2025届高考数学一轮知识清单专题05 九种函数与抽象函数模型归类（解析版）

这是一份2025届高考数学一轮知识清单专题05 九种函数与抽象函数模型归类（解析版），共41页。

目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc13283" 题型一：三大补充函数：对勾函数 PAGEREF _Tc13283 \h 1
\l "_Tc22442" 题型二：三大补充函数：复杂分式型“反比例”函数 PAGEREF _Tc22442 \h 4
\l "_Tc27579" 题型三：三大补充函数：双曲函数（双刀函数） PAGEREF _Tc27579 \h 6
\l "_Tc9414" 题型四：一元三次函数 PAGEREF _Tc9414 \h 9
\l "_Tc32669" 题型五：高斯取整函数 PAGEREF _Tc32669 \h 12
\l "_Tc27683" 题型六：绝对值函数 PAGEREF _Tc27683 \h 15
\l "_Tc17054" 题型七：对数绝对值型 PAGEREF _Tc17054 \h 19
\l "_Tc29041" 题型八：对数无理型 PAGEREF _Tc29041 \h 22
\l "_Tc31455" 题型九：对数反比例型 PAGEREF _Tc31455 \h 24
\l "_Tc22227" 题型十：指数反比例型 PAGEREF _Tc22227 \h 26
\l "_Tc27757" 题型十一：抽象函数模型：过原点直线型 PAGEREF _Tc27757 \h 28
\l "_Tc14516" 题型十二：抽象函数模型：不过原点直线型 PAGEREF _Tc14516 \h 30
\l "_Tc20559" 题型十三：抽象函数模型：正切型 PAGEREF _Tc20559 \h 33
\l "_Tc26908" 题型十四：抽象函数模型：一元二次型 PAGEREF _Tc26908 \h 35
\l "_Tc16651" 题型十五：抽象函数模型：一元三次函数型 PAGEREF _Tc16651 \h 37
\l "_Tc20144" 题型十六：抽象函数模型：余弦或者双曲余弦模型 PAGEREF _Tc20144 \h 39
题型一：三大补充函数：对勾函数
对勾函数：图像特征
形如称为对勾函数
1.有“渐近线”：y=ax
2.“拐点”：解方程（即第一象限均值不等式取等处）
1.（2022秋·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是 .
【答案】
【分析】令，讨论的取值范围，确定函数的单调性，根据单调性确定函数的最大值与最小值，使且恒成立，进而确定的取值范围以及的取值范围，即求.
【详解】令
I.当时，函数显然单调递增，
所以，，
由题意可得，
这与矛盾，故舍去；
II，当时， 在单调递减，单调递增，
①.当时，即，所以，
由题意可得，
这与矛盾（舍去）.
②．当时，即，
所以，
，由题意得，a.当时，此时，
所以，故，
而 ，故，b.当时，此时，所以，
故，而，故.
③．当时，即，所以，，
由题意可得，这与矛盾，
综上所述：.故答案为：
2.（2022·安徽合肥·高二校联考开学考试）已知函数，关于x的不等式只有一个整数解，则正数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】将函数解析式变形，结合打勾函数的图像与性质可求得的值域，进而结合不等式可知；因为不等式只有一个解，因而计算后与比较即可确定这个解为；进而由不等式成立条件可得正数a的取值范围.
【详解】函数，结合打勾函数性质可知，，
关于x的不等式，因为求正数a的取值范围，因而，化简不等式可得，
所以，即则，因为关于x的不等式只有一个整数解，
所以由以上数据可知整数解为，所以，
解得，所以故答案为：.
3.．（2023·高三单元测试）已知函数，若存在，使得，则正整数的最大值为 .
【答案】4
【分析】根据单调性得到，要使正整数尽可能大，则可以是，得到答案.
【详解】当时，，单调递减，故，
要使正整数尽可能大，则可以是，故的最大值为4.
故答案为：4.
4.（2022·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试）已知函数，若对任意的，长为的三条线段均可以构成三角形，则正实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】求出的导数，分类讨论可得最小值和最大值，由题意可得最小值的2倍大于最大值，解不等式即可得到所求的范围．
【详解】函数的导数为，
当时，，递增；当时，，递减．
当即时，，为减区间，即有的最大值为；
最小值为．
由题意可得只要满足，解得；
当且即时，，为减区间，，为增区间，
即有的最大值为；最小值为．
由题意可得只要满足，解得，所以；
当且（1）即时，，为减区间，，为增区间，
即有的最大值为；最小值为．
由题意可得只要满足，解得，所以；
当，即时，，为增区间，即有的最小值为；
最大值为．
由题意可得只要满足，解得．
综上可得，的取值范围是．
故答案为：．
题型二：三大补充函数：复杂分式型“反比例”函数
反比例与分式型函数
解分式不等式，一般是移项（一侧为零），通分，化商为积，化为一元二次求解，或者高次不等式，再用穿线法求解
形如：。对称中为P，其中
①；
②
③一、三或者二、四象限，通过 计算判断
1.（2022·湖北武汉·高三校联考模拟）已知函数为奇函数，与的图像有8个交点，分别为，则 .
【答案】16
【分析】由为奇函数可得函数关于点对称，分离常数可知函数关于点对称，继而可得与图像的8个交点关于点对称，则，可求，结果可得.
【详解】为奇函数函数关于点对称
函数关于点对称与图像的8个交点关于点对称
,,,可得
同理可知
故答案为：
2.（2023·全国·高三对口高考）函数的值域是或，则此函数的定义域为 .
【答案】
【分析】利用反函数,可将原函数化为,(其中或),求出的值域即得的定义域.
【详解】，其中或，
当时,是减函数,此时，
当时,是减函数,此时，
∴函数的定义域为.
故答案为：.
3.（2023·全国·高三专题练习）已知集合，其中且，函数，且对任意，都有，则的值是 ．
【答案】或3.
【分析】先判断区间与的关系可得，再分析时定义域与值域的关系，根据函数的单调性可确定定义域与值域的区间端点的不等式，进而求得和即可.最后分析当时，，从而确定定义域与值域的关系，列不等式求解即可
【详解】先判断区间与的关系，因为，故或.因为当，即时，由题意，当时，，故不成立；故.
再分析区间与的关系，因为，故或.
①当，即时，因为在区间上为减函数，故当， ，因为，而，故此时，即，因为，故即，故，解得，因为，故.此时区间在左侧，在右侧.故当时，，因为，故，所以 ，此时，故，解得，因为，故；
②当时，在区间上单调递减，易得，故此时且，即且，所以，故，故，即，，因为，故；
综上所述，或3。故答案为：或3.
4.（2023·浙江·高二校联考开学考试）已知函数，若函数在的最大值为2，则实数的值为 .
【答案】或2
【解析】由题意可得三个非负端点值，分别令它们为最大值2求，再验证是否符合题设即可求的值.
【详解】，由题意知：，
∴时，；时，；时，；
若时，或，而有，有，故与题设矛盾；
若时，或，而有，所以只有时成立；
若时，或，而有，所以只有时成立；
综上有：或，
故答案为：或2
题型三：三大补充函数：双曲函数（双刀函数）
双刀函数
（两支各自增），或者 （两支各自减）
1.有“渐近线”：y=ax与y=-ax
2.“零点”：解方程（即方程等0处）

1.（2023·江苏南通·高二统考期末）已知函数，则关于x的不等式的解集是 .
【答案】
【分析】求出是奇函数，且在定义域上是单减函数，变形再利用单调性解不等式可得解.
【详解】，
是奇函数，又是上的减函数，是上的增函数，
由函数单调性质得是上的减函数.
,则，由奇函数得
且是上的减函数. ， ，又
不等式的解集是故答案为：
2.（2023春·湖北·高二统考期末）已知奇函数，有三个零点，则t的取值范围为 .
【答案】
【分析】由为奇函数求出的值，再利用导数研究函数和单调性和极值点，由有三个零点，求t的取值范围.
【详解】若，，函数没有三个零点，所以，
为奇函数，则，即，
得，
设，函数定义域为R，，为偶函数，
，是R上的增函数，且，
则，解得；，解得，
即在上单调递减，在上单调递增，
，由，则有，
所以，，
由，当且仅当时等号成立，则，
若，则，单调递减，没有三个零点；
若，令，则方程，即，
判别式，方程有两个不相等实数根，设两根为且，则有，，所以，
令，，由，则且，
，即，即，解得，得；
，即，即，解得或，得或，
所以在和上单调递减，在上单调递增，由，则有，，
由函数的单调性和递增速度可知，时，存在，的图像如图所示，

此时奇函数有三个零点.综上可知，t的取值范围为.故答案为：
3.（2023春·辽宁铁岭·高二校联考期末）已知函数若，则 ．
【答案】3
【分析】利用，求得的值.
【详解】根据题意，函数，则，则，故有，又由，则，故答案为：3.
春·上海黄浦·高三上海市大同中学校考）已知函数，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】令，分析函数的定义域、奇偶性与单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可.
【详解】设，则函数是定义域为，
因为，故函数为奇函数，
因为函数、、、均为上的增函数，
故函数为上的增函数，
因为，
由可得，
可得，
所以，，即，解得.
因此，不等式的解集为.
故答案为：.
题型四：一元三次函数
一元三次函数：
所有的三次函数都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图像的对称中心，
设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．
1.．给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．经研究发现所有的三次函都有“拐点”，且该“拐点”也是函数的图像的对称中心．若函数，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用题中给出的定义，得到的拐点为，从而得到的对称中心为，即，由此分析计算即可．
【详解】解：因为函数，则，，
令，解得，且，由题意可知，的拐点为，故的对称中心为，
所以，
所以．故选：A．
2.已知函数 fx=ax3+3x2+1，若至少存在两个实数 m，使得 f-m，f1，fm+2 成等差数列，则过坐标原点作曲线 y=fx 的切线可以作
A. 3 条B. 2 条C. 1 条D. 0 条
【答案】B【解析】至少存在两个实数 m，使得 f-m，f1，fm+2 成等差数列，
可得 f-m+f2+m=2f1=2a+4，即有 fx 的图象关于点 1,a+4 对称， fx 的导数为 fʹx=3ax2+6x，
fʺx=6ax+6，由 fʺx=0，可得 x=-1a，由 f-1a+x+f-1a-x 为常数，可得 -1a=1，解得 a=-1．
即有 fx=-x3+3x2+1，fʹx=-3x2+6x，设切点为 t,-t3+3t2+1，可得切线的斜率为 -3t2+6t=-t3+3t2+1t，化为 2t3-3t2+1=0，设 gt=2t3-3t2+1，gʹt=6t2-6t，
当 01 或 t<0 时，gʹt>0，gt 递增．
可得 gt 在 t=0 处取得极大值，且为 1>0；在 t=1 处取得极小值，且为 0．
可知 2t3-3t2+1=0 有两解，即过坐标原点作曲线 y=fx 的切线可以作 2 条．
3.（多选）（全国名校大联考2022-2023学年高三上学期第三次联考数学试卷）对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．的极大值点为
B．有且仅有3个零点
C．点是的对称中心
D．
【答案】BCD
【分析】求出，得到函数的单调区间，即可求得极值，要注意极值点是一个数，可判断A项；根据极大值、极小值的正负，可得到函数零点的个数，即判断B项；根据的解的情况，可判断C项；由对称中心可推得，用倒序相加法即可求得式子的和，判断D项.
【详解】由题意知.
令，解得或，所以在上单调递增，在上单调递增；
令，解得，所以在上单调递减.
又，.
所以，在处有极大值，在处有极小值.
所以的极大值点为-2，A项错误；
又极大值，极小值，作出的图象，
有图象可知，有且仅有3个零点，故B正确；
，令，解得，
又，由题意可知，点是的对称中心，故C正确；
因为点是的对称中心，所以有，即.
令，
又，
所以
，，所以.故D正确.
故选：BCD.
4. （多选）（江苏省苏州市常熟市2022-2023学年高三上学期12月抽测二数学试题）对于三次函数,给出定义:设是函数的导数,是的导数,若方程有实数解,则称点为函数的“拐点”.经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”,任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.设函数,则以下说法正确的是（ ）
A．
B．当时,有三个零点
C．
D．当有两个极值点时,过的直线必过点
【答案】AB
【分析】根据题意令二次导数为零即可求出拐点,即对称中心,即可得选项A的正误,先讨论时是否为零点,然后进行全分离,设新函数求导求单调性,求特殊值,画函数图象即可判断选项B的正误,根据选项A,将代入再相加即可得选项C 的正误,两点在一条直线上,则中点也在直线上,根据为极值点,令导函数为0,用韦达定理即可得,根据选项A,可得,即可求出中点坐标,即可判断选项D的正误.
【详解】解:由题知,
关于选项A:
,令可得,的拐点为,,
对称中心为,即成立,-故选项A正确;
关于选项B:
当时,,不是的零点,令,即有三个根,
令,,
时,单调递增,时,单调递减,时,单调递减,
,,,,画图象如下:
由图可知:时,与有三个交点,
即有三个零点,故选项B正确;
关于选项C:
由选项A可知: ,,
两式相加可得,故选项C错误;
关于选项D:
由于有两个极值点有两根,,
由于直线过,则直线一定过中点,
由选项A知,且有,
中点坐标为,则直线一定过,故选项D错误.
故选:AB
题型五：高斯取整函数
取整函数表示不超过的最大整数，又叫做“高斯函数”，
1.（黑龙江省大庆市铁人中学2022-2023学年高三月考数学试题）符号表示不超过的最大整数，如，，，定义函数则下列说法正确的个数是（ ）
①函数的定义域为R
②函数的值域为
③函数是增函数
④函数是奇函数
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【分析】
根据题中定义、增函数的性质、奇函数的性质，结合特例法进行判断即可.
【详解】
①：函数的定义域为全体实数，故本说法正确；
②：因为表示不超过的最大整数，所以，因此本说法不正确；
③：因为，显然函数在整个实数集上不是增函数，所以本说法不正确；
④：因为，，
所以，因此本函数不是奇函数，所以本说法不正确，
故选：A
2.（广东省广州市第四中学2021-2022学年高三上学期月考数学试题）高斯（1777-1855）是德国著名数学家，物理学家，天文学家，大地测量学家，近代数学奠基者之一，并享有“数学王子”之称，高斯一生的数学成就很多，其中：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，，设函数的值域为集合，则中所有负整数元素个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【分析】
根据二次函数的性质求出函数的值域，然后再进行判断即可.
【详解】
函数图象的对称轴为，当时，易知，，所以的值域，故其值域中所有负整数元素为，，，个数为3.
故选：B.
3.（百师联盟2020-2021学年高三上学期一轮复习联考（四）全国卷 I 理科数学试题）高斯是德国著名数学家，物理学家，天文学家，大地测量学家，近代数学奠基者之一.高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称，用其名字命名的高斯函数为：设用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：已知函数.设函数的值域为集合，则中所有正整数元素个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
先求解出二次函数的值域，然后根据高斯函数的定义确定出集合，从而中所有正整数元素个数可知.
【详解】
函数图象的对称轴为，
当时，，，
所以，
所以的值域，
故其值域中所有正整数元素为个数为，
故选：.
4.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如：，.已知函数，下列说法中正确的是（ ）
A．是周期函数B．的值域是
C．在上是减函数D．，
【答案】AC
【分析】
根据定义将函数写成分段函数的形式，再画出函数的图象，根据图象判断函数的性质.
【详解】
由题意可知，，
可画出函数图像，如图：
可得到函数是周期为1的函数，且值域为，在上单调递减，故选项AC正确，B错误；对于D，取 ，则，故D错误.
故选：AC．
题型六：绝对值函数
绝对值函数：
1.（2023春·湖南长沙·高二长沙一中校考阶段练习）定义为与距离最近的整数，令函数，如： .
【答案】19
【分析】令，则，即，所以，满足此不等式的正整数的个数有，即共有个数，由此求解即可得出答案.
【详解】令，则，即，即，
所以，满足此不等式的正整数的个数有，
即共有个数；
时则有2个，即；
时则有4个，即；
时则有6个，即；
时则有18个，即，（其中）；
又，所以，
其中共有10个数；
所以
.
故答案为：19.
2.（2023·天津和平·统考三模）已知函数，若关于的方程恰有三个不相等的实数解，则实数的取值集合为 .
【答案】
【分析】分类讨论的不同取值，并作出的图象，利用数形结合的思想，结合函数图象确定两个函数图象的交点的个数即可求解.
【详解】，当时，，此时无解，不满足题意；
当时，设，则与的图象大致如下，
则对应的2个根为，此时方程均无解，即方程无解，不满足题意；
当时，设，则与的图象大致如下，
则则对应的2个根为，若方程恰有三个不相等的实数解，
则与函数的图象共有3个不同的交点，
①当时，与函数的图象共有2个交点，如图所示，
所以与函数的图象只有1个交点，
则，所以，解得；②当时，与函数的图象共有2个交点，
所以与函数的图象只有1个交点，则，与矛盾，不合题意；
③当时，与函数的图象共有2个交点，如图所示，
所以与函数的图象只有1个交点，则，所以，解得；
综上，的取值集合为，故答案为: .
3.（2022·浙江·高三模拟）已知函数，有下列结论：
①，等式恒成立；
②，方程有两个不等实根；
③，若，则一定有；
④存在无数多个实数k，使得方程在上有三个不同的实数根．
则其中正确结论序号为 ．
【答案】①③④
【分析】①根据函数表达式计算判断；②举反例判断；③根据函数单调性判断；④用数形结合法判断.
【详解】已知函数，有下列结论：
对于①，因为， ，所以①对；
对于②，因为当时，方程，只有一个实根，所以②错；
对于③，因为当时，，单调递增，
当时， 单调递增，
所以在上单调递增，
所以，若，则一定有，所以③对；
对于④，方程在上有三个不同的实数根，
即方程 在上有三个不同的实数根，
因为必为一根，只要方程 有两个不同的实数根，即只要有两个不同的实数根，
由函数图像知，即 ，所以④对．
故答案为：①③④·
4.（2023春·上海松江·高三上海市松江一中校考阶段练习）已知若存在，使得成立的最大正整数为6，则的取值范围为 .
【答案】
【分析】由题意得，分类讨论作出函数图象，求得最值解不等式组即可.
【详解】原问题等价于，当时，函数图象如图
此时，则，解得：；
当时，函数图象如图此时，
则，解得：；
当时，函数图象如图此时，
则，解得：；
当时，函数图象如图此时，
则，解得：；综上，满足条件的取值范围为.
故答案为：
题型七：对数绝对值型
对数绝对值型函数
对于，若有两个零点，则满足
1.
2.
3.要注意上述结论在对称轴作用下的“变与不变”
1.（2022·吉林白山·抚松县第一中学校考二模）已知函数，若方程有4个不同的根，，，，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作出函数与的图像，得到关于对称，化简条件，利用对勾函数的性质可求解.
【详解】作函数与的图像如下：
方程有4个不同的根，，，，且，
可知关于对称，即，且，
则，即，则
即，则；
当得或，则；；
故，；
则函数，在上为减函数，在上为增函数；
故取得最小值为，而当时，函数值最大值为.
即函数取值范围是.故选：D.
2.（2023春·江苏苏州·高二星海实验中学校考阶段练习）设函数，若关于x的方程有四个实根（），则的最小值为（ ）
A．B．16C．D．17
【答案】B
【分析】作出函数的大致图象，可知，由与的图象有四个交点可得，计算求得的值即可得的范围，根据可得与的关系，再根据基本不等式计算的最小值即可求解.
【详解】作出函数的大致图象，如图所示：
当时，对称轴为，所以，
若关于的方程有四个实根，，，，则，
由，得或，则，
又，所以，
所以，所以，且，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为.故选：B.
3.（2020秋·陕西延安·高三校考模拟）已知，则函数的零点个数是（ ）
A．5B．4C．3D．2
【答案】A
【分析】首先由函数的零点转化为方程和的根，再利用数形结合即可求得函数的零点个数.
【详解】函数的零点，
即方程和的根，
函数的图象如下图所示：

由图可得方程和共有5个根，
即函数有5个零点，
故选：A
4.（2023春·安徽安庆·高三统考模拟）设函数，若（其中），则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】分析函数的性质并作出图象，将问题转化为直线与函数的图象的四个交点问题，结合图象性质再构造函数，借助单调性求解作答.
【详解】当时，函数在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为，
当时，函数在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为，
作出函数的图象，如图，设，

当时，直线与函数的图象有四个交点，且交点的横坐标分别为，且，
当时，由，解得或，于是，
由，得，则，即，而，
因此，
令，显然函数在上递减，且，于是，
所以的取值范围是．故选：D
题型八：对数无理型
对数与无理式复合是奇函数：，如
1.（2023春·黑龙江绥化·高二校考期末）已知函数，若任意的正数，均满足，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】先判断出的单调性和奇偶性，再由得出与满足的等式，再由基本不等式“1”的妙用求解即可.
【详解】∵恒成立，∴函数的定义域为．，有成立，
，
，
∴，∴为定义在上的奇函数．
由复合函数的单调性易知，当时，与均单调递减，
∴在区间上单调递减，
又∵为定义在上的奇函数，∴在上单调递减.
∴由得，∴正数，满足，即，
∴由基本不等式，，
当且仅当，即，时等号成立，∴的最小值为．故答案为：．
2.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】因为函数，定义域为，且，
则
，
即，即为奇函数，
当时，，均单调递增，所以在上单调递增，
则在上单调递增，
所以是奇函数且在上单调递增，
由，可得，则，解得，
即的取值范围为.
故答案为：
3.（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考模拟）已知函数的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝ ．
【答案】
【分析】设，判断是奇函数，故，从而可求解.
【详解】设，则的定义域为，
则
，
∴，是奇函数，因此.
又，，
∴，．
故答案为:.
4.（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若正实数满足，则的最小值为 .
【答案】16
【分析】根据题意设，利用函数奇偶性可以得到设，再利用基本不等式即可求出结果.
【详解】由函数，设，则的定义域为，
，则，所以是奇函数，
则，又因为正实数满足，所以，
，当且仅当时取到等号.
故答案为：16.
题型九：对数反比例型
1.（2024·江苏泰州·模拟预测）已知函数，若函数的图象关于点对称，则（ ）
A．-3B．-2C．D．
【答案】C
【分析】方法一：由题意，推出是奇函数，根据定义域的对称性依次求得的值，即可求得；方法二：直接利用，将其化成，再由等式恒成立得到，继而求得.
【详解】方法一：依题意将函数的图象向左移1个单位长度关于原点对称，即是奇函数，
因奇函数的定义域关于原点对称，而时函数无意义，故时也无意义，
即，解得
此时为奇函数，则
解得故.
故选：C．
方法二：依题意恒成立，代入得
化简得，,
整理得：，
即(*)，
依题意，此式在函数的定义域内恒成立，故须使，则得，
回代(*)可得，，即，故.
故选：C.
2.（21-22高三上·云南曲靖·阶段练习）设定义在区间上的函数是奇函数，且.若表示不超过的最大整数，是函数的零点，则
A．B．或C．D．
【答案】C
【详解】由奇函数的定义可得，即，也即；当时，，则，与题设不符，所以，由，所以．由于，所以若时，，则函数的零点；则由题设中的新定义的概念可得．若时，，则函数无零点，则由题设中的新定义的概念可得，应选答案C．
3.（2024·山东菏泽·模拟预测）已知函数是定义在区间上的奇函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据是奇函数求出的值，再求出的定义域即可求出的取值范围.
【详解】，
，即，即，
，，
是定义在区间上的奇函数，
，即，
，解得（舍）或，
的定义域为，.
故选：D.
4.（23-24高三上·浙江宁波·模拟）已知是奇函数，则（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】D
【分析】根据奇函数的定义域关于原点对称,得到,即可求出的值,求出函数的定义域，再由奇函数的性质,求出的值,即可得到结果。
【详解】因为是奇函数，可知定义域关于原点对称，
由，可得，显然，则且，可得，解得，
所以函数的定义域为，则，解得,
此时,且，即，符合题意，
所以.故选：D.
题型十：指数反比例型
变化
1.（23-24高三上·河南·模拟）已知函数是定义在上的奇函数，且对任意，不等式恒成立，则实数有（ ）
A．最大值B．最小值C．最小值D．最大值
【答案】D
【分析】先由奇函数确定的值，然后对变形得到其单调性，结合函数奇偶性将不等式等价变形为对任意恒成立，故只需求出函数的最小值即可，由复合函数单调性，即可得出其单调性，进而得到其最小值.
【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，得，，从而由复合函数单调性可知在上单调递增，且注意到是定义在上的奇函数，
所以不等式等价于，
即等价于，亦即，
该不等式对任意恒成立，则不大于的最小值．
因为由复合函数单调性可知在区间上单调递增，
所以当时，的最小值为
所以，等号成立当且仅当．故选：D.
2.（23-24高三上·安徽铜陵·阶段练习）已知函数，若实数满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先由题意推出，然后由基本不等式即可求解.
【详解】一方面由题意有，
另一方面若有成立，结合以上两方面有，
且注意到，所以由复合函数单调性可得在上严格单调递增，
若，则只能，因此当且仅当；
又已知，所以，即，
由基本不等式得，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为.故选：C.
3.（21-22高三上·辽宁锦州·模拟）已知函数的图像与过点的直线有3个不同的交点，，，则（ ）
A．8B．10C．13D．18
【答案】D
【分析】分析函数的对称性，再借助对称性的性质计算作答.
【详解】函数定义域为R，且，即点在函数图象上，
，，因此，函数的图象关于点对称，
依题意，不妨令，则点与关于点对称，即且，
所以.
故选：D
4.（2024·河北衡水·模拟预测）设，若函数是偶函数，则（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】D
【分析】根据对数的运算性质，结合偶函数满足的等量关系，即可求解.
【详解】的定义域为，关于原点对称，
故
所以，
故或（舍去），故选：D
题型十一：抽象函数模型：过原点直线型
--过原点直线型f（x）=kx
1.（23-24高三上·山东泰安·模拟）已知函数对于任意的，都有成立，则（ 多选 ）
A．
B．是上的偶函数
C．若，则
D．当时，，则在上单调递增
【答案】AC
【分析】A选项，令，得到A正确；B选项，令，得到，但f(x)不一定恒为0可判断B；C选项，令即可；D选项，令，得到，得到在上单调递减.
【详解】A选项，当时，，解得，A正确；
B选项，令得，即，故是上的奇函数，
但不一定是偶函数,因为不一定恒为0，B错误；
C选项，令，则，因为，则，C正确；
D选项，令，则，
则，故在上单调递减，D错误.
故选：AC
2.（23-24高三上·江苏·阶段练习）已知函数，，对于任意，，，且当时，均有，则（ 多选 ）
A．
B．
C．
D．若，则
【答案】BCD
【分析】根据抽象函数的性质，利用赋值法可判断A，根据性质可判断B，由赋值法及性质可判断C，根据抽象函数的性质判断函数的单调性可判断D.
【详解】令，则，解得，故A错；
因为，故B正确；
因为，所以，故C正确；
设任意的，且，则，所以，
即，所以函数为上的增函数，因为，
所以，解得，故D正确.
故选：BCD
3.（23-24高二下·广东深圳·阶段练习）定义在上的函数满足，当时，，则函数满足（ ）
A．B．是偶函数
C．在上有最小值D．的解集为
【答案】C
【分析】根据抽象函数的关系，利用赋值法可判断选项A；利用赋值法和函数奇偶性的定义可判断选项B；根据函数单调性的定义可判断选项C；根据函数的奇偶性和单调性可判断选项D .
【详解】令，，由可得：，解得，故选项A错误；
令，由可得：，即，
则是奇函数，故选项B错误；
任取，且，
则，
所以，即
所以函数在上单调递减.
因为是奇函数，
所以函数为上的减函数.
所以在上有最小值，故选项C正确；
因为是为上的奇函数，且为上的减函数，
所以当时有，解得，故选项D错误.
故选：C
4.（2023·广西玉林·三模）函数对任意x，总有，当时，，，则下列命题中正确的是（ ）
A．是偶函数B．是R上的减函数
C．在上的最小值为D．若，则实数x的取值范围为
【答案】C
【分析】利用赋值法，结合函数奇偶性的定义，即可判断A；
根据函数单调性的定义，结合条件，即可判断B；
根据函数的单调性，和奇偶性，以及条件，即可判断C；
不等式转化为，利用函数的单调性，即可判断D.
【详解】解：取，，则，解得，，
则．即，函数是奇函数，所以选项A错误；
令，，且，则，因为当时，，所以．
则．即，
函数是R上的增函数，所以选项B错误；
因为函数是R上的增函数，所以函数在上的最小值为，
，，．
故，在的最小值为-2，所以选项C正确；
，即，
因为函数是R上的增函数，所以，所以，
所以实数x的取值范围为，所以选项D不正确．
故选：C．
题型十二：抽象函数模型：不过原点直线型
1. （多选）（23-24高三上·四川成都·阶段练习）设函数满足：对任意实数、都有,且当时，.设.则下列命题正确的是（ ）
A．B．函数有对称中心
C．函数为奇函数D．函数为减函数
【答案】ABC
【分析】令，可得，再令，判断选项A；令，即可判断选项B；由，判断选项C；令,利用函数的单调性定义进行判断选项D.
【详解】由对于任意实数， ，
令，则，即,
再令,则，
即，故A正确;
令，则，即，故B正确；
由，则，即是奇函数，故C正确；
对于任意,则，当时，，则，所以单调递增，即单调递增，故D错误.
故选：ABC
2. （多选）（23-24高三上·辽宁朝阳·模拟）若定义在R上的函数满足，且当时，，则（ ）
A．
B．为奇函数
C．在上是减函数
D．若，则不等式的解集为
【答案】AB
【分析】令，得，可求解选项A，利用奇函数的定义可求解选项B，利用函数单调性的定义可求解选项C，利用函数的单调性解抽象不等式可求解选项D.
【详解】对A，令，得，A正确；
对B，，所以函数为奇函数，B正确；
对C，在R上任取，则，所以,
又，
所以函数在R上是增函数，C错误；
由，
得．
由得．
因为函数在R上是增函数，所以，解得或．
故原不等式的解集为或，D错误．
故选:AB．
3.（23-24高三上·湖南株洲·模拟）已知函数对，都有，若在上存在最大值M和最小值m，则（ ）
A．8B．4C．2D．0
【答案】B
【分析】根据赋值法可得，进而根据奇函数的性质得为奇函数，即可根据奇函数的性质求解.
【详解】令，则，得；
令，则，
所以；令，
则，
所以为奇函数，故，即，
所以．
故选：B．
4.（23-24高三下·河南周口·开学考试）已知定义在上的函数满足
，若函数
的最大值和最小值分别为，则 ．
【答案】4048
【分析】利用赋值法可得为奇函数，则，令，根据定义法证得为奇函数，则，结合，即可求解.
【详解】令，得，令，则，
所以，令，
所以，为奇函数，．
令，
则，
即为奇函数，所以．
而，
所以．
故答案为：4048
题型十三：抽象函数模型：正切型
1.（20-21高三上·浙江宁波·模拟）已知函数的图象是连续不断的，其定义域为，满足：当时，；任意的x，，均有.若，则x的取值范围是（ ）（e是自然对数的底数）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】令，解得，再令，得到，从而是奇函数，用替代，结合是奇函数，得到，再由 时，，利用单调性定义得到在上递增，则在上递增，将转化为求解.
【详解】解：令，即，
则，令，即，则，
因为定义域为，所以是奇函数，由，用替代，
得，因为是奇函数，所以，
，且，则，因为当时，，
所以，，即，
所以在上递增，又是定义域为的奇函数，所以在上递增，
则等价于，解得，故选：D
2.（山东·高考真题）给出下列三个等式：，，．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】依据指、对数的运算性质，和角公式，逐一验证各个选项满足的某个等式即可判断作答
【详解】对于A，因，则满足，A不是；
对于C，因，则满足，C不是；
对于D，因，则满足，D不是；
对于B，显然不能变形，，因此不满足三个等式中任一个，B是.
故选：B
3. （多选）（2023·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，且，，则（ 多选 ）
A．
B．为偶函数
C．为周期函数，且4为的周期
D．
【答案】ACD
【分析】对于选项A：令中，即可得出答案；
对于选项B：令中，得出，根据已知得出其定义域关于轴对称，即可根据函数奇偶性的定义得出答案；
对于选项C：令中，得出，即可根据周期定义得出答案；
对于选项D：根据周期得出答案.
【详解】A选项：令，得，故A正确.
B选项：令，则，因此，
又的定义域为，关于轴对称，所以为奇函数，故B错误.
C选项：令，则，
所以，因此，
所以为周期函数，且周期为4，故C正确.
D选项：，故D正确.
故选：ACD.
4.（20-21高三上·浙江宁波·模拟）已知函数的图象是连续不断的，其定义域为，满足：当时，；任意的x，，均有.若，则x的取值范围是（ ）（e是自然对数的底数）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】令，解得，再令，得到，从而是奇函数，用替代，结合是奇函数，得到，再由 时，，利用单调性定义得到在上递增，则在上递增，将转化为求解.
【详解】解：令，即，
则，令，即，则，
因为定义域为，所以是奇函数，由，用替代，
得，因为是奇函数，所以，
，且，则，因为当时，，
所以，，即，
所以在上递增，又是定义域为的奇函数，所以在上递增，
则等价于，解得，故选：D
题型十四：抽象函数模型：一元二次型
1.（23-24高三上·上海普陀·模拟）已知对于任意的整数、、，，有成立，且，则
【答案】
【分析】通过对、不断赋值，求得，可得出，利用累加法求出的表达式，即可得出的表达式.
【详解】在等式中，
令，可得，解得，
令，可得，可得，
令，，则，可得，
令，，其中，则，
则当且时，，
故当且时，
，
当时，也满足，
故对任意的，，所以，.
故答案为：.
2.（23-24高三上·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数的定义域为R，，，则下列说法不正确的是（ ）
A．B．
C．是奇函数D．是偶函数
【答案】D
【分析】利用赋值法、特殊值法结合函数的奇偶性一一判定选项即可.
【详解】令，可得，故A正确；
令，可得，令，，可得，
则，故B正确；
由，可得，令，
则，令，可得，令，
则，所以是奇函数，即是奇函数，
故C正确；
因为，所以不是偶函数，故D不正确.
故选：D
3.（23-24高三上·吉林长春·模拟）函数满足：任意，.且.则的最小值是（ ）
A．1775B．1850C．1925D．2000
【答案】C
【分析】由可得，设，可得，从而可得结论.
【详解】因为，所以有，
设，那么，
因此，
因此，
取，得到.所以.
设，等号成立！故选：C.
4.（23-24高三上·河北保定·模拟）已知函数满足：，，成立，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】令，求出，令，求出，令，求出，再令，可求出的关系，再利用累加法结合等差数列前项和公式即可得解.
【详解】令，则，所以，
令，则，
所以，
令，则，所以，
令，则，
所以，
则当时，，
则
，
当时，上式也成立，
所以，
所以.
故选：C.
题型十五：抽象函数模型：一元三次函数型
1. （多选）（2024·福建莆田·二模）已知定义在上的函数满足：，则（ ）
A．是奇函数
B．若，则
C．若，则为增函数
D．若，则为增函数
【答案】ABD
【分析】根据已知条件，利用函数奇偶性的定义，单调性的定义和性质，结合赋值法的使用，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：定义域为，关于原点对称；
对原式，令，可得，解得；
对原式，令，可得，即，
故是奇函数，A正确；
对B：对原式，令，可得，
又，则；
由A可知，为奇函数，故，故B正确；
对C：由A知，，又，对，
当时，；当时，；
故在时，不是单调增函数，故C错误；
对D： 在上任取，令，
则
，
由题可知，又，故，
即，，故在上单调递增，
也即在上单调递增，故D正确；
故选：ABD.
2. （多选）（2024·贵州·三模）已知定义域为的函数满足为的导函数，且，则（ ）
A．
B．为奇函数
C．
D．设，则
【答案】ABD
【详解】对于A：令可得；对于B：令可得；对于C ：先确定的奇偶性，然后令后对两边同时求导，再代入即可；对于D：利用累加法求通项公式.
【点睛】对于A：令得，所以，A正确；
对于B：令得，所以，B正确；
对于C：因为，所以，即，
所以为偶函数，由可得，
令得，
则，令，得，
所以，C错误；
对于D：因为，，
所以，且
所以，相加可得，
所以，则，D正确.
故选：ABD.
3. （多选）（2024·辽宁大连·一模）已知函数是定义域为R的可导函数，若，且，则（ ）
A．是奇函数B．是减函数
C．D．是的极小值点
【答案】ACD
【分析】令求出，令可确定奇偶性，将当作常数，作为变量，对原式求导，然后可通过赋值，解不等式求单调性及极值.
【详解】令，得，令，得，所以是奇函数，A正确；
。令，
又，，
令，，，或
在和上为增函数，在上为减函数，
是的极小值，故CD正确，B错误.
故选：ACD.
题型十六：抽象函数模型：余弦或者双曲余弦模型
（2）模型二：双曲余弦函数
特征：
1.（多选）（23-24高三上·浙江湖州·模拟）已知函数对任意实数，都满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．是偶函数B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据，利用赋值法逐项判断.
【详解】因为，
令，得，因为，所以，故B错误；
令，则，即，所以，故A正确；
令，则，所以，
令，则，所以，则，
所以函数周期为，则，
所以，故D正确.
故选：ACD.
2. （多选）（23-24高三上·河南许昌·模拟）已知函数满足，且，则下列命题正确的是（ ）
A．B．为奇函数
C．为周期函数D．，使得成立
【答案】BC
【分析】先令，即可判断函数的周期性，即可判断C；再令，求出，进而可判断AD；再令，判断出函数的奇偶性，进而可判断B.
【详解】由，
令，则，
则，即，
所以，
所以函数为周期函数，故C正确；
令，则，解得或，
当时，令，则，
所以，故AD错误；
所以，其图象关于原点对称，是奇函数；
当时，令，则，
所以，所以函数是偶函数，
所以，
又因为，所以，
则，所以函数为奇函数，
综上所述，为奇函数，故B正确.
故选：BC.
3. （多选）（2024·河南·模拟预测）已知定义在上的函数，满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．B．为偶函数
C．D．2是函数的一个周期
【答案】ABD
【分析】对A：借助赋值法，令，计算即可得；对B：借助赋值法，令，结合偶函数定义即可得；对C：计算出，其与不满足该关系即可得；对D：借助赋值法，令，结合的值与周期函数的定义计算即可得.
【详解】对A：令，则有，又，
故有，故，故A正确；
对B：令，则有，又，
故有，即，又其定义域为，
故为偶函数，故B正确；
对C：令，，则有，
故，又，不符合，故C错误；
对D：令，则有，
由，故，则，故，
两式作差并整理得，故2是函数的一个周期，故D正确.
故选：ABD.
4. （多选）（23-24高三下·重庆·阶段练习）函数的定义域为R，且满足，，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．为偶函数D．的图象关于对称
【答案】BC
【分析】
利用特殊值法，结合函数的奇偶性即可求解.
【详解】
由题可知
令，，则，
即，可得，故A错；
令，则，即，
又因为，，可得，故B正确；
令，可得，故C正确；
若的图象关于对称，则函数满足，
而，，显然，故D错，
令，可得，
的图象关于对称.
故选：BC.