2024-2025学年陕西省咸阳实验中学高二（上）开学数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年陕西省咸阳实验中学高二（上）开学数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.样本数据15、13、12、31、29、23、43、19、17、38的中位数为( )
A. 19B. 23C. 21D. 18
2.已知a=(−2,5)，b=(2,1)，则a，b夹角的余弦值等于( )
A. 145145B. 5145C. 325D. −325
3.已知m，n为两条不同直线，α，β为两个不同平面，且m⊥α，n//β，则下列命题为真命题的是( )
A. 若α⊥β，则m⊥nB. 若m//n，则α⊥β
C. 若m⊥β，则n//αD. 若m//β，则n//α
4.若函数f(x)=ln(1+ax)−x是偶函数，则a=( )
A. e2B. eC. eD. e2
5.已知复数z=1+2i，则z−−1+3i4i−1在复平面内对应的点的坐标为( )
A. (417,117)B. (417,−117)C. (−417,117)D. (−417,−117)
6.若集合M={x|sinx=cs2x}，N={x|csx=sin2x}，则( )
A. M∩N=⌀B. M∩N=MC. M∪N=RD. M∪N=M
7.如果棱台的两底面积分别是S，S′，中截面的面积是S0，那么( )
A. 2 S0= S+ S′B. S0= S′S
C. 2S0=S+S′D. S02=2S′S
8.如图所示，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P，M分别为线段BD1，BB1上的动点，N为B1C的中点，则△PMN的周长的最小值为( )
A. 1+ 22
B. 4+2 22
C. 1+ 32
D. 4+ 32
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数z1，z2的共轭复数分别为z1−，z2−，则下列命题为真命题的有( )
A. z1+z2−=z1−+z2−B. |z1⋅z2|=1
C. 若z1−z2>0，则z1>z2D. 若z1z2=0，则z1=0或z2=0
10.已知样本数据x1，x2，x3，x4，x5(x10)的方差为s2，平均数x−>0，则( )
A. 数据3x1−2，3x2−2，3x3−2，3x4−2，3x5−2的方差为9s2
B. 数据3x1−2，3x2−2，3x3−2，3x4−2，3x5−2的平均数大于0
C. 数据x2，x3，x4，x5的方差大于s2
D. 数据x2，x3，x4，x5的平均数大于x−
11.如图1，扇形ABC的弧长为12π，半径为6 2，线段AB上有一动点M，弧AB上一点N是弧的三等分点，现将该扇形卷成以A为顶点的圆锥，使得AB和AC重合，则在图2的圆锥中( )
A. 圆锥的体积为216π
B. 当M为AB中点时，线段MN在底面的投影长为3 7
C. 存在M，使得MN⊥AB
D. MNmin=3 302
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.据统计，某段时间内由内地前往香港的老、中、青年旅客的比例依次为5：2：3，现使用分层抽样的方法从这些旅客中随机抽取n人，若青年旅客抽到60人，则n= ______．
13.在△ABC中，AD是边BC上的高，若AB=(1,3),BC=(6,3)，则|AD|= ______．
14.max{x1,x2,x3}表示三个数中的最大值，对任意的正实数x，y，则max{x,2y,4x2+1y2}的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某工厂对一批钢球产品质量进行了抽样检测.如图是根据随机抽样检测后的钢球直径(单位：mm)数据绘制的频率分布直方图，其中钢球直径的范围是[98,103]，样本数据分组为[98,99)，[99,100)，[100,101)，[101,102)，[102,103].已知样本中钢球直径在[100,101)内的个数是20．
(1)求样本容量；
(2)若该批钢球产品共1000个，认定钢球直径在[99,102)的产品为合格产品，试根据样本估计这批产品的不合格产品件数．
16.(本小题15分)
设O为坐标原点，向量OZ1、OZ2、OZ3分别对应复数z1、z2、z3，且z1=a2+(2−a)i，z2=−1+(3−2a)i，z3=2−mi(a,m∈R).已知z1−+z2是纯虚数．
(1)求实数a的值；
(2)若Z1，Z2，Z3三点共线，求实数m的值．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且CB⊥BP，CD⊥DP，PA=2，点E，F分别为PB，PD的中点．
(1)求证：PA⊥平面ABCD；
(2)求点P到平面AEF的距离．
18.(本小题17分)
记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2 2c,sinA=cs(B−C)．
(1)求B；
(2)若D是边BC上一点，且AD=CD= 10，求△ABC的面积．
19.(本小题17分)
如图，A，B是单位圆上的相异两定点(O为圆心)，且∠AOB=θ(θ为锐角).点C为单位圆上的动点，线段AC交线段OB于点M．
(1)求OA⋅AB(结果用θ表示)；
(2)若θ=60°
①求CA⋅CB的取值范围；
②设OM=tOB(00，所以3x−−2的正负无法判断，故B错误；
对于C，因为x10，
所以x1是这组数据中最小的数，
去掉x1后，数据显然更集中，所以数据x2，x3，x4，x5的方差小于s2，故C错误；
对于D，数据x2，x3，x4，x5的平均数为x2+x3+x4+x54=5x−−x14=x−+x−−x14，
因为x10，
所以x−−x14>0，
所以x−+x−−x14>x−，
即数据x2，x3，x4，x5的平均数大于x−，故D正确．
故选：AD．
根据平均数和方差的性质逐项判断各个选项即可．
本题主要考查了平均数和方差的性质，属于基础题．
11.BCD
【解析】解：根据题意可得圆锥母线长为6 2，圆锥的底面半径为12π2π=6，
所以圆锥的高为 (6 2)2−62=6，
对A选项，圆锥的体积为13×π×62×6=72π，故A选项错误；
对B选项，M为AB中点时，设圆锥的底面圆心为O，
易知线段MN在底面的投影为图中的HN，其中H为BO中点，
又易知图1中BN=12π3=4π，
所以上图圆O中∠BON=4π6=2π3，又BO=NO=6，所以HO=3，
由余弦定理可得HN= 32+62−2×3×6×(−12)=3 7，故B选项正确；
对C，D选项，由B选项图中，易知BN=6 3，又AB=AN=6 2，
由余弦定理易知△ABN的三个角都为锐角，所以存在M，使得MN⊥AB，
即过N作NM⊥AB于点M，且此时MN最小，
根据等面积法可知 12×6 3× (6 2)2−(3 3)2=12×6 2×MN，
解得MN=3 302，故C，D选项正确．
故选：BCD．
12.200
【解析】解：60n=35+2+3，解得n=200．
故答案为：200．
根据分层抽样方法计算即可．
本题考查分层抽样，属于基础题．
13. 5
【解析】解：设BD=mBC=(6m,3m)，
则AD=AB+BD=(1,3)+(6m,3m)=(6m+1,3m+3)，
由AD⋅BC=0，得AD⋅BC=6(6m+1)+3(3m+3)=36m+6+9+9m=0，
解得m=−13，所以AD=(1−2,3−1)=(−1,2)，
所以|AD|= (−1)2+22= 5．
故答案为： 5．
设BD=mBC=(6m,3m)，表达出AD=(6m+1,3m+3)，根据垂直关系得到方程，求出m=−13，进而得到答案．
本题考查平面向量数量积的坐标运算，属于基础题．
14.2
【解析】解：设N=max{x,2y,4x2+1y2}，则x≤N，2y≤N，4x2+1y2≤N，
因x>0，y>0，则得2xy(4x2+1y2)≤N3．
又因2xy⋅(4x2+1y2)≥2xy⋅(2 4x2⋅1y2)=2xy⋅4xy=8，
所以N3≥8，
当且仅当x=2y=4x2+1y2=2，
即x=2，y=1时等号成立，故max{x,2y,4x2+1y2}的最小值为2．
故答案为：2．
设N=max{x,2y,4x2+1y2}，因x>0，y>0，可得2xy(4x2+1y2)≤N3，借助于基本不等式可得N3≥8，验证等号成立的条件x=2y=4x2+1y2=2，即得Nmin．
本题属于新概念题，考查了基本不等式的应用，属于中档题．
15.解：(1)因为样本中钢球直径在[100,101)内的个数是20，其频率为0.40，
所以样本容量为n=200.4=50．
(2)样本中这批产品的不合格产品件数为(0.08+0.08)×50=8，
由样本估计总体，可知这批产品的不合格产品件数为850×1000=160．
【解析】(1)用频数除以频率即可求解；
(2)首先求出样本中不合格产品的占比，由此乘以该批钢球总数即可得解．
本题考查频率分布直方图的性质与应用，属基础题．
16.解：(1)由题意可得z1−+z2=a2−1+(1−a)i，
由于复数z1−+z2是纯虚数，则a2−1=01−a≠0，解得a=−1；
(2)由(1)可得z1=1+3i，z2=−1+5i，则点Z1(1,3)，Z2(−1,5)，点Z3(2,−m)
所以，Z1Z2=(−2,2),Z1Z3=(1,−m−3)
因Z1，Z2，Z3三点共线，所以Z1Z2//Z1Z3，所以(−2)×(−m−3)=1×2，
所以m=−2．
【解析】(1)根据z1−+z2是纯虚数，结合共轭复数、纯虚数的定义求解即可；
(2)根据Z1Z2//Z1Z3，求解即可．
本题考查纯虚数、共轭复数的定义、三点共线的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
17.解：(1)证明：在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，且CB⊥BP，CD⊥DP，
∴AB⊥BC，CD⊥AD，
∵AB∩PB=B，AD∩PD=D，
∴BC⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，
∴PA⊥BC，PA⊥CD，
∵BC∩CD=C，∴PA⊥平面ABCD．
(2)以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，

∵PA=2，点E，F分别为PB，PD的中点，
∴P(0,0,2)，A(0,0,0)，E(1,0,1)，F(0,1,1)，
AE=(1,0,1)，AF=(0,1,1)，AP=(0,0,2)，
设平面AEF的法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅AE=x+z=0n⋅AF=y+z=0，取x=1，得n=(1,1,−1)，
∴点P到平面AEF的距离为：
d=|AP⋅n||n|=2 3=2 33．
【解析】(1)推导出AB⊥BC，CD⊥AD，从而BC⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，进而PA⊥BC，PA⊥CD，由此能证明PA⊥平面ABCD．
(2)以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点P到平面AEF的距离．
本题考查线面垂直的判定与性质、点到平面的距离等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18.解：(1)由sinA=cs(B−C)，可得sin(B+C)=cs(B−C)，
即sinBcsC+csBsinC=csBcsC+sinBsinC，
则(sinB−csB)(sinC−csC)=0，
若sinB−csB=0，则tanB=1，
又B∈(0,π)，所以B=π4；
若sinB−csB≠0，则csC=sinC，即tanC=1，
且C∈(0,π)，所以C=π4，
但a=2 2c，由正弦定理可得sinA=2 2sinC=2>1，不合题意；
综上所述：B=π4．
(2)因为AD=CD= 10，则BD=2 2c− 10，

在△ABD中，由余弦定理可得AD2=AB2+BD2−2AB⋅BDcsB，
即10=c2+(2 2c− 10)2−2c(2 2c− 10)× 22，
整理可得5c2−6 5c=0，解得c=6 55或c=0(舍去)，
则a=2 2c=12 105，
所以△ABC的面积S△ABC=12acsinB=12×12 105×6 55× 22=365．
【解析】(1)根据题意结合三角恒等变换可得(sinB−csB)(sinC−csC)=0，进而可得结果；
(2)根据题意利用余弦定理解得c=6 55，再结合面积公式运算求解．
本题考查正弦定理、余弦定理的应用，属中档题．
19.解：(1)OA⋅AB=|OA||AB|cs(π−∠OAB)=−|AB|cs∠OAB=csθ−1；
(2)当θ=60°时，OA⋅OB=12
①CA⋅CB=(OA−OC)⋅(OB−OC)=OA⋅OB−OA⋅OC−OC⋅OB+1．
设∠BOC=α，由条件知，α∈[0,2π3]，
∴CA⋅CB=32−cs(π3+α)−csα=32−12csα+ 32sinα−csα
=32−32csα+ 32sinα=32− 3( 32csα−12sinα)=32− 3cs(α+π6)．
∵α∈[0,2π3]，∴cs(α+π6)∈[− 32, 32]，
∴CA⋅CB∈[0,3]；
②设AM=λAC(0