2025届高考数学一轮知识清单专题10 复数及其应用（4知识点+2重难点+6方法技巧+3易错易混）（解析版）

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知识点1 复数的基本概念
1、复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b．
2、复数的分类：
eq \a\vs4\al(复数z＝a＋bi,a，b∈R)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(实数b＝0，,虚数b≠0\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(纯虚数a＝0，,非纯虚数a≠0.))))
3、复数的有关概念
知识点2 复数的几何意义
1、复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面；
2、实轴、虚轴：在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数；
3、复数的几何表示：复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)平面向量．
知识点3 复数的四则运算
1、复数的运算法则
设， (a，b，c，d∈R)，则
（1）z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
（2）z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
（3）z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
（4）．
2、复数运算的几个重要结论
（1）|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2) ．
（2）eq \x\t(z)·z＝|z|2＝|eq \x\t(z)|2．
（3）若z为虚数，则|z|2≠z2．
（4）(1±i)2＝±2i．
（4）eq \f(1＋i,1－i)＝i；eq \f(1－i,1＋i)＝－i．
（5）i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i．
知识点4 复数的三角形式
1、复数的辅角
（1）辅角的定义：设复数z=a+bi的对应向量为OZ，以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在的射线（射线OZ）为终边的角θ，叫做复数z的辅角．
（2）辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍．
规定：其中在0≤θ<2π范围内的辅角θ的值为辅角的主值，通常记作argz．
【注意】因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辅角是任意的．
2、复数的三角形式及运算
（1）定义：任何一个复数都可以表示成z=r(csθ+isinθ)的形式，其中r是复数的模，θ是复数的辅角．
【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连．
（2）复数乘法运算的三角表示：已知z1=r1(csθ1+isinθ1)，z2=r2(csθ2+isinθ2)，
则z1z1=r1r2[csθ1+θ2+isinθ1+θ2]．
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辅角等于各复数的辅角的和．
（3）复数除法运算的三角表示：已知z1=r1(csθ1+isinθ1)，z2=r2(csθ2+isinθ2)
则z1z2=r1(csθ1+isinθ1)r2(csθ2+isinθ2)=r1r2csθ1-θ2+isinθ1-θ2．
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，
商的辅角等于被除数的辅角减去除数的辅角所得的差．
重难点01 与复数有关的最值问题
求复数模的范围与最值问题的解题策略
（1）把复数问题实数化、直观化、熟悉化，即将复数问题转化为实数问题来处理，转化为实数范围内，求模的范围与最值问题来解决；
（2）发掘问题的几何意义，利用几何图形的直观性来解答，把陌生的问题转化为熟悉的问题来解答；
（3）利用三角函数解决．
【典例1】（2024·山东烟台·三模）若复数z满足，则的最小值为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【解析】若复数z满足，
则由复数的几何意义可知复数对应的点集是线段的垂直平分线，其中，
所以的最小值为.故选：B.
【典例2】（2024·云南·二模）已知为虚数单位，复数z满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．0
【答案】A
【解析】设，而，所以，即，
所以，
等号成立当且仅当，
综上所述，的最小值为.故选：A.
重难点02 共轭复数与复数运算的综合问题
共轭复数问题的求解技巧：
1、若复数的代数式已知，则根据共轭复数的定义，可以写出，再进行复数的四则运算．
2、已知关于和的方程，而复数的代数形式位置，求解.解决此类问题的常规思路是：设，则，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程（组）求解．
【典例1】（2024·福建泉州·一模）（多选）已知复数z满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【解析】设复数，可得
因为复数z满足，可得，则，
可得且，
由时，可得或，
当时，可得，此时；当时，方程，无解；
对于A中，当，可得，可得；
当，可得，可得，所以A正确；
对于B中，当，可得，且，则，所以B不正确；
对于C中，当，可得，可得，所以C不正确；
对于D中，当，可得，可得，则；
当，可得，可得，则，所以D正确.故选：AD.
【典例2】（23-24高三下·湖南娄底·阶段练习）（多选）已知复数的共轭复数分别为，下列结论正确的是（ ）
A．若为纯虚数，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则在复平而内对应的点的轨迹为直线
【答案】ACD
【解析】对于A，设，，故成立，故A正确，
对于B，设，，则满足，但，故B错误，
对于C，设，，则，，
故，，
解得，，则，故C正确，
对于D，设，因为，，
，所以，
化简得，故在复平而内对应的点的轨迹为直线，故D正确.故选：ACD.
一、复数的分类
对于复数a＋bi，
（1）当且仅当b＝0时，它是实数；
（2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；
（3）当b≠0时，叫做虚数；
（4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．
【典例1】（2024·广东东莞·模拟预测）若复数z满足，则复数z的虚部是（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】C
【解析】设，根据题意，可得，
化简为，
根据复数相等，得，解得，
所以，即复数z的虚部是3.故选：C
【典例2】（23-24高三上·甘肃庆阳·阶段练习）（多选）下列各式的运算结果是实数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AC
【解析】A项中，，故A正确；
B项中，，故B错误；
C项中，，故C正确；
D项中，，故D错误.故选：AC.
二、求复数标准代数式形式的两种方法
1、直接法：将复数用已知复数式表示出来，利用复数的四则运算化简为复数的标准代数式；
2、待定系数法：将复数设为标准式，代入已知的等式中，利用复数相等的条件列出关于复数实部和虚部的方程（组），通过解方程（组）求出复数的实部与虚部．
【典例1】（2024·新疆·三模）复数满足，则的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】设且，则，
因为，所以,解得：，则的虚部为.故选：C
【典例2】（2024·福建泉州·模拟预测）已知复数满足，，则（ ）
A．B．2C．-2D．
【答案】B
【解析】设复数，，
由，得，解得，，
∴，∴.故选：B．
三、复数的几何意义
（1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的．
（2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量OZ=(a,b)是一一对应的．
【典例1】（2024·四川自贡·三模）在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则复数对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】D
【解析】因为复数，对应的向量分别是，，
所以，，
所以，
所以复数对应的点为，位于第四象限.故选：D
【典例2】（2024·安徽马鞍山·三模）已知复数满足，若在复平面内对应的点不在第一象限，则 ．
【答案】
【解析】设，则，
因为，
则，解得或，
又因为在复平面内对应的点不在第一象限，可知，
可知，所以.
故答案为：.
四、虚数单位i的乘方
计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质：
i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，
从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i，
同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.
这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1．
由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，eq \f(1－i,1＋i)＝－1，eq \f(1＋i,1－i)＝i，eq \f(1,i)＝－i．
【典例1】（2024·湖北·二模）已知复数，则（ ）
A．1B．C．D．i
【答案】A
【解析】因为，所以，
所以.故选：A
【典例2】（2024·河北·三模）已知复数满足，则的共轭复数的虚部是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由，可得，
所以，所以，
所以，所以的共轭复数的虚部是.故选：D.
五、复数方程的解
在复数范围内，实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求解方法：
（1）求根公式法：
= 1 \* GB3 ①当∆≥0时，x=-b±b2-4ac2a = 2 \* GB3 ②当∆<0时，x=-b±-(b2-4ac)i2a
（2）利用复数相等的定义求解，设方程的根为x=m+ni(m，n∈R)，
将此代入方程ax2+bx+c=0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．
【典例1】（23-24高三下·西藏拉萨·阶段练习）已知是方程的根，则（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】A
【解析】由题意，得，即，
所以，且，解得，
所以.故选：A.
【典例2】（2024·江苏盐城·模拟预测）（多选）已知，为方程的两根，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【解析】方程的两根分别为和，且，，
所以不妨设，，
，所以，故错误；
，故正确；
，故正确；
，，
所以，故错误.故选：.
六、复数的三角表示
将复数z=a+bi(a,b∈R)化为三角形式z=r(csθ+isinθ)时，要注意以下两点：
（1）r=a2+b2，
（2）csθ=ar，sinθ=br，其中θ终边所在象限与点(a,b)所在象限相同，
当a=0，b>0时，arg z=π2
【注意】每一个不等于零的复数有唯一的模与辅角的主值，并且由它的模与辅角的主值唯一确定。因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辅角的主值分别相等．
【典例1】（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）（多选）任何一个复数（，，为虚数单位）都可以表示成（，）的形式，通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：（），我们称这个结论为棣莫弗定理，则下列说法正确的有（ ）
A．复数的三角形式为
B．当，时，
C．当，时，
D．当，时，“为偶数”是“为纯虚数”的充分不必要条件
【答案】BC
【解析】复数的三角形式为，故错误；
当，时，，
因为，，
所以，故正确；
当，时，，
，故正确；
当，时，，
，
若为纯虚数，则，则，所以，，
虽然，是偶数，但是偶数还有，的形式的数，
所以“为偶数”是“为纯虚数”的必要不充分条件，故错误.故选：.
【典例2】（2024·黑龙江哈尔滨·三模）复数是虚数单位在复平面内对应点为，设是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角，则，把叫做复数的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，，例如：，，复数满足：，则可能取值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】设，
则，
所以，，即，
所以
故时，，故可取，故选：D

易错点1 忽视复数是纯虚数的充要条件
点拨：对复数为纯虚数理解不透彻，对于复数为纯虚数，往往容易忽略虚部不等于0．
【典例1】（24-25高三上·湖南·开学考试）已知复数，若复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A．B．C．-2D．2
【答案】A
【解析】由已知，复数为纯虚数，
所以得.故选：A.
【典例2】（23-24高三上·广西·开学考试）已知i是虚数单位，若是纯虚数，则实数（ ）
A．B．C．1D．
【答案】C
【解析】，
因为是纯虚数，所以，解得.故选：C.
易错点2 错误的理解复数比大小
点拨：两个复数不能直接比大小，但如果成立，等价于．
【典例1】（2024·辽宁·三模）已知复数在复平面上对应的点为，若，则实数的值为（ ）
A．0B．C．1D．1或
【答案】A
【解析】因为复数在复平面上对应的点为，所以，
因为，
因为为实数，得.故选：A.
【典例2】（2024·湖南永州·三模）已知复数，，若（为的共轭复数），则实数的取值范围为 .
【答案】
【解析】,,
,, 都是实数，且,
,解得,
即实数的取值范围为
故答案为：
易错点3 错误的惯性思维理解复数的模
点拨：对复数模长的理解错误，复数的模长计算与实数不同，尤其要注意模长性质的应用．
【典例1】（2024·陕西商洛·模拟预测）已知是虚数单位，则（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】C
【解析】.故选：C.
【典例2】（24-25高三上·山西大同·期末）（多选）已知复数，下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．
C．D．
【答案】BCD
【解析】对于A，设，显然，但，故A错；
对于B，设，则，
，
，所以，故B对；
对于CD，根据复数的几何意义可知，复数在复平面内对应向量，
复数对应向量，复数加减法对应向量加减法，
故和分别为和为邻边构成平行四边形的两条对角线的长度，复数相等
a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)
共轭复数
a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)
复数的模
向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，
即|z|＝|a＋bi|＝r＝eq \r(a2＋b2)(r≥0，a，b∈R)