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2023-2024学年山西省临汾市曲沃县七年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年山西省临汾市曲沃县七年级（下）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.在△ABC中，∠A=50°，∠B=80°，则∠C的度数为( )
A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°
2.全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量，图书馆是开展全民阅读的重要场所.以下是四个省市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3.如果x>y，那么下列变形不成立的是( )
A. 2x<2yB. −2x<−2yC. 2x−1>2y−1D. x+1>y+1
4.如图，自行车的主框架A，B，C三个支点构成一个几何图形，使得自行车结构更加稳固，这里所运用的几何原理是( )
A. 两点确定一条直线B. 垂线段最短
C. 三角形具有稳定性D. 两点之间，线段最短
5.已知x=1y=2是方程x+ny=5的一个解，那么n的值是( )
A. 1B. −1C. −2D. 2
6.如图是某年1月份的日历表，在此表上可以用正方形圈出3×3个位置的9个数(如3，4，5，10，11，12，17，18，19)，若圈出的9个数中，最大数与最小数的和为42，则这9个数的和为( )
A. 69B. 207C. 84D. 189
7.下列正多边形中，与正八边形组合能够铺满地面的是( )
A. 正三角形B. 正方形C. 正五边形D. 正六边形
8.《九章算术》中有这样一道题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价几何？意思是：现在有几个人共同出钱去买件物品，若每人出8钱，则剩余3钱；若每人出7钱，则差4钱.问有多少人，物品的价格是多少？设有x人共同出钱买物件，根据题意可列方程为( )
A. 7x+4=8x+3B. 7x+4=8x−3C. 7x−4=8x+3D. 7x−4=8x−3
9.将一副三角板按如图所示位置摆放，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边在同一条直线上，则∠α的度数是( )
A. 45°
B. 60°
C. 75°
D. 85°
10.如图，△ABC的两条高AD，CE相交于点F，若△ABD≌△CFD，DC=6，DF=2，则△ABC的面积为( )
A. 48
B. 24
C. 18
D. 12
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若方程2m−3x=5的解是x=−1，则m= ______．
12.若方程组3x−2y=4k−52x−3y=k的解满足x+y=10，则k等于______．
13.图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 度．
14.如图，AD，BE，DF分别是△ABC，△ABD，△BDE的中线，若S△DEF=5cm2，则△ABC的面积为______．
15.如图，在等腰△ABC中，∠ABC=∠ACB，∠BAC=100°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，点B，C的对应点分别是B′，C′，连接CC′，若AB′//CC′，则∠BAB′的度数是______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)解方程：3x−12−1=5x−76．
(2)解方程组：x+2y=0①3x+4y=6②．
17.(本小题8分)
下面是小明同学解不等式的过程，请你认真阅读并完成相应任务.解不等式：2x−13>3x−22−1
解：2(2x−1)>3(3x−2)−第一步
4x−2>9x−6−第二步
4x−9x>−6−6+第三步
−5x>−第四步
x>第五步
任务一：填空：①小明解不等式过程中，第二步是依据______(填运算律)进行变形的；②第______步开始出错，这一步错误的原因是______；
任务二：请直接写出该不等式的解集，并把它的解集在数轴上表示出来．
18.(本小题10分)
如图，在网格中，小正方形的边长均为1个单位，点A，B，C，O都在格点上，直线l经过点O．
(1)填空：△ABC的面积为______个平方单位；
(2)画图：
①画△A1B1C1，使△ABC与△A1B1C1关于点O对称；
②画△A2B2C2，使△ABC与△A2B2C2关于直线l对称；
(3)发现：△A2B2C2与△A1B1C1形成______关系(用“轴对称”“旋转对称”“中心对称”填空)．
19.(本小题10分)
风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞.该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行.现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输.已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等.1个A部件和1个B部件的质量各是多少吨？
20.(本小题8分)
如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AE是∠CAB的角平分线，AE交CB于点E，交CD于点F．
(1)猜想∠CEF与∠CFE的数量关系，并说明理由；
(2)将图1中的△ADF沿AB向右平移，使得点F的对应点F′落在BC边上，点A，D的对应点A′，D′落在AB边上，在图2中画出平移后的△A′D′F′，连接FF′，并判断四边形FF′A′A的形状．
21.(本小题8分)
阅读理解：在学习了一元一次不等式及其解集后，老师给出了这样一个问题：求不等式(x+1)(3x−2)>0的解集．
同学们说：我们并没有学过这样的不等式.但善于思考的小樱给出了解题过程：
解：原不等式可以转化为：①x+1<03x−2<0或②x+1>03x−2>第一步
分别解这两个一元一次不等式组得：x>23或x<−第二步
∴原不等式的解集是或x<−1或x>第三步
(1)反思与提升：小樱的解题过程中，第一步的依据是______；主要运用的数学思想是______(从“数形结合”“转化思想”“分类讨论”中选出一个填空)；
(2)迁移与运用：一个自然数n，比它大3的数与比它小5的数的积为负数，求这个自然数．
22.(本小题10分)
综合与实践
问题情境：课上，老师提出如下问题：如图1，△ABC中，∠ABC=∠ACB=30°，把△ABC绕点A顺时针旋转角α(0°<α≤90°)得到△AB′C′.如图2，当α=30°时，试判断CB与AB′的位置关系，并说明理由．
数学思考：(1)请你解答老师提出的问题；
深入探究：(2)“勤奋小组”提出问题：如图3，当旋转至CB⊥AC′时，猜想AB与B′C′的位置关系，并说明理由；
提出问题：(3)如图4，“善思小组”把△ABC绕点A顺时针旋转角90°得到△AB′C′，连接BB′，CC′，BC′，CB′，在不添加字母的情况下，结合图4写出两个有关数量关系或位置关系的数学结论．
23.(本小题11分)
综合与探究
已知，数轴上三点A，O，B对应的数分别为−3，0，1，点C为数轴上任意一点，其对应的数为x．
(1)AB的长为______，AC的长为______；
(2)若AC=2BC，求x的值；
(3)数轴上，如果动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度沿数轴正方向运动；同时动点M和N分别从点A和点B出发，分别以每秒3个单位和每秒2个单位的速度也沿数轴正方向运动.当点P到点M的距离等于点P到点N的距离时，直接写出点P所表示的数．
答案解析
1.A
【解析】解：∵∠A=50°，∠B=80°，
∴∠C=180°−∠A−∠B=180°−50°−80°=50°．
故选：A．
根据三角形的内角和等于180°列式进行计算即可得解．
本题考查了三角形的内角和定理，是基础题．
2.C
【解析】解：A、图案不是轴对称图形，不符合题意；
B、图案不是轴对称图形，不符合题意；
C、图案是轴对称图形，符合题意；
D、图案不是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
根据轴对称图形的概念判断即可．
本题考查的是轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
3.A
【解析】A.因为x>y，所以2x>2y，故本选项符合题意；
B.因为x>y，所以−2x<−2y，故本选项不符合题意；
C.因为x>y，所以2x−1>2y−1，故本选项不符合题意；
D.因为x>y，所以x+1>y+1，故本选项不符合题意．
故选：A．
利用不等式的性质分析判断．
本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键．
4.C
【解析】解：如图，自行车的主框架A，B，C三个支点构成一个几何图形，使得自行车结构更加稳固，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性．
故选：C．
根据三角形的稳定性解决问题．
本题考查三角形的稳定性，直线、线段的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是掌握三角形的稳定性．
5.D
【解析】解：将x=1y=2代入原方程得：1+2n=5，
解得：n=2，
∴n的值是2．
故选：D．
将x=1y=2代入原方程，可得出1+2n=5，解之即可得出n的值．
本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．
6.D
【解析】解：设中间数为x，则另8个数分别为x−8，x−7，x−6，x−1，x+1，x+6，x+7，x+8，
根据题意得：x−8+x+8=42，
解得：x=21，
∴x−8+x−7+x−6+x−1+x+x+1+x+6+x+7+x+8=9x=189．
故选：D．
设中间数为x，则另8个数分别为x−8，x−7，x−6，x−1，x+1，x+6，x+7，x+8，由最大数与最小数的和为42，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将9个数相加即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
7.B
【解析】解：∵正八边形的每个内角的度数是(8−2)×180°8=135°，正三角形的每个内角的度数是60°，正方形的每个内角的度数是90°，正，五边形的每个内角的度数是(5−2)×180°5=108°，正六边形的每个内角的度数是(6−2)×180°6=120°，
∴与正八边形组合能够铺满地面的是正方形(两个正八边形和一个正方形，
故选：B．
先求出每个多边形的内角的度数，再逐个判断即可．
本题考查了正多边形的内角和外角，平面镶嵌等知识点，能理解平面镶嵌的定义是解此题的关键．
8.B
【解析】解：∵如果每人出8钱，则剩余3钱，
∴y=8x−3；
∵如果每人出7钱，则差4钱，
∴y=7x+4．
∴根据题意可列方程为7x+4=8x−3．
故选：B．
根据“如果每人出8钱，则剩余3钱；如果每人出7钱，则差4钱”，即可得出关于x的方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
9.C
【解析】解：如图，
∵∠ACD=90°，∠F=∠B=45°，
∴∠CGF=∠DGB=45°，
则∠α=∠D+∠DGB=30°+45°=75°，
故选：C．
先根据三角形的内角和得出∠CGF=∠DGB=45°，再利用∠α=∠D+∠DGB可得答案．
本题主要考查三角形的外角的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和定理和三角形外角的性质．
10.B
【解析】解：∵△ABD≌△CFD，
∴BD=DF=2，AD=DC=6，
∴BC=BD+CD=2+6=8，
∵AD⊥BC，
∴S△ABC=12⋅BC⋅AD=12×8×6=24．
故选：B．
利用全等三角形的性质求出AD和BC的长可得结论．
本题考查全等三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是掌握全等三角形的性质．
11.1
【解析】解：把x=−1代入方程2m−3x=5中，得2m+3=5，
解得m=1，
故答案为：1．
根据一元一次方程的解的定义把x=−1代入方程2m−3x=5中即可求出m的值．
本题考查了一元一次方程的解，熟知方程的解的定义是解题的关键．
12.5
【解析】解：3x−2y=4k−5①2x−3y=k②，
①−②得x+y=3k−5，
∵x+y=10，
∴3k−5=10，
∴k=5．
故答案为：5．
运用整体思想直接将两个方程相减可得x+y=3k−5，再结合条件x+y=10即可求出k．
本题考查了二元一次方程组的解，掌握用整体思想解二元一次方程组的方法是关键．
13.360
【解析】解：由多边形的外角和等于360°可知，
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°．
14.40cm2
【解析】解：∵DF是△BDE的中线，
∴S△BDE=2S△DEF=2×5=10(cm2)，
∵BE是△ABD的中线，
∴S△ABD=2S△BDE=2×10=20(cm2)，
∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABC=2S△ABD=2×20=40(cm2).
故答案为：40cm2．
利用三角形的中线平分三角形的面积求解．
本题考查三角形的面积，解题的关键是掌握三角形的中线平分三角形的面积．
15.20°
【解析】解：∵∠ABC=∠ACB，∠BAC=100°，且∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴2∠ABC+100°=180°，
∴∠ABC=∠ACB=40°，
由旋转得AC′=AC，∠B′AC′=∠BAC=100°，
∵AB′//CC′，
∴∠AC′C=180°−∠B′AC′=80°，
∴∠ACC′=∠AC′C=80°，
∴∠BAB′=∠CAC′=180°−∠ACC′−∠AC′C=180°−80°−80°=20°，
故答案为：20°．
由∠ABC=∠ACB，∠BAC=100°，求得∠ABC=∠ACB=40°，由旋转得AC′=AC，∠B′AC′=∠BAC=100°，由AB′//CC′，得∠AC′C=180°−∠B′AC′=80°，则∠ACC′=∠AC′C=80°，所以∠BAB′=∠CAC′=20°，于是得到问题的答案．
此题重点考查旋转的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质等知识，求得∠ACC′=∠AC′C=80°是解题的关键．
16.解：(1)3x−12−1=5x−76，
3(3x−1)−6=5x−7，
9x−3−6=5x−7，
9x−5x=3+6−7，
4x=2，
x=12．
(2)x+2y=0①3x+4y=6②，
①×2−②，得−x=−6，
解得x=6，
将x=6代入①，得6+2y=0，
解得y=−3，
∴方程组的解为：x=6y=−3．
【解析】(1)按照解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答；
(2)根据加减消元解方程组即可．
本题考查了解一元一次方程，解二元一次方程组，熟练掌握解方程的步骤以及加减消元法是解题的关键．
17.乘法分配律(或分配律) 五 不等式两边都除以−5，不等号的方向没有改变
【解析】解：2(2x−1)>3(3x−2)−6，第一步
4x−2>9x−6−6，第二步
4x−9x>−6−6+2，第三步
−5x>−10，第四步
x<2，第五步
任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据乘法分配律(运算律)进行变形的；
②第五步开始出现错误，这一步错误的原因是不等式两边都除以−5，不等号的方向没有改变；
故答案为：①乘法分配律(或分配律)，②五，不等式两边都除以−5，不等号的方向没有改变．
任务二：该不等式的正确解集是x<2．
故答案为：x<2．
去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为1，依此即可求解．
本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．同时考查了解一元一次不等式，步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
18.3.5 轴对称
【解析】解：(1)△ABC的面积为3×3−12×1×2−12×2×3−12×1×3=3.5，
故答案为：3.5；
(2)①如图所示，△A1B1C1即为所求；
②如图所示，△A2B2C2即为所求；
(3)△A2B2C2与△A1B1C1形成轴对称关系，
故答案为：轴对称．
(1)根据割补法求解即可；
(2)①根据中心对称的性质找出对应点即可求解；
②根据轴对称的性质找出对应点即可求解；
(3)根据轴对称的性质可得出结论．
本题考查了作图−旋转变换，轴对称变换，熟记旋转变换，轴对称变换的性质是解题的关键．
19.解：设1个A部件的质量为x吨，1个B部件的质量为y吨，
由题意得：x+2y=2.82x=3y，
解得：x=1.2y=0.8，
答：1个A部件的质量为1.2吨，1个B部件的质量为0.8吨．
【解析】设1个A部件的质量为x吨，1个B部件的质量为y吨，根据1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等．列出二元一次方程组，解方程组即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
20.解：(1)∠CEF=∠CFE．
理由：∵∠ACB=90°，CD是高，
∴∠B+∠CAB=90°，∠ACD+∠CAB=90°，
∴∠B=∠ACD，
∵AE是角平分线，
∴∠CAF=∠DAF，
∵∠CFE=∠CAF+∠ACD∠CEF=∠DAF+∠B，
∴∠CEF=∠CFE；
(2)如图，四边形FF′A′A是平行四边形，
，
理由：∵△ADF沿AB向右平移得到△A′D′F′，
∴AF=A′F′，AF//A′F′，
∴四边形FF′A′A是平行四边形．
【解析】(1)根据三角形内角和定理得到∠B+∠CAB=90°，∠ACD+∠CAB=90°，求得∠B=∠ACD，根据角平分线的定义得到∠CAF=∠DAF，于是得到结论；
(2)根据平移的性质得到AF=A′F′，AF//A′F′，根据平行四边形的判定定理得到四边形FF′A′A是平行四边形．
本题考查了作图−平移变换，平行四边形的判定，平移的性质，直角三角形的性质，正确地作出图形是解题的关键．
21.两数相乘，同号得正 转化思想
【解析】解：(1)由题知，
第一步的依据是：两数相乘，同号得正．
小樱是将一元二次方程转化为了一元一次不等式组，
所以主要运用了转化思想．
故答案为：两数相乘，同号得正，转化思想．
(2)由题知，
(n+3)(n−5)<0，
则n+3>0n−5<0或n+3<0n−5>0，
分别解这两个不等式组得：−3所以这个不等式的解集为：−3又因为n为自然数，
所以这个自然数为：0或1或2或3或4．
(1)根据小樱的解题过程，得出其依据的是：两数相乘，同号得正，同时将一元二次不等式转化为了一元一次不等式组，据此可解决问题．
(2)根据题意列出不等式，再根据题中所给步骤进行求解即可．
本题主要考查了解一元一次不等式及解一元一次不等式组，熟知转化的数学思想及解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
22.解：(1)CB//AB′，理由如下：
∵∠B′AB=α=30°，∠B=30°，
∴∠B=∠B′AB，
∴CB//AB′；
(2)如图1，
AB⊥B′C′，理由如下：
设BC交B′C′于O，交AC′于E，AB交B′C′于D，
∵CB⊥AC′，
∴∠OEC′=90°，
∵△ABC绕点A顺时针旋转角α(0°<α≤90°)得到△AB′C′，
∴∠C′=∠C=30°，
∵∠B=30°，
∴∠B=∠C′，
∵∠BOD=∠EOC′，
∴∠BDO=∠OEC′=90°，
∴AB⊥B′C′；
(3)如图2，
BB′=CC′，BC′//B′C，
设BC交B′C′于点F，
∵△ABC绕点A顺时针旋转角90°得到△AB′C′，
∴∠BAB′=∠CAC′=90°，AB′=AB，AC′=AC，
∵∠ABC=∠ACB=30°，
∴AB=AC，
∴AB′=AC，AB=AC′，
∴△AB′B≌△ABC′(SAS)，
∴AB′=CC′，
∵AB′=AB，∠B′AB=90°，
∴∠AB′B=∠ABB′=45°，
∵∠AB′C′=∠ABC=30°，
∴∠AB′B−∠AB′C′=15°，
∴∠BB′C′=15°，
同理可得，
∠BCC′=15°，
∴∠BB′C′=∠BCC′，
∵∠BFB′=∠CFC′，
∴△BFB′≌△C′FC(AAS)，
∴BF=C′F，B′F=CF，
∴∠FBC′=∠FC′B=180°−∠BFC′2，∠FB′C=∠FCB′=180°−∠CFB′2，
∵∠BFC′=∠CFB′，
∴∠FCB′=∠FBC′，
∴BC′//B′C．
【解析】(1)可得出∠B=∠B′AB=30°，从而得出CB//AB′；
(2)设BC交B′C′于O，交AC′于E，AB交B′C′于D，可得出∠B=∠C′=30°，∠BOD=∠EOC′，从而得出∠BDO=∠OEC′=90°，从而得出结果；
(3)设BC交B′C′于点F，可证得△AB′B≌△ABC′，从而得出AB′=CC′，可推出∠BB′C′=∠BCC′=30°，进而证得△BFB′≌△C′FC，从而BF=C′F，B′F=CF，从而得出∠FBC′=∠FC′B=180°−∠BFC′2，∠FB′C=∠FCB′=180°−∠CFB′2，进而得出∠FCB′=∠FBC′，从而得出BC′//B′C．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解决问题的关键是熟练掌握基础知识．
23.4 |x+3|
【解析】解(1)∵A，O，B对应的数分别为−3，0，1，
∴AB=1−(−3)=4，AC=|x−(−3)|=|x+3|，
故答案为：4；|x+3|；
(2)∵AC=2BC，BC=2|x−1|，
∴|x+3|=2|x−1|，
∴x+3=2(x−1)或x+3=−2(x−1)，解得x=5或x=−13，
故答案为：5或−13；
(3)由题意知，t秒时，点P所表示的数为t，点M所表示的数为−3+3t，点P所表示的数为1+2t，
∴PM=|−3+3t−t|=|−3+2t|，PN=|1+2t−t|=|1+t|=1+t，当点P到点M的距离等于点P到点N的距离时，PM=PN，
∴|−3+2t|=1+t，
∴−3+2t=1+t或−(−3+2t)=1+t，解得：t=4或t=23，
∴点P所表示的数为4或23，
故答案为：4或23．
(1)根据数轴上两点间距离公式求解；
(2)用含x的式子表示出BC，AC，列方程求解即可；
(3)用含t的式子表示出t秒时点P，M，N所表示的数，进而用含/的式子表示出PM，PN，列方程求解即可．
本题考查数轴上的动点问题，数轴上两点间距离，解一元一次方程等，题目难度不大，掌握基础知识即可解答．
1.在△ABC中，∠A=50°，∠B=80°，则∠C的度数为( )
A. 50°B. 60°C. 70°D. 80°
2.全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量，图书馆是开展全民阅读的重要场所.以下是四个省市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3.如果x>y，那么下列变形不成立的是( )
A. 2x<2yB. −2x<−2yC. 2x−1>2y−1D. x+1>y+1
4.如图，自行车的主框架A，B，C三个支点构成一个几何图形，使得自行车结构更加稳固，这里所运用的几何原理是( )
A. 两点确定一条直线B. 垂线段最短
C. 三角形具有稳定性D. 两点之间，线段最短
5.已知x=1y=2是方程x+ny=5的一个解，那么n的值是( )
A. 1B. −1C. −2D. 2
6.如图是某年1月份的日历表，在此表上可以用正方形圈出3×3个位置的9个数(如3，4，5，10，11，12，17，18，19)，若圈出的9个数中，最大数与最小数的和为42，则这9个数的和为( )
A. 69B. 207C. 84D. 189
7.下列正多边形中，与正八边形组合能够铺满地面的是( )
A. 正三角形B. 正方形C. 正五边形D. 正六边形
8.《九章算术》中有这样一道题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价几何？意思是：现在有几个人共同出钱去买件物品，若每人出8钱，则剩余3钱；若每人出7钱，则差4钱.问有多少人，物品的价格是多少？设有x人共同出钱买物件，根据题意可列方程为( )
A. 7x+4=8x+3B. 7x+4=8x−3C. 7x−4=8x+3D. 7x−4=8x−3
9.将一副三角板按如图所示位置摆放，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边在同一条直线上，则∠α的度数是( )
A. 45°
B. 60°
C. 75°
D. 85°
10.如图，△ABC的两条高AD，CE相交于点F，若△ABD≌△CFD，DC=6，DF=2，则△ABC的面积为( )
A. 48
B. 24
C. 18
D. 12
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.若方程2m−3x=5的解是x=−1，则m= ______．
12.若方程组3x−2y=4k−52x−3y=k的解满足x+y=10，则k等于______．
13.图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 度．
14.如图，AD，BE，DF分别是△ABC，△ABD，△BDE的中线，若S△DEF=5cm2，则△ABC的面积为______．
15.如图，在等腰△ABC中，∠ABC=∠ACB，∠BAC=100°，将△ABC绕点A逆时针旋转到△AB′C′的位置，点B，C的对应点分别是B′，C′，连接CC′，若AB′//CC′，则∠BAB′的度数是______．
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)解方程：3x−12−1=5x−76．
(2)解方程组：x+2y=0①3x+4y=6②．
17.(本小题8分)
下面是小明同学解不等式的过程，请你认真阅读并完成相应任务.解不等式：2x−13>3x−22−1
解：2(2x−1)>3(3x−2)−第一步
4x−2>9x−6−第二步
4x−9x>−6−6+第三步
−5x>−第四步
x>第五步
任务一：填空：①小明解不等式过程中，第二步是依据______(填运算律)进行变形的；②第______步开始出错，这一步错误的原因是______；
任务二：请直接写出该不等式的解集，并把它的解集在数轴上表示出来．
18.(本小题10分)
如图，在网格中，小正方形的边长均为1个单位，点A，B，C，O都在格点上，直线l经过点O．
(1)填空：△ABC的面积为______个平方单位；
(2)画图：
①画△A1B1C1，使△ABC与△A1B1C1关于点O对称；
②画△A2B2C2，使△ABC与△A2B2C2关于直线l对称；
(3)发现：△A2B2C2与△A1B1C1形成______关系(用“轴对称”“旋转对称”“中心对称”填空)．
19.(本小题10分)
风陵渡黄河公路大桥是连接山西、陕西、河南三省的交通要塞.该大桥限重标志牌显示，载重后总质量超过30吨的车辆禁止通行.现有一辆自重8吨的卡车，要运输若干套某种设备，每套设备由1个A部件和3个B部件组成，这种设备必须成套运输.已知1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等.1个A部件和1个B部件的质量各是多少吨？
20.(本小题8分)
如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AE是∠CAB的角平分线，AE交CB于点E，交CD于点F．
(1)猜想∠CEF与∠CFE的数量关系，并说明理由；
(2)将图1中的△ADF沿AB向右平移，使得点F的对应点F′落在BC边上，点A，D的对应点A′，D′落在AB边上，在图2中画出平移后的△A′D′F′，连接FF′，并判断四边形FF′A′A的形状．
21.(本小题8分)
阅读理解：在学习了一元一次不等式及其解集后，老师给出了这样一个问题：求不等式(x+1)(3x−2)>0的解集．
同学们说：我们并没有学过这样的不等式.但善于思考的小樱给出了解题过程：
解：原不等式可以转化为：①x+1<03x−2<0或②x+1>03x−2>第一步
分别解这两个一元一次不等式组得：x>23或x<−第二步
∴原不等式的解集是或x<−1或x>第三步
(1)反思与提升：小樱的解题过程中，第一步的依据是______；主要运用的数学思想是______(从“数形结合”“转化思想”“分类讨论”中选出一个填空)；
(2)迁移与运用：一个自然数n，比它大3的数与比它小5的数的积为负数，求这个自然数．
22.(本小题10分)
综合与实践
问题情境：课上，老师提出如下问题：如图1，△ABC中，∠ABC=∠ACB=30°，把△ABC绕点A顺时针旋转角α(0°<α≤90°)得到△AB′C′.如图2，当α=30°时，试判断CB与AB′的位置关系，并说明理由．
数学思考：(1)请你解答老师提出的问题；
深入探究：(2)“勤奋小组”提出问题：如图3，当旋转至CB⊥AC′时，猜想AB与B′C′的位置关系，并说明理由；
提出问题：(3)如图4，“善思小组”把△ABC绕点A顺时针旋转角90°得到△AB′C′，连接BB′，CC′，BC′，CB′，在不添加字母的情况下，结合图4写出两个有关数量关系或位置关系的数学结论．
23.(本小题11分)
综合与探究
已知，数轴上三点A，O，B对应的数分别为−3，0，1，点C为数轴上任意一点，其对应的数为x．
(1)AB的长为______，AC的长为______；
(2)若AC=2BC，求x的值；
(3)数轴上，如果动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度沿数轴正方向运动；同时动点M和N分别从点A和点B出发，分别以每秒3个单位和每秒2个单位的速度也沿数轴正方向运动.当点P到点M的距离等于点P到点N的距离时，直接写出点P所表示的数．
答案解析
1.A
【解析】解：∵∠A=50°，∠B=80°，
∴∠C=180°−∠A−∠B=180°−50°−80°=50°．
故选：A．
根据三角形的内角和等于180°列式进行计算即可得解．
本题考查了三角形的内角和定理，是基础题．
2.C
【解析】解：A、图案不是轴对称图形，不符合题意；
B、图案不是轴对称图形，不符合题意；
C、图案是轴对称图形，符合题意；
D、图案不是轴对称图形，不符合题意；
故选：C．
根据轴对称图形的概念判断即可．
本题考查的是轴对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
3.A
【解析】A.因为x>y，所以2x>2y，故本选项符合题意；
B.因为x>y，所以−2x<−2y，故本选项不符合题意；
C.因为x>y，所以2x−1>2y−1，故本选项不符合题意；
D.因为x>y，所以x+1>y+1，故本选项不符合题意．
故选：A．
利用不等式的性质分析判断．
本题考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键．
4.C
【解析】解：如图，自行车的主框架A，B，C三个支点构成一个几何图形，使得自行车结构更加稳固，这里所运用的几何原理是三角形的稳定性．
故选：C．
根据三角形的稳定性解决问题．
本题考查三角形的稳定性，直线、线段的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是掌握三角形的稳定性．
5.D
【解析】解：将x=1y=2代入原方程得：1+2n=5，
解得：n=2，
∴n的值是2．
故选：D．
将x=1y=2代入原方程，可得出1+2n=5，解之即可得出n的值．
本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．
6.D
【解析】解：设中间数为x，则另8个数分别为x−8，x−7，x−6，x−1，x+1，x+6，x+7，x+8，
根据题意得：x−8+x+8=42，
解得：x=21，
∴x−8+x−7+x−6+x−1+x+x+1+x+6+x+7+x+8=9x=189．
故选：D．
设中间数为x，则另8个数分别为x−8，x−7，x−6，x−1，x+1，x+6，x+7，x+8，由最大数与最小数的和为42，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将9个数相加即可得出结论．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
7.B
【解析】解：∵正八边形的每个内角的度数是(8−2)×180°8=135°，正三角形的每个内角的度数是60°，正方形的每个内角的度数是90°，正，五边形的每个内角的度数是(5−2)×180°5=108°，正六边形的每个内角的度数是(6−2)×180°6=120°，
∴与正八边形组合能够铺满地面的是正方形(两个正八边形和一个正方形，
故选：B．
先求出每个多边形的内角的度数，再逐个判断即可．
本题考查了正多边形的内角和外角，平面镶嵌等知识点，能理解平面镶嵌的定义是解此题的关键．
8.B
【解析】解：∵如果每人出8钱，则剩余3钱，
∴y=8x−3；
∵如果每人出7钱，则差4钱，
∴y=7x+4．
∴根据题意可列方程为7x+4=8x−3．
故选：B．
根据“如果每人出8钱，则剩余3钱；如果每人出7钱，则差4钱”，即可得出关于x的方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
9.C
【解析】解：如图，
∵∠ACD=90°，∠F=∠B=45°，
∴∠CGF=∠DGB=45°，
则∠α=∠D+∠DGB=30°+45°=75°，
故选：C．
先根据三角形的内角和得出∠CGF=∠DGB=45°，再利用∠α=∠D+∠DGB可得答案．
本题主要考查三角形的外角的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和定理和三角形外角的性质．
10.B
【解析】解：∵△ABD≌△CFD，
∴BD=DF=2，AD=DC=6，
∴BC=BD+CD=2+6=8，
∵AD⊥BC，
∴S△ABC=12⋅BC⋅AD=12×8×6=24．
故选：B．
利用全等三角形的性质求出AD和BC的长可得结论．
本题考查全等三角形的性质，三角形的面积，解题的关键是掌握全等三角形的性质．
11.1
【解析】解：把x=−1代入方程2m−3x=5中，得2m+3=5，
解得m=1，
故答案为：1．
根据一元一次方程的解的定义把x=−1代入方程2m−3x=5中即可求出m的值．
本题考查了一元一次方程的解，熟知方程的解的定义是解题的关键．
12.5
【解析】解：3x−2y=4k−5①2x−3y=k②，
①−②得x+y=3k−5，
∵x+y=10，
∴3k−5=10，
∴k=5．
故答案为：5．
运用整体思想直接将两个方程相减可得x+y=3k−5，再结合条件x+y=10即可求出k．
本题考查了二元一次方程组的解，掌握用整体思想解二元一次方程组的方法是关键．
13.360
【解析】解：由多边形的外角和等于360°可知，
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°．
14.40cm2
【解析】解：∵DF是△BDE的中线，
∴S△BDE=2S△DEF=2×5=10(cm2)，
∵BE是△ABD的中线，
∴S△ABD=2S△BDE=2×10=20(cm2)，
∵AD是△ABC的中线，
∴S△ABC=2S△ABD=2×20=40(cm2).
故答案为：40cm2．
利用三角形的中线平分三角形的面积求解．
本题考查三角形的面积，解题的关键是掌握三角形的中线平分三角形的面积．
15.20°
【解析】解：∵∠ABC=∠ACB，∠BAC=100°，且∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴2∠ABC+100°=180°，
∴∠ABC=∠ACB=40°，
由旋转得AC′=AC，∠B′AC′=∠BAC=100°，
∵AB′//CC′，
∴∠AC′C=180°−∠B′AC′=80°，
∴∠ACC′=∠AC′C=80°，
∴∠BAB′=∠CAC′=180°−∠ACC′−∠AC′C=180°−80°−80°=20°，
故答案为：20°．
由∠ABC=∠ACB，∠BAC=100°，求得∠ABC=∠ACB=40°，由旋转得AC′=AC，∠B′AC′=∠BAC=100°，由AB′//CC′，得∠AC′C=180°−∠B′AC′=80°，则∠ACC′=∠AC′C=80°，所以∠BAB′=∠CAC′=20°，于是得到问题的答案．
此题重点考查旋转的性质、平行线的性质、等腰三角形的性质等知识，求得∠ACC′=∠AC′C=80°是解题的关键．
16.解：(1)3x−12−1=5x−76，
3(3x−1)−6=5x−7，
9x−3−6=5x−7，
9x−5x=3+6−7，
4x=2，
x=12．
(2)x+2y=0①3x+4y=6②，
①×2−②，得−x=−6，
解得x=6，
将x=6代入①，得6+2y=0，
解得y=−3，
∴方程组的解为：x=6y=−3．
【解析】(1)按照解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答；
(2)根据加减消元解方程组即可．
本题考查了解一元一次方程，解二元一次方程组，熟练掌握解方程的步骤以及加减消元法是解题的关键．
17.乘法分配律(或分配律) 五 不等式两边都除以−5，不等号的方向没有改变
【解析】解：2(2x−1)>3(3x−2)−6，第一步
4x−2>9x−6−6，第二步
4x−9x>−6−6+2，第三步
−5x>−10，第四步
x<2，第五步
任务一：填空：①以上解题过程中，第二步是依据乘法分配律(运算律)进行变形的；
②第五步开始出现错误，这一步错误的原因是不等式两边都除以−5，不等号的方向没有改变；
故答案为：①乘法分配律(或分配律)，②五，不等式两边都除以−5，不等号的方向没有改变．
任务二：该不等式的正确解集是x<2．
故答案为：x<2．
去分母；去括号；移项；合并同类项；化系数为1，依此即可求解．
本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．同时考查了解一元一次不等式，步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
18.3.5 轴对称
【解析】解：(1)△ABC的面积为3×3−12×1×2−12×2×3−12×1×3=3.5，
故答案为：3.5；
(2)①如图所示，△A1B1C1即为所求；
②如图所示，△A2B2C2即为所求；
(3)△A2B2C2与△A1B1C1形成轴对称关系，
故答案为：轴对称．
(1)根据割补法求解即可；
(2)①根据中心对称的性质找出对应点即可求解；
②根据轴对称的性质找出对应点即可求解；
(3)根据轴对称的性质可得出结论．
本题考查了作图−旋转变换，轴对称变换，熟记旋转变换，轴对称变换的性质是解题的关键．
19.解：设1个A部件的质量为x吨，1个B部件的质量为y吨，
由题意得：x+2y=2.82x=3y，
解得：x=1.2y=0.8，
答：1个A部件的质量为1.2吨，1个B部件的质量为0.8吨．
【解析】设1个A部件的质量为x吨，1个B部件的质量为y吨，根据1个A部件和2个B部件的总质量为2.8吨，2个A部件和3个B部件的质量相等．列出二元一次方程组，解方程组即可．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
20.解：(1)∠CEF=∠CFE．
理由：∵∠ACB=90°，CD是高，
∴∠B+∠CAB=90°，∠ACD+∠CAB=90°，
∴∠B=∠ACD，
∵AE是角平分线，
∴∠CAF=∠DAF，
∵∠CFE=∠CAF+∠ACD∠CEF=∠DAF+∠B，
∴∠CEF=∠CFE；
(2)如图，四边形FF′A′A是平行四边形，
，
理由：∵△ADF沿AB向右平移得到△A′D′F′，
∴AF=A′F′，AF//A′F′，
∴四边形FF′A′A是平行四边形．
【解析】(1)根据三角形内角和定理得到∠B+∠CAB=90°，∠ACD+∠CAB=90°，求得∠B=∠ACD，根据角平分线的定义得到∠CAF=∠DAF，于是得到结论；
(2)根据平移的性质得到AF=A′F′，AF//A′F′，根据平行四边形的判定定理得到四边形FF′A′A是平行四边形．
本题考查了作图−平移变换，平行四边形的判定，平移的性质，直角三角形的性质，正确地作出图形是解题的关键．
21.两数相乘，同号得正 转化思想
【解析】解：(1)由题知，
第一步的依据是：两数相乘，同号得正．
小樱是将一元二次方程转化为了一元一次不等式组，
所以主要运用了转化思想．
故答案为：两数相乘，同号得正，转化思想．
(2)由题知，
(n+3)(n−5)<0，
则n+3>0n−5<0或n+3<0n−5>0，
分别解这两个不等式组得：−3
所以这个自然数为：0或1或2或3或4．
(1)根据小樱的解题过程，得出其依据的是：两数相乘，同号得正，同时将一元二次不等式转化为了一元一次不等式组，据此可解决问题．
(2)根据题意列出不等式，再根据题中所给步骤进行求解即可．
本题主要考查了解一元一次不等式及解一元一次不等式组，熟知转化的数学思想及解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．
22.解：(1)CB//AB′，理由如下：
∵∠B′AB=α=30°，∠B=30°，
∴∠B=∠B′AB，
∴CB//AB′；
(2)如图1，
AB⊥B′C′，理由如下：
设BC交B′C′于O，交AC′于E，AB交B′C′于D，
∵CB⊥AC′，
∴∠OEC′=90°，
∵△ABC绕点A顺时针旋转角α(0°<α≤90°)得到△AB′C′，
∴∠C′=∠C=30°，
∵∠B=30°，
∴∠B=∠C′，
∵∠BOD=∠EOC′，
∴∠BDO=∠OEC′=90°，
∴AB⊥B′C′；
(3)如图2，
BB′=CC′，BC′//B′C，
设BC交B′C′于点F，
∵△ABC绕点A顺时针旋转角90°得到△AB′C′，
∴∠BAB′=∠CAC′=90°，AB′=AB，AC′=AC，
∵∠ABC=∠ACB=30°，
∴AB=AC，
∴AB′=AC，AB=AC′，
∴△AB′B≌△ABC′(SAS)，
∴AB′=CC′，
∵AB′=AB，∠B′AB=90°，
∴∠AB′B=∠ABB′=45°，
∵∠AB′C′=∠ABC=30°，
∴∠AB′B−∠AB′C′=15°，
∴∠BB′C′=15°，
同理可得，
∠BCC′=15°，
∴∠BB′C′=∠BCC′，
∵∠BFB′=∠CFC′，
∴△BFB′≌△C′FC(AAS)，
∴BF=C′F，B′F=CF，
∴∠FBC′=∠FC′B=180°−∠BFC′2，∠FB′C=∠FCB′=180°−∠CFB′2，
∵∠BFC′=∠CFB′，
∴∠FCB′=∠FBC′，
∴BC′//B′C．
【解析】(1)可得出∠B=∠B′AB=30°，从而得出CB//AB′；
(2)设BC交B′C′于O，交AC′于E，AB交B′C′于D，可得出∠B=∠C′=30°，∠BOD=∠EOC′，从而得出∠BDO=∠OEC′=90°，从而得出结果；
(3)设BC交B′C′于点F，可证得△AB′B≌△ABC′，从而得出AB′=CC′，可推出∠BB′C′=∠BCC′=30°，进而证得△BFB′≌△C′FC，从而BF=C′F，B′F=CF，从而得出∠FBC′=∠FC′B=180°−∠BFC′2，∠FB′C=∠FCB′=180°−∠CFB′2，进而得出∠FCB′=∠FBC′，从而得出BC′//B′C．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解决问题的关键是熟练掌握基础知识．
23.4 |x+3|
【解析】解(1)∵A，O，B对应的数分别为−3，0，1，
∴AB=1−(−3)=4，AC=|x−(−3)|=|x+3|，
故答案为：4；|x+3|；
(2)∵AC=2BC，BC=2|x−1|，
∴|x+3|=2|x−1|，
∴x+3=2(x−1)或x+3=−2(x−1)，解得x=5或x=−13，
故答案为：5或−13；
(3)由题意知，t秒时，点P所表示的数为t，点M所表示的数为−3+3t，点P所表示的数为1+2t，
∴PM=|−3+3t−t|=|−3+2t|，PN=|1+2t−t|=|1+t|=1+t，当点P到点M的距离等于点P到点N的距离时，PM=PN，
∴|−3+2t|=1+t，
∴−3+2t=1+t或−(−3+2t)=1+t，解得：t=4或t=23，
∴点P所表示的数为4或23，
故答案为：4或23．
(1)根据数轴上两点间距离公式求解；
(2)用含x的式子表示出BC，AC，列方程求解即可；
(3)用含t的式子表示出t秒时点P，M，N所表示的数，进而用含/的式子表示出PM，PN，列方程求解即可．
本题考查数轴上的动点问题，数轴上两点间距离，解一元一次方程等，题目难度不大，掌握基础知识即可解答．
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