2019-2020学年江苏省常州市金坛区九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2019-2020学年江苏省常州市金坛区九年级上学期数学期中试题及答案，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解下列方程，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列方程中，没有实数根的是（ ）
A. x2﹣2x=0B. x2﹣2x﹣1=0C. x2﹣2x+1 =0D. x2﹣2x+2=0
【答案】D
【解析】
【分析】
分别计算各方程的根的判别式的值，然后根据判别式的意义判定方程根的情况即可．
【详解】A、△=（﹣2）2﹣4×1×0=4＞0，方程有两个不相等的实数根，所以A选项错误；
B、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不相等的实数根，所以B选项错误；
C、△=（﹣2）2﹣4×1×1=0，方程有两个相等的实数根，所以C选项错误；
D、△=（﹣2）2﹣4×1×2=﹣4＜0，方程没有实数根，所以D选项正确．
故选D．
2. 用配方法解一元二次方程x2+2x﹣3＝0时，原方程可变形为（ ）
A. （x+1）2＝2B. （x+1）2＝4C. （x+1）2＝5D. （x+1）2＝7
【答案】B
【解析】
【分析】
根据完全平方公式配方即可．
【详解】解：∵x2+2x﹣3＝0，
∴x2+2x+1＝4，
∴（x+1）2＝4，
故选：B．
【点睛】此题考查的是配方法，掌握完全平方公式的特征是解决此题的关键．
3. 用因式分解法解方程x2+px﹣6＝0，若将左边分解后有一个因式是x+3，则p的值是（ ）
A. ﹣1B. 1C. ﹣5D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】
根据方程左边多项式的特点和已知条件可得：将左边分解后另一个因式是x－2，再根据多项式的乘法两边比较后即得答案．
【详解】解：根据题意知x2+px﹣6＝（x+3）（x﹣2），
则x2+px﹣6＝x2+x﹣6，
∴p＝1．
故选：B．
【点睛】本题考查了利用分解因式法解一元二次方程，正确理解题意、熟练掌握分解因式的方法是关键．
4. 2017﹣2018赛季中国男子篮球职业联赛，采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x支，则可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
设参赛队伍有x支，根据参加篮球职业联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛380场，可列出方程．
【详解】设参赛队伍有x支，根据题意得：
x（x﹣1）=380．
故选B．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数做为等量关系列方程求解．
5. 下列说法：①三点确定一个圆；②圆中最长弦是直径；③长度相等的弧是等弧；④三角形只有一个外接圆．其中真命题有（ ）
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据确定圆条件、三角形外接圆、圆的有关概念判断即可．
【详解】①不在同一直线上的三点确定一个圆，原命题是假命题；
②圆中最长弦是直径，是真命题；
③在同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，原命题是假命题；
④三角形只有一个外接圆，是真命题；
故选：C．
【点睛】本题考查了真命题与假命题，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，判断命题的真假关键是要熟悉圆的有关概念及相关性质定理．
6. 若将半径为12cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径是（ ）
A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 6cm
【答案】D
【解析】
解：圆锥的侧面展开图的弧长为2π×12÷2=12π（cm），∴圆锥的底面半径为12π÷2π=6（cm），故选D．
7. 如图，直线AB是⊙O的切线，点C为切点，OD∥AB交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OC，EC，ED，则∠CED的度数为( )

A. 30°B. 35°C. 40°D. 45°
【答案】D
【解析】
分析：由切线的性质知∠OCB=90°，再根据平行线的性质得∠COD=90°，最后由圆周角定理可得答案．
详解：∵直线AB是⊙O切线，C为切点，
∴∠OCB=90°，
∵OD∥AB，
∴∠COD=90°，
∴∠CED=∠COD=45°，
故选D．
点睛：本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径及圆周角定理．
8. 如图，AB是⊙O的直径，CD、EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF．AB＝10，CD＝6，EF＝8，则图中阴影部分的面积等于（ ）
A. 10πB. 12πC. D. 15π
【答案】C
【解析】
【分析】
连接DO并延长交⊙O于点G，连接OC、OE、OF，由题意易得CG=EF，然后可得阴影部分的面积和半圆DCG的面积相等，再求解即可．
【详解】
连接DO并延长，交⊙O于点G，连接OC、OE、OF，
则∠DCG＝90°，
∵AB＝10，CD＝6，EF＝8，
∴DG＝10，
∴CG＝，
∴CG＝EF，
∵△OEF的面积和△BEF的面积相等，
∴阴影部分BEF的面积和扇形OEF的面积相等，
同理，阴影部分ACD的面积和扇形COD的面积相等，
∵CG＝EF，
∴扇形OCG的面积和扇形OEF的面积相等，
∴阴影部分的面积和半圆DCG的面积相等，
∵AB＝10，
∴OA＝5，
∴阴影部分的面积是：．
故选：C．
【点睛】本题主要考查圆的扇形面积，关键是根据题意得到阴影部分的面积与其他图形的面积相等，把不规则的面积转化为规则面积去求解即可．
二、填空题（每小题2分，共20分）
9. 方程的解为_____________．
【答案】x1=1,x2=-1
【解析】
试题解析：
x2=1
x=±1
∴x1=1,x2=-1
10. 一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是______．
【答案】9
【解析】
【分析】
利用因式分解法求出x的值，再根据等腰三角形的性质分情况讨论求解．
【详解】解：x2-5x+4=0，
（x-1）（x-4）=0，
所以x1=1，x2=4，
当1是腰时，三角形的三边分别为1、1、4，不能组成三角形；
当4是腰时，三角形的三边分别为4、4、1，能组成三角形，周长为4+4+1=9．
故答案是：9．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，要注意分情况讨论求解．
11. 已知关于x的方程x2+mx﹣2＝0有一根是x＝1，则方程另一根是_____．
【答案】﹣2．
【解析】
【分析】
设方程的另一根为t，根据根与系数的关系得到×t=-2，然后解一次方程即可．
【详解】设方程的另一根为t，
根据题意得1×t＝﹣2，
解得t＝﹣2，
即方程的另一根为﹣2．
故答案为：﹣2．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系，熟练运用则是解题的关键．
12. 已知关于的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则的取值范围是___．
【答案】且
【解析】
【分析】
由二次项系数非零结合根的判别式△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出结论．
【详解】∵关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有两个不相等的实数根，
∴，
解得：m＜1且m≠0．
故答案为且．
【点睛】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及解一元一次不等式组，根据二次项系数非零结合根的判别式△＞0列出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．
13. 已知x1，x2是方程2x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，则的值是_____．
【答案】﹣2
【解析】
【分析】
根据根与系数关系可直接求解．
【详解】解：由根与系数的关系得到，，
．
故答案为﹣2．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
14. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，以点B为圆心，以AB为半径画弧，交对角线BD于点E，则图中阴影部分的面积是_____（结果保留π）
【答案】8﹣2π
【解析】
【分析】
根据S阴=S△ABD-S扇形BAE计算即可．
【详解】解：S阴=S△ABD-S扇形BAE=×4×4-=8-2π，
故答案为8-2π．
【点睛】本题考查扇形的面积的计算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分面积．
15. 如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝50°，∠C＝10°，则∠B＝_____°．
【答案】60
【解析】
【分析】
本题首先根据同弧所对的圆心角等于圆周角的二倍求解∠BOC的度数，继而根据三角形内角和定理求解∠B．
【详解】∵，同弧，
∴，
∵，
∴．
故答案为：60．
【点睛】本题考查圆与三角形的综合，解题关键在于对相应概念的理解，其次注意计算仔细即可．
16. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在BC的延长线上，若∠BOD＝110°，则∠DCE＝_____°．
【答案】55．
【解析】
【分析】
先根据同弧所对的圆周角和圆心角的关系求得∠A的值，然后根据圆内接四边形的外角等于它的内对角即可求解．
【详解】∵∠BOD＝110°，
∴∠A＝∠BOD＝55°
∴∠DCE＝∠A＝55°．
故答案为55．
【点睛】本题主要考查圆的基本性质及圆内接四边形，关键是根据同弧所对圆周角和圆心角的关系，然后利用圆内接四边形的性质进行求解即可．
17. 已知三角形三边长分别为6cm，8cm，10cm，求该三角形的内切圆半径．
【答案】2．
【解析】
【分析】
本题首先根据三边关系判定直角三角形，其次利用切线性质证明正方形CDOE，进一步利用HL证明三角形全等推出BE=BF，AD=AF，最后通过边长关系求解本题．
【详解】如图所示：
在△ABC中，AC＝6，BC＝8，AB＝10，
∵62+82＝102，即AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，
设△ABC内切圆的半径为R，切点分别为D、E、F，
∵OD⊥AC，OE⊥BC，OD=OE，
∴四边形ODCE是正方形，即CD＝CE＝R，
∵∠OEB=∠OFB=90°，OE=OF，OB=OB，
∴△OBE≌△OBF(HL)，
∴同理：△OAD≌△OAF(HL)，
∴AD=AF，BE=BF，
∴AC﹣CD＝AB﹣BF，BC﹣CE＝AB﹣AF
即6﹣R＝10﹣BF ①；8﹣R＝BF ②，
①②联立得，R＝2．
故内切圆半径为2cm．
【点睛】本题考查三角形的内切圆，解题核心在于画图，其次需要熟练运用切线、正方形性质、全等的判定，最后注意计算细心．
18. 如图，△ABC中，AC＝BC，CD是△ABC的高，AB＝8，CD＝3，以点C为圆心，半径为2作⊙C，点E是⊙C上一动点，连接AE，点F是AE的中点，求线段DF的最小值
【答案】
【解析】
【分析】
本题首先利用三线合一性质以及勾股定理求解AD、DB、BC，继而结合三角形三边关系确定BE的取值范围，最后利用中位线性质求解DF最值．
【详解】连接BE，CE，如下图所示：
∵CA＝CB，CD⊥AB，
∴AD＝DB＝AB＝4，
∵∠CDB＝90°，CD＝3，
∴BC＝5，
∵EC＝2，
∵，即，
∴，
∴BE的最小值为3，
∵AF＝FE，AD＝DB，
∴DF＝BE，
∴DF的最小值为．
【点睛】本题考查圆的综合，难点在于辅助线的构造，转化思想在最值问题中较为常见，其次等腰三角形三线合一性质需熟练掌握，求解具体边长时勾股定理较为常用．
三、解下列方程（每小题16分，共16分）
19. (1)2(x﹣1)2=18；
(2)x2﹣2x﹣3=0；
(3)(x+1)(2x﹣5)=x+1：
(4)2x2﹣x﹣6=0．
【答案】(1)x=4或x=﹣2；(2)x=2±；(3)x=﹣1或x=3；(4)x=2或x=﹣．
【解析】
【分析】
(1)利用直接开平方法求解可得；
(2)利用配方法求解可得；
(3)利用因式分解法求解可得；
(4)利用因式分解法求解可得．
【详解】(1)∵2(x﹣1)2=18，
∴(x﹣1)2=9，
∴x﹣1=3或x﹣1=﹣3，
解得x=4或x=﹣2；
(2)整理为一般式，得：x2﹣4x﹣6=0，
x2﹣4x=6，
则x2﹣4x+4=6+4，即(x﹣2)2=10，
∴x﹣2=±，
∴x=2±；
(3)∵(x+1)(2x﹣5)﹣(x+1)=0，
∴(x+1)(2x﹣6)=0，
则x+1=0或2x﹣6=0，
解得x=﹣1或x=3；
(4)∵2x2﹣x﹣6=0，
∴(x﹣2)(2x+3)=0，
则x﹣2=0或2x+3=0，
解得x=2或x=﹣．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
四、解答题（第20题6分，第21、22、23、24题每小题6分，第25题10分，共48分）
20. 如图，有一块矩形硬纸板，长，宽．在其四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积为？
【答案】当剪去正方形的边长为cm时，所得长方体盒子的侧面积为．
【解析】
【分析】
设剪去正方形的边长为，则做成无盖长方体盒子的底面长为，宽为，高为，根据长方体盒子的侧面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】设剪去正方形的边长为，则做成无盖长方体盒子的底面长为，宽为，高为，
依题意，得： ，
整理，得： ，
解得： ，，
当时，，不合题意，舍去，
∴，
答：当剪去正方形的边长为cm时，所得长方体盒子的侧面积为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
21. 商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了减少库存，商场决定采取适当的降价措施，但每件商品盈利不得低于32元，经调查发现，每件商品每降价1元，商场每天可多售出2件．问每件商品降价多少元时，商场每天盈利可达2100元？
【答案】每件商品降价15元时，商场每天盈利可达2100元．
【解析】
【分析】
本题首先假设降价x元，继而根据题意列方程，最后根据每件商品盈利不低于32元确定答案．
【详解】设每件商品降价x元，
根据题意得：，
整理得：，
解得，，
∵每件商品盈利不低于32元，
∴，
∴，
综上：．
故每件商品降价15元时，商场每天盈利可达2100元．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，解题关键在于理清题意，确定数学关系，其次注意计算仔细．
22. 已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT＝40°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D．
（1）如图1，求∠T和∠CDB的度数；
（2）如图2，当BE＝BC时，求∠CDO的度数．
【答案】（1）∠T＝50°，∠CDB＝50°；（2）∠CDO＝30°．
【解析】
【分析】
（1）连接AC，由切线定理及题意可求∠T、∠CAB的值，然后根据同弧所对的圆周角相等即可求解；
（2）连接AD，由题意易得∠BCE=∠CEB=70°，然后根据同弧所对圆周角相等及等腰三角形的性质得到∠AOD，然后根据三角形外角的性质即可求解．
【详解】（1）如图①，连接AC，
∵AT是⊙O切线，AB是⊙O的直径，
∴AT⊥AB，即∠TAB＝90°，
∵∠ABT＝40°，
∴∠T＝90°﹣∠ABT＝50°，
由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝50°，
∴∠CDB＝∠CAB＝50°；
（2）如图②，连接AD，
在△BCE中，BE＝BC，∠EBC＝40°，
∴∠BCE＝∠BEC＝70°，
∴∠BAD＝∠BCD＝70°，
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠OAD＝70°，
∵∠ADC＝∠ABC＝40°，
∴∠CDO＝∠ODA﹣∠ADC＝70°﹣40°＝30°．
【点睛】本题主要考查切线定理及圆的基本性质，关键是根据切线定理得到角的等量关系，然后利用等腰三角形的性质及圆周角的性质即可求解．
23. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作⊙O，D为⊙O上一点，且CD＝CB，连接DO并延长交CB的延长线于点E．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若BE＝4，OE＝5，求AC的长．
【答案】（1）CD与⊙O相切．理由见解析；（2）AC＝6．
【解析】
【分析】
（1）连接OC，如图，根据SSS可证△COD≌△COB，于是可得∠CDO＝∠CBO＝90°，进而可得结论；
（2）根据勾股定理可得BO的长，进而可得DE的长，易证△EOB∽△ECD，然后根据相似三角形的性质可求出CD的长，即为CB的长，再在Rt△ABC中利用勾股定理求解即可．
【详解】解：（1）CD与⊙O相切．理由如下：
连接OC，如图，
在△COD和△COB中，
∵CO=CO，OD=OB，CD=CB，
∴△COD≌△COB（SSS），
∴∠CDO＝∠CBO＝90°，
∴OD⊥CD，
∴CD为⊙O的切线；
（2）在Rt△OBE中，OE＝5，BE＝4，
∴OB＝＝3，
∴DE＝OE+OD＝8，
∵∠OEB＝∠CED，∠OBE＝∠CDE，
∴△EOB∽△ECD，
∴OB：CD＝EB：ED，即3：CD＝4：8，
∴CD＝6，
∴CB＝6，
在Rt△ABC中，∵AB＝6，BC＝6，
∴AC＝．
【点睛】本题考查了圆的切线的判定、全等三角形的判定和性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质等知识，涉及的知识点多，但难度不大，熟练掌握上述知识是解题的关键．
24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知矩形OABC的边OA、OC分别落在x轴、y轴上，D为OC边上一点，沿BD翻折△BDC，点C恰好落在OA边上点E处，OC=8，OE﹣OD=1．点P是OA边上一个动点，以点P为圆心，PO长为半径作⊙P．
(1)求点B的坐标：
(2)若⊙P与△BDE一边所在直线相切，求点P的坐标．
【答案】(1)点B的坐标为(10，8)；(2)点P的坐标为(，0)．
【解析】
【分析】
(1)设OE=x，则OD=x-1，根据勾股定理列出方程即可求出x的值，再根据翻折证明△DOE∽△EAB，对应边成比例可求出AE的长，进而求出点B的坐标；
(2)设⊙P与△BDE一边所在直线相切于点F、G，分两种情况讨论进行求解，即可求出r的值，进而得出点P的坐标．
【详解】(1)如图，设OE=x，则OD=x﹣1，
∵OC=8，
∴CD=OC﹣OD=8﹣(x﹣1)=9﹣x，
根据翻折可知：DE=CD=9﹣x，
在Rt△ODE中， 根据勾股定理，得：，
即(9﹣x)2=x2+(x﹣1)2，
整理，得x2+16x﹣80=0，
解得x1=4，x2=﹣20(不符合题意，舍去)，
∴OE=4，OD=3，DE=5，
根据翻折可知：
BC=BE，∠BED=∠BCD=90°，
∴∠DEO+∠BEA=∠DEO+∠EDO=90°，
∴∠EDO=∠BEA，
∵∠DOE=∠EAB=90°，
∴△DOE∽△EAB，
∴，
∴，
∴AE=6，
∴OA=OE+AE=4+6=10，
∴点B的坐标为(10，8)；
(2)设⊙P与△BDE一边所直线相切于点F，
如图，连接PF，则PF⊥DE，
根据切线长定理可知：
DF=OD=3，
则EF=DE﹣DF=5﹣3=2，
设⊙P的半径为r，
则OP=PF=r，
PE=OE﹣OP=4﹣r，
在Rt△PEF中，根据勾股定理，得：，
(4﹣r)2=r2+22，
解得r=，
∴OP=．
答：点P的坐标为(，0)．
【点睛】本题考查了切线的性质、矩形的性质、折叠的性质、坐标与图形变化-对称、勾股定理、相似三角形的判定和性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
25. 如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D是射线AB上一点，作△BCD的外接圆⊙O，CE是⊙O的直径，连接DE、BE．
（1）若点D在AB边上，求∠DCE度数：
（2）若△ACD与△BDE全等，求AD的长：
（3）若AD＝，求⊙O的半径r的值．
【答案】（1）∠DCE＝45°；（2）AD＝4﹣4；（3）⊙O的半径r的值为．
【解析】
【分析】
（1）由∠ACB＝90°，AC＝BC＝4可得∠CAB＝∠CBA＝45°，根据圆周角定理可得∠CBE=90°，即可得出∠DBE=45°，根据圆周角定理可得答案；
（2）根据勾股定理可求出AB的长，根据圆周角定理可得∠DEC=∠CBD=45°，可得CD=DE，根据全等三角形的性质可得BD＝AC＝4，根据线段的和差关系可得答案；
（3）如图，过点E作EF⊥BD于F，根据线段的和差关系可得BD的长，由EF⊥BD可得∠FEB＝∠DBE=45°，根据等腰直角三角形的性质可得EF＝BF，BE＝EF，根据∠BDE＝∠BCE，∠EFD＝∠EBC＝90°可证明△DEF∽△CEB，根据相似三角形的性质可求出BF的长，即可求出BE的长，根据勾股定理可求出CE的长，即可得答案．
【详解】（1）∵△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∵CE是⊙O的直径，点B在⊙O上，
∴∠CBE=90°，
∴∠DBE=∠CBE-∠CBA=90°-45°=45°，
∵∠DBE和∠DCE是所对的圆周角，
∴∠DCE＝∠DBE=45°；
（2）∵△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，
∴AB＝4，
∵∠DEC和∠CBD是所对的圆周角，
∴∠DEC＝∠CBD=45°，
由（1）可知∠DCE=45°，
∴∠DCE=∠DEC，
∴DC＝DE，
∵△ACD与△BDE全等，且CD＝DE，∠CAB＝∠DBE＝∠DCE＝45°，
∴BD＝AC＝4，
∴AD＝AB﹣BD＝4﹣4；
（3）如图，过点E作EF⊥BD于F，
∵AB＝4，AD＝，
∴BD＝3，
∵EF⊥BD，∠DBE＝45°，
∴∠FEB＝∠DBE=45°，
∴EF＝BF，BE＝EF，
∵∠BDE＝∠BCE，∠EFD＝∠EBC＝90°，
∴△DEF∽△CEB，
∴，
∴，即，
解得：BF＝，
∴BE＝BF＝2，
∴CE＝＝＝，
∴OE＝CO＝，
∴⊙O的半径r的值为．
【点睛】本题考查圆周角定理、勾股定理、等腰直角三角形的性质及相似三角形的判定与性质，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；直径所对的圆周角等于90°；如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角分别对应相等，那么这两个三角形相似；熟练掌握相关性质的定理是解题关键．