2024-2025学年湖南省益阳市万源教育集团九年级（上）开学数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年湖南省益阳市万源教育集团九年级（上）开学数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知函数y=(m−2)xm2−10是反比例函数，且当x<0时，y随着x的增大而增大，则m的取值范围是( )
A. m≥−3B. m<−3C. m>−3D. m=−3
2.反比例函数y=kx(k≠0)的图象如图所示，则k的值可能是( )
A. 5
B. 12
C. −5
D. −12
3.若点A(−1,y1)、B(2,y2)、C(π,y3)在反比例函数y=5x的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是( )
A. y34.一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图所示，设小矩形的长和宽分别为x，y，剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，则y与x的函数图象是( )
A. B. C. D.
5.若关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有一个根为0，则m的值为( )
A. 2B. 1C. 0D. −1
6.(非课改)已知α，β是关于x的一元二次方程x2+(2m+3)x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足1α+1β=−1，则m的值是( )
A. 3B. 1C. 3或−1D. −3或1
7.已知：如图1，在平行四边形ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，AC⊥AB，△ACD沿AC的方向以速度为1cm/s匀速平移得到△PMN；同时，点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动速度为1cm/s，当△PMN停止平移时，点Q也停止运动，如图2，设运动时间为t(s)(0A. t=1B. t=4C. t=5D. t不存在
8.设一元二次方程x2−3x+2=0的两根为x1，x2，则x1+x2−x1x2的值为( )
A. 1B. −1C. 0D. 3
9.如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2.设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是( )
A. (32−x)(20−x)=32×20−570B. 32x+2×20x=32×20−570
C. (32−2x)(20−x)=570D. 32x+2×20x−2x2=570
10.一元二次方程x2−8x−1=0，配方后可变形为( )
A. (x−4)2=17B. (x−4)2=18C. (x−8)2=1D. (x−4)2=1
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.如图，Rt△ABC的直角顶点A在反比例函数y=k1x(k1<0)的图象上，顶点B在x轴负半轴上，顶点C在反比例函数y=k2x(k2>0)的图象上，斜边BC交y轴于点D，若AB//y轴，BD=2DC，△ABC面积为6，则k1+k2的值为______．
12.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为8，点B在y轴上，点C在反比例函数y=kx上的图象上，则k的值为______．
13.若关于x的方程x2+2x−m=0的一个根是x=3，则m的值为______．
14.已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+(k2−2)x+2k+4=0的一个根，则k的值为 ．
15.设x1，x2是方程x2+3x−3=0的两个实数根，则x2x1+x1x2的值为______．
16.已知关于x的方程x2+(2k+1)x+k2−2=0的两实根的平方和等于11，则k的值为______．
17.如图，点A、D分别在函数y=−1x，y=3x的图象上，点B、C在x轴上，若四边形ABCD为正方形，点A在第二象限，则A的坐标为______．
18.如图，过原点的直线AB交双曲线y=kx于A、B两点，点C在x轴上，且AC=12AB，若△ABC的面积为6，则k的值为______．
三、解答题：本题共7小题，共58分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题7分)
如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=mx的图象相交于A(−1,n)，B(2,−1)两点，与y轴相交于点C．
(1)求一次函数与反比例函数的表达式；
(2)若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积．
20.(本小题7分)
如图，Rt△ABC的直角边AB在x轴上，∠ABC=90°，边AC交y轴于点D，点C在反比例函数y=kx第一象限的图象上，AC所在直线的解析式为y=ax+4，其中点A(−2,0)，B(1,0)．
(1)求反比例函数和AC所在直线的解析式；
(2)将Rt△ABC的边直角边BC沿着x轴正方向平移m个单位长度得到线段B′C′，线段B′C′与反比例函数的图象交于点E，问当m为何值时，四边形ODC′E是平行四边形？
21.(本小题8分)
如图，一次函数y=mx+n(m≠0)的图象与反比例函数y=kx(k≠0)的图象交于点A(−3,a)，B(1,3)，且一次函数与x轴，y轴分别交于点C，D．
(1)求反比例函数和一次函数的表达式；
(2)根据图象直接写出不等式mx+n>kx的解集；
(3)在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得S△OCP=4S△OBD，求点P的坐标．
22.(本小题9分)
某种服装，平均每天可以销售20件，每件赢利44元，在每件降价幅度不超过30元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要赢利1900元，每件应降价多少元？
23.(本小题9分)
已知关于x的一元二次方程x2−4mx+m2=0．
(1)求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；
(2)若x=1是该方程的根，求代数式(m−2)2+3的值．
24.(本小题9分)
2023年杭州亚运会吉祥物一开售，就深受大家的喜爱.某商店以每件35元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件58元的价格出售.经统计，4月份的销售量为256件，6月份的销售量为400件．
(1)求该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率；
(2)从7月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件.当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达8400元？
25.(本小题9分)
已知关于x的一元二次方程：x2−(2k+1)x+4(k−12)=0．
(1)求证：这个方程总有两个实数根；
(2)若等腰△ABC的一边长a=4，另两边长b、c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长．
答案解析
1.D
【解析】解：∵函数y=(m−2)xm2−10是反比例函数，
∴m−2≠0且m2−10=−1，
解得m=±3，
∵当x<0时，y随着x的增大而增大，
∴m<0，
∴m=−3．
故选：D．
先根据反比例函数的定义得出m的值，再由当x<0时，y随着x的增大而增大即可得出m的值．
本题考查的是反比例函数定义及反比例函数的性质，熟知反比例函数的增减性是解题的关键．
2.C
【解析】解：如图所示：A(−3,3)，B(2,−2)都不在反比例函数图象上，
则−3×3即−9故k的值可能是−5．
故选：C．
直接利用反比例函数的图象上点的坐标特点得出k的取值范围，进而得出答案．
此题主要考查了反比例函数的图象，正确得出k的取值范围是解题关键．
3.C
【解析】解：∵点A(−1,y1)，B(2,y2)，C(3,y3)在反比例函数y=5x的图象上，
∴y1=5−1=−5，y2=52，y3=53，
又∵−5<52<53，
∴y1故选：C．
根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值是解题的关键．
4.A
【解析】解：∵是剪去的两个矩形，两个矩形的面积和为20，
∴xy=10，
∴y是x的反比例函数，
∵2≤x≤10，
∴答案为A．
故选：A．
先根据图形的剪切确定变化过程中的函数关系式，确定函数类型，再根据自变量及函数的取值范围确定函数的具体图象．
现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限．
5.C
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有一个根为0，
∴m=0，
故选：C．
将x=0代入方程x2−2x+m=0，即可求解．
本题考查了一元二次方程的解的定义，将x=0代入方程是解题的关键．
6.A
【解析】解：根据条件知：
α+β=−(2m+3)，αβ=m2，
∴1α+1β=β+ααβ=−(2m+3)m2=−1，
即m2−2m−3=0，
所以，得m2−2m−3=0(2m+3)2−4m2>0，
解得m=3．
故选：A．
由于方程有两个不相等的实数根可得△>0，由此可以求出m的取值范围，再利用根与系数的关系和1α+1β=−1，可以求出m的值，最后求出符合题意的m值．
1、考查一元二次方程根与系数关系与根的判别式及不等式组的综合应用能力．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
(1)△>0⇔方程有两个不相等的实数根；
(2)△=0⇔方程有两个相等的实数根；
(3)△<0⇔方程没有实数根．
2、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系为：x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
7.D
【解析】解：过点P作PE⊥BC，如图：
∵AC⊥AB，
∴△CPE∽△CBA，
∴PECP=ABBC，
由题意知AC=4，AP=t，QC=t，
∴PC=4−t，
∴PE4−t=35，
∴PE=35(4−t)，
∴S△QCM=12×t×(4−t)×35=−310t2+65t，
∵S△QMC：S四边形ABQP=1：3，
∴S△QMC：S△ABC=1：4．
∵S△ABC=12×3×4=6，
∴(−310t2+65t)：6=1：4，
化简得t2−4t+5=0，方程无解，
∴不存在t使得S△QMC：S四边形ABQP=1：3．
故选：D．
先表示出△QMC的面积，根据S△QMC：S四边形ABQP=1：3得出S△QMC：S△ABC=1：4.而△ABC的面积为6，从而可求解．
本题考查相似三角形的性质和判定，三角形的面积，一元二次方程的解，熟练掌握以上知识是解题关键．
8.A
【解析】解：根据根与系数的关系得x1+x2=3，x1x2=2，
∴x1+x2−x1x2=3−2=1．
故选：A．
先利用根与系数的关系得x1+x2=3，x1x2=2，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根，则x1+x2=−ba，x1x2=ca．
9.C
【解析】解：∵道路的宽为x m，
∴种植草坪的部分可合成长为(32−2x)m，宽为(20−x)m的矩形．
根据题意得：(32−2x)(20−x)=570．
故选：C．
由道路的宽为xm，可得出种植草坪的部分可合成长为(32−2x)m，宽为(20−x)m的矩形，根据草坪的面积为570m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
10.A
【解析】解：方程x2−8x−1=0，
整理得：x2−8x=1，
配方得：x2−8x+16=17，即(x−4)2=17．
故选：A．
方程移项后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
11.−4
【解析】解：如图，设AC与y轴交于点E，过C作CF⊥x轴为于点F，
则S矩形ABFC=2S△ABC=12，
∴S矩形ABOE+S矩形EOFC=|k1|+|k2|=−k1+k2=12 ①．
∵AC//BF，
∴ECOB=DCDB=12，
∴OB=2EC，
∴可设C(x,k2x)，则A(−2x,−k12x)，
∵AC//x轴，
∴k2x=−k12x，
∴k1=−2k2 ②，
把②代入①，得2k2+k2=12，
∴k2=4，
∴k1=−8，
∴k1+k2=−8+4=−4．
故答案为：−4．
设AC与y轴交于点E，过C作CF⊥x轴为于点F，根据矩形的性质得出S矩形ABFC=2S△ABC=12，由反比例函数比例系数k的几何意义得出S矩形ABOE+S矩形EOFC=|k1|+|k2|=−k1+k2=12 ①.根据平行线分线段成比例定理得出ECOB=DCDB=12，那么OB=2EC，由此可设C(x,k2x)，则A(−2x,−k12x)，根据AC/​/x轴，得出k2x=−k12x，即k1=−2k2 ②，把②代入①，求出k2=4，再求出k1=−8，进而得出结论．
本题考查了反比例函数y=kx中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．也考查了矩形的性质以及平行线分线段成比例定理．
12.−4
【解析】解：连接AC交OB于D，如图，
∵四边形ABCO为菱形，
∴AC⊥OB，S△OCD=14S菱形ABCO=14×8=2，
∵CD⊥y轴，
∴S△OCD=12|k|，
即12|k|=2，
而k<0，
∴k=−4．
故答案为：−4．
连接AC交OB于D，如图，根据菱形的性质得AC⊥OB，S△OCD=14S菱形ABCO=2，再利用反比例函数比例系数k的几何意义得到12|k|=2，然后根据反比例函数的性质确定k的值．
本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|，且保持不变．也考查了菱形的性质．
13.15
【解析】解：把x=3代入x2+2x−m=0，得32+6−m=0，
解得m=15．
故答案为：15．
把x=3代入x2+2x−m=0得32+6−m=0，然后解关于m的方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
14.−3
【解析】解：把x=2代入kx2+(k2−2)x+2k+4=0得4k+2k2−4+2k+4=0，
整理得k2+3k=0，解得k1=0，k2=−3，
因为k≠0，
所以k的值为−3．
故答案为−3．
15.−5
【解析】解：∵x1，x2是方程x2+3x−3=0的两个实数根，
∴x1+x2=−3，x1⋅x2=−3，
∴x2x1+x1x2=x12+x22x1⋅x2=(x1+x2)2−2x1⋅x2x1⋅x2=(−3)2−2×(−3)−3=−5．
故答案为−5．
欲求x2x1+x1x2的值，先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．
此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．
16.1
【解析】解：设方程x2+(2k+1)x+k2−2=0两根为x1，x2
得x1+x2=−(2k+1)，x1⋅x2=k2−2，
△=(2k+1)2−4×(k2−2)=4k+9≥0，
∴k≥−94，
∵x12+x22=11，
∴(x1+x2)2−2x1x2=11，
∴(2k+1)2−2(k2−2)=11，
解得k=1或−3；
∵k≥−94，
故答案为：1．
由题意设方程x2+(2k+1)x+k2−2=0两根为x1，x2，得x1+x2=−(2k+1)，x1⋅x2=k2−2，然后再根据两实根的平方和等于11，从而解出k值．
此题应用一元二次方程根与系数的关系解题，利用两根的和与两根的积表示两根的平方和，把求未知系数的问题转化为解方程的问题．
17.(−12,2)
【解析】解：设点B(b,0)，点C(a,0)，则b<0，a>0，
∵点A在反比例函数y=−1x的图象上，
∴点A(b,−1b)，即OB=−b，AB=−1b，
∵点D在反比例函数y=3x的图象上，
∴点D(a,3a)，即OC=a，CD=3a，
又∵ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD，
即−1b=a−b=3a，
解得a=32，b=−12，
∴点A(−12,2)，
故答案为：(−12,2)．
设点B(b,0)，点C(a,0)利用反比例函数图象上点的坐标特征表示AB、BC、CD，再根据正方形的性质求出b的值即可．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质，理解反比例函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质是正确解答的前提，设出点B，点C坐标，分别表示出正方形的边长是解决问题的关键..
18.3
【解析】解：作AD⊥OC于D，
∵过原点的直线AB交双曲线y=kx于A、B两点，
∴点A与点B关于原点对称，OA=OB，
∵△ABC的面积为6，
∴S△AOC=3，
∵AC=12AB，
∴AC=OA，
∴OD=CD，
∴S△AOD=12S△AOC=32，
∵S△AOD=12|k|，
∴|k|=3，
∵k>0，
∴k=3，
故答案为：3．
作AD⊥OC于D，根据反比例函数系数k的几何意义得到S△AOD=12|k|，利用自正比例函数和反比例函数的性质得到点A与点B关于原点对称，OA=OB，即可得到S△AOC=3，由AC=12AB得到OA=AC，根据等腰三角形三线合一，得出OD=CD，即可得出S△AOD=12|k|=32，从而求得k=3．
本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了反比例函数的对称性，反比例函数系数k的几何意义，等腰三角形三线合一的性质，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．
19.解：(1)∵反比例函数y=mx的图象经过点B(2,−1)，
∴m=2×(−1)=−2，
∴反比例函数解析式为y=−2x；
∵点A(−1,n)在y=−2x的图象上，
∴n=2，则A(−1,2)，
把点A，B的坐标代入y=kx+b，得−k+b=2,2k+b=−1.，解得k=−1,b=1.
∴一次函数的表达式为y=−x+1；
(2)∵直线y=−x+1交y轴于点C，
∴C(0,1)．
∵点D与点C关于x轴对称，
∴D(0,−1)．
∵B(2,−1)，
∴BD//x轴．
∴S△ABD=12×2×3=3．
【解析】(1)先把B点坐标代入y=mx中求出m得到反比例函数解析式为y=−2x；再利用y=−2x确定A点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；
(2)先利用一次函数解析式确定C(0,1).利用关于x轴对称的性质得到D(0,−1).则BD/​/x轴，然后根据三角形面积公式计算．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．
20.解：(1)AC所在直线的解析式为y=ax+4，其中点A(−2,0)，将A点坐标代入得：
−2a+4=0，
解得：a=2，
∴AC所在直线的解析式为y=2x+4；
∵B(1,0)，∠ABC=90°，
∴2×1+4=6，
∴C(1,6)，
∵点C在反比例函数y=kx第一象限的图象上，
∴k=1×6=6；
∴反比例函数的解析式为y=6x；
(2)当x=0时，y=2x+4=4，
∴OD=4，
将Rt△ABC的边直角边BC沿着x轴正方向平移m个单位长度得到线段B′C′，由平移的性质得到C′(1+m,6)，B′C′=BC=6，
由题意得OD//EC′，
∴当EC′=OD=4时，四边形ODC′E是平行四边形，
由(1)知反比例函数的解析式为y=6x，

∵E点在点C在反比例函数y=6x第一象限的图象上，E点的横坐标为1+m，
∴E点的纵坐标为61+m，
∴EC′=B′C′−B′E=6−61+m=4，
解得m=2，
即当m为2时，四边形ODC′E是平行四边形．
【解析】(1)由待定系数法求得AC所在直线的解析式为y=2x+4，进而求出C点的坐标(1,6)，即可求出k的值，进而得到反比例函数解析式；
(2)由于OD//EC′，故当EC′=OD=4时，四边形ODC′E是平行四边形，由题意可得E点的横坐标为1+m，得到E点的纵坐标为61+m，由EC′=B′C′−B′E=6−61+m=4，解方程即可求得m．
本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求反比例函数的解析式，平行线的性质，正确地作出图形是解题的关键．
21.解：(1)∵一次函数y=mx+n(m≠0)的图象与反比例函数y=kx的图象交于点A(−3,a)，B(1,3)，
∴k=1×3=−3×a，
∴k=3，a=−1，
∴反比例函数解析式为y=3x，
一次函数y=mx+n图象过A(−3,−1)，B(1,3)，
−3m+n=−1m+n=3，解得m=1n=2，
一次函数解析式为y=x+2；
(2)由图象可知，不等式mx+n>kx的解集为：−31．
(3)在一次函数y=x+2中，当x=0时，y=2；当y=0时，x=−2，
∴C(−2,0)，D(0,2)
∴S△OBD=12×2×1=1，
∴S△OCP=4S△OBD=4，
设点P大坐标为(m,3m)，
∴12×2×−3m=4，
解得m=−34，
∴点P(−34,−4)．
【解析】(1)待定系数法求出两个函数解析式即可；
(2)根据函数图象及交点坐标直接写出不等式的解集即可；
(3)根据一次函数解析式先求出点C、D坐标，再设点P大坐标为(m,3m)利用三角形面积公式计算出m值即可得到点P的坐标．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．
22.解：设每件应降价x元，则每件盈利(44−x)元，每天可售出(20+5x)件，
依题意得：(44−x)(20+5x)=1900，
整理得：x2−40x+144=0，
解得：x1=6，x2=34(不合题意，舍去)．
答：每件应降价6元．
【解析】设每件应降价x元，则每件盈利(44−x)元，每天可售出(20+5x)件，利用每天销售该服装获得的利润=每件的利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
23.(1)证明：∵Δ=(−4m)2−4m2
=12m2≥0，
∴不论m为何值，该方程总有两个实数根；
(2)解：把x=1代入方程x2−4mx+m2=0得1−4m+m2=0，
即m2−4m=−1，
∴(m−2)2+3=m2−4m+4+3=−1+4+3=6．
【解析】(1)先计算根的判别式的值得到Δ=12m2≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论；
(2)先根据一元二次方程根的定义得到m2−4m=−1，再把(m−2)2+3展开得到m2−4m+7，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
24.解：(1)设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，
根据题意得：256(1+x)2=400，
解得：x1=0.25=25%，x2=−2.25(不符合题意，舍去)．
答：该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为25%；
(2)设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为(y−35)元，月销售量为400+20(58−y)=(1560−20y)件，
根据题意得：(y−35)(1560−20y)=8400，
整理得：y2−113y+3150=0，
解得：y1=50，y2=63(不符合题意，舍去)．
答：该款吉祥物售价为50元时，月销售利润达8400元．
【解析】(1)设该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率为x，利用6月份的销售量=4月份的销售量×(1+该款吉祥物4月份到6月份销售量的月平均增长率)2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；
(2)设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为(y−35)元，月销售量为400+20(58−y)=(1560−20y)件，利用月销售利润=每件的销售利润×月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25.(1)证明：Δ=[−(2k+1)]2−4×1×4(k−12)
=4k2−12k+9
=(2k−3)2，
∵无论k取什么实数值，(2k−3)2≥0，
∴Δ≥0，
∴无论k取什么实数值，方程总有实数根；
(2)解：∵x=2k+1±(2k−3)2，
∴x1=2k−1，x2=2，
∵b，c恰好是这个方程的两个实数根，设b=2k−1，c=2，
当a、b为腰，则a=b=4，即2k−1=4，解得k=52，此时三角形的周长=4+4+2=10；
当b、c为腰时，b=c=2，此时b+c=a，故此种情况不存在．
综上所述，△ABC的周长为10．
【解析】(1)先计算Δ，化简得到Δ=(2k−3)2，易得Δ≥0，然后根据Δ的意义即可得到结论；
(2)利用求根公式计算出方程的两根x1=2k−1，x2=2，则可设b=2k−1，c=2，然后讨论：当a、b为腰；当b、c为腰，分别求出边长，但要满足三角形三边的关系，最后计算周长．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2−4ac：当Δ>0，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0，方程有两个相等的实数根；当Δ<0，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及分类讨论思想的运用．