江苏省徐州市睢宁县2024届九年级上学期期中数学试卷(含解析)

这是一份江苏省徐州市睢宁县2024届九年级上学期期中数学试卷(含解析)，共22页。试卷主要包含了11， 有这么一道题等内容，欢迎下载使用。
2023.11
满分：140分，时间：90分钟）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．四个选项中只有一个正确选项）
1. 已知的半径为，点在内，则的长可能是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：解：∵的半径为，点在内，
∴，
即的长可能是．
故选：D．
2. 用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：解：因为
所以
则
即
故选：D
3. 给出下列说法：①经过平面内的任意三点都可以确定一个圆；②等弧所对的弦相等；③长度相等的弧是等弧；④相等的弦所对的圆心角相等．其中正确的是（ ）
A. ①③④B. ②C. ②④D. ①④
答案：B
解析：解：①经过平面内不共线的三点确定一个圆，故①不符合题意；
②等弧所对的弦相等，正确，故②符合题意；
③长度相等的弧不一定是等弧，故③不符合题意；
④在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，故④不符合题意，
∴其中正确的是②．
故选：B．
4. 函数与在同一平面直角坐标系中的图像大致是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C
解析：解：A、二次函数的开口方向向上，即，反比例函数经过第一、三象限，即，因为的对称轴，故该选项是不符合题意；
B、二次函数的开口方向向上，即，反比例函数经过第二、四象限，即，此时互相矛盾，故该选项是不符合题意；
C、二次函数的开口方向向下，即，反比例函数经过第二、四象限，即，因为的对称轴，故该选项是符合题意；
D、二次函数的开口方向向下，即，反比例函数经过第一、三象限，即，此时互相矛盾，故该选项是不符合题意；
故选：C
5. 有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？经过计算，你的结论是：长比宽多( )
A. 12步B. 24步．C. 36步D. 48步
答案：A
解析：设矩形田地的长为步，则宽为步，
根据题意得，，
整理得，，
解得或(舍去)，
所以．
故选A．
6. 如图，是的切线，切点为，的延长线交于点，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴的度数为．
故选：A．
7. 以正六边形的顶点为旋转中心，按顺时针方向旋转，使得新正六边形的顶点落在直线上，则正六边形至少旋转的度数为（ ）

A. B. C. D.
答案：B
解析：解：连接，

∵正六边形的每个外角，
∴正六边形的每个内角，
∴，，
∵
∴
∴
∴正六边形至少旋转的度数为
故选：B．
8. 二次函数的图像如图所示，若关于的一元二次方程（为实数）的解满足，则的取值范围是（ ）

A. B. C. D.
答案：C
解析：解：方程的解相当于与直线的交点的横坐标，
∵方程（为实数）的解满足，
∴当时，，
当时，，
又∵，
∴抛物线的对称轴为，最小值为，
∴当时，则，
∴当时，直线与抛物线在的范围内有交点，
即当时，方程在的范围内有实数解，
∴的取值范围是．
故选：C．
二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
9. 已知关于的方程的一个根是，则_______．
答案：
解析：解：∵关于的方程的一个根是，
∴，
解得：，
故答案为：．
10. 请在横线上写一个常数，使得关于的方程_______．有两个相等的实数根．
答案：9
解析：解：，
故答案为：9．
11. 方程的两根为、，则_______．
答案：3
解析：解：移项得：，
，
故答案为：3．
12. 圆锥的底面半径为3，母线长为5，该圆锥的侧面积为_______．
答案：15
解析：解：圆锥的侧面积=•2π•3•5=15π．
故答案为15π．
13. 某学习机的售价为2000元，因换季促销，在经过连续两次降价后，现售价为1280元，设平均每次降价的百分率为，根据题意可列方程为________．
答案：
解析：解：依题意得：，
故答案为：．
14. 已知拋物线经过点、，则________（填“”“ ”或“”）．
答案：
解析：解：依题意得：
抛物线的对称轴为：，
关于对称点的坐标为：，
，且抛物线开口向下，
，
故答案为：．
15. 已知二次函数的图象与坐标轴有三个公共点，则k的取值范围是__．
答案：且
解析：解：由题意可知：且，
解得：且，
故答案为：且．
16. 如图是二次函数的图像，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是________（填序号）

答案：①②④
解析：解：∵抛物线与轴有两个不同交点，
∴，故结论①正确；
∵对称轴为直线，
∴，
∴，故结论②正确；
由图像知，当时，，
∴，故结论③不正确；
∵抛物线开口向上，
∴，
∴，
∵抛物线与轴的交点在负半轴，
∴，
∴，故结论④正确；
∴正确的是①②④．
故答案为：①②④．
17. 如图，在中，，，则能够将完全覆盖的最小圆形纸片的半径是_______．

答案：4
解析：解：要使能够将完全覆盖的最小圆形纸片，则这个小圆形纸片是的外接圆，
作的外接圆，连接，，作交于，如图：

，，
，，
，
在中，，，
，
故答案为：4．
18. 如图，的半径为，点是半圆的中点，点是的一个三等分点（靠近点），点是直径上的动点，则的最小值_______．

答案：
解析：解：如图，作点关于直径的对称点，则点在圆上，连接，交直径于点，
∴，则的最小值是的长，
∵点是半圆的中点，的半径为，
∴等于半圆的一半，
∴，
∵点是的一个三等分点（靠近点），
∴等于的，
∴，
∵点与点关于直径的对称，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即的最小值是．
故答案为：．

三、解答题（本大题共8小题，共76分．要求写出解答或计算过程）
19. 解方程：
（1）；
（2）．
答案：（1）或
（2）或
小问1解析：
解：
则
那么或
即或
小问2解析：
解：
则
故
所以
即或
20. 下表是二次函数的部分取值情况：

根据表中信息，回答下列问题：
（1）二次函数图象的顶点坐标是_______；
（2）求的值，并在平面直角坐标系中画出该二次函数的图象；
（3）观察图象，写出时的取值范围：_______．
答案：（1）
（2），作图见解析
（3）
小问1解析：
∵抛物线的对称轴为直线，
∴二次函数图象的顶点坐标为，
故答案为：；
小问2解析：
把代入中，
得：，
解得：，
如图，

小问3解析：
由（2）知：二次函数的解析式为，
当时，，
解得：，，
∴抛物线与轴的交点坐标为，，
由图可知：当时，二次函数的图象在轴的上方，即，
∴时的取值范围为．
故答案为：．
21. 如图，在中，，点是的中点，以为直径的交于点．请判断直线与的位置关系，并说明理由．
答案：直线与相切，理由见解析
解析：解：直线与相切．
理由：连接、，则，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵点是的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线，
∴直线与相切．
22. 某商店经销一种手提包，已知这种手提包成本价为50元/个．市场调查发现，这种手提包每天的销售量（单位：个）与销售单价（单位：元）有如下关系：．设这种手提包每天的销售利润为元．
（1）当这种手提包销售单价定为多少元时，该商店每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（2）如果物价部门规定这种手提包的销售单价不得高于68元，该商店销售这种手提包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元？
答案：（1）当这种手提包销售单价定为65元时，该商店每天的销售利润最大，最大利润是元
（2）该商店销售这种手提包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为60元
小问1解析：
解：依题意得：，
整理得：，
当时，有最大值为，
答：当这种手提包销售单价定为65元时，该商店每天的销售利润最大，最大利润是元．
小问2解析：
当时，，
解得：，，
，
，
答：该商店销售这种手提包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为60元．
23. 如图，一座石桥的主桥拱是圆弧形，某时刻测得水面宽度为8米，拱高（弧的中点到水面的距离）为2米．
（1）求主桥拱所在圆的半径；
（2）若水面下降1米，求此时水面的宽度（保留根号）．
答案：（1）主桥拱所在圆的半径长为5米
（2）此时水面的宽度为米
小问1解析：
∵点是的中点，，
∴经过圆心，
设拱桥的桥拱弧所在圆的圆心为，连接，
设半径，
在中，，
解得．
答：主桥拱所在圆的半径长为5米；
小问2解析：
设与相交于点，连接，
∴，
∴，
在中，，
答：此时水面的宽度为米．
24. 定义：若、是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“自然方程”．例如：是“自然方程”．
（1）下列方程是“自然方程”是_______；（填序号）
①；②；③．
（2）若方程是“自然方程”，求的值．
答案：（1）③ （2）或
小问1解析：
解：①，
解得：，，
则该方程的解不是整数，故此选项不符合题意；
②，
，
∵，
∴，
则该方程的解不是整数，故此选项不符合题意；
③，
，
或，
解得：，，
∴，故此选项符合题意；
故答案为：③；
小问2解析：
，
，
或，
解得：，，
∵方程“自然方程”，
∴，
解得：或，
∴的值为或．
25. 据《尔雅·释器》记载：“好倍肉，谓之瑗（yuàn）．”如图1，“好”指中间的孔，“肉”指中孔以外的边（阴影部分），“好倍肉”指中孔和环边比例为．
（1）观察：
“瑗”的主视图可以作两个同心圆，根据图1中的数据，可得小圆与大圆的半径之比是_______；
（2）联想：
如图2，在中，，，平分交于点，则_______；
（3）迁移：
图3表示一个圆形的玉坯，若将其加工成玉瑗，请利用圆规和无刻度的直尺先确定圆心，再以题（2）的知识为作图原理作出内孔．（不写作法，保留作图痕迹）
答案：（1）
（2）
（3）作图见解析
小问1解析：
解：如图1，小圆半径是：，大圆半径是：，
∴小圆与大圆的半径之比是：，
故答案：；
小问2解析：
∵在中，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，，
∴，
∴，，
∴，，
故答案为：；
小问3解析：
作直线交圆于点，，作的垂直平分线交圆于点，，作的垂直平分线交圆于点，，交于点，过点作，以点为圆心，为半径画弧交圆于点，连接并延长交于点，作的平分线交于点，以点为圆心，为半径画圆，
∵垂直平分，是圆的弦，
∴线段为圆的直径，
∵垂直平分于点，
∴点为大圆的圆心，，
∵以点为圆心，为半径画弧交圆于点，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
由（2）知：，，
则小即为所作．
26. 如图1，已知抛物线的图象经过点，，，过点作轴交抛物线于点，点是抛物线上的一个动点，连接，设点的横坐标为．
（1）填空：_______，_______，_______；
（2）在图1中，若点在轴上方的拋物线上运动，连接，当四边形面积最大时，求的值；
（3）如图2，若点在抛物线的对称轴上，连接，是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：（1）
（2）
（3）点的坐标是或或或或或
小问1解析：
将点代入
得，，
解得，
∴抛物线的解析式：，
令，
则，
解得或1，
∴，
∴，
故答案为：；
小问2解析：
连接，
∵轴交抛物线于点，
∴点的纵坐标为，
，
解得或4，
∴，
∵点的横坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，
∴的值为；
小问3解析：
∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
∴点的横坐标为2，
分三种情况：
①当为直角顶点时，，
如图2，过作轴，过作于，过作于，
∴，
∵是等腰直角三角形，且，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，点的横坐标为2，
∴，
解得或，
∴点的坐标为或(；
②当为直角顶点时，，
如图3，过作轴，过作于，过作于，
同理，
∵，点的横坐标为2，
∴，解得或，
∴点的坐标为或，；
③当为直角顶点时，，如图4，过作于，过作于，
同理，
∵，点的横坐标为2，
∴，解得或5，
∴点的坐标为或；
综上所述，点的坐标是或或或或或．