2025届高考数学一轮知识清单专题03 均值不等式及不等式综合（解析版）

这是一份2025届高考数学一轮知识清单专题03 均值不等式及不等式综合（解析版），共36页。

目录
TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc4151" 题型一：公式直接用 PAGEREF _Tc4151 \h 1
\l "_Tc5251" 题型二：公式成立条件 PAGEREF _Tc5251 \h 3
\l "_Tc30746" 题型三：对勾型凑配 PAGEREF _Tc30746 \h 6
\l "_Tc3537" 题型四：“1”的代换：基础代换型 PAGEREF _Tc3537 \h 7
\l "_Tc5479" 题型五：“1”的代换：有和有积无常数型 PAGEREF _Tc5479 \h 9
\l "_Tc17894" 题型六：“1”的代换：有和有积有常数型 PAGEREF _Tc17894 \h 10
\l "_Tc14928" 题型七：分母构造型：分母和定无条件型 PAGEREF _Tc14928 \h 12
\l "_Tc30799" 题型八：分母构造型：分离型型 PAGEREF _Tc30799 \h 14
\l "_Tc9675" 题型九：分母构造型：一个分母构造型 PAGEREF _Tc9675 \h 16
\l "_Tc31577" 题型十：分母构造型：两个分母构造型 PAGEREF _Tc31577 \h 17
\l "_Tc25438" 题型十一：分离常数构造型 PAGEREF _Tc25438 \h 19
\l "_Tc10551" 题型十二：换元构造型 PAGEREF _Tc10551 \h 21
\l "_Tc30242" 题型十三：分母拆解凑配型 PAGEREF _Tc30242 \h 23
\l "_Tc11117" 题型十四：万能“K”型 PAGEREF _Tc11117 \h 26
\l "_Tc4378" 题型十五：均值不等式应用比大小 PAGEREF _Tc4378 \h 27
\l "_Tc596" 题型十六：利用均值不等式求恒成立参数型 PAGEREF _Tc596 \h 30
\l "_Tc28437" 题型十七：因式分解型 PAGEREF _Tc28437 \h 32
\l "_Tc12786" 题型十八：三元型不等式 PAGEREF _Tc12786 \h 34
题型一：公式直接用
基本不等式：eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2)；
基本不等式成立的条件：a>0，b>0；
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b.
基本不等式的变形：
①a＋b≥2eq \r(ab)，常用于求和的最小值；
②ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋b,2)))2，常用于求积的最大值；
1．（22-23高三·北京·阶段练习）若，且，则在下列四个选项中，最大的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】（1）先判断，可得，所以，排除A、D，再用作差法比较B、C的大小，可得答案.
（2）也可以令，取特殊值进行验证排除.
【详解】方法一：∵且，∴，可排除A；又，排除D；
∵，
即，排除B.
故选：C.
方法二：因为且，可取，.
则：，，因为.
故选：C.
2．（22-23高三·全国·课后作业）若，则下列不等式中不成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】利用不等式的性质及基本不等式化简判断即可.
【详解】因为，显然有，故A正确；
而，所以，故B正确；
又，所以，故C正确；
不妨令则，故D错误.
故选：D.
3．（22-23高一下·黑龙江佳木斯·开学考试）设，，且，则的最小值为（ ）
A．18B．9C．6D．3
【答案】C
【分析】根据基本不等式，即可求解.
【详解】∵
∴，（当且仅当，取“=”）
故选：C.
4．（23-24高一下·河南·开学考试）设，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】由已知条件和不等式的性质，分别判断各选项中的结论是否正确．
【详解】因为，所以，则，则A选项错误；
因为，所以，又0，则，即，所以，即，则B选项正确；
当时，，则C选项错误；
因为，由B选项可知，所以，则D选项错误.
故选：B
5．（2024·重庆·模拟预测）设且，则的最大值为
【答案】
【分析】根据题意，利用题设条件，结合基本不等式即可求解.
【详解】因为且，则，
解得：，当且仅当，时等号成立，所以的最大值为，
则，
即的最大值为
故答案为：
题型二：公式成立条件
利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
1．（23-24高三·辽宁本溪·开学考试）下列函数中，最小值为2的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
举反例可判断A错误；由基本不等式可得B正确；由基本不等式和正弦函数的值域可判断C错误；由基本不等式和完全平方可判断D错误.
【详解】
A：当时，，故A错误；
B：，当且仅当，即时取等号，故B正确；
C：当时，，，当且仅当，即时取等号，因为，故C错误；
D：，当且仅当，时取等号，又，故D错误；
故选：B.
2．（23-24高三·安徽六安·开学考试）设，，则“”是“”的 （ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】
根据基本不等式以及必要不充分条件的定义求解.
【详解】∵，，∴，当且仅当时等号成立，
若时，，则，
即“”是“”的必要不充分条件，
而无法推出，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：.
3．（23-24高三·西藏林芝·期中）下列命题中正确的是（ ）
A．若，且，则
B．若，则
C．若，则
D．对任意，均成立.
【答案】A
【分析】根据基本不等式对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，，当且仅当时等号成立，A选项正确.
B选项，当时，，所以B选项错误.
C选项，当时，，所以C选项错误.
D选项，当时，，不成立，所以D选项错误.
故选：A
4．（多选）（23-24高三·四川眉山·期中）下列结论正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若且，则D．若，则
【答案】ABC
【分析】利用基本不等式可判断ABC选项，利用特殊值法可判断D选项.
【详解】对于A选项， 若，则，
当且仅当时，即当时，等号成立，A对；
对于B选项，，
当且仅当时，即当时，等号成立，B对；
对于C选项，若且，则，
当且仅当时，即当时，等号成立，C对；
对于D选项，若，取，则，D错.
故选：ABC.
5．（多选）（23-24高三·重庆南岸·期中）下列说法正确的是（ ）
A．函数的最大值是B．函数的最小值是2
C．函数的最小值是6D．若，则的最小值是8
【答案】ACD
【分析】根据基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，对于函数，
，
当且仅当时等号成立，所以A选项正确.
B选项，，
当无实数解，所以等号不成立，所以B选项错误.
C选项，对于函数，，
，
当且仅当时等号成立，所以C选项正确.
D选项，由基本不等式得，
所以，
当且仅当时等号成立，所以D选项正确.
故选：ACD
6．（多选）（23-24高三·贵州贵阳·阶段练习）下列命题中正确的是（ ）
A．当时，
B．若，则函数的最小值等于
C．若，则的取值范围是
D．的最大值是
【答案】ACD
【分析】利用基本不等式知识即可判断，需注意“一正二定三相等”.
【详解】当时，重要不等式成立，故A正确；
选项中对于均值不等式的运用出错，不满足“一正二定三相等”中的“积为定值”条件，故B错误；
由于，当且仅当时等号成立.
因此，
即的取值范围是，故正确；
由于，
根据均值不等式得，
当且仅当，即时等号成立，
即有最大值为，故D正确.
故选：ACD.
题型三：对勾型凑配
1.对勾型结构：
容易出问题的地方，在于能否“取等”,如，
2.对勾添加常数型
对于形如，则把转化为分母的线性关系：可消去。不必记忆，直接根据结构转化
1．（2023·湖南岳阳·模拟预测）已知函数，则当时，有（ ）
A．最大值B．最小值
C．最大值D．最小值
【答案】B
【分析】由基本不等式即可求解.
【详解】由题意当时，，等号成立当且仅当.
故选：B.
2．（23-24高三 ·陕西西安·阶段练习）函数的最小值为（ ）
A．2B．5C．6D．7
【答案】D
【分析】由基本不等式即可求解.
【详解】由可得，所以，
当且仅当，即时等号成立，
故选:D
3．（21-22高二上·陕西咸阳·期中）已知函数的定义域为，则的最大值为（ ）
A．5B．C．1D．
【答案】C
【分析】令之后用基本不等式求函数的最值.
【详解】令
当且仅当即时取得.
故选：C
4．（23-24高三·吉林·阶段练习）已知，则的最小值是（ ）
A．6B．8C．10D．12
【答案】C
【分析】利用基本不等式求和的最小值，注意取值条件.
【详解】由，则，
当且仅当时等号成立，故最小值为.
故选：C
5．（23-24高三·广东佛山·模拟）函数，的最小值为（ ）
A．1B．2C．3D．5
【答案】C
【分析】利用配凑法结合基本不等式求解即可.
【详解】因为，所以，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以函数，的最小值为.
故选：C.
题型四：“1”的代换：基础代换型
“1”的代换
.利用常数代换法。多称之为“1”的代换
1．（2022高三上·全国·专题练习）若，，且，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【详解】将展开利用基本不等式求得最小值可得答案.
【分析】因为且，所以，
，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为2.
故选：A.
2．（23-24高三·贵州黔南·阶段练习）已知且，则的最小值为（ ）
A．B．8C．9D．10
【答案】C
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为9.
故选：C
3．（23-24高三·河南南阳·阶段练习）若，，则的最小值是（ ）
A．2B．4C．3D．8
【答案】B
【分析】利用常数代换的思想和基本不等式即可求得.
【详解】因，，故由，
当且仅当时，等号成立.由解得：
即当且仅当时，取最小值为4.
故选：B.
4．（22-23高一下·湖南邵阳·阶段练习）设，，若，则的最小值为（ ）
A．B．4C．9D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式求得正确答案.
【详解】
，
当且仅当时等号成立.
故选：D
5．（22-23高三·内蒙古呼和浩特·期中）已知x，y为正实数，且，则的最小值是（ ）
A．2B．4C．8D．16
【答案】B
【分析】结合基本不等式求得正确答案.
【详解】依题意，，
，
当且仅当时等号成立.
故选：B
题型五：“1”的代换：有和有积无常数型
有和有积无常数
形如，可以通过同除ab，化为构造“1”的代换求解
1．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）若，，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．6D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】，，由得，
故，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为.
故选：A
2．（23-24高二上·陕西西安·期中）已知且，则的最小值为（ ）
A．B．10C．9D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解.
【详解】由可得，，
所以，
当且仅当，即时取得等号，
所以的最小值为9，
故选:C.
3．（2022·四川乐山·一模）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意得，，再根据基本不等式乘“”法即可得最小值.
【详解】由题可知，乘“”得，当且仅当时，取等号，则的最小值为.
故选：A
4．（21-22高三·山西太原·阶段练习）已知，，，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．D．
【答案】D
【详解】根据题意，，
∴，当且仅当且时等号成立，
∴的最小值为，
故选：D．
5．（23-24高一下·广西·开学考试）已知，，且，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题干等式变形得出，可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为且，，所以，
则，
当且仅当时，即当，时，等号成立.
因此，的最小值是.
故选：C.
题型六：“1”的代换：有和有积有常数型
有和有积有常数
形如求型，可以对“积pxy”部分用均值，再解不等式，注意凑配对应的“和”的系数系数，如下：
1．（23-24高三·广西·模拟）已知，则的最大值为（ ）
A．2B．4C．8D．
【答案】B
【分析】利用基本不等式可得关于的一元二次不等式，解不等式即可.
【详解】，则有，
可得，即4，当且仅当时，等号成立.
所以的最大值为4.
故选：B
2．（23-24高三·甘肃·模拟）若正数a，b满足，则ab的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式将等式转化为关于的不等式即可求解.
【详解】，
，即.
，又因为a，b为正数，所以.
，即，当且仅当等号成立，
故的取值范围是.
故选：C.
3．（23-24高三·江苏·模拟）已知正实数，满足，则的最小值是（ ）
A．8B．6C．4D．2
【答案】C
【分析】注意到不等式，所以可将条件等式转换为关于的一元二次不等式，从而即可得解.
【详解】注意到，等号成立当且仅当，
从而，
因为，是正实数，
所以解得或（舍去），
即的最小值是4，等号成立当且仅当.
故选：C.
4．（23-24高三·安徽阜阳·模拟）已知正实数满足，记的最小值为；若且满足，记的最小值为.则的值为（ ）
A．30B．32C．34D．36
【答案】C
【分析】由条件，利用基本不等式可求得，可得的值，又由“1”的代换可求得的最小值，可得的值，进而得解.
【详解】根据题意，∵
，当且仅当时等号成立，
令，有 ，
解得 ，即，；
，
，当且仅当，即，时等号成立，
；
故选：C.
5．（23-24高三·福建莆田·模拟）已知，，，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用基本不等式求和的最小值.
【详解】由，得，又，，即，，
则，即，解得，
当且仅当，即，时，等号成立，所以，故选：C.
题型七：分母构造型：分母和定无条件型
无条件分母和定型
型，满足（定值），则可以构造
1．（2020高三·全国·专题练习）的最小值为（ ）
A．2B．16C．8D．12
【答案】B
【分析】先构造，再利用均值不等式求最值即可.
【详解】解：∵，
∴，
当且仅当，即，时“=”成立，
故的最小值为16.
故选：B.
【点睛】本题考查了均值不等式的应用，重点考查了构造均值不等式求最值，属基础题.
2．（21-22高三·福建莆田·期末）当时，的最小值为（ ）
A．B．C．6D．
【答案】B
【分析】利用， 借助基本不等式计算即可.
【详解】因为，所以,,
因为，
所以，
，
当且仅当时，即时，取得最小值.
故选：B.
3．（2024·山西临汾·三模）若，则的最小值是（ ）
A．1B．4C．D．
【答案】D
【分析】根据基本不等式及“1”的妙用计算即可．
【详解】因为，所以，
则，
当且仅当，即时，等号成立，取得最小值，
故选：D．
4．（22-23高三·江苏南通·模拟）函数（）的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由展开后，运用基本不等式可得所求最小值，注意取值条件.
【详解】由，可得，
，
仅当，即时等号成立，故的最小值为.
故选：B
5．（23-24高三·四川成都·期中）若，则的最小值为（ ）
A．12B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意确定，且，将变形为，展开后利用基本不等式，即可求得答案.
【详解】因为，故，则，
故
，
当且仅当，即时等号成立，即的最小值为，故选：D
题型八：分母构造型：分离型型
对勾分离常数型（换元型）
型，可以通过换元分离降幂，转化为对勾型
1．（21-22高三·辽宁沈阳·模拟）若不等式在区间上有解，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】运用换元法，构造新函数，利用新函数的最值进行求解即可.
【详解】令，所以，
设，，
函数在时，函数单调递减，在时，函数单调递增，
因为，，所以函数在时，最大值为，
要想不等式在区间上有解，只需，
故选：C
2．（23-24高三·海南海口·阶段练习）若函数在是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】变形换元得到，，考虑，和三种情况，结合对勾函数性质得到不等式，求出实数的取值范围.
【详解】，
令，故，，
当，即时，在上单调递增，满足要求，
当，即时，在上单调递增，满足要求，
当，即时，由对勾函数性质得到在上单调递增，
故，解得，
综上，实数的取值范围是.
故选：A
3．（2020高三·河北石家庄·阶段练习）已知，则 的最大值是（ ）
A．B．C．2D．7
【答案】A
【分析】化简 为，利用均值不等式求解即可.
【详解】
，
，，
当且仅当，即时，等号成立，
所以 的最大值为
故选：A
4．（20-21高三·辽宁大连·模拟）“”是“关于的不等式（）有解”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用基本不等式求得当时，的最小值为，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】由题意知，可得，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以当时，的最小值为，
当时，可得关于的不等式有解成立，即充分性成立，
反之：关于的不等式有解时，不一定成立，即必要性不成立，
所以“”是“关于的不等式有解”的充分不必要条件.
故选：A.
5．（20-21高三·浙江绍兴·期中）若 ，则有（ ）
A．最大值B．最小值C．最大值D．最小值
【答案】A
【分析】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得.
【详解】因，则，
于是得，当且仅当，即时取“=”，
所以当时，有最大值.故选：A
题型九：分母构造型：一个分母构造型
单分母
形如，求型，则可以凑配，再利用“1”的代换来求解。
其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。
1．（23-24高三·浙江温州·模拟）已知非负实数满足，则的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】B
【分析】依题意可得且，利用乘“1”法及基本不等式计算可得.
【详解】因为非负实数满足，
显然，则，所以，
则
，当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为.
故选：B
2．（23-24高一下·福建南平·期中）已知，，，则的最小值为（ ）
A．2B．1C．D．
【答案】B
【分析】由题意可得，根据“1”的灵活应用结合基本不等式运算求解.
【详解】因为，可得，
且，，可知，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为1.
故选：B.
3．（23-24高三下·江苏扬州·开学考试）已知实数，，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.
【详解】实数，，由，得，
因此，
当且仅当，即时取等号，
所以的最小值为.
故选：B
4．（23-24高三·浙江·模拟）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．4B．6C．8D．9
【答案】D
【分析】根据题意，以与为基本量加以整理，化简后利用基本不等式算出答案.
【详解】由得，其中，，
所以，
当且仅当，即，则，时，等号成立，
故的最小值为9.
故选：D
5．（23-24高三·广东肇庆·模拟）已知，，，则的最小值为（ ）
A．15B．16C．17D．18
【答案】C
【分析】通过配凑，借助基本不等式计算即可.
【详解】因为，，所以，
，
当且仅当，即，时，有最小值.
故选：C.
题型十：分母构造型：两个分母构造型
双分母
形如，求型，则可以凑配，再利用“1”的代换来求解。
其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配。
1．（2024·全国·模拟预测）设正实数a，b满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由已知可得，根据“1”的代换化简得出.进而根据基本不等式，即可求得答案.
【详解】因为，所以，
所以
，当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为．故选：C．
2．（23-24高三·浙江·期中）已知，且，则的最小值为（ ）
A．1B．C．9D．
【答案】C
【分析】根据已知等式，结合基本不等式进行求解即可．
【详解】因为，所以，
则
当且仅当，即时，等号成立．
故选：C．
3．（23-24高三·江苏徐州·阶段练习）已知正实数满足，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式中“1”的妙用即可求得当时，，即可求得实数m的取值范围是.
【详解】易知
，所以可得；当且仅当，即时，等号成立；
依题意需满足，所以.故选：D
4．（23-24高三上·江苏南京·阶段练习）已知非负实数，满足，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由，利用基本不等式“1”的代换求其最小值，注意取值条件.
【详解】非负实数，满足，则，
则
，当且仅当，即时等号成立，
所以当时，的最小值为.故选：D
5．（23-24高三·湖北·阶段练习）若，且，则的最小值为（ ）
A．3B．C．D．
【答案】C
【分析】利用乘“1”法即可求解.
【详解】可变形为，
所以
，
当且仅当即，时取等号，故选：C
题型十一：分离常数构造型
对于分式型不等式求最值，如果分子上有变量，可以通过常数代换或者分离常熟，消去分子上变量，转化为分式型常数代换或者分式型分母和定来求解
分离常数技巧：
1．（23-24高三·广东佛山·阶段练习）已知正数，满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式求最值即可.
【详解】因为，所以，
则．
因为，
所以
，
当且仅当，即，时，等号成立，故的最小值是．
故选：A.
2．（23-24高三上·广东东莞·期中）已知a，b为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求解即得.
【详解】正实数满足，则
，当且仅当，即时取等号，
所以当时，取得最小值.
故选：D
3．（23-24高三·全国·期末）已知，，且，则的最小值为（ ）
A．4B．C．D．5
【答案】C
【分析】根据题意整理可得，再利用基本不等式求解即可得.
【详解】由于，，且，
则
，当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为.故选：C.
4．（23-24高三·湖北武汉·模拟）已知且，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
【答案】A
【分析】将已知化为，，再利用基本不等式即可求解.
【详解】，，，

，当且仅当，且，即时等号成立，
的最小值为.故选：A
5．（22-23高一下·云南·阶段练习）已知，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】整理得出，由已知变形可得，展开后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值.
【详解】因为，，则，因为，则，
所以，
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最小值为.故选：B.
题型十二：换元构造型
若已知（定值），型，则可通过线性换元，令，反解出代入条件等式中，换元为简单的条件不等式
1．（23-24高三上·四川巴中·开学考试）已知且，则的最小值为（ ）
A．10B．9C．8D．7
【答案】B
【分析】令，结合可得，由此即得，展开后利用基本不等式即可求得答案.
【详解】由题意得，，
令，则，
由得，
故
，
当且仅当，结合，即时取等号，
也即，即时，等号成立，
故的最小值为9，
故选：B
2．（23-24高三上·山东·阶段练习）已知实数x，y满足，且，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】先得出，再根据基本不等式“1”的妙用求得结果.
【详解】设，
则且，解得.
所以，
因为，所以，
当时取等号，即且，
解得.
故选：B.
3．（21-22高三·河南洛阳·阶段练习）已知正数，满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】用双换元法化简后，根据基本不等式计算
【详解】，
令，，则，，
，
当且仅当，即，时，等号成立，故有最小值．
故选：B
4．（22-23高三上·江西南昌·阶段练习）已知正数，满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用基本不等式“1”的妙用及换元法即可求得结果.
【详解】，
令，，则，，
，
当且仅当且，即，时，等号成立，
所以，故有最小值.
故选：D.
5．（2022·安徽合肥·模拟预测）已知正数x，y满足，则的最小值（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用换元法和基本不等式即可求解.
【详解】令，，则，
即，
∴
，
当且仅当，即，时，等号成立，
故选：A.
题型十三：分母拆解凑配型
凑配拆解型
形如，求型，则可以凑配，再利用“1”的代换来求解。
其中可以任意调换a、b系数，来进行变换凑配
1．（22-23高三上·河北保定·阶段练习）不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意可得，则有，所以，化简后利用基本不等式可求得其最小值.
【详解】方程有两个不等的实数根，
，
，即，
，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为.
故选：C
2．（22-23高三·河北承德·期末）已知正实数满足，则的最小值为（ ）
A．6B．5C．12D．10
【答案】B
【分析】利用得出，结合基本不等式求解.
【详解】因为，所以，而，
，当且仅当，即时，等号成立.
故选：B
3．（19-20高三上·陕西榆林·阶段练习）已知的值域为，当正数满足时，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据值域计算，变换，利用均值不等式得到答案.
【详解】，当时，函数有最小值，故；
即，
，
当，即，时等号成立.
故选：.
【点睛】本题考查了函数值域，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
4．（2024·四川成都·模拟预测）若是正实数，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】观察等式分母可知，利用基本不等式中“1”的妙用可得结果.
【详解】因为
，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
故选：A
5．（23-24高三下·河北·开学考试）已知，均为正实数，且满足，则的最小值为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】先将化为，把待求不等式先通分，再利用均值不等式可得.
【详解】因为，均为正实数，且，得，
所以，
又，
当且仅当即时取等号，所以.
故选：B.
题型十四：万能“K”型
一般情况下的“万能K法”
设K法的三个步骤：
⑴、问谁设谁：求谁，谁就是K；
⑵、代入整理：整理成某个变量的一元二次方程（或不等式）；
⑶、确认最值：方程有解（或不等式用均值放缩），≥0确定最值。
求谁设谁，构造方程用均值
1．（22-23高三上·江苏南京·模拟）已知正实数，满足，则的最大值为（ ）
A．B．1C．2D．9
【答案】D
【分析】利用基本不等式以及一元二次不等式求解.
【详解】因为，所以,
所以，
即
所以，解得，
当且仅当
，解得 或时等号成立，
所以当时有最大值为9.
故选:D.
2.（2022·全国·高一课时练习）已知为正实数，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由题意，可得，
则有，解得，
当且仅当，取到最小值.
故选：B.
3.（2022秋·四川成都·高一成都外国语学校校考期中）已知正数满足，则的最大值是 .
【答案】
【分析】令，则，，利用基本不等式，并结合一元二次不等式的求法可得的范围，进而得到答案.
【详解】令，因为，，所以.
则，
所以，
当且仅当即时等号成立.
所以，即，解得，
所以的最大值为.
故答案为：.
4.（21-22高三上·湖北襄阳·期中）若正数满足，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【分析】由题意可得，化简利用基本不等式可得，从而可求出的最小值.
【详解】解：，，
，
当且仅当时等号成立，，解得，
的最小值为故选：C
题型十五：均值不等式应用比大小
几个重要不等式
（1）_（）；
（2） （）；
（3）2（）；
（4）__ 或（）；
（5）
1．（23-24高三下·全国·阶段练习）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】构造函数，由导数分析函数在上单调递减，所以得到，得到，作差比较的大小，利用基本不等式比较大小即可.
【详解】设，则在上单调递减，
所以，所以，，，
，
所以，
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键是构造函数，由导数分析函数在上单调递减，所以得到，利用基本不等式比较大小即可.
2．（2023·河南洛阳·一模）下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】运用作差法、对数运算公式及基本不等式可比较与，再运用构造函数研究其单调性可比较与.
【详解】∵，
，
∴，所以.
∵
∴比较与的大小，即比较与的大小.
令，则.
令，则.
所以在上单调递减，
所以当时，，所以，所以在上单调递减.
又因为，
所以，即.所以，即.
综上所述，.
故选：B.
【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用.
3．（22-23高三·江苏常州·模拟）若且，设，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先将与常数进行比较，然后通过与比较大小，再通过基本不等式进行放缩，最后通过放缩
【详解】，可得：，，
可得：且
由基本不等式，可得：
又，可得： ，且，
可得：，即
故选：A
4．（2022·全国·模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】对已知等式两边分别取对数求出a，b，c，然后通过换底公式并结合基本不等式比较a，b的大小，从而得到a，b，c的大小关系．
【详解】分别对，，两边取对数，得，，．
．
由基本不等式，得:
，
所以，
即，所以．
又，所以.
故选：D．
5．（23-24高三·浙江温州·模拟）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先判断出，，然后根据作差法结合基本不等式比较.
【详解】由题意，，，，
由换底公式，，
，
由于，根据基本不等式，，
故，即，于是.故选：A
题型十六：利用均值不等式求恒成立参数型
恒成立：
①若在上恒成立，则；
②若在上恒成立，则；
③若在上有解，则；
④若在上有解，则；
函数最值，符合均值不等式条件的，可以构造均值不等式放缩求最值
1．（22-23高三·福建厦门·阶段练习）已知不等式对满足的所有正实数a，b都成立，则正数x的最小值为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】B
【分析】先利用基本不等式证得（此公式也可背诵下来），从而由题设条件证得，结合题意得到，利用二次不等式的解法解之即可得到正数的最小值.
【详解】因为，当且仅当时，等号成立，
所以，
因为为正实数，所以由得，即，
所以，
当且仅当，且，即时，等号成立，
所以，即，
因为对满足的所有正实数a，b都成立，
所以，即，整理得，
解得或，由为正数得，
所以正数的最小值为.
故选：B.
2．（23-24高三·甘肃兰州·期末）对任意实数，不等式恒成立，则实数的最大值（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】D
【分析】
首先不等式变形为恒成立，再利用两次基本不等式求的最小值，即可求解的取值.
【详解】不等式恒成立，可转化为
恒成立，其中，
令，
，
，
第二次使用基本不等式，等号成立的条件是且，
得且，此时第一次使用基本不等式，说明两次基本不等式能同时取得，
所以的最小值为，
即，则，
所以实数的最大值为.
故选：D
【点睛】关键点点睛：本题的关键是再求的最值时，需变形为，再通过两次基本不等式求最值.
3．（23-24高三上·河北邢台·阶段练习）不等式对所有的正实数,恒成立，则的最大值为（ ）
A．2B．C．D．1
【答案】D
【分析】由题意可得，令，则有，，结合基本不等式求得，于是有，从而得答案.
【详解】解：因为,为正数，所以，所以，则有，令，则，所以，当且仅当时，等号成立，所以，，又，所以，即，所以的最小值为1，所以，即的最大值为1.故选：D.
【点睛】方法点睛：对于恒成立问题，常采用参变分离法，只需求出分离后的函数(代数式)的最值即可得解.
4．（22-23高三上·河南郑州·模拟）已知正数a，b满足，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先参变分离得，再利用，与相乘，然后连续运用两次基本不等式即可.
【详解】依题意，．又，而，
当且仅当，即，时，前后两个不等号中的等号同时成立，所以的取值范围为
故选：
题型十七：因式分解型
如果条件（或者结论）可以因式分解，则可以通过对分解后因式双换元来转化求解
1.特征：条件式子复杂，一般有一次和二次（因式分解展开就是一次和二次），可能就符合因式分解原理
2.最常见的因式分解：
1.（2023·全国·高三专题练习）已知正数，满足，则的最小值是 ．
【答案】10
【解析】将已知等式化为，所求式子化为，利用基本不等式即可求解.
【详解】
，
，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：10
2.（22-23高三上·江西吉安·模拟）已知实数，满足，，且，则的最大值为（ ）
A．10B．8C．4D．2
【答案】B
【分析】由，变形为，设，利用基本不等式得到，进而化为求解.
【详解】解：由，变形为，设，
∵，当且仅当时，取等号，即，
∴，∴，即，，∴，∴，
此时，，即，时，的最大值为8.故选：B.
3.（2023高三·全国·专题练习）已知，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用基本不等式可得，结合条件可得，进而即得.
【详解】因为，由，可得，又，
可得，化为，
解得，则的取值范围是.故选：A.
4.（2023·全国·模拟预测）已知实数、、满足，则的最小值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】设，由已知推出，将多变量问题转化为单变量问题，结合基本不等式即可求得答案.
【详解】设，则，
，
则，则，
即有，
故
，
当且仅当，即或时取等号，
验证，时，，则，符合题意，；
时，，则，，符合题意，
故选：C
5.（22-23高三上·吉林·开学考试）已知，则的最小值是（ ）
A．2B．C．D．4
【答案】D
【分析】对原式因式分解得，然后利用基本不等式即可求解.
【详解】由，得，
即，所以，当且仅当，
即时，等号成立，所以的最小值是4.
故选：D.
题型十八：三元型不等式
一般地，处理多元最值问题的思考角度有以下几个：
从元的个数角度，关键在于减元处理，代入消元、整体换元、三角换元等方法；
从元的次数角度，关键在于转化目标函数（代数式），如一次二次比分式型，齐次比型，双勾函数型等等；
从元的组合结构角度，关键在于结构分析，将问题转化为整体元的和、积、差、平方和、倒数和等并列结构的形式，再利用均值不等式等常用不等式求解最值，注意等号取到的条件.
1.（20-21高三上·北京·强基计划）已知x，y，z是非负实数，且，则的最大值为（ ）
A．1B．2C．D．以上答案都不对
【答案】A
【分析】
利用基本不等式可求最大值.
【详解】
，，，
所以，
，
因此所求代数式的最大值为1．
故选：A.
2．（21-22高三·浙江温州·模拟）已知且，，，则的最小值为
A．5B．10C．15D．20
【答案】A
【详解】∵，∴，
∵，
即,即，
∴，
即解得或(舍)，
当且仅当时取等号．
故选A.
点睛：由≥b≥c，+b+c=12可得≥4，利用（-b）（-c）≥0得出，故而45≥bc+（12-）=，从而解出的范围．
3．（2023·安徽滁州·二模）若a，b，c均为正数，且满足，则的最小值是（ ）
A．6B．C．D．
【答案】C
【分析】利用因式分解法，结合基本不等式进行求解即可.
【详解】，
因为a，b，c均为正数，
所以有，
当且仅当时取等号，即时取等号，
故选：C
4．（22-23高三·江苏常州·阶段练习）实数a，b，c满足，，，则的最小值为（ ）
A．B．1C．D．
【答案】B
【分析】利用因式分式法，结合分式的运算性质、基本不等式进行求解即可.
【详解】，，
，，
，
当且仅当，即时等号成立，的最小值为1，故选：B
【点睛】关键点睛：利用因式分法，得到是解题的关键.
5．（22-23高三上·江苏宿迁·阶段练习）已知实数、、满足，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由基本不等式可得，求出的取值范围，利用二次函数的基本性质可求得的最大值.
【详解】因为，所以，，
因为，可得，故当时，取最大值.
故选：A.