黑龙江省大庆市肇源县2024-2025学年九年级上学期开学数学试题（五四制）（五四制+五四制）

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一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义：形如的方程叫一元二次方程，直接对比求解即可得到答案．
【详解】解：是关于x的一元二次方程，
，解得，
故选：A．
【点睛】本题考查一元二次方程的定义，把握住一元二次方程只有一个未知数，未知数的最高次数为2次，且二次项系数不为零是解决问题的关键．
2. 一元二次方程x2﹣6x﹣6＝0配方后化为（ ）
A. （x﹣3）2＝15B. （x﹣3）2＝3C. （x+3）2＝15D. （x+3）2＝3
【答案】A
【解析】
【分析】先移项，化为再方程两边都加9，从而可得答案.
【详解】解： x2﹣6x﹣6＝0，

两边都加9得：

故选A
【点睛】本题考查的是利用配方法解一元二次方程，掌握“配方法的步骤”是解题的关键.
3. 下列说法不正确的是（ ）
A. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形B. 有一个角是直角的平行四边形是矩形
C. 有一组邻边相等，有一个角是直角的平行四边形是正方形D. 一组邻边相等的四边形是菱形
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查矩形、菱形、正方形的判定，关键是掌握矩形、菱形、正方形的判定方法．由矩形、菱形、正方形的判定方法，即可判断．
【详解】解：A、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，正确，故A不符合题意；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，故B不符合题意；
C、有一组邻边相等，有一个角是直角的平行四边形是正方形，正确，故C不符合题意；
D、一组邻边相等的平行四边形是菱形，原说法不正确，故D符合题意．
故选：D．
4. 为了估算某鱼塘鱼的数量，先捕捞40条鱼做好标记，然后再放进该鱼塘，待有标记的鱼完全混合于鱼群后，第二次捕捞100条鱼，发现其中有5条有标记，估计这个鱼塘里大约有鱼（ ）
A. 400条B. 500条C. 600条D. 800条
【答案】D
【解析】
【分析】在样本中“捕捞100条鱼，发现其中5条有标记”，即可求得有标记鱼所占比例，而这一比例也适用于整体，据此即可解答．
【详解】解：设鱼塘里有x条鱼， 则，
解得．
故选：D．
【点睛】本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．
5. 已知点（2，-6）在函数的图像上，则函数（ ）
A. 图像经过（-3，-4）B. 在每一个分支，y随x的增大而减少
C. 图像在第二，四象限D. 图像在第一，三象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据图像过(2，−6)得k=2×(−6)=−12<0，根据反比例函数的性质依次判断各选项即可得．
详解】解：∵图像过(2，−6)，
∴k=2×(−6)=−12<0，
A．(−3)×(−4)=12，故图像不经过(−3，−4)，选项说法错误，不符合题意；
B．在每一个分支，y随x的增大而增大，选项说法错误，不符合题意；
C．函数图像位于第二，四象限，选项说法正确，符合题意；
D．函数图像位于第一，三象限，选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的性质．
6. 若，，都是反比例函数的图象上的点，且，则将按由小到大的顺序排列是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
根据反比例函数图象上点的坐标特征解答．
【详解】解：，图象分别位于第二、四象限，
在每一象限内y随x的增大而增大，
∵Ax1,y1，Bx2,y2，都是反比例函数的图象上的点，且，
在第二象限，，在第四象限，
∴由小到大的顺序是．
故选：A．
7. 如图，在矩形中，O是对角线的交点，于点E，若，，则的长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由矩形的性质得到，求得，再由勾股定理即可得到的长．
【详解】解：∵四边形是矩形，，
∴，
∵，
∴，
∵于点E，
∴，
∴，
故选：C
【点睛】此题考查了矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
8. 函数y＝（k≠0）与y＝kx+k在同一坐标系中的大致图象（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据反比例函数的比例系数可得经过的象限，一次函数的比例系数和常数项可得一次函数图象经过的象限．
【详解】解：若k＞0时，反比例函数图象经过一三象限；一次函数图象经过一二三象限，A答案符合；
若k＜0时，反比例函数经过二四象限；一次函数经过二三四象限，所给各选项没有此种图形；
故选A．
【点睛】此题主要考查函数的图像，解题的关键是熟知反比例函数与一次函数的图像与性质.
9. 如图，点是反比例函数图象上任意一点，轴于，点是轴上动点，则ΔABC的面积为( )
A. 1B. 2C. 4D. 不能确定
【答案】A
【解析】
【分析】设A的坐标是：（m，n）．则n=，即mn=2，根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：设A的坐标是：（m，n）．则n=，即mn=2，
∵AB=m，AB边上的高是n．
∴S△ABC=mn=×2=1．
故选A．
【点睛】主要考查了反比例函数y＝中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义．
10. 据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理．小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体的高为，小孔O到地面距离为，则实像的高度为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的应用：先证明得到，再证明得到，再把①和②相加变形得到，然后把，，代入计算即可，利用平行线构建相似三角形，然后用相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长或表示线段之间的关系．
【详解】解：依题意，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴
则得，
∴
∴
∵，
∴
解得
故选：A
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，且DE∥BC，，DE=6，则BC的长___．
【答案】10．
【解析】
【分析】先证明，根据已知条件计算即可；
【详解】∵DE∥BC，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，DE=6，
∴，
∴．
故答案是10．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，准确计算是解题的关键．
12. 一个口袋中有1个红色球，有1个白色球，有1个蓝色球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率是___________ ．
【答案】
【解析】
【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【详解】解：根据题意列表如下：
由表知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到红球的有1种结果，
所以两次摸到球的颜色相同的概率为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13. 由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图，如图所示，则搭成该几何体的小正方体最多是_____个．
【答案】7
【解析】
【分析】根据主视图和俯视图的定义即可得．
【详解】解：由主视图和俯视图可知，搭成该几何体的小正方体最多如图所示：其中，各数字表示所在行、列上小正方体的最多的个数，
则搭成该几何体的小正方体最多是（个），
故答案为：7．
【点睛】本题考查了主视图和俯视图，在俯视图上表示出正确的数字是解题的关键．
14. 一次函数与反比例函数的图象如图所示，则使的x的取值范围是_______．

【答案】或.
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，根据图像即可解答．
【详解】观察函数图象，先求出两函数的交点坐标为，所以当或时，
故答案为：或．
15. 如图，在边长为2正方形中，E，F分别是上的动点，M，N分别是的中点，则的最大值为______．

【答案】
【解析】
【分析】首先证明出是的中位线，得到，然后由正方形的性质和勾股定理得到，证明出当最大时，最大，此时最大，进而得到当点E和点C重合时，最大，即的长度，最后代入求解即可．
【详解】如图所示，连接，

∵M，N分别是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴当最大时，最大，此时最大，
∵点E是上的动点，
∴当点E和点C重合时，最大，即的长度，
∴此时，
∴，
∴的最大值为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了正方形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
16. 如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，，若点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，则的值是______．

【答案】
【解析】
【分析】作轴，轴于点，可得，根据相似三角形的性质求解．
【详解】解：作轴，轴于点，，
∴

又
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数与图形的结合，解题关键是掌握反比例函数的性质，掌握相似三角形的性质．
17. 如图，在菱形ABOC中，AB＝2，∠A＝60°，菱形的一个顶点C在反比例函数（k≠0）的图象上，则反比例函数的解析式为_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据菱形的性质和平面直角坐标系的特点可以求得点C的坐标，从而可以求得k的值，进而求得反比例函数的解析式．
【详解】解：过C作CE⊥OB于E，
∵在菱形ABOC中，∠A＝60°，AB＝2，
∴OC＝2，∠COB＝60°，
∵CE⊥OB，
∴∠CEO＝90°，
∴∠OCE＝30°，
∴OE＝OC＝1，CE＝，
∴点C的坐标为（﹣1，），
∵顶点C在反比例函数的图象上，
∴＝，得k＝﹣，
即，
故答案为：．
【点睛】本题考查待定系数法求反比例函数解析式、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，求出点C的坐标．
18. 如图，在矩形中，，的平分线交于点E，，垂足为H，连结并延长，交于点F，连结交于点O．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有___________．
【答案】①②③④
【解析】
【分析】由矩形，是的平分线，可得是等腰直角三角形，由勾股定理得，由，可得，证明，则，可判断①的正误；由等边对等角，三角形内角和定理，对顶角相等，角平分线等可得，，，，进而可判断②、③的正误；由，，可得，进而可判断④的正误．
【详解】解：∵矩形，是的平分线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∵，
∴，
∵，
∵，，
∴，
∴，，，
①正确，故符合要求；
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，②正确，故符合要求；
∵，，，
∴，
∴，，③正确，故符合要求；
∵，，
∴，④正确，故符合要求；
故答案为：①②③④
【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形内角和，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角平分线等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
三、解答题：本题共10小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
19. 解方程：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1），
（2），
（3），
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键．
（1）用直接开平方法求解即可；
（2）用因式分解法求解即可；
（3）用公式法求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∴，
，
，；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
或，
，；
【小问3详解】
解：∵，
∴，，，
∵b2-4ac=32-4×2×-1=17>0，
，
，
20. 如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段所示，小亮的身高如图中线段所示，路灯灯泡在线段DE上．
（1）请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子．
（2）如果小明的身高，他的影子长，且他到路灯的距离，求灯泡的高．
【答案】（1）画图见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（）连接CB并延长交DE于点，点即为所求，连接并延长交于，线段即为所求；
（）由中心投影的性质可得，再将数据代入即可求解；
本题考查了中心投影，掌握中心投影的性质是解题的关键
【小问1详解】
解：如图，点为灯泡所在的位置，线段为小亮在灯光下形成的影子；
【小问2详解】
解：由中心投影的性质得，，
即，
解得，
答：灯泡的高为．
21. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根分别为，
（1）求m的取值范围；
（2）若，求m的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查一元二次方程的根的判别式的性质、根与系数的关系，牢记一元二次方程的根的判别式的性质、根与系数的关系是解题的关键．
（1）根据题意可知，该一元二次方程的根的判别式大于等于，据此列式可求得答案．
（2）根据一元二次方程的根与系数的关系，可用含的代数式表示出，，再根据即可求得答案．
【小问1详解】
解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
，
，
的取值范围为；
【小问2详解】
解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根分别为，
，，
，
，
，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴的值为1．
22. 如图，正方形中，E是上的一点，连接，过B点作，垂足为点G，延长交于点F，连接．
（1）求证：．
（2）若正方形边长是5，，求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据证明，可得结论；
（2）根据（1）得：，则，最后利用勾股定理可得的长．
【小问1详解】
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
∵正方形边长是5，
∴，
∵，
∴由（1）得，
∴，
在中，由勾股定理得：．
【点睛】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，本题证明是解本题的关键．
23. 如图，在中，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F．

（1）求证：；
（2）连接，若，求证：四边形是矩形．
【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
【解析】
【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出，然后利用“角角边”证明三角形全等，再由全等三角形的性质容易得出结论；
（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形判定即可．
【小问1详解】
证明：∵，
∴，
∵点E为的中点，
∴，
在和中，
，
∴；
∴，
∵，
∴；
【小问2详解】
证明：，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形．
【点睛】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．
24. 甲、乙两个袋中均有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片上所标的数值分别为，3，，乙袋中的三张卡片上所标的数值分别为，1，5．先从甲袋中随机取出一张卡片，用a表示取出的卡片上标的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用b表示取出的卡片上标的数值，把a、b分别作为点A的横坐标、纵坐标，反比例函数的图象过点A．
（1）用列表法写出点的所有的情况；
（2）求使反比例函数的图象在第一、三象限的概率．
【答案】（1）详见解析
（2）
【解析】
【分析】此题主要考查利用列表法求概率，反比例函数的图象与性质，关键是列举出事件发生的所有情况，并通过概率公式进行计算，属于基础题．
（1）直接利用表格列举即可解答；
（2）利用（1）中的表格求出点A落在第三象限共有两种情况，再除以点A的所有情况即可．
【小问1详解】
根据题意列表如下：点共9种情况；
【小问2详解】
∵使反比例函数的图象在第一、三象限的情况有：，，，四种情况，
∴使反比例函数的图象在第一、三象限的概是：
25. 某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（单位：微克/毫升）与服药时间x（单位：h）之间函数关系如图所示，
（1）求y与x之间的函数表达式．
（2）血液中药物浓度不低于4微克/毫升的时候对人体是有效的，服药后对人体的有效时间是多少？
【答案】（1）
（2）服药后对人体的有效时间是
【解析】
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用、一次函数的应用等知识点，根据题意得出函数解析式是解题关键．
（1）设出解析式，利用待定系数法求解析式，并写出自变量的取值范围即可；
（2）根据题意得出时两个函数中的自变量的值，即可找出取值范围．
【小问1详解】
当时，函数为正比例函数，设：，
∵函数经过点，
∴，即，
∴当时，；
当时，函数反比例函数，设：，
∵函数经过点，
∴，即，
∴当时，，
∴；
【小问2详解】
当药物浓度为4微克/毫升时，即时，
由，得，
由，得，
∴根据图象可以判断出：当时，血液中药物浓度不低于4微克/毫升，
∴持续时间为．
26. 某公司2月份销售新上市的A产品20套，由于该产品的经济适用性，销量快速上升，4月份该公司销售A产品达到45套，并且2月到3月和3月到4月两次的增长率相同．
（1）求该公司销售A产品每次的增长率；
（2）若A产品每套盈利2万元，则平均每月可售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套每降万元，公司平均每月可多售出20套；若该公司在5月份要获利70万元，则每套A产品需降价多少？
【答案】（1）
（2）1万元
【解析】
【分析】（1）设该公司销售产品每次的增长率为，根据2月份及4月份该公司产品的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设每套产品需降价万元，则平均每月可售出套，根据总利润每套的利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论．
【小问1详解】
解：设该公司销售产品每次的增长率为，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该公司销售产品每次的增长率为．
【小问2详解】
设每套产品需降价万元，则平均每月可售出套，
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，．
答尽量减少库存，
．
答：每套产品需降价1万元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
27. 如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．

（1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？
（2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈；
（2）不能，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解；
（2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解．
【小问1详解】
解：设矩形的边，则边．
根据题意，得．
化简，得．
解得，．
当时，；
当时，．
答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈．
【小问2详解】
解：不能，理由如下：
由题意，得．
化简，得．
∵，
∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键．
28. 如图，在中，，，点为边上一动点（不与点、重合），过点作射线交于点，使；
（1）求证：；
（2）当时，求线段长度．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】根据可得出，由三角形的内角和定理结合平角等于，即可找出，进而即可证出；
根据相似三角形的性质可得出，利用解直角三角形可求出的长度．综上即可得出结论．
【小问1详解】
证明：，
．
，，
，
；
【小问2详解】
解：如图所示，过点作于点，
∵，，，
∴，
∴
，，
．
，
，
．
综上所述：当为直角三角形时，点、之间的距离为．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理以及解直角三角形，解题的关键是：通过角的计算找出；得出．红球
白球
蓝球
红球
（红球，红球）
（白球，红球）
（蓝球，红球）
白球
（红球，白球）
（白球，白球）
（蓝球，白球）
蓝球
（红球，蓝球）
（白球，蓝球）
（蓝球，蓝球）

3

1
-1,1
5