北京市回民学校2024-2025学年九年级上学期开学考试数学试题（原卷版+解析版）

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一、单选题（每题4分，共40分）
1. 如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在外取一点C，然后步测出的中点D，E，并步测出的长约为，由此估测A，B之间的距离约为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查三角形的中位线的实际应用，由题意，易得为的中位线，根据三角形的中位线定理，即可得出结果．
【详解】解：∵点D，E，分别为的中点，
∴为的中位线，
∴；
故选：C．
2. 一元二次方程二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A. 2，1B. 3，C. 3，1D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的一般形式得出一次项系数和二次项系数即可．
详解】解：，
所以二次项系数和一次项系数分别为3，，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，注意：①一元二次方程的一般形式是、、为常数，，②找各项系数带着前面的符号．
3. 若是一元二次方程的一个解，则方程的另一个解为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．根据根与系数的关系即可求解．
【详解】解：设方程的另一个根为，
则，
∴．
故选：A．
4. 在平面直角坐标系中，将一次函数y=2x+2的图象沿x轴向右平移m（m>0）个单位后，经过点(4，2)，则m的值为（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】根据平移的规律得到平移后一次函数的解析式为y=2（x-m）+2，然后把点（4，2）代入求值即可．
【详解】解：将一次函数y=2x+4的图象沿x轴沿右平移m（m＞0）个单位后得到y=2（x-m）+2，
把点（4，2）代入，得到：2=2（4-m）+2，
解得m=4．
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是一次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式是解题的关键．
5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. B. 且C. D. 且
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式、解一元一次不等式组等知识，对于一元二次方程，则有方程有两实根，方程有两不等实根，方程有两相等实根，方程没有实根．也考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义和根的判别式可得，解之得出k的范围．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：．
故选：A．
6. 问题：已知：如图，四边形是菱形，、是直线上两点，．求证：四边形是菱形．几名同学对这个问题，给出了如下几种解题思路，其中正确的是（ ）
甲：利用全等，证明四边形四条边相等，进而说明该四边形是菱形；
乙：连接，利用对角线互相垂直平分的四边形是菱形，判定四边形是菱形；
丙：该题目错误，根据已知条件不能够证明该四边形是菱形．
A. 甲、乙对，丙错B. 乙、丙对，甲错C. 三个人都对D. 甲、丙对，乙错
【答案】A
【解析】
【分析】由全等三角形的性质证出，则四边形是菱形，故甲对；再由菱形的性质得，，，则，得四边形是平行四边形，然后由，得平行四边形是菱形，故乙对，即可得出结论．
【详解】解：甲：四边形是菱形，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
同理：，，
，，
，
四边形是菱形；
乙：连接交于，如图所示：
四边形菱形，
，，，
，
，
即，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形；
综上所述，甲对、乙对，丙错，
故选：A．
【点睛】本题考查了菱形的判定于性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握菱形的判定与性质，证明、是解题的关键，属于中考常考题目．
7. 如图，佳佳设计了一种挖宝游戏，屏幕上正方形是宝藏区（含正方形边界），其中，，沿直线行走，则游戏者能够挖到宝藏的b的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出点D的坐标，然后把B、D的坐标分别代入，得出b的值，即可求出b的取值范围．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴点D的坐标为：，
把点代入得：
，解得：，
把点代入得：
，解得：，
∴游戏者能够挖到宝藏的b的取值范围为：，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，根据题意求出点D的坐标，把B、D的坐标分别代入，求出b的值，是解题的关键．
8. 已知一次函数(为常数)的图象经过平面直角坐标系的第一、二、三象限，则下列结论一定正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】若一次函数图像经过一、三象限，则k＞0，若图像过第二象限，则图像与y轴正半轴相交，所以b＞0，依次判断选项结果即可得到正确答案.
【详解】∵一次函数图像经过一、三象限，
∴k＞0，
∵图像过第二象限，
∴图像与y轴正半轴相交，即b＞0，
∴kb＞0，A选项正确，B选项错误；
k-b不确定正负，故C选项错误；
k+b＞0,故D选项错误.
故选择A
【点睛】此题考查一次函数的性质，依据一次函数的图像所经过象限即可判断字母k、b的值，再确定k与b关系式的符号.
9. 关于x的一元二次方程根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根D. 没有实数根
【答案】A
【解析】
【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2-4ac的值的符号就可以了．
【详解】∵
∴
∴方程有两个相等的实数根
故选A.
【点睛】考查一元二次方程根的判别式，
当Δ=b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根.
当时，方程有两个相等的实数根.
当时，方程没有实数根.
10. 如图，直线y＝kx+b与y＝mx+n分别交x轴于点A（﹣1，0），B（4，0），则不等式（kx+b）（mx+n）＞0的解集为（ ）
A. x＞2B. 0＜x＜4C. ﹣1＜x＜4D. x＜﹣1或x＞4
【答案】C
【解析】
【分析】看两函数交点坐标之间的图象所对应的自变量的取值即可．
【详解】解：∵直线y1＝kx+b与直线y2＝mx+n分别交x轴于点A(﹣1，0)，B(4，0)，
∴不等式（kx+b）（mx+n）＞0的解集为﹣1＜x＜4，
故选：C．
【点睛】本题主要考查一次函数和一元一次不等式，本题是借助一次函数的图象解一元一次不等式，两个图象的“交点”是两个函数值大小关系的“分界点”，在“分界点”处函数值的大小发生了改变；
二、填空题（11、13－15题每题4分，12题6分，共22分）
11. 关于x的一元二次方程是一元二次方程，则a满足______．
【答案】
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义，即可求解．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程是一元二次方程，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
12. 用公式法解方程时，______，______，______．
【答案】 ①. 1 ②. 3 ③.
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，首先要把方程化成一般形式即可求解，解题的关键是理解一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
【详解】∵，
∴
∴，，
故答案为：1，3，．
13. 一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后可变形为__．
【答案】（x﹣4）2=17．
【解析】
【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程左边写成完全平方形式即可．
【详解】解：，
，即，
故答案为．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
14. 多项式的值等于11，则a的值为______．
【答案】或3
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练求解一元二次方程是解题的关键，由多项式的值等于11，得，求解即可得解．
【详解】解：∵多项式的值等于11，
∴，
，
解得或，
故答案为：或3．
15. 如图，在中，，点D,E,F分别是AB,AC,BC边上的中点，连结BE,DF,已知则_________．
【答案】5
【解析】
【分析】已知BE是Rt△ABC斜边AC的中线，那么BE=AC；EF是△ABC的中位线，则DF=AC，则DF=BE=5．
【详解】解：，E为AC的中点，
，
分别为AB,BC的中点，
．
故答案为：5.
【点睛】此题主要考查了三角形中位线定理以及直角三角形斜边上的中线等知识，用到的知识点为：（1）直角三角形斜边的中线等于斜边的一半；（2）三角形的中位线等于对应边的一半．
三、解答题（共38分）
16. 用适当方法解下列方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．
（1）用因式分解法，解一元二次方程即可；
（2）用直接开平方法，解一元二次方程即可．
【小问1详解】
解：，
，
，
则或，
解得：，．
【小问2详解】
解：，
，
，
当时，，解得，
当时，，解得，
∴方程组的解为：，．
17. 在平面直角坐标系中，一次函数经过点，．
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，灵活掌握所学知识是解题关键．
（1）用待定系数法求解即可；
（2）根据题意，列出关于m不等式，结合图象的性质即可求解．
小问1详解】
解：∵一次函数的图象过点，，
∴把代入得：，
解得：，
∴一次函数的解析式；
【小问2详解】
解：由（1）得：一次函数的解析式，
当时，，
∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于一次函数的值，
把代入得：，
∴，
解得：．
当直线与平行时，，此时函数的值大于一次函数的值，
∴
18. 如图，矩形，过点B作交的延长线于点E．过点D作于F，G为中点，连接．
（1）求证：．
（2）若，求的长．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）因为是矩形，所以，结合，证明四边形是平行四边形，即可作答．
（2）根据勾股定理得出，结合直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，即，进行作答即可．
【小问1详解】
解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴；
【小问2详解】
解：∵，四边形是矩形，
∴
∵，G为中点，
∴