2019-2020学年江苏省淮安市淮安区九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2019-2020学年江苏省淮安市淮安区九年级上学期数学期中试题及答案，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列方程是一元二次方程的是（ ）
A. ax2+bx+c＝0B. x2+2x＝x2﹣1C. （x﹣1）（x﹣3）＝0D. x＝2
【答案】C
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的定义分别判断即可．
【详解】解：A、没有说明a是否为0，所以不一定是一元二次方程；
B、移项合并同类项后未知数最高次为1，所以不是一元二次方程；
C、方程可整理为x2−4x＋3＝0，所以是一元二次方程；
D、未知数的最高次为1，所以不是一元二次方程；
故选C．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义，注意有的方程需要整理成一元二次方程的一般形式后再进行判断．
2.已知关于x的方程x2+m2x﹣2＝0的一个根是1，则m的值是（ ）
A. 1B. 2C. ±1D. ±2
【答案】C
【解析】
【分析】
将x＝1代入方程即可得到m的值.
【详解】解：将x＝1代入方程x2+m2x﹣2＝0，
可得1＋m2−2＝0，
解得m＝±1，
故选C．
【点睛】本题考查一元二次方程的解，熟知方程的解即为能使方程两边相等的未知数的值是解题关键．
3.已知⊙O的半径为3，圆心O到直线L的距离为2，则直线L与⊙O的位置关系是（ ）
A. 相交B. 相切C. 相离D. 不能确定
【答案】A
【解析】
试题分析：根据圆O的半径和，圆心O到直线L的距离的大小，相交：d＜r；相切：d=r；相离：d＞r；即可选出答案．
解：∵⊙O的半径为3，圆心O到直线L的距离为2，
∵3＞2，即：d＜r，
∴直线L与⊙O的位置关系是相交．
故选A．
考点：直线与圆的位置关系．
4.方程有实数根的条件是（ ）
A. m>0B. m≥0C. m<0D. m≤0
【答案】D
【解析】
【分析】
利用一元二次方程有实根的方法得到x2≥0求解即可．
【详解】方程x2+m=0有实数根的条件是△=b2-4ac=0-4m≥0，即m≤0，
故选D．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的情况，解题的关键是x2≥0时，方程x2+m=0有实数根．
5.如图，⊙O的半径为5，圆心O到弦AB的距离为3，则AB的长为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】
过O作OC⊥AB于C，连接OA，由⊙O的半径为5，圆心O到弦AB的距离为3，由勾股定理即可求得AC的长，然后由垂径定理求得AB的长．
【详解】解：过O作OC⊥AB于C，连接OA，
则OC＝3，OA＝5，由勾股定理得：
AC＝＝4，
∵OC⊥AB，OC过圆心O，
∴AB＝2AC＝8，
故选D．
【点睛】此题考查了垂径定理与勾股定理．此题比较简单，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
6.如图，AB是⊙O直径，点C，D在⊙O上．若∠ABD=55°，则∠BCD的度数为（ ）
A. 25°B. 30°C. 35°D. 40°
【答案】C
【解析】
【详解】解：连接AD,
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°．
∵∠ABD=55°，∴∠BAD=90°﹣55°=35°，∴∠BCD=∠BAD=35°．故选C．
【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解答此题的关键．
7. 某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ）
A. 144（1﹣x）2=100B. 100（1﹣x）2=144C. 144（1+x）2=100D. 100（1+x）2=144
【答案】D
【解析】
试题分析：2013年的产量=2011年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．
解：2012年产量为100（1+x），
2013年的产量为100（1+x）（1+x）=100（1+x）2，
即所列的方程为100（1+x）2=144，
故选D．
点评：考查列一元二次方程；得到2013年产量的等量关系是解决本题的关键．
8.如图，P为⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP、AO分别与⊙O交于B、C两点．若⊙O的半径长为3，OP＝，则弦BC的最大值为（ ）
A. 2B. 3C. D. 3
【答案】A
【解析】
分析：点P，可以看作是以O为圆心，以为半径的圆上的一点，当AP与这个圆相切时BC取最大值，利用中位线定理得出结论即可.
解析：当OP⊥AB时，BC最长，∴AP=BP,∵AC为直径，所以BC⊥AB，∴OP=BC,∴BC= 2.
故选A.
点睛：本题的关键在于找到最值的接点，利用切线的性质找到点P的位置，从而确定BC的最值，利用中位线定理得出BC的长.
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共计30分，不需要写出解答过程，请把正确答案直接填在答题卡相应的位置上）
9.若关于x的方程（m+1）x2﹣3x+2＝0是一元二次方程，则m的取值范围是_____．
【答案】m≠-1
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的二次项系数不为零列不等式求解即可．
【详解】解：∵关于x的方程（m+1）x2﹣3x+2＝0是一元二次方程，
∴m＋1≠0，
∴m≠−1．
故答案为m≠−1．
【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的二次项系数不为零是解题的关键．
10.一元二次方程（x+1）2＝4的解为_____．
【答案】x1=1，x2=-3
【解析】
【分析】
用直接开平方法求解即可.
【详解】解：（x+1）2＝4，
x+1＝±2，
解得：x1=1，x2=-3，
故答案为x1=1，x2=-3.
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键.
11.已知扇形的圆心角为90°，弧长为2π，则扇形的半径为_____．
【答案】4
【解析】
【分析】
利用弧长公式进行计算即可.
【详解】解：根据弧长的公式可得：，
解得：r＝4，即扇形的半径为4，
故答案为4．
【点睛】本题考查了弧长公式的应用．解题关键是根据弧长公式列出关于半径r的方程．
12.一个圆锥的母线长为5cm，底面半径为2cm，那么这个圆锥的侧面积为_____cm2．
【答案】
【解析】
分析：根据圆锥的侧面展开图为扇形，先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形的面积公式求解．
详解：∵圆锥的底面半径为5cm，∴圆锥的底面圆的周长=2π•5=10π，∴圆锥的侧面积=•10π•2=10π（cm2）．
故答案为10π．
点睛：本题考查了圆锥的侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面周长，扇形的半径为圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式：S=•l•R，（l为弧长）．
13.如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P．若∠A＝40°，∠APD＝75°，则∠B＝_____°．
【答案】35
【解析】
【分析】
根据三角形外角的性质可求出∠C，再根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等可得答案．
【详解】解：∵∠A＝40°，∠APD＝75°，
∴∠C＝75°−40°＝35°，
∴∠B＝35°，
故答案为35．
【点睛】此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
14.若关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一个根是2，则m+n＝_____．
【答案】﹣2
【解析】
【分析】
根据一元二次方程的解的定义把x＝2代入x2＋mx＋2n＝0得到4＋2m＋2n＝0得n＋m＝−2，然后利用整体代入的方法进行计算．
【详解】∵2（n≠0）是关于x的一元二次方程x2＋mx＋2n＝0的一个根，
∴4＋2m＋2n＝0，
∴n＋m＝−2，
故答案为−2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解（根）：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
15.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD＝5，D是AB的中点，则外接圆的半径r＝_____．
【答案】5
【解析】
【分析】
首先利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质求出斜边AB的长，再利用直角三角形外心的位置特征得到斜边AB的长即为外接圆的直径，从而求出半径r．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD＝5，D是AB的中点，
∴AB＝2CD＝10，
∵直角三角形外心在斜边中点，
∴斜边AB即是△ABC外接圆的直径，
∴外接圆的半径r＝5．
故答案为5．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质和直角三角形外心的位置特征，熟练掌握这些性质是解题的关键．
16.如图，一圆内切于四边形，且，，则的长为________．
【答案】13
【解析】
【分析】
根据切线长定理，可知圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边和相等．
【详解】由题意可得圆外切四边形的两组对边和相等，所以AD+BC=AB+CD=5+8=13，
故答案为13．
【点睛】本题考查了切线长定理．熟悉圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边和相等．
17.圆外一点到圆上点的最大距离是10cm，到圆上点的最小距离是2cm，则该圆的半径是_____cm．
【答案】4
【解析】
【分析】
根据最大距离减去最短距离即为圆的直径进行求解.
【详解】解：根据题意得，圆的半径为，
故答案为4．
【点睛】本题考查了圆外一点到圆的最大距离和最短距离，最大距离和最短距离都在过圆心的直线上，属于基础知识．
18.如图，E是正方形ABCD内一点，连接EA、EB并将△BAE以B为中心顺时针旋转90°得到△BCF，若BA＝4，BE＝3，则在△BAE旋转到△BCF的过程中边AE扫过区域的面积是______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据图中阴影部分的面积等于扇形BAC的面积减去扇形BEF的面积进行计算即可．
【详解】解：∵△BAE以B为中心顺时针旋转90°得到△BFC，
∴△BAE≌△BFC，
∴阴影部分的面积＝S扇形BAC−S扇形BEF＝，
故答案为．
【点睛】本题考查了扇形的面积计算方法，解题的关键是弄清复合图形的面积计算方法．
三、解答题（本大题共9小题，共计96分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的演算步骤、证明过程或文字说明）
19.解方程
（1）x2+16＝8x
（2）（2﹣3x）+（3x﹣2）2＝0
【答案】（1）x1=x2 =4；（2）x1=，x2 =1.
【解析】
【分析】
（1）移项，将方程左边化为完全平方式的形式求解即可；
（2）将方程变形，用因式分解法解方程即可.
【详解】解：（1）x2+16＝8x，
x2-8x+16＝0，
(x-4)2=0，
解得：x1=x2=4；
（2）(2﹣3x)+(3x﹣2)2＝0，
(2﹣3x)+( 2﹣3x)2＝0，
(2﹣3x)(1+2﹣3x)＝0，
∴2﹣3x＝0或1+2﹣3x＝0，
解得：x1=，x2 =1.
【点睛】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键.
20.若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
求k的取值范围；请你选取一个合适的k的值代入方程并求出这个方程的两根．
【答案】（1），（2），，．
【解析】
分析】
根据“一元二次方程有两个不相等的实数根”得到判别式，得到关于k的一元一次不等式，解之即可，
结合的结果取，解一元二次方程即可．
【详解】，，，
，
，
，
即k的取值范围为：；
若，
则，
解得：，．
【点睛】本题考查了根的判别式，熟练掌握是解题的关键.
一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
21.圆锥母线长6cm，底面圆半径为3cm，求它的侧面展开图的圆心角度数．
【答案】180°
【解析】
【分析】
设圆锥侧面展开图的圆心角的度数为n°，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，结合弧长公式列方程求解即可．
【详解】解：设圆锥侧面展开图的圆心角的度数为n°，
根据题意得2π•3＝，
解得：n＝180，
即它的侧面展开图的圆心角度数为180°．
【点睛】本题考查了圆锥的相关计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
22.电脑病毒是可以传播的；调查发现有一台电脑中了病毒，经过两轮传播后共有25台电脑中了病毒．
（1）试求每轮传播中平均一台电脑传播多少台电脑中了病毒 ？
（2）如果按照这样的传播速度，经过三轮传播后共有多少台电脑中了病毒？
【答案】（1）每轮传播中平均一台电脑传播4台电脑中了病毒；（2）经过三轮传播后共有125台电脑中了病毒．
【解析】
【分析】
（1）设每轮传播中平均一台电脑传播x台电脑中了病毒，则第一轮后共有（1＋x）台被传播，第二轮新传播x（x+1）台，据此列方程即可求出x的值；
（2）用25台加上这25台新传播的电脑台数计算即可．
【详解】（1）设每轮传播中平均一台电脑传播x台电脑中了病毒，
根据题意得：1+x+x（x+1）＝25，
整理得：x2+2x﹣24＝0，
解得：x1＝4，x2＝﹣6（不合题意，舍去）．
答：每轮传播中平均一台电脑传播4台电脑中了病毒；
（2）25+25×4＝125（台），
答：经过三轮传播后共有125台电脑中了病毒．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．
23.如图，在⊙O 中，，∠ACB=60°．
（Ⅰ）求证：△ABC 是等边三角形；
（Ⅱ）求∠AOC 的大小．
【答案】（1）证明见解析（2）120°
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据圆心角、弧、弦的关系定理得到 AB=BC，根据等边三角形的判定定理证明△ABC 是等边三角形；
（Ⅱ）根据等边三角形的性质得到∠ABC=60°，根据圆周角定理解答．
【详解】Ⅰ）证明：∵ = ，
∴AB=BC，又∠ACB=60°，
∴△ABC 是等边三角形；
（Ⅱ）∵△ABC 是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠AOC=2∠ABC=120°．
【点睛】本题考查的是等边三角形的判定，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
24.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．
(1)以直线BC为轴，把△ABC旋转一周，求所得圆锥的底面圆周长．
(2)以直线AC为轴，把△ABC旋转一周，求所得圆锥的侧面积；
【答案】（1）12π；（2）80π.
【解析】
【分析】
（1）以直线BC为轴，把△ABC旋转一周，得到的圆锥底面半径为6，即可求出所得圆锥的底面圆周长．
（2）由于以直线AC为轴，把△ABC旋转一周，得到的圆锥的展开图为扇形，扇形半径为10，扇形的弧长为2π×CB，然后根据扇形面积公式计算圆锥的侧面积；
【详解】(1) 2π×6=12π.
(2)∵∠C=90°,AC=6,BC=8,∴AB==10,
所以以直线AC为轴，把△ABC旋转一周，得到的圆锥的侧面积=×10×2π×8=80π；
【点睛】考查圆锥的计算，圆锥的侧面展开图是扇形，根据扇形的弧长等于底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，根据扇形的面积公式进行计算即可.
25.淮安某特产专卖店销售某种特产，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后天经过市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．专卖店销售这种特产若想要平均每天获利2240元，且要让顾客尽可能得到实惠，则每千克特产应定价为多少元？
（1）解：方法1：设每千克特产应降价x元，由题意，得方程为 ；
方法2：设每千克特产降价后定价为x元，由题意得方程为： ．
（2）请你选择一种方法，写出完整的解答过程．
【答案】（1）（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240，（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
（1）方法1：设每千克特产应降价x元，利用每件利润×销售量＝2240列出方程即可；
方法2：设每千克特产降价后定价为x元，利用每件利润×销售量＝2240列出方程即可；
（2）利用（1）中所列方程求解即可．
【详解】解：（1）方法1：设每千克特产应降价x元，
由题意，得方程为：（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240；
方法2：设每千克特产降价后定价为x元，
由题意，得方程为：（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240；
（2）方法1：设每千克特产应降价x元，
根据题意，得（60﹣x﹣40）（100+10x）＝2240，
解得x1＝4，x2＝6，
由于要让顾客尽可能得到实惠，则取x＝6，
60﹣6＝54元，
答：每千克特产应定价为54元；
方法2：设每千克特产降价后定价为x元，
由题意，得（x﹣40）[100+10（60﹣x）]＝2240，
解得x1＝54，x2＝56．
由于要让顾客尽可能得到实惠，则取x＝54，
答：每千克特产应定价为54元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．
26.如图，是的直径，是的弦，延长到点，使，连结交于点.
（1）与的大小有什么关系？请说明理由；
（2）若，，求：图中阴影部分的面积.
【答案】（1）.理由见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）连接，利用直径所对的圆周角为直角，和BD=DC可得AD垂直平分BC即可得到.
（2）连接，利用三线合一，求出∠BAD，再利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半可求出∠BOD，最后代入扇形的面积公式即可.
【详解】解：（1）.
理由是：连接
∵是的直径
∴，即
又∵
∴
（2）连接，过作
∵
∴
∴
∴
【点睛】此题考查的是①直径所对的圆周角为直角；②垂直平分线的性质；③三线合一；④同弧所对的圆周角是圆心角的一半；⑤扇形的面积公式.
27.已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．
(1)如图①，AB是直径，要使EF是⊙O的切线，还须添加一个条件是(只需写出三种情况)．
(i)_____(ii)______(iii)______.
(2)如图(2)，若AB为非直径的弦，∠CAE＝∠B，则EF是⊙O的切线吗？为什么？
【答案】 (1). （1）AB⊥EF (2). ∠BAE=90° (3). ∠ABC=∠EAC（2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）根据切线的判断由或可判断为的切线；当，根据圆周角定理得，所以，即，于是也可判断为的切线；
（2）作直径，连结，由为直径得，则，根据圆周角定理得，而，所以，则，根据切线的判定定理得到为的切线.
【详解】（1）当 AB⊥EF 或∠BAE=90°可判断 EF 为⊙O 的切线；
当∠ABC=∠EAC，∵AB 为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠CAB=90°，
∴∠EAC+∠CAB=90°，
∴AB⊥EF，
∴EF 为⊙O 的切线；
故答案为 AB⊥EF、∠BAE=90°、∠ABC=∠EAC；
（2）证明：作直径 AD，连结 CD，
∵AD 为直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠D+∠CAD=90°，
，，
∴，
∴，
∴，
∴EF 为⊙O 的切线.
【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；也考查了圆周角定理.