2024-2025学年广东省惠州九中学九年级数学第一学期开学综合测试模拟试题【含答案】

这是一份2024-2025学年广东省惠州九中学九年级数学第一学期开学综合测试模拟试题【含答案】，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、（4分）在平面直角坐标系中，A，B，C，D，M，N的位置如图所示，若点M的坐标为，N的坐标为，则在第二象限内的点是( )
A．A点B．B点C．C点D．D
2、（4分）用配方法解一元二次方程x2-8x+3=0，此方程可化为（ ）
A．(x-4)2=13B．(x+4)2=13C．(x-4)2=19D．(x+4)2=19
3、（4分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别是（4，0）、（0，3），点O'在直线y=2x（x≥0）上，将△AOB沿射线OO'方向平移后得到△A'O'B’.若点O'的横坐标为2，则点A'的坐标为（ ）
A．（4,4）B．（5,4）C．（6,4）D．（7,4）
4、（4分）今年我市有近2万名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（ ）
A．这1000名考生是总体的一个样本B．近2万名考生是总体
C．每位考生的数学成绩是个体D．1000名学生是样本容量
5、（4分）已知锐角三角形中，，点是、垂直平分线的交点，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
6、（4分）为了参加我市组织的“我爱家乡美”系列活动，某校准备从九年级四个班中选出一个班的7名学生组建舞蹈队，要求各班选出的学生身高较为整齐，且平均身高约为1.6m.根据各班选出的学生，测量其身高，计算得到的数据如右表所示，学校应选择（ ）
A．九（1）班B．九（2）班C．九（3）班D．九（4）班
7、（4分）下列命题正确的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是菱形
B．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
8、（4分）平行四边形两个内角的度数的比是1:2，则其中较小的内角是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、（4分）如图，菱形ABCD和菱形BEFG的边长分别是5和2，∠A＝60°，连结DF，则DF的长为_____．
10、（4分）已知不等式的解集为﹣1＜x＜2，则（ a +1）（b﹣1）的值为____．
11、（4分）平面直角坐标系内，点P（3，﹣4）到y轴的距离是_____．
12、（4分）如图，在中，， 分别是的中点，且，延长到点，使，连接,若四边形是菱形，则______
13、（4分）计算：÷＝_____．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（12分）如图，已知△ABC的面积为3，且AB=AC，现将△ABC沿CA方向平移CA长度得到△EFA．
（1）求四边形CEFB的面积；
（2）试判断AF与BE的位置关系，并说明理由；
（3）若∠BEC=15°，求AC的长．
15、（8分）计算：4（﹣）﹣÷+（+1）1．
16、（8分）已知：四边形ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，有一足够大的含60°角的直角三角尺的60°角的顶点与菱形ABCD的顶点A重合，两边分别射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAP＝60°．
（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，请直接判断△AEF的形状是 ．
（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE＝CF；
（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB＝15°时，求点F到BC的距离．
17、（10分）已知，直线y=2x-2与x轴交于点A，与y轴交于点B．
(1)如图①,点A的坐标为_______,点B的坐标为_______；
(2)如图②,点C是直线AB上不同于点B的点，且CA=AB．
①求点C的坐标；
②过动点P(m,0)且垂直与x轴的直线与直线AB交于点E，若点E不在线段BC上，则m的取值范围是_______；
(3)若∠ABN=45º,求直线BN的解析式.
18、（10分）如图，在ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=BC，连结DE，CF．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长．
B卷（50分）
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、（4分）函数y=x+1与y=ax+b的图象如图所示,那么,使y、y的值都大于0的x的取值范围是______.
20、（4分）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于D，若AB＝10，则△BDE的周长等于_.
21、（4分）分解因式：____．
22、（4分）如图，平面直角坐标系中，经过点B(﹣4，0)的直线y＝kx+b与直线y＝mx+2相交于点A(，-1)，则不等式mx+2＜kx+b＜0的解集为____．
23、（4分）关于一元二次方程的一个根为，则另一个根为__________．
二、解答题（本大题共3个小题，共30分）
24、（8分）如图，已知四边形为平行四边形，于点，于点．
（1）求证：；
（2）若、分别为边、上的点，且，证明：四边形是平行四边形．
25、（10分）（1）下列关于反比例函数y=的性质，描述正确的有_____。（填所有描述正确的选项）
A． y随x的增大而减小
B． 图像关于原点中心对称
C． 图像关于直线y=x成轴对称
D． 把双曲线y=绕原点逆时针旋转90°可以得到双曲线y=-
（2）如图，直线AB、CD经过原点且与双曲线y=分别交于点A、B、C、D，点A、C的横坐标分别为m,n（m＞n＞0）,连接AC、CB、BD、DA。
①判断四边形ACBD的形状，并说明理由；
②当m、n满足怎样的数量关系时，四边形ACBD是矩形？请直接写出结论；
③若点A的横坐标m=3，四边形ACBD的面积为S，求S与n之间的函数表达式。
26、（12分）把下列各式因式分解：
(1)(m＋n)3＋2m(m＋n)2＋m2(m＋n)； (2)(a2＋b2)2－4a2b2.
参考答案与详细解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1、D
【解析】
根据点的坐标特征，可得答案．
【详解】
MN所在的直线是x轴，MN的垂直平分线是y轴，A在x轴的上方，y轴的左边，A点在第二象限内．
故选A．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
2、A
【解析】
移项后两边都加上一次项系数一半的平方,写成完全平方式即可.
【详解】
x2-8x=-3，
x2-8x+16=-3+16，
即（x-4）2=13，
故选A．
本题考查了运用配方法解方程，熟练掌握配方法是解题的关键.
3、C
【解析】
利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点O′的坐标，再利用平移的性质结合点A的坐标可得出点A′的坐标，即可解答．
【详解】
解：当x=2时，y=2x=4，
∴点O′的坐标为（2，4）．
∵点A的坐标为（4，0），
∴点A′的坐标为（4+2，0+4），即（6，4）．
故选：C．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及坐标与图形的变化-平移，利用一次函数图象上点的坐标特征求出点O′的坐标是解题的关键．
4、C
【解析】
试题分析：1000名考生的数学成绩是总体的一个样本；近8万多名考生的数学成绩是总体；每位考生的数学成绩是个体；1000是样本容量.
考点：（1）、总体；（2）、样本；（3）、个体；（4）、样本容量.
5、A
【解析】
连接OA、OB，由，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=115°，根据线段的垂直平分线的性质得到OA=OB，OA=OC，根据等腰三角形的性质计算即可．
【详解】
解：如图，连接OA、OB，
∵∠BAC=65°，
∴∠ABC+∠ACB=115°，
∵O是AB，AC垂直平分线的交点，
∴OA=OB，OA=OC，
∴∠OAB=∠OBA，∠OCA=∠OAC，OB=OC，
∴∠OBA+∠OCA=65°，
∴∠OBC+∠OCB=115°-65°=50°，
∵OB=OC，
∴∠BCO=∠OBC=25°，
故选：A．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，解决问题的关键是掌握：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
6、C
【解析】
根据标准差的意义，标准差越小数据越稳定，由于选的是学生身高较为整齐的，故要选取标准差小的，应从九（1）和九（3）里面选，再根据平均身高约为1.6m可知只有九（3）符合要求，故选C．
7、D
【解析】
试题分析：A．对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故本选项错误；
B．一组对边相等，另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，也可能是等腰梯形，故本选项错误；
C．对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形，故本选项错误；
D．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故本选项正确．
故选D．
考点：命题与定理．
8、C
【解析】
根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对角相等，邻角互补，故该平行四边形的四个角的比值为1：2：1：2，所以可以计算出平行四边形的各个角的度数．
【详解】
根据平行四边形的相邻的两个内角互补知，设较小的内角的度数为x，
则有：x+2x=180°
∴x=60°，
即较小的内角是60°
故选C.
此题考查平行四边形的性质，解题关键在于设较小的内角的度数为x
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
9、
【解析】
延长FG交AD于点M，过点D作DH⊥AB交AB于点H，交GF的延长线于点N，由菱形的性质和勾股定理再结合已知条件可求出NF，DN的长，在直角三角形DNF中，再利用勾股定理即可求出DF的长．
【详解】
延长FG交AD于点M，过点D作DH⊥AB交AB于点H，交GF的延长线于点N，
∵四边形ABCD和四边形BEFG都是菱形，
∴GF∥BE，EF∥AM，
∴四边形AMFE是平行四边形，
∴AM＝EF＝2，MF＝AE＝AB+BE＝5+2＝7，
∴DM＝AD﹣AM＝5﹣2＝3，
∵∠A＝60°，
∴∠DAH＝30°，
∴MN＝DM＝，
∴DN＝＝，NF＝MF﹣MN＝，
在Rt△DNF中，DF＝＝，
故答案为：．
本题考查了菱形的性质、平行四边形的判定和性质、含30°直角三角形的性质以及勾股定理的运用，正确作出图形的辅助线是解题的关键．
10、-12
【解析】
先求出每个不等式的解集，求出不等式组的解集，根据已知不等式组的解集得出方程，求出a、b的值，代入即可求出答案．
【详解】
解：∵解不等式2x-a＜1得：x＜，
解不等式x-2b＞3得：x＞2b+3，
∴不等式组的解集是2b+3＜x＜a，
∵不等式组的解集为-1＜x＜2，
∴2b+3=-1，，
∴b=-2，a=3，
∴（a+1）（b-1）=（3+1）×（-2-1）=-12，
故答案为：-12.
本题考查了一元一次方程，一元一次不等式组的应用，解此题的关键事实能得出关于a、b的方程，题目比较好，难度适中．
11、3
【解析】
根据平面直角坐标系的特点，可知到y轴的距离为横坐标的绝对值，因此可知P点到y轴的距离为3.
故答案为3.
12、2或2；
【解析】
根据等面积法，首先计算AC边上的高，再设AD的长度，列方程可得x的值，进而计算AB.
【详解】
根据可得为等腰三角形
分别是的中点，且


四边形是菱形

所以可得 中AC边上的高为：
设AD为x,则CD=
所以
解得x= 或x=
故答案为2或2
本题只要考查菱形的性质，关键在于设合理的未知数求解方程.
13、1
【解析】
直接利用二次根式的除法运算法则得出即可．
【详解】
解：÷＝=1.
故答案为1．
本题考查二次根式的除法运算，根据二次根式的运算法则得出是解题关键．
三、解答题（本大题共5个小题，共48分）
14、（1）9；（2）BE⊥AF，理由详见解析；（3） ；
【解析】
（1）根据题意可得△ABC≌△EFA，BA∥EF，且BA=EF，根据一组对边平行且相等的四边形为平行四边形即可判定四边形AFBC为平行四边形，所以S△EFA=S△BAF=S△ABC=3，即可求得四边形EFBC的面积为9；（2））BE⊥AF，证明四边形EFBA为菱形，根据菱形的性质即可证得结论；（3）如上图，作BD⊥AC于D，已知∠BEC=15°，AE=AB，根据等腰三角形的性质可得∠EBA=∠BEC=15°，由三角形外角的性质可得∠BAC=2∠BEC=30°，在Rt△BAD中，AB=2BD，设BD=x，则AC=AB=2x，根据三角形的面积公式S△ABC=AC•BD列出方程，解方程求得x的值，即可求得AC的长.
【详解】
（1）由平移的性质得，
AF∥BC，且AF=BC，△EFA≌△ABC，
∴四边形AFBC为平行四边形，
S△EFA=S△BAF=S△ABC=3，
∴四边形EFBC的面积为9；
（2）BE⊥AF，
由（1）知四边形AFBC为平行四边形，
∴BF∥AC，且BF=AC，
又∵AE=CA，
∴四边形EFBA为平行四边形，
又∵AB=AC，
∴AB=AE，
∴平行四边形EFBA为菱形，
∴BE⊥AF；
（3）如上图，作BD⊥AC于D，
∵∠BEC=15°，AE=AB，
∴∠EBA=∠BEC=15°，
∴∠BAC=2∠BEC=30°，
∴在Rt△BAD中，AB=2BD，
设BD=x，则AC=AB=2x，
∵S△ABC=3，且S△ABC=AC•BD=•2x•x=x2，
∴x2=3，
∵x为正数，
∴x=，
∴AC=2．
本题综合考查了平移的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、等腰三角形及30°角直角三角形的性质等知识，熟练运用这些知识点是解决问题的关键.
15、1﹣6．
【解析】
先根据二次根式的乘除法则和完全平方公式计算，然后合并即可．
【详解】
原式＝4﹣4﹣+3+1+1
＝1﹣8﹣4+4+1
＝1﹣6．
故答案为：1﹣6．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
16、（1）△AEF是等边三角形，理由见解析；（2）见解析；（3）点F到BC的距离为3﹣．
【解析】
（1）连接AC，证明△ABC是等边三角形，得出AC＝AB，再证明△BAE≌△DAF，得出AE＝AF，即可得出结论；
（2）连接AC，同（1）得：△ABC是等边三角形，得出∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，再证明△BAE≌△CAF，即可得出结论；
（3）同（1）得：△ABC和△ACD是等边三角形，得出AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝∠ACD＝60°，证明△BAE≌△CAF，得出BE＝CF，AE＝AF，证出△AEF是等边三角形，得出∠AEF＝60°，证出∠AEB＝45°，得出∠CEF＝∠AEF﹣∠AEB＝15°，作FH⊥BC于H，在△CEF内部作∠EFG＝∠CEF＝15°，则GE＝GF，∠FGH＝30°，由直角三角形的性质得出FG＝2FH，GH＝FH，CF＝2CH，FH＝CH，设CH＝x，则BE＝CF＝2x，FH＝x，GE＝GF＝2FH＝2x，GH＝FH＝3x，得出EH＝4+x＝2x+3x，解得：x＝﹣1，求出FH＝x＝3﹣即可．
【详解】
（1）解：△AEF是等边三角形，理由如下：
连接AC，如图1所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝AD，∠B＝∠D，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝120°，△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB，
∵点E是线段CB的中点，
∴AE⊥BC，
∴∠BAE＝30°，
∵∠EAF＝60°，
∴∠DAF＝120°﹣30°﹣60°＝30°＝∠BAE，
在△BAE和△DAF中，
，
∴△BAE≌△DAF（ASA），
∴AE＝AF，
又∵∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形；
故答案为：等边三角形；
（2）证明：连接AC，如图2所示：
同（1）得：△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC，
∵∠EAF＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF，
∵∠BCD＝∠BAD＝120°，
∴∠ACF＝60°＝∠B，
在△BAE和△CAF中，
，
∴△BAE≌△CAF（ASA），
∴BE＝CF；
（3）解：同（1）得：△ABC和△ACD是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝∠ACD＝60°，
∴∠ACF＝120°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠ABE＝120°＝∠ACF，
∵∠EAF＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF，
在△BAE和△CAF中，
，
∴△BAE≌△CAF（ASA），
∴BE＝CF，AE＝AF，
∵∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AEF＝60°，
∵∠EAB＝15°，∠ABC＝∠AEB+∠EAB＝60°，
∴∠AEB＝45°，
∴∠CEF＝∠AEF﹣∠AEB＝15°，
作FH⊥BC于H，在△CEF内部作∠EFG＝∠CEF＝15°，如图3所示：
则GE＝GF，∠FGH＝30°，
∴FG＝2FH，GH＝FH，
∵∠FCH＝∠ACF﹣∠ACB＝60°，
∴∠CFH＝30°，
∴CF＝2CH，FH＝CH，
设CH＝x，则BE＝CF＝2x，FH＝x，GE＝GF＝2FH＝2x，GH＝FH＝3x，
∵BC＝AB＝4，
∴CE＝BC+BE＝4+2x，
∴EH＝4+x＝2x+3x，
解得：x＝﹣1，
∴FH＝x＝3﹣，
即点F到BC的距离为3﹣．
本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
17、（1）（1,0），（0，-2）；（2）C（2,2）；m2；（3） 或y=-3x-2.
【解析】
（1）利用函数解析式和坐标轴上点的坐标特征即可解决问题；
（2）①如图②，过点C 作CD⊥x 轴，垂足是D．构造全等三角形，利用全等三角形的性质求得点C的坐标；
②由①可知D（2，0），观察图②，可知m的取值范围是：m＜0或m＞2；
（3）如图③中，作AN⊥AB，使得AN=AB，作NH⊥x轴于H，则△ABN是等腰直角三角形，∠ABN=45°．利用全等三角形的性质求出点N坐标，当直线BN′⊥直线BN时，直线BN′也满足条件，求出直线BN′的解析式即可．
【详解】
解：（1）如图①，
令y=0，则2x-2=0，即x=1．所以A（1，0）．
令x=0，则y=-2，即B（0，-2）．
故答案是：（1，0）；（0，-2）；
（2）①如图②，
过点C 作CD⊥x 轴，垂足是D，
∵∠BOA=∠ADC=90°，
∠BAO=∠CAD，
CA=AB，
∴△BOA≌△CAD（AAS），
∴CD=OB=2，AD=OA=1，
∴C（2，2）；
②由①可知D（2，0），观察图②，可知m的取值范围是：m＜0或m＞2．
故答案是：m＜0或m＞2；
（3）如图③，作AN⊥AB，使得AN=AB，作NH⊥x轴于H，则△ABN是等腰直角三角形，∠ABN=45°．
∵∠AOB=∠BAN=∠AHN=90°，
∴∠OAB+∠ABO=90°，∠OAB+∠HAN=90°，
∴∠ABO=∠HAN，
∵AB=AN，
∴△ABO≌△NAH(AAS)，
∴AH=OB=2，NH=OA=1，
∴N（3，-1），
设直线BN的解析式为y=kx+b，
则有：，
解得，
∴直线BN的解析式为y=x-2，
当直线BN′⊥直线BN时，直线BN′也满足条件，直线BN′的解析式为：
.
∴满足条件的直线BN的解析式为y=x-2或y=-3x-2．
本题考查一次函数的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
18、（1）见解析（2）
【解析】
试题分析：（1）由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知AD∥BC，且AD=BC；然后根据中点的定义、结合已知条件推知四边形CEDF的对边平行且相等（DF=CE，且DF∥CE），即四边形CEDF是平行四边形；
（2）如图，过点D作DH⊥BE于点H，构造含30度角的直角△DCH和直角△DHE．通过解直角△DCH和在直角△DHE中运用勾股定理来求线段ED的长度．
【详解】
试题解析：（1）证明：在▱ABCD中，AD∥BC，且AD=BC．
∵F是AD的中点，
∴DF=AD．
又∵CE=BC，
∴DF=CE，且DF∥CE，
∴四边形CEDF是平行四边形；
（2）如图，过点D作DH⊥BE于点H．
在▱ABCD中，∵∠B=60°，
∴∠DCE=60°．
∵AB=4，
∴CD=AB=4，
∴CH=CD=2，DH=2．
在▱CEDF中，CE=DF=AD=3，则EH=1．
∴在Rt△DHE中，根据勾股定理知DE=．
考点：平行四边形的判定与性质．
一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
19、−10，
当x0，
∴使y、y的值都大于0的x的取值范围是：−1