湖南省永州市冷水滩区李达中学2024-2025学年九年级上学期入学测试数学试题（解析版）

这是一份湖南省永州市冷水滩区李达中学2024-2025学年九年级上学期入学测试数学试题（解析版），共23页。

2．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回．
3．本试卷包括试题卷和答题卡，满分120分，考试时量120分钟．
一、选择题（每小题3分，共30分）
1. 习近乎总书记指出：发展新能源汽车是我国从汽车大国走向汽车强国的必由之路．下列四款新能源汽车的标志中，是中心对称图形的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，进行判断即可；
本题考查的是中心对称图形概念，正确掌握相关定义是解题关键；
【详解】A．该图不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．该图不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．该图不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．该图是中心对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
2. 如图，在中，与交于点O，已知，，则的周长为（ ）
A. 11B. C. 13D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了平行四边形性质，根据平行四边形对边相等和对角线互相平分即可得到答案.
【详解】解：在中，，
∴，
即的周长为，
故选：B
3. 如图，在矩形中，对角线和相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了矩形的性质．根据矩形的对角线相等，可得．
【详解】解：∵矩形的对角线相交于点，
∴，
故选：C．
4. 用配方法求得代数式的最小值是（ ）
A. 2B. 4C. 6D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了配方法的应用，将原式配方得出，结合即可得出答案．
【详解】解：，
∵，
∴，
∴代数式的最小值是，
故选：B．
5. 清明期间，甲、乙两人同时登云雾山，甲、乙两人距地面的高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，且乙提速后乙的速度是甲的3倍．则下列说法错误的是（ ）

A. 乙提速后每分钟攀登30米B. 乙攀登到300米时共用时11分钟
C. 从甲、乙相距100米到乙追上甲时，乙用时分钟D. 从甲、乙相距100米到乙追上甲时，甲、乙两人共攀登了330米．
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象可得甲的速度，进而得出乙提速后的速度；利用乙提速后的速度可得提速后所用时间，进而得出乙攀登到300米时共用时间；别求出甲和乙提速后y和x之间的函数关系式，进而判断C、D．
【详解】解：甲的速度为：（米/分），
（米/分），
即乙提速后每分钟攀登30米，故选项A不符合题意；
乙攀登到300米时共用时：（分钟），故选项B不符合题意；
设，，
由函数图象得：，
解得 ，
∴，
∵乙提速后，乙的速度是甲登上速度的3倍，
∴乙提速后的速度为：30米/分，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得 ，
∴，
当时，
则，
解得，
即从甲、乙相距100米到乙追上甲时，乙用时分钟，故选项C不符合题意；
从甲、乙相距100米到乙追上甲时，
甲、乙两人共攀登了：（米），
故选项D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查的是一次函数的实际应用，理解点的横纵坐标是含义，熟练的求解一次函数的解析式是解本题的关键．
6. 有50个数据，其中最大值为36，最小值为15，若取组距为4，则应该分的组数是（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了求组数，根据组数 （最大值最小值）组距计算，注意小数部分要进位．
【详解】解：，
∴应该分的组数为6，
故选：C．
7. 一元二次方程的根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根B. 只有一个实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 没有实数根
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
【详解】，
方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
8. 如图，在中，，，点D在上，，，则等于（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理．根据等腰三角形的性质求出和度数，利用直角三角形中含所对应的边是斜边的一半求出的长度，根据角度相等求出以及对应长度，从而求出长度．
【详解】解：，，
，，
，，
，，
，
，
，
．
故选：C．
9. 下列说法：①如果，那么是直角三角形；②到三角形三条边的距离相等的点是三角形三条边的垂直平分线的交点：③对角线互相垂直的四边形是菱形；④两个全等的三角形组成的图形是中心对称图形；其中正确的有（ ）个．
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的性质、菱形的判定、中心对称图形，根据三角形的内角和定理可判断①；根据角平分线的性质可判断②；根据菱形的判定定理可判断③；根据中心对称图形的性质可判定④，进而可得答案．
【详解】解：①∵中，，，
∴，
∴是直角三角形，故①正确；
②到三角形三条边的距离相等的点是三角形三个角的平分线的交点，故②错误；
③对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故③错误；
④两个全等的三角形组成的图形不一定关于某个点成中心对称图形，故④错误，
故正确的有1个，
故选：A．
10. 《代数学》中记载，形如的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为．”小唐按此方法解关于x的方程时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为64，则该方程的正数解为（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意得出，设，则，再根据题意先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，即可得解，理解题意，准确进行计算是解此题的关键．
【详解】解：∵阴影部分的面积为64，
∴，
设，则，
先构造一个面积为的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为的矩形，得到大正方形的面积为，则该方程的正数解为，
故选：A．
二、填空题（共8小题）
11. 如图，在中，，是斜边上的中线，，则的长是____．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可得出答案．
【详解】在中，，是斜边上的中线，，
，
故答案为：4．
12. 如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形，这个五边形的外角和度数是_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据多边形的外角和为即可解答
【详解】解：∵多边形外角和是，
∴五边形外角和度数是，
故答案为：．
【点睛】此题考查了多边形的外角和，熟练掌握多边形外角和是是解题的关键．
13. 在ABCD中，AD=6，点E，F分别是BD，CD的中点，则EF=____________．
【答案】3
【解析】
【分析】根据平行四边形的性质可得BC长，再利用三角形中位线性质可得答案．
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， 如图，
∴BC=AD=6，
∵点E，F分别是BD，CD的中点，
∴EF=BC=3，
故答案为：3．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，以及三角形中位线性质，关键是掌握平行四边形的对边相等．三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
14. 如图，在平面直角坐标系中，点到y轴的距离是______个单位长度．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查点到坐标轴的距离，根据“点到y轴的距离等于点的横坐标的绝对值”求解即可．
【详解】解：点到y轴的距离是，
故答案为：．
15. 将一次函数的图象向下平移2个单位长度，若平移后的一次函数图象经过点，则平移后的一次函数的表达式为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一次函数的平移变换，关键是对平移性质的应用．根据平移的性质得到平移后的函数解析式，再把代入平移后的解析式即可得出结论．
【详解】解：根据题意得平移后直线的表达式为：，
将点代入得，，
解得：，
所以平移后的一次函数的表达式为
故答案为：
16. 如图，点P在反比例函数的图象上，轴，的面积为5，则k的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，由题意得出，再结合反比例函数图象位于第二、四象限即可得出的值．
【详解】解：∵轴于点，的面积为5，
∴，
解得：，
∵反比例函数图象位于第二、四象限，
∴，
故答案为：．
17. 已知关于x的一元二次方程的一个根是2，则另一个根的值是______．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了解一元二次方程，以及根的定义．先把代入原方程，求出k的值，进而再将k的值代入原方程，然后解方程即可求出方程的另一个根．
【详解】解：∵是方程的一个根，
∴，
解得：，
将代入原方程得：，
解得：，
∴方程的另一个根为．
故答案为：．
18. 如图1，D是中边上的任一点（与点A、B不重合），连结．若，则称是的“智慧线”．如图2，已知，，，若边上存在点D，使是的“智慧线”，则的长为_______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，过点C 作于点E，在上找一点D，连接，使，根据勾股定理求出，再分情况计算即可解决．
【详解】解：过点C 作于点E，在上找一点D，连接，使，如图2所示，
在中，，
，
，
设，
，
，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
当时，，
在中，，
；
当时，，如图3所示，
在中，，
，
故答案为：或．
三、解答题（共8小题）
19. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查求解一元二次方程．掌握各类求解方法是解题关键．
（1）利用配方法即可求解；
（2）利用因式分解法即可求解．
【小问1详解】
解：，
，
，即，
，
；
【小问2详解】
解：
，
，
．
20. 如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上一点，且AE＝BC，∠1＝∠2.求证：△ADE≌△BEC.
【答案】证明见解析
【解析】
【详解】试题分析：由∠1=∠2，可得DE=CD，根据证明直角三角形全等的“HL”定理，证明即可.
试题解析：∵∠1＝∠2，
∴DE＝EC.
又∵∠A＝∠B＝90°，AE＝BC，
∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL).
点睛：本题主要考查了全等三角形的判定与性质和直角三角形的判定，证明三角形全等时，关键是根据题意选取适当的条件．
21. 已知点A（﹣1，3a﹣1）与点B（2b+1，﹣2）关于x轴对称，点C（a+2，b）与点D关于原点对称．
（1）求点A、B、C、D的坐标；
（2）顺次连接点A、D、B、C，求所得图形的面积．
【答案】（1）点A（−1，2），B（−1，−2），C（3，−1），D（−3，1）；（2）图见详解，12．
【解析】
【分析】（1）根据关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标相同，纵坐标互为相反数，分别求出a，b的值，进而求出点A、B、C的坐标，再根据关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数求出点D的坐标；
（2）把这些点按A−D−B−C−A顺次连接起来，再根据三角形的面积公式计算其面积即可．
【详解】解：（1）∵点A（−1，3a−1）与点B（2b＋1，−2）关于x轴对称，
∴2b＋1＝−1，3a−1＝2，
解得a＝1，b＝−1，
∴点A（−1，2），B（−1，−2），C（3，−1），
∵点C（a＋2，b）与点D关于原点对称，
∴点D（−3，1）；
（2）如图所示：
四边形ADBC的面积为：×4×2＋×4×4＝12．
【点睛】本题考查是作图−轴对称变换，熟知关于x、y轴对称的点的坐标特点是解答此题的关键．
22. 某校对八年级学生进行了一次视力调查，绘制出频数分布表和频数直方图的一部分如下：
请根据图表信息回答下列问题：
（1）在频数分布表中，的值为______，的值为______；
（2）将频数直方图补充完整；
（3）甲同学说：“我的视力情况是此次抽样调查所得数据的中位数”，问甲同学的视力情况在哪个范围内？
（4）若视力在4.9以上（含4.9）均属正常，求视力正常的人数占被调查人数的百分比．
【答案】（1）；
（2）答案见解析 （3）
（4）
【解析】
【分析】（1）根据频数分布表中的数据，可以计算出本次调查的人数，然后即可计算出和的值；
（2）根据（1）可以将频数分布直方图补充完整；
（3）根据中位数的定义直接解答即可；
（4）用视力在4.9以上（含的人数除以总人数即可．
【小问1详解】
解：抽取的总人数是：（人，
则（人，
，
故答案为：50，0.12．
【小问2详解】
解：如图所示，
【小问3详解】
解：；，
中位数落在第3组内，
即甲同学的视力情况在范围内；
【小问4详解】
解：视力正常的人数占被调查人数的百分比是．
本题考查频数分布表、频数分布直方图，用样本估计总体知识，解题的关键是熟练掌握基本概念．
23. 如图，在中，D为的中点，过点D分别作，，分别交于点E，F．
（1）求证：；
（2）下列是两位同学的对话：
小杰：若添加条件，则四边形是菱形．
小兰：若添加条件，则四边形是矩形．
请选择其中一位同学的说法加以证明．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据证明即可；
（2）先证明四边形为平行四边形，然后根据一组邻边相等的平行四边形为菱形证明小杰的结论；根据有一个角是直角是平行四边形为矩形证明小兰的结论即可．
【小问1详解】
证明：∵D为的中点，
∴，
∵，，
∴，，
∴；
【小问2详解】
证明：小杰：连接，
∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵，D为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形；
小兰：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定，菱形的判定，三角形全等的判定，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定定理．
24 某商场准备购进甲、乙两种服装进行销售，甲种服装每件进价160元，售价220元；乙种服装每件进价120元，售价160元．现计划购进两种服装共100件，其中甲种服装不少于60件．设购进甲种服装x件，两种服装全部售完，商场获利y元．
（1）求y与x之间的函数关系式．
（2）若购进100件服装的总费用不超过15000元，则最大利润为多少元？
【答案】（1）
（2）当时，y最大，最大值为5500元
【解析】
【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的性质，根据题意建立函数关系式是求解本题的关键．
（1）由总利润等于两种服装的利润之和可得函数关系式．
（2）先建立总利润关于x的函数关系式，再结合一次函数的性质，求解即可．
【小问1详解】
解：由题意得，设购进甲种服装x件，则购进乙服装件，
∴
【小问2详解】
解：由题意得．
∴
∵中，，
∴y随x的增大而增大，
∴当时，y最大，最大值为（元）
25. 如图，已知正方形的边长为a，E为边上一点（不与端点重合），将沿对折至，延长交边于点G，连接．求证：
（1）；
（2）若，则；
（3）若，则．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）由正方形的性质和折叠性质得到，，再证明得到，进而可求解；
（2）设，可求得，，，在中，由勾股定理可求得，则，根据等腰三角形的性质和全等三角形的性质可知，，利用三角形的外角性质证得，然后利用平行线的判定可得结论；
（3）根据等腰三角形的判定与性质证明，在中，利用勾股定理列方程，然后解一元二次方程即可．
【小问1详解】
证明：∵四边形是边长为a的正方形，
∴，，
由折叠性质得，，，
∴，又，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：由折叠性质得，
∵，
∴，，
设，
∵，
∴，，，
中，由得，
解得，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【小问3详解】
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，则，
在中，，，，
由得，
解得（负值已舍去）．
【点睛】本题考查正方形的性质、折叠性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、勾股定理、三角形的外角性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握折叠性质和相关知识是解答的关键．
26. 如图，一次函数和交于、两点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）观察图形，请直接写出时，x的取值范围；
（3）在y轴上取一点P，连接PA、PB，请问能否恰好构成直角三角形？如能，请求出P点坐标；如不能，请说明理由．
【答案】（1），；
（2）x的取值范围是：或；
（3）为直角三角形时，点坐标为或或或．
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，勾股定理，掌握相关知识是解题的关键．
（1）直接用待定系数法即可求解；
（2）观察图象可知，当，直线在反比例函数的下方，即可求解；
（3）设点，分别求出，，，分三种情况讨论即可求解．
【小问1详解】
解：反比例函数过点、，
把代入中，得：，
解得：，
∴反比例函数的解析式为：，
把代入中，得：，
∴，
把，代入中，得：
，
解得：，
∴一次函数的解析式为：；
【小问2详解】
解：观察图象可知，当，直线在反比例函数的下方，
又∵，，
∴，，
∴x的取值范围是：或；
【小问3详解】
解：设点，
∵，，
∵，
，
，
当时，如图：
∴，即，
解得：，
∴点，
当时，如图：
∴，即，
整理得：
解得：或，
∴点或，
当时，如图：
∴，即，
解得：，
∴点，
综上所述，为直角三角形时，点坐标为或0,3或或．视力
频数（人数）
频率
4
0.08
8
0.16
12
0.24
0.4
6