2024-2025学年广西柳州三十五中九年级（上）开学数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年广西柳州三十五中九年级（上）开学数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程中，是一元二次方程的是( )
A. x2−5x=0B. x+1=0C. y−2x=0D. 2x3−2=0
2.二次函数y=(m−2)x2+2x−1中，m的取值范围是( )
A. m>2B. m<2C. m≠2D. 一切实数
3.已知x=1是关于x的一元二次方程x2+mx=0的一个根，则m的值是( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
4.一元二次方程x2−2x=0的解为( )
A. x=2B. x1=0，x2=2
C. x1=0，x2=−2D. x=−2
5.已知二次函数y=(a−1)x2，当x<0时，y随x增大而减小，则实数a的取值范围是( )
A. a>0B. a<1C. a≠1D. a>1
6.下列一元二次方程中，没有实数根的是( )
A. x2−2x=0B. x2+4x−1=0C. 3x2−5x+2=0D. 2x2−4x+3=0
7.如图，是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c>0的解集是( )
A. x>3
B. x<−1
C. −1D. x>3或x<−1
8.某校“研学”活动小组在一次野外实践时，发现一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是43，则这种植物每个支干长出的小分支个数是( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
9.2024年8月2日，第八届广西万村篮球赛暨广西社区运动会县级赛在柳州市鱼峰区白沙镇举行开赛仪式，据了解，本次鱼峰区比赛采用单循环制(每两支球队之间都进行一场比赛)，如果比赛共进行了78场，则一共有多少支球队参加比赛？设一共有x支球队参加比赛，根据题意可列方程是( )
A. x(x+1)2=78B. x(x−1)=78C. x(x+1)=78D. x(x−1)2=78
10.如图是抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，抛物线的顶点是A，对称轴是直线x=1，且抛物线与x轴的一个交点为B(4,0)；直线AB的解析式为y2=mx+n(m≠0).下列结论：
①2a+b=0；
②abc>0；
③方程ax2+bx+c=mx+n有两个不相等的实数根；
④抛物线与x轴的另一个交点是(−1,0)；
⑤当1y2，其中正确的是( )
A. ①②B. ①③⑤C. ①④D. ①④⑤
二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。
11.方程x2−4=0的解是______．
12.抛物线y=(x−1)2+3的顶点坐标为 ．
13.关于x的一元二次方程x2+2x−1=0的两根之和为______．
14.已知点A(x1,y1)，B(x2,y2)在二次函数y=15(x−3)2−2的图象上，若x1”、“<”或“=”)．
15.关于x的一元二次方程kx2−2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______．
16.《代数学》中记载，形如x2+8x=33的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+16=49，则该方程的正数解为7−4=3.”小唐按此方法解关于x的方程x2+12x=m时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为64，则该方程的正数解为______．
三、解答题：本题共7小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解下列方程：
(1)x2+2x−3=0；
(2)x2−8x=−16；
(3)3x2−4x−2=0；
(4)x(x−2)=5(x−2)．
18.(本小题6分)
有一人感染了某种病毒，经过两轮传染后，共有256人感染了该种病毒，求每轮传染中平均每人传染了多少个人．
19.(本小题8分)
已知抛物线y=2x2+4x−6．
(1)求抛物线的对称轴；
(2)将该抛物线向右平移m(m>0)个单位长度，平移后所得新抛物线经过坐标原点，求m的值．
20.(本小题8分)
已知关于x的一元二次方程x2+6x+(2m+1)=0有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2−x1−x2≥8，求m的取值范围．
21.(本小题8分)
“杭州亚运⋅三人制篮球”赛将于9月25−10月1日在我县举行，我县某商店抓住商机，销售某款篮球服.6月份平均每天售出100件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，7月份该店准备采取降价措施，经过市场调研，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出10件．
(1)若降价5元，求平均每天的销售数量；
(2)当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为6000元？
22.(本小题10分)
阅读与理解：如果关于x的一元二次方程x2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”.例如一元二次方程x2+x=0的两个根是x1=0，x2=−1，则方程x2+x=0是“邻根方程”．
(1)通过计算，判断方程x2−9x+20=0是否是“邻根方程”；
(2)已知关于x的方程x2−(m−1)x−m=0(m是常数)是“邻根方程”，求m的值．
23.(本小题10分)
如图，直线y=x−3与x轴、y轴分别交于点B、A，抛物线y=a(x−2)2+k经过点A、B，其顶点为C．
(1)求抛物线的解析式．
(2)求△ABC的面积．
(3)点P为直线AB上方抛物线上的任意一点，过点P作PD//y轴交直线AB于点D，求线段PD的最大值及此时点P的坐标．
参考答案
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】D
10.【答案】B
11.【答案】±2
12.【答案】(1,3)
13.【答案】−2
14.【答案】>
15.【答案】k<1且k≠0
16.【答案】4 6−6
17.【答案】解：(1)x2+2x−3=0，
(x+3)(x−1)=0，
解得：x1=−3，x2=1；
(2)x2−8x=−16，
x2−8x+16=0，
(x−4)2=0，
x−4=0，
x1=x2=4；
(3)3x2−4x−2=0，
a=3，b=−4，c=−2，
Δ=(−4)2+4×2×3=40>0，
x=4±2 102×3=2± 103，
x1=2+ 103,x2=2− 103；
(4)x(x−2)=5(x−2)，
x(x−2)−5(x−2)=0，
(x−5)(x−2)=0，
解得：x1=5，x2=2．
18.【答案】解：设每轮传染中平均每人传染了x人，
依题意得：1+x+x(1+x)=256，
即(1+x)2=256，
解得：x1=−17(不符合题意舍去)，x2=15，
答：每轮传染中平均每人传染了15人．
19.【答案】解：(1)y=2x2+4x−6=2(x+1)2−8，
∴对称轴为直线x=−1；
(2)∵将该抛物线向右平移m(m>0)个单位长度，
∴新的抛物线的解析式为：y=2(x+1−m)2−8，
把(0,0)代入，得：2(1−m)2−8=0，
解得：m=3(负值舍去)．
20.【答案】解：(1)∵方程有实数根，
∴Δ=36−4(2m+1)=36−8m−4=32−8m≥0，
解得：m≤4．
故m的取值范围是m≤4；
(2)∵x1，x2是方程x2+6x+(2m+1)=0的两个实数根，
∴x1+x2=−6，x1⋅x2=2m+1，
∵2x1x2−x1−x2≥8，
∴2(2m+1)+6≥8，
解得m≥0，
由(1)可得m≤4，
∴m的取值范围是0≤m≤4．
21.【答案】解：(1)平均每天的销售数量为：100+10×5=150(件)，
答：平均每天的销售数量150件；
(2)设每件商品降价x元，
根据题意，得：(100+10x)(40−x)=6000，
解得：x1=10，x2=20，
答：当每件商品降价10元或20元时，该商店每天销售利润为6000元．
22.【答案】解：(1)x2−9x+20=0，
(x−4)(x−5)=0，
解得：x1=4，x2=5，
∵5−4=1，
故方程x2−9x+20=0是“邻根方程”；
(2)x2−(m−1)x−m=0，
(x−m)(x+1)=0，
解得：x1=m，x2=−1，
∵方程x2−(m−1)x−m=0(m是常数)是“邻根方程”，
∴m=−1+1=0，或m=−1−1=−2．
23.【答案】解：(1)当x=0时，y=−3，
当y=0时，x=3，
∴A(0,−3)，B(3,0)，
由题意得：4a+k=−3a+k=0，
解得：a=−1k=1，
∴抛物线的解析式为：y=−(x−2)2+1=−x2+4x−3；
(2)由抛物线的顶点式得：C(2,1)，

设AC的解析式为：y=bx−3，
则2b−3=1，
解得：b=2，
∴AC的解析式为：y=2x−3，
当y=0时，2x−3=0，
解得：x=1.5，
∴△ABC的面积为：12×(3−1.5)×(1+3)=3；
(3)设AB的解析式为：y=mx−3，
则：0=3m−3，
解得：m=1，
∴AB的解析式为：y=x−3，
∴点P为直线AB上方抛物线上的任意一点，过点P作PD//y轴，
设点P(x,−x2+4x−3)，(0则D(x,x−3)，
∴PD=−x2+4x−3−(x−3)=−x2+3x=−(x−1.5)2+2.25，
∴当x=1.5时，PD有最大值，为2.25，
此时P(1.5,0.75)．