2024-2025学年广东省东莞市可园中学九年级数学第一学期开学经典试题【含答案】

这是一份2024-2025学年广东省东莞市可园中学九年级数学第一学期开学经典试题【含答案】，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，若，则的度数是
A．
B．
C．
D．
2、（4分）如图，已知菱形ABCD的对角线AC．BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，则AE的长是（）
A．B．C．D．
3、（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．等边三角形B．菱形
C．等腰直角三角形D．平行四边形
4、（4分）如图，把长方形纸片纸沿对角线折叠，设重叠部分为△，那么，下列说法错误的是（ ）
A．△是等腰三角形，
B．折叠后∠ABE和∠CBD一定相等
C．折叠后得到的图形是轴对称图形
D．△EBA和△EDC一定是全等三角形
5、（4分）如图，在四边形中，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ）
A．B．
C．D．
6、（4分）一个不透明的袋子中装有21个红球和若干个白球，这些球除了颜色外都相同，若小英每次从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后再放回，经过多次重复试验，小英发现摸到红球的频率逐渐稳定于1．4，则小英估计袋子中白球的个数约为（ ）
A．51B．31C．12D．8
7、（4分）某电信公司有A、B两种计费方案：月通话费用y（元）与通话时间x（分钟）的关系，如图所示，下列说法中正确的是（ ）
A．月通话时间低于200分钟选B方案划算
B．月通话时间超过300分钟且少于400分钟选A方案划算
C．月通话费用为70元时，A方案比B方案的通话时间长
D．月通话时间在400分钟内，B方案通话费用始终是50元
8、（4分）以下由两个全等的30°直角三角板拼成的图形中，属于中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）在一次“人与环境”知识竞赛中，共有25个题，每题四个答案，其中只有一个答案正确，每选对一题得4分，不选或选错倒扣2分，如果一个学生在本次竞赛中得分不低于60分，那么他至少要答对______题
10、（4分）计算：＝_____.
11、（4分）对分式，，进行通分时，最简公分母是_____
12、（4分）要用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”，首先应假设_____．
13、（4分）若关于x的一元二次方程有实数根，且所有实数根均为整数，请写出一个符合条件的常数m的值:m=_____.
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如果一组数据﹣1，0，2，3，x的极差为6
（1）求x的值；
（2）求这组数据的平均数．
15、（8分） (1)计算：(﹣)﹣．
(2)如图所示，四边形ABCD是平行四边形，AB＝10，AD＝8，AC＝6，求四边形ABCD的面积．
16、（8分）如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的点，且CE=CF，连接AE，AF，取AE的中点M，EF的中点N，连接BM，MN．
（1）请判断线段BM与MN的数量关系和位置关系，并予以证明．
（2）如图2，若点E在CB的延长线上，点F在CD的延长线上，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
17、（10分）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形．
（1）求证：▱ABCD为矩形；
（2）若AB＝4，求▱ABCD的面积．
18、（10分）已知：如图，在等腰梯形中，，，为的中点，设，．
（1）填空：________；________；________；（用，的式子表示）
（2）在图中求作．（不要求写出作法，只需写出结论即可）
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x－1与矩形OABC的边BC、OC分别交于点E、F，已知OA＝3，OC＝4，则的面积是_________．
20、（4分）若是关于的一元二次方程的一个根，则____.
21、（4分）的平方根是____．
22、（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=10°，BC=1．点D是BC边上的一动点（不与点B、C重合），过点D作DE⊥BC交AB于点E，将∠B沿直线DE翻折，点B落在射线BC上的点F处．当△AEF为直角三角形时，BD的长为_____．
23、（4分）如果a+b＝8，a﹣b＝﹣5，则a2﹣b2的值为_____．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，点E是正方形ABCD的边AB上任意一点，过点D作DF⊥DE交BC的延长线于点F．求证：DE=DF．
25、（10分）计算：（1）；（2）sin30°+cs30°•tan60°．
26、（12分）解分式方程：
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、C
【解析】
根据旋转的性质可得，可判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，再计算角的和差即可得出答案．
【详解】
解：绕直角顶点C顺时针旋转得到，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
.
故选C．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识.熟记各性质并准确识图是解题的关键．
2、D
【解析】
根据菱形的性质得出BO、CO的长，在RT△BOC中求出BC，利用菱形面积等于对角线乘积的一半，也等于BC×AE，可得出AE的长度．
【详解】
∵四边形ABCD是菱形，
∴CO=AC=3，BO=BD=，AO⊥BO，
∴．
∴．
又∵，
∴BC·AE=24，
即．
故选D．
点睛：此题考查了菱形的性质，也涉及了勾股定理，要求我们掌握菱形的面积的两种表示方法，及菱形的对角线互相垂直且平分．
3、B
【解析】
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】
A、等边三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、菱形，是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
C、等腰直角三角形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、平行四边形，不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．
故选B．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
4、B
【解析】
根据长方形的性质得到∠BAE=∠DCE=90°，AB=CD，再由对顶角相等可得∠AEB=∠CED，推出△EBA≌△EDC，根据等腰三角形的性质即可得到结论，依此可得A、C、D正确；无法判断∠ABE和∠CBD是否相等．
【详解】
∵四边形ABCD为长方形
∴∠BAE=∠DCE=90°，AB=CD，
在△EBA和△EDC中，
∵∠AEB=∠CED，∠BAE=∠DCE， AB=CD，
∴△EBA≌△EDC (AAS)，
∴BE=DE，
∴△EBD为等腰三角形，
∴折叠后得到的图形是轴对称图形，
故A、C、D正确，
无法判断∠ABE和∠CBD是否相等，B选项错误；
故选B.
本题考查全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定和性质，熟练掌握折叠的性质得出全等条件是解题的关键.
5、C
【解析】
根据平行四边形的5种判定方法分别进行分析即可．
【详解】
A. 根据两组对边分别平行，是平行四边形可判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；
B. 根据两组对边分别相等，是平行四边形可判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；
C.不能判定判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
D. 根据一组对边平行且相等，是平行四边形可判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不合题意；
故选C.
此题考查平行四边形的判定，解题关键在于掌握判定定理
6、B
【解析】
设白球个数为个，白球数量袋中球的总数=1-14=1.6，求得
【详解】
解：设白球个数为个，
根据题意得，白球数量袋中球的总数=1-14=1.6，
所以，
解得
故选B
本题主要考查了用评率估计概率.
7、D
【解析】
根据通话时间少于200分钟时，A、B两方案的费用可判断选项A；根据300＜x＜400时，两函数图象可判断选项B；根据月通话费用为70元时，比较图象的横坐标大小即可判断选项C；根据x≤400，根据图象的纵坐标可判断选项D．
【详解】
根据图象可知，当月通话时间低于200分钟时，A方案通话费用始终是30元，B方案通话费用始终是50元，故选项A不合题意；
当300＜x＜400时，A方案通话费用大于70元，B方案通话费用始终是50元，故选项B不合题意；
当月通话费用为70元时，A方案通话费时间为300分钟，B方案通话费时间大于400分钟，故选项C不合题意；
当x≤400时，B方案通话费用始终是50元．故选项D符合题意．
故选D．
本题主要考查了一次函数的应用，根据题意弄清函数图象横纵坐标、函数图象的位置及交点坐标的实际意义是解题的关键．
8、D
【解析】
根据中心对称图形的概念求解．
【详解】
A．此图案是轴对称图形，不符合题意；
B．此图案不是中心对称图形，不符合题意；
C．此图案是轴对称图形，不符合题意；
D．此图案是中心对称图形，符合题意；
故选D．
此题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、19
【解析】
设他至少应选对x道题，则不选或错选为25−x道题．
依题意得4x−2(25−x)⩾60
得x⩾18
又∵x应为正整数且不能超过25
所以：他至少要答对19道题．故答案为19.
10、
【解析】
先通分，再把分子相加减即可．
【详解】
解：原式=

故答案为：
本题考查的是分式的加减，熟知异分母的分式相加减的法则是解答此题的关键．
11、8xy1
【解析】
由于几个分式的分母分别是1x、4y、8xy1，首先确定1、4、8的最小公倍数，然后确定各个字母的最高指数，由此即可确定它们的最简公分母．
【详解】
根据最简公分母的求法得：
分式，，的最简公分母是8xy1，
故答案为8xy1．
此题主要考查了几个分式的最简公分母的确定，确定公分母的系数找最小公倍数，确定公分母的字母找最高指数．
12、每一个角都小于45°
【解析】
试题分析：反证法的第一步是假设命题的结论不成立，据此可以得到答案．
若用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应假设每一个角都小于45°．
考点：此题主要考查了反证法
点评：解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
13、0(答案不唯一)
【解析】
利用判别式的意义得到△=62-4m≥0，解不等式得到m的范围，在此范围内取m=0即可．
【详解】
△=62-4m≥0，
解得m≤9；
当m=0时，方程变形为x2+6x=0，解得x1=0，x2=-6，
所以m=0满足条件．
故答案为:0(答案不唯一)．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）x=1或x=-3；（2）或
【解析】
（1）根据极差的定义求解.分两种情况：x为最大值或最小值.（2）根据平均数的公式求解即可。
【详解】
解：（1）∵3+1＝4＜6，∴x为最大值或最小值．
当x为最大值时，有x+1＝6，解得x＝1．
当x为最小值时，3﹣x＝6，解得x＝﹣3；
（2）当x为1时，平均数为 ．
当x为﹣3时，平均数为 ．
本题考查了极差的定义和算术平均数，正确理解极差的定义，能够注意到应该分两种情况讨论是解决本题的关键.
15、 (1)﹣﹣3；(2)四边形ABCD的面积＝1.
【解析】
(1)根据二次根式的乘法法则、二次根式的性质计算即可；
(2)根据勾股定理的逆定理得到AC⊥BC，根据平行是四边形的面积公式计算即可．
【详解】
(1)原式＝﹣3﹣2＝﹣﹣3；
(2)AD2+AC2＝64+36＝100，AB2＝100，
∴AD2+AC2＝AB2，
∴AC⊥BC，
∴四边形ABCD的面积＝BC×AC＝6×8＝1．
本题考查的是平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、二次根式的混合运算，掌握勾股定理的逆定理、二次根式的混合运算法则是解题的关键．
16、（1）BM=MN，BM⊥MN，证明见解析；（2）仍然成立，证明见解析
【解析】
（1）根据已知正方形ABCD的边角相等关系，推出△ABE≌△ADF(SAS)，得出AE=AF，利用MN是△AEF的中位线，BM为Rt△ABE的中线，可得BM=MN，由外角性质，得出∠BME=∠1+∠3，再由MN∥AF，∠1+∠2+∠EAF=∠BAD=90°，等角代换可推出结论；
（2）同（1）思路一样，证明△ABE≌△ADF(SAS)，利用外角性质和中位线平行关系，通过等角代换即得证明结论．
【详解】
（1）BM=MN，BM⊥MN．
证明：在正方形ABCD中，∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，AB=AD=BC=DC，
∵CE=CF，
∴BC-CE=DC-CF，
∴BE=DF，
∴△ABE≌△ADF(SAS)，
∴∠1=∠2，AE=AF，
∵M为AE的中点，N为EF的中点，
∴MN是△AEF的中位线，BM为Rt△ABE的中线．
∴MN∥AF，MN=AF，BM=AE=AM，
∴BM=MN，∠EMN=∠EAF，
∵BM=AM，
∴∠1=∠3， ∠2=∠3，
∴∠BME=∠1+∠3=∠1+∠2，
∴∠BMN=∠BME+∠EMN=∠1+∠2+∠EAF=∠BAD=90°，
∴BM⊥MN．
故答案为：BM=MN，BM⊥MN．

（2）（1）中结论仍然成立．
证明：在正方形ABCD中，∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，AB=AD=BC=DC，
∴∠ABE=∠ADF=90°，
∵CE=CF，∴CE-BC=CF-DC，∴BE=DF，
∴△ABE≌△ADF(SAS)，∴∠1=∠2，AE=AF，
同理（1）得MN∥AF，MN=AF，BM=AE=AM，
∴BM=MN，
同理（1）得∠BME=∠1+∠2，∠EMN=∠EAF，
∴∠BMN=∠EMN-∠BME=∠EAF-(∠1+∠2)=∠BAD=90°，
∴BM⊥MN，
故答案为：结论仍成立．
考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，外角的性质，直角三角形中中线的性质，三角形中位线性质，熟记几何图形的性质概念是解题关键，注意图形的类比拓展．
17、（1）见解析；（2）.
【解析】
（1）根据题意可求OA＝OB＝DO，∠AOB＝60°，可得∠BAD＝90°，即结论可得;
（2）根据勾股定理可求AD的长，即可求▱ABCD的面积．
【详解】
解（1）∵△AOB为等边三角形∴∠BAO＝60°＝∠AOB，OA＝OB
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OB＝OD，
∴OA＝OD
∴∠OAD＝30°，
∴∠BAD＝30°+60°＝90°
∴平行四边形ABCD为矩形；
（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，
∴AB＝4，BC＝AB＝4
∴▱ABCD的面积＝4×4＝16
本题考查了矩形的性质和判定，等边三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
18、（1）；；（或）；（2）图见解析， ．
【解析】
（1）利用即可求出,首先根据已知可知，然后利用即可求出，利用即可求出；
（2）首先根据已知可知，然后利用三角形法则即可求出．
【详解】
（1）．
∵，，
∴，
∴．
；
（2）作图如下：
∵，为的中点，
∴．
∵，
∴，
∴．
本题主要考查向量的运算，掌握向量的运算法则是解题的关键．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、
【解析】
先根据直线的解析式求出点F的坐标，从而可得OF、CF的长，再根据矩形的性质、OC的长可得点E的横坐标，代入直线的解析式可得点E的纵坐标，从而可得CE的长，然后根据直角三角形的面积公式即可得．
【详解】
对于一次函数
当时，，解得
即点F的坐标为
四边形OABC是矩形
点E的横坐标为4
当时，，即点E的坐标为
则的面积是
故答案为：．
本题考查了一次函数的几何应用、矩形的性质等知识点，利用一次函数的解析式求出点E的坐标是解题关键．
20、0
【解析】
根据一元二次方程的解即可计算求解.
【详解】
把x=-2代入方程得，解得k=1或0，
∵k2-1≠0，k≠±1，
∴k=0
此题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是熟知一元二次方程二次项系数不为0.
21、±3
【解析】
∵=9，
∴9的平方根是.
故答案为3.
22、1或2
【解析】
解：据题意得：∠EFB＝∠B＝10°，DF＝BD，EF＝EB，
∵DE⊥BC，
∴∠FED＝90°－∠EFD＝60°，∠BEF＝2∠FED＝120°，
∴∠AEF＝180°－∠BEF＝60°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝10°，BC＝1，
∴AC＝AB，∠BAC＝60°，
设AC＝x，则AB＝2x，
由勾股定理得：AC2＋BC2＝AB2，
∴x2＋12＝(2x)2
解得x＝．
如图①若∠AFE＝90°，
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠EFD＋∠AFC＝∠FAC＋∠AFC＝90°，
∴∠FAC＝∠EFD＝10°，
∴CF＝AF，
设CF＝y，则AF＝2y，
由勾股定理得CF2＋AC2＝AF2，
∴y2＋()2＝(2y)2
解得y＝1，
∴BD＝DF＝(BC−CF)＝1；
如图②若∠EAF＝90°，
则∠FAC＝90°－∠BAC＝10°，
同上可得CF＝1，
∴BD＝DF＝(BC＋CF)＝2，
∴△AEF为直角三角形时，BD的长为：1或2．
故答案为1或2．
点睛：此题考查了直角三角形的性质、折叠的性质以及勾股定理的知识．此题难度适中，注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．
23、-1
【解析】
根据平方差公式求出即可．
【详解】
解：∵a+b＝8，a﹣b＝﹣5，
∴a2﹣b2
＝（a+b）（a﹣b）），
＝8×（﹣5），
＝﹣1，
故答案为：﹣1．
本题主要考查了乘法公式的应用，准确应用平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、见解析
【解析】
试题分析：根据正方形的性质可得AD=DC，∠A=∠DCF=90°，再根据DE⊥DF得出∠1=∠2，从而说明三角形ADE和△CDF全等.
试题解析：∵四边形ABCD是正方形， ∴ AD=CD ,∠A=∠DCF=90°
又∵DF⊥DE， ∴∠1+∠3=∠2+∠3 ∴∠1=∠2
∴△DAE≌△DCE ∴DE=DF
考点：(1)、正方形的性质；(2)、三角形全等判定
25、（1）；（2）2
【解析】
试题分析：（1）根据二次根式的乘除法法则计算即可；
（2）根据特殊角的锐角三角函数值计算即可.
解：（1）原式；
（2）原式.
考点：实数的运算
点评：计算题是中考必考题，一般难度不大，学生要特别慎重，尽量不在计算上失分.
26、
【解析】
观察可得最简公分母是（x-3）（x-2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．
【详解】
解：去分母，得：2（x-2）=3（x-3）
去括号，得：2x-4-3x+9=0
解得：x=5
检验：当x=5时，（x-3）（x-2）=6≠0，
∴x=5是原方程的解．
本题考查了解分式方程．（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根
题号
一
二
三
四
五
总分
得分