动方式的比较
【例29】在水平路面上运动的汽车的额定功率为100 kW，质量为10 t，设阻力大小恒定，且为车重力的0.1倍(g取10 m/s2)，汽车以不变的额定功率从静止启动，则：
(1)汽车的加速度如何变化？
(2)当汽车的加速度为2 m/s2时，速度为多大？
(3)汽车在运动过程中所能达到的最大速度的大小是多少？
【例30】在水平路面上运动的汽车的额定功率为60 kW，若其总质量为5 t，在水平路面上所受到的阻力大小恒为5×103 N，求：
(1)汽车所能达到的最大速度的大小；
(2)若汽车以0.5 m/s2的加速度由静止开始做匀加速直线运动，这一过程能维持多长的时间；
(3)若汽车以额定功率启动，则汽车的车速为v1＝2 m/s时的加速度多大；
(4)若汽车以v2＝6 m/s的速度匀速行驶，汽车的实际功率多大．
【例31】一辆汽车在水平路面上的启动过程的v-t图像如图所示，其中Oa为过原点的倾斜直线，ab段表示以额定功率P行驶时的加速阶段，bc段是与ab段相切的水平直线，若汽车的质量为m，行驶过程中所受阻力恒为F阻，则下列说法正确的是（ ）
A．汽车在t1时刻的牵引力和功率都是最大值，t2~t3时间内其牵引力等于F阻
B．0~t1时间内汽车做变加速运动
C．0~t2时间内汽车的平均速度等于
D．t1~t2时间内汽车克服阻力所做的功为P（t2-t1）+
【例32】（松江一模）汽车以恒定功率沿公路做直线运动，途中进入一块很大的沙地。汽车在公路及沙地上所受阻力均为恒力，且在沙地上受到的阻力是在公路上受到阻力的2倍。汽车在驶入沙地前已做匀速直线运动，速度为v0，则汽车在驶入沙地后的运动情况是：____________________________________________，汽车在沙地上的最终速度为_________。
【例33】额定功率为80 kW的汽车，在平直公路上行驶的最大速度是20 m/s，汽车质量是2×103 kg，如果汽车从静止开始先做加速度为2 m/s2的匀加速直线运动，达到额定功率后以额定功率行驶，在运动过程中阻力不变，则：
（1）汽车受到的阻力多大？
（2）汽车匀加速运动时受到的牵引力多大？
（3）汽车做匀加速直线运动的最大速度多大？
（4）汽车从静止开始运动11 s的过程中牵引力做的功多大？
【变式训练】（上海市交大附中期中）某日凌晨，交大附中旁的殷高路上没有任何行人车辆。一辆额定功率、质量的汽车，从十字路口由静止启动、向西做匀加速直线运动，达到额定功率后维持功率不变、并继续做直线运动。设汽车受到的阻力为一定值，。已知在某时刻汽车的速度，加速度，求：
（1）汽车所受的阻力大小；
（2）汽车做匀加速直线运动的距离x；
（3）汽车最终做匀速直线运动的速度。
【例34】一赛车在平直赛道上以恒定功率200 kW加速运动，受到的阻力不变，加速度a和速度v的倒数的关系如图所示，则赛车( )
A．做匀加速直线运动
B．质量为200 kg
C．所受阻力大小为2 000 N
D．v′＝50 m/s时牵引力大小为2 000 N
考点五：动能定理及简单应用
1．内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化．
2．表达式：W＝eq \f(1,2)mv22－eq \f(1,2)mv12.如果物体受到几个力的共同作用，W即为合力做的功，它等于各个力做功的代数和．
①合外力对物体做正功，即W>0，ΔEk>0，表明物体的动能增大；
②合外力对物体做负功，即W<0，ΔEk<0，表明物体的动能减小；
③如果合外力对物体不做功，则动能不变．
合外力做功，动能一定变化，速度一定变化；速度变化，动能不一定变化，合外力不一定做功（匀速圆周运动）。
3．动能定理既适用于恒力做功的情况，也适用于变力做功的情况；既适用于直线运动，也适用于曲线运动．
4.应用动能定理解题的一般步骤：
(1)选取研究对象(通常是单个物体)，明确它的运动过程．
(2)对研究对象进行受力分析，明确各力做功的情况，求出外力做功的代数和．
(3)明确物体在初、末状态的动能Ek1、Ek2.
(4)列出动能定理的方程W＝Ek2－Ek1，结合其他必要的辅助方程求解并验算．
【例35】下列关于运动物体的合外力做功与动能、速度变化的关系，正确的是( )
A．物体做变速运动，合外力一定不为零，动能一定变化
B．若合外力对物体做功为零，则合外力一定为零
C．物体所受的合外力做功，它的速度大小一定发生变化
D．物体的动能不变，所受的合外力必定为零
【例36】(多选)如图所示，质量为m的物块在水平恒力F的推动下，从粗糙山坡底部的A处由静止运动至高为h的坡顶B处，并获得速度v，A、B之间的水平距离为x，重力加速度为g，则( )
A．物块克服重力所做的功是mgh
B．合外力对物块做的功是eq \f(1,2)mv2
C．推力对物块做的功是eq \f(1,2)mv2＋mgh
D．阻力对物块做的功是eq \f(1,2)mv2＋mgh－Fx
考点六：动能定理多过程分析
【例37】将质量为m的物体，以初速度v0竖直向上抛出．已知抛出过程中阻力大小恒为重力大小的eq \f(1,5)，重力加速度为g.求：
(1)物体上升的最大高度；
(2)物体落回抛出点时的速度大小．
【例38】如图所示，一质量为m＝10 kg的物体，由eq \f(1,4)光滑圆弧轨道上端从静止开始下滑，到达底端后沿水平面向右滑动1 m距离后停止．已知圆弧底端与水平面平滑连接，圆弧轨道半径R＝0.8 m，取g＝10 m/s2，求：
(1)物体滑至圆弧底端时的速度大小；
(2)物体滑至圆弧底端时对轨道的压力大小；
(3)物体沿水平面滑动过程中克服摩擦力做的功．
【例39】（复旦附中难度较大）（多选）现有一小球从风洞中的点M竖直向上抛出，小球受到大小恒定的水平风力，其运动轨迹大致如图所示，其中M、N两点在同一水平线上，O点为轨迹的最高点，小球在M点动能为16J，在O点动能为4J，不计空气阻力，下列说法正确的是（ ）
A. 小球所受重力和风力大小之比为
B. 小球落到N点时的动能为32J
C. 小球在上升和下降过程中机械能变化量之比为
D 小球从M点运动到O点和从O点运动到N点所用时间相同
【例40】（曹杨二中） 如图所示的水平轨道足够长，只有部分是粗糙的，其长度为，其余部分是光滑的，质量为1kg，长度为的粗细相同的匀质软绳静止在点的左侧（绳的右端在点），软绳与粗糙部分的动摩擦因数为，现用的水平向右的恒力作用在软绳上，软绳始终保持伸直状态且长度不变，重力加速度为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则在软绳运动的过程中，下列说法正确的是（ ）
A. 软绳先做匀加速后做匀减速运动B. 软绳的左端能经过点
C. 软绳的最大动能为0.5JD. 软绳克服摩擦力做功4.0J
【例41】如图，一质量为 m 的物体从高为 h 的斜面顶端 A 点自静止开始下滑，最后停在平面上的 C 点。A 点离地面的高度为 h，AC 的水平距离为 s，已知物体与斜面、水平面之间的动摩擦因数相等，则该动摩擦因数 μ = _________。若用始终和接触面平行的力将物体从 C 点再拉回到 A 点，则拉力至少需要做的功 W = _________。
【例42】在如图的光滑轨道中，长为 2R 的水平面 AB 与半圆形轨道相接触，直径 BC 竖直，圆形轨道半径为 R。一个质量为 m 的物体放在点 A 处，物体在水平恒力 F 的作用下由静止开始运动．当物体运动到 B 点时撤去水平外力，物体恰好从圆形轨道的顶点 C 水平抛出，求水平力 F 的大小。
【变式训练】如图所示，竖直平面内有一光滑圆弧轨道，其半径为R＝0.5 m，平台与轨道的最高点等高．一质量m＝0.8 kg的小球(可视为质点)从平台边缘的A处以v0＝3 m/s的水平速度射出，恰能沿圆弧轨道上P点的切线方向进入轨道内侧，轨道半径OP与竖直线的夹角为53°，已知sin 53°＝0.8，cs 53°＝0.6.
(1)求小球到达P点时的速度大小vP；
(2)求小球到达圆弧轨道最低点时的速度大小以及对轨道的压力；
(3)小球沿轨道通过圆弧的最高点Q时对轨道的内壁还是外壁有弹力，并求出弹力的大小．
【例43】如图，是一根自由悬挂的链条，王同学将它的中点缓慢竖直向上拉动一小段距离，此过程中链条的重力势能_______；刘同学将它的中点缓慢竖直向下拉动一小段距离，此过程中链条的重力势能_______。（均选填“增大”“减小”或“不变”）
考点七：动能定理在图象中的应用
动能定理与图像结合问题的分析方法：
1．首先看清楚图像的种类(如v－t图像、F－x图像、Ek－x图像等)．
2．挖掘图像的隐含条件，求出所需物理量，如利用v－t图像与t轴所包围“面积”求位移，利用F－x图像与x轴所包围“面积”求功，利用Ek－x图像的斜率求合力等．
3．再分析还有哪些力做功，根据动能定理列方程，求出相应的物理量．
【例44】(多选)在平直的公路上，汽车由静止开始做匀加速运动．当速度达到vm后，立即关闭发动机滑行直至停止．v－t图像如图所示，汽车的牵引力大小为F1，摩擦力大小为F2，全过程中，牵引力做的功为W1，克服摩擦力做功为W2.以下关系式正确的是( )
A．F1∶F2＝1∶3 B．F1∶F2＝4∶3
C．W1∶W2＝1∶1 D．W1∶W2＝1∶3
【例45】 (多选)质量为1.0 kg的物体以某一水平初速度在水平面上滑行，由于摩擦力的作用，其动能随位移变化的情况如图所示，g取10 m/s2，则下列判断正确的是( )
A．物体与水平面间的动摩擦因数为0.2
B．物体与水平面间的动摩擦因数为0.3
C．物体滑行的总时间为2 s
D．物体滑行的总时间为4 s
【例46】（多选）从地面竖直向上抛出一物体，其动能 Ek 随它离开地面的高度 h 的变化如图，g 取 10 m/s2。由图中数据可得 （ ）
A．物体落地时速度大小为 6 m/s
B．物体初速度大小为 10 m/s
C．物体的质量为 0.9 kg
D．物体受到空气阻力的大小为 3 N
【例47】如图(a)所示，一物块以一定初速度沿倾角为30°的固定斜面上滑，运动过程中摩擦力大小Ff恒定，物块动能Ek与运动路程s的关系如图(b)所示．重力加速度大小取10 m/s2，物块质量m和所受摩擦力大小Ff分别为( )
A．m＝0.7 kg，Ff＝0.5 N
B．m＝0.7 kg，Ff＝1.0 N
C．m＝0.8 kg，Ff＝0.5 N
D．m＝0.8 kg，Ff＝1.0 N
【例48】如图甲所示，一质量为4 kg的物体静止在水平地面上，让物体在水平推力F作用下开始运动，推力F随位移x变化的关系如图乙所示，已知物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.5(g取10 m/s2)．求：
(1)水平推力F在前4 m内做的功；
(2)物体的最大滑行距离；
(3)物体在运动过程中的最大速度．
考点八：机械能守恒定律
1．内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变．
2．表达式：eq \f(1,2)mv22＋mgh2＝eq \f(1,2)mv12＋mgh1或Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1.
3．应用机械能守恒定律解决问题只需考虑运动的初状态和末状态，不必考虑两个状态间过程的细节，即可以简化计算．
4．对机械能守恒条件的理解
(1)只有重力做功，只发生动能和重力势能的相互转化．
(2)只有系统内弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化．
(3)只有重力和系统内弹力做功，只发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化．
(4)除受重力和弹力外，其他力也做功，但其他力做功的代数和始终为零．
注意：机械能守恒的物体所受合外力不一定为零．
5．判断机械能守恒的方法
(1)做功分析法(常用于单个物体)
(2)能量分析法(常用于多个物体组成的系统)
(3)机械能的定义法
机械能等于动能与势能之和，若一个过程中动能不变，势能变化，则机械能不守恒，如匀速上升的物体机械能增加．
6.应用机械能守恒定律解题的一般步骤
(1)根据题意选取研究对象；
(2)明确研究对象的运动过程，分析研究对象在此过程中的受力情况，弄清各力做功的情况，判断机械能是否守恒．
(3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在此过程中的初状态和末状态的机械能．
(4)根据机械能守恒定律的不同表达式列方程并求解．
【例49】打桩机重锤的质量是 200 kg，将它提升到离地面 10 m 高处，然后让它自由落下。则（以地面为零势能面，不考虑摩擦和空气阻力，g 取 10 m/s2）
（1）重锤在最高点时，重力势能为_________J，动能为__________J，机械能为__________J；
（2）重锤下落 5 m 时，重力势能为_________J，动能为__________J，机械能为__________J；
（3）重锤下落到地面时，重力势能为_________J，动能为__________J，机械能为__________J。
【例50】(多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )
A．甲图中，火箭升空的过程中，若匀速升空机械能守恒，若加速升空机械能不守恒
B．乙图中物体匀速运动，机械能守恒
C．丙图中小球做匀速圆周运动，机械能守恒
D．丁图中，轻弹簧将A、B两小车弹开，两小车组成的系统机械能不守恒，两小车和弹簧组成的系统机械能守恒
【变式训练】(多选)如图所示，一轻弹簧一端固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速度释放，让它自由摆下，不计空气阻力，在重物由A点摆到最低点的过程中( )
A．重物的机械能减少
B．重物与弹簧组成的系统的机械能不变
C．重物与弹簧组成的系统的机械能增加
D．重物与弹簧组成的系统的机械能减少
【例51】以相同大小的初速度v0将物体从同一水平面分别竖直上抛、斜上抛、沿光滑斜面(足够长)上滑，如图所示，三种情况达到的最大高度分别为h1、h2和h3，不计空气阻力，则( )
A．h1＝h2＞h3 B．h1＝h2＜h3
C．h1＝h3＜h2 D．h1＝h3＞h2
【例52】如图是一个设计“过山车”的试验装置的原理示意图，斜面AB与竖直面内的圆形轨道在B点平滑连接，斜面AB和圆形轨道都是光滑的，圆形轨道半径为R，一个质量为m的小车(可视为质点)在A点由静止释放沿斜面滑下，小车恰能通过圆形轨道的最高点C.已知重力加速度为g.求：
(1)A点距水平面的高度h；
(2)运动到B点时小车对圆形轨道压力的大小．
【例53】如图，将长为 2L、质量为 m 的均匀链条放在高 4L 的光滑桌面上，开始时链条的一半长度处于桌面，其余从桌边下垂，取桌面为零势能面，则此时链条的机械能为__________；从此状态释放链条，设链条能平滑地沿桌边滑下，则链条下端触地时的速度为__________。
【例54】如图，两个质量不等的小铁块 A 和 B，分别从两个高度相同的光滑斜面和光滑圆弧斜坡的顶点由静止滑向底部，则下列说法正确的是（ ）
A．它们到达底部时动能相等
B．它们到达底部时速度相等
C．下滑过程重力所做的功相等
D．它们分别在最高点时机械能总和跟到达最低点时的机械能总和相等
【例55】如图，从竖直平面上大圆的最高点 A，引出两条不同的光滑轨道，端点都在大圆上，同一物体由静止开始，从 A 点分别沿两条轨道滑到底端，则（ ）
A．到达底端的动能相等B．机械能相同
C．重力做功都相同D．所用的时间不相同
【例56】如图，质量为 m 的足球静止在水平地面上的位置 1，其被运动员踢出后落到水平地面上的位置 3。足球在空中到达最高点 2 时的高度为 h，速度为 v，已知重力加速度为 g，足球运动过程中空气阻力可忽略，则（ ）
A．运动员对足球做的功为 mgh + EQ \F(1,2) mv2
B．足球落到位置 3 时的动能为 mgh
C．足球刚离开位置 1 时的动能大于 mgh + EQ \F(1,2) mv2
D．足球在位置 2 时的动能等于其在位置 3 时的动能
【例57】如图，总长为 L 的光滑匀质铁链，跨过一个光滑的轻质小定滑轮，开始时底端相平，当略有扰动时，某一端下落，则铁链刚脱离滑轮的瞬间，其速度为（ ）
A． EQ \R(gL) B． EQ \R(\F(gL,2)) C． EQ \R(\F(gL,4)) D． EQ \R(\F(gL,8))
【例58】如图，一个粗细均匀的 U 形管内装有同种液体，管口右端用盖板 A 密闭，两液面的高度 差为 h，U 形管内液柱的总长度为 4 h。现拿去盖板，液体开始运动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为（ ）
A． EQ \R(\F(1,2) gh) B． EQ \R(\F(1,4) gh) C． EQ \R(\F(1,6) gh) D． EQ \R(\F(1,8) gh)
【例59】如图，光滑固定斜面的倾角为 30°，A、B 两物体的质量之比为 4∶1。B 用不可伸长的轻绳分别与 A 和地面相连，开始时 A、B 离地高度相同。在 C 处剪断轻绳，当 B 落地前瞬间，A、B 的速度大小之比为_________，机械能之比为_________（以地面为零势能面）。
A
B
30°
C
【例60】某同学站在水平地面上，竖直向上抛出一个物体，通过研究得到物体的机械能 E总 和重力势能 Ep 随它离开地面高度 h 的变化如图，取地面为零势能面。由图中数据，可得物体的质量为___________kg，物体回到地面时的机械能为___________J。
E/J
h/m
E总
Ep
100
60
20
1
2
3
4
40
80
0
考点九：功能关系、能量守恒定律
1.做功和能量的关系
2.能量守恒定律的两点理解
(1)某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
(2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
【例61】(多选)如图所示，质量为m的物体(可视为质点)以某一速度从A点冲上倾角为30°的固定斜面，其运动的加速度大小为eq \f(3,4)g，g为重力加速度，此物体在斜面上上升的最大高度为h，则在这个过程中物体( )
A．重力势能增加了eq \f(3,4)mgh
B．克服摩擦力做功eq \f(1,4)mgh
C．动能损失了eq \f(3,2)mgh
D．机械能损失了eq \f(1,2)mgh
【例62】如图，质量为M、长为l0的木板静止放置于光滑水平地面上，一质量为m的物块(可看成质点)以速度v0从左端冲上木板，物块与木板间的滑动摩擦力大小为Ff.当物块滑至木板最右端时，两者恰好达到共同速度v，木块移动的距离为l.
(1)物块的位移为多少？对物块列出动能定理的表达式．
(2)对木板列出动能定理的表达式．
(3)一对滑动摩擦力对系统做的功怎样表示？(用Ff、l、l0表示)；系统动能变化量为多少？(用M、m、v0、v表示)；系统摩擦力做功的过程中产生了多少热量？(用M、m、v0、v表示)与一对滑动摩擦力对系统做功的大小相等吗？这说明什么？
【针对训练】如图，木块静止在光滑水平桌面上，一子弹(可视为质点)水平射入木块的深度为d时，子弹与木块相对静止，在子弹入射的过程中，木块沿水平桌面移动的距离为x，木块对子弹的平均阻力为Ff，那么在这个过程中，下列说法不正确的是( )
A．木块的动能增量为Ffx
B．子弹的动能减少量为Ff(x＋d)
C．系统的机械能减少量为Ffd
D．产生的热量为Ff(x＋d)
【例63】(多选)(真题)一物块在高3.0 m、长5.0 m的斜面顶端从静止开始沿斜面下滑，其重力势能和动能随下滑距离s的变化如图中直线Ⅰ、Ⅱ所示，重力加速度取10 m/s2.则( )
A．物块下滑过程中机械能不守恒
B．物块与斜面间的动摩擦因数为0.5
C．物块下滑时加速度的大小为6.0 m/s2
D．当物块下滑2.0 m时机械能损失了12 J
【例64】（拓展练习）如图，abc是竖直面内的光滑固定轨道，ab水平，长度为2R；bc是半径为R的四分之一圆弧，与ab相切于b点．一质量为m的小球，始终受到与重力大小相等的水平外力的作用，自a点处从静止开始向右运动．重力加速度大小为g.小球从a点开始运动到其轨迹最高点，机械能的增量为( )
A．2mgR B．4mgR
C．5mgR D．6mgR
考点十：功能关系中的图像问题
1.图像问题的一般思路
实际情景
物理规律
数学函数
图像意义
斜率
截距
面积
2.常见的几种图象
【例65】在沿斜面向上的恒力F作用下，一物体从足够长的光滑斜面的底端由静止开始向上运动，在某一高度撤去恒力F。以地面为零势能面，设重力势能为、机械能为，则整个向上运动过程中，它们随时间t变化的图像正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【例66】一小球从地面竖直上抛，经t0时间到最高点，后又落回地面，小球运动过程中所受空气阻力大小与速率成正比。下列关于小球运动的机械能E随时间t变化的图像中，可能正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【例67】（多选）将一个物体以一定的初速度竖直向上抛出，不计空气阻力，上升过程中，物体的动能为 Ek，上升高度为 h，物体的重力势能为 Ep，运动的速度为 v，物体的机械能为 E。下列描述上述物理量关系的图像正确的是（ ）
【例68】（宝山一模）设刹车过程中某时刻自行车的速率为 v，在由初速度 5 m/s 减速至 v 的过程中自行车克服阻力做的功为 W，则如图乙所示的 W – v 图像中正确的是
乙
A
W
v
O
C
W
v
O
D
W
v
O
B
W
v
O
【例69】（虹口二模）如图，荡秋千的人连同座椅可看做质点，仅在竖直面内运动，不计阻力，A、C 为左右两侧的最高点。从 A 荡到 C 点的过程中，其动能随时间的变化关系图像为（ ）
考点十一：用DIS研究机械能守恒定律
实验器材
机械能守恒实验器、DIS（光电门传感器、数据采集器、计算机等）。
标尺盘
定位挡片
摆锤释放器
光电门传感器
实验1 定性实验
观察由同一位置释放的摆锤，当摆线长度不同时，摆锤上升的最大高度。
（1）如图所示，实验时先卸下“定位挡片”，将摆锤（圆柱形）置于A点，释放摆锤，观察它摆到左边最高点时的位置，用笔记下这个位置，看看这个高度与A点位置是否相同？
（2）装上定位挡片并置于P点位置，它对摆绳有阻挡作用。再次释放摆锤，同样观察摆锤向左摆起的最大高度，记下这个位置。
（3）依次将定位挡片下移至Q、R等位置，重复上述实验。做类似观察、记录。
A
P
定位挡片
定位挡片的作用是改变摆长。
实验结论：从同一高度由静止释放的摆锤，即使摆线长度不同，摆锤上升的最大高度都比释放位置的高度略低（或近似相等）。
实验2 定量实验
将实验装置中的光电门传感器接入数据采集器。测定摆锤在某一位置的瞬时速度，从而求得摆锤在该位置的动能，同时输入摆锤的高度，求得摆锤在该位置的重力势能，进而研究势能与动能转化时的规律。实验中A、B、C、D四点高度为0.150 m、0.100 m、0.050 m、0.000 m，已由计算机默认，不必输入。若选用其他点，则需测量实际高度并输入数据。
（1）开启电源，运行DIS应用软件，点击实验条目中的“研究机械能守恒定律”，软件界面如图所示：
（2）测量摆锤的直径Δs及其质量m，将数据输入软件界面内（软件界面中是默认值，一般不需要修改）。把光电门传感器放在标尺盘最底端的D点，并以此作为零势能点。
（3）摆锤置于A点，点击“开始记录”，同时释放摆锤，摆锤通过D点的速度将自动记录在表格的对应处。
（4）点击“数据计算”，计算D点的势能、动能和机械能。依次将光电门传感器放在标尺盘的C、B点，重复实验，得到相应的数据。
实验结论：在只有重力做功的情况下，在实验误差允许范围内，动能和重力势能相互转化，但总的机械能保持不变。
【例70】在“用DIS研究机械能守恒定律”的实验中，摆锤释放器的作用是保证每次释放摆锤时，摆锤的位置_______和速度_________。
【例71】（上海高考）在“用DIS研究机械能守恒定律”的实验中，用到的传感器是_______传感器。若摆锤直径的测量值大于其真实值会造成摆锤动能的测量值偏________。（选填：“大”或“小”）。
【例72】如图为“用DIS研究机械能守恒定律”的实验中，将一传感器先后分别固定在竖直板上的D、C和B三点，最低点D作为零势能点。逐次将摆锤从A点自由释放，分别测出摆锤经过D、C和B点时的速度。
（1）已知摆锤的直径为Δs，由传感器测出摆锤通过传感器时的挡光时间为Δt，则摆锤经过传感器时的速度大小为___________。
（2）已知B、C两点与最低点D和高度差分别为hB、hC，实验测得摆锤经过B、C两点时的速度分别为vB、vC，重力加速度为g。为了证明摆锤在B、C两点的机械能相等，需要得到的关系式是___________。
（3）某同学由于操作不当，测得摆锤在B点的机械能明显比在A、C和D的机械能大，其原因可能是___________。
【例73】（闵行一模）】某小组设计了图（a）所示的装置验证机械能守恒定律（已知重力加速度为g）。
（a）
O
Δ(v2)
h
（b）
（1）以下实验步骤中不必要的是_________（填字母标号）
A．将小车从轨道上某处释放，测出经过两个传感器的速度v1和v2（轨道摩擦可忽略）
B．在轨道上安装两个传感器，测出它们的高度差h
C．连接DIS实验线路
D．测出小车的总质量m
（2）多次改变两个传感器的距离，测得h及对应的v1和v2，取Δ(v2)＝v22－v12，并作出Δ(v2)-h图像，如图（b）所示。实验中每次释放小车的位置______（选填“必须”或“不必”）相同；该图线的斜率k＝_________。
夹角
功的正负
0＜α＜90°
力对物体做正功
α＝90°
力对物体不做功
90°＜α≤180°
力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功
定值
各量间的关系
应用
P一定
F与v成反比
汽车上坡时，要增大牵引力，应换低速挡减小速度
v一定
F与P成正比
汽车上坡时，若速度不变，应加大油门，增大输出功率，获得较大牵引力
F一定
v与P成正比
汽车在平直高速路上，加大油门增大输出功率，可以提高速度
恒定功率启动
恒定加速度启动
v-t图象
OA段
过程分析
v↑⇒F＝ EQ \F(P（不变）,v) ↓
⇒a＝ EQ \F(F－f,m) ↓
a＝ EQ \F(F－f,m) 不变⇒v↑
⇒P＝Fv↑直到
P额＝Fv1
运动性质
加速度减小的加速运动
匀加速直线运动，维持时间
t0＝ EQ \F(v1,a)
AB段
过程分析
F＝f⇒a＝0
收尾速度vm＝ EQ \F(P额,f)
v↑⇒F＝ EQ \F(P（不变）,v) ↓
⇒a＝ EQ \F(F－f,m) ↓
运动性质
以vm匀速直线运动
加速度减小的加速运动
BC段
运动性质
以vm＝ EQ \F(P额,f) 匀速直线运动
功
能量转化
关系式
重力做功
重力势能的改变
WG＝－ΔEp
弹力做功
弹性势能的改变
W弹＝－ΔEp
合外力做功
动能的改变
W合＝ΔEk
除重力、系统内弹力以外的其他力做功
机械能的改变
W＝ΔE机
滑动摩擦力与介质阻力做功FfΔx相对
内能的改变
FfΔx相对=ΔE内
EK-x图像
EP-x图像
E-x图像
E-t图像
-
-
-
-
x
O
EK
①
②
-
-
-
-
x
O
EP
①
②
-
-
-
-
x
O
E
①
②
-
-
-
-
t
O
E
①
②
斜率：合外力
①合外力沿+x方向
②合外力沿-x方向
斜率：重力、弹力等
①力沿-x方向
②力沿+x方向
斜率：除重力、弹力以外的力
①沿+x方向②沿-x方向
斜率：功率
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