2019-2020学年江苏省淮安市清江浦区九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2019-2020学年江苏省淮安市清江浦区九年级上学期数学期末试题及答案，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.抛物线的顶点坐标是（ ）
A. （﹣1，2）B. （﹣1，﹣2）C. （1，﹣2）D. （1，2）
【答案】D
【解析】
【分析】
根据顶点式，顶点坐标是（h，k），即可求解.
【详解】∵顶点式，顶点坐标是（h，k），
∴抛物线的顶点坐标是（1，2）．
故选D．
2.有一组数据5，3，5，6，7，这组数据的众数为（ ）
A. 3B. 6C. 5D. 7
【答案】C
【解析】
【分析】
根据众数的概念求解．
【详解】这组数据中5出现的次数最多，出现了2次，
则众数为5．
故选：C．
【点睛】本题考查了众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
3.圆锥的底面半径为2，母线长为6，它的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据圆锥的底面半径为2，母线长为6，直接利用圆锥的侧面积公式求出它的侧面积．
【详解】根据圆锥的侧面积公式：rl＝×2×6＝12，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了圆锥侧面积公式．熟练地应用圆锥侧面积公式求出是解决问题的关键．
4.下列关于x 的一元二次方程，有两个不相等的实数根的方程的是( )
A. x2＋1＝0B. x2＋2x＋1＝0C. x2＋2x＋3＝0D. x2＋2x－3＝0
【答案】D
【解析】
【分析】
要判断所给方程是有两个不相等的实数根，只要找出方程的判别式，根据判别式的正负情况即可作出判断．有两个不相等的实数根的方程，即判别式的值大于0的一元二次方程．
【详解】A、△=0-4×1×1=-4<0，没有实数根；
B、△=22-4×1×1=0，有两个相等实数根；
C、△=22-4×1×3=-8<0，没有实数根；
D、△=22-4×1×（-3）=16>0，有两个不相等的实数根，
故选D．
【点睛】本题考查了根的判别式，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．
5.用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
方程常数项移到右边，两边加上1变形即可得到结果．
【详解】方程移项得：x2−2x＝5，
配方得：x2−2x＋1＝6，
即（x−1）2＝6．
故选：A．
【点睛】此题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
6.将抛物线先向左平移一个单位，再向上平移两个单位，两次平移后得到的抛物线解析式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可．
【详解】抛物线先向左平移1个单位得到解析式：，再向上平移2个单位得到抛物线的解析式为：．
故选：．
【点睛】此题考查了抛物线的平移变换以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．
7. 如图，□ABCD中，点E是边AD的中点，EC交对角线BD于点F，则EF:FC等于（ ）
A. 3:2B. 3:1C. 1:1D. 1:2
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意得出△DEF∽△BCF，进而得出，利用点E是边AD的中点得出答案即可．
【详解】解：∵▱ABCD，故AD∥BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴ ，
∵点E是边AD的中点，
∴AE=DE=AD，
∴．
故选D．
8.已知函数的部分图像如图所示，若，则的取值范围是（ ）
B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据抛物线的对称性确定抛物线与x轴的另一个交点为（−3，0），然后观察函数图象，找出抛物线在x轴上方的部分所对应的自变量的范围即可．
【详解】∵y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝−1，与x轴的一个交点为（1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（−3，0），
∴当−3＜x＜1时，y＞0．
故选：C．
【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是根据函数对称轴找到抛物线与x轴的交点.
二、填空题
9.方程x2＝2x的解是__________．
【答案】x1＝0， x2＝2
【解析】
【分析】
利用因式分解法解方程即可得到答案．
【详解】解：原方程化为：
所以：
所以： 或
解得：
故答案为：
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是关键．
10.一组数据：2,5,3,1,6，则这组数据的中位数是________.
【答案】3
【解析】
【分析】根据中位数的定义进行求解即可得出答案.
【详解】将数据从小到大排列：1，2，3，5，6，
处于最中间的数是3，
∴中位数为3，
故答案为3.
【点睛】本题考查了中位数的定义，中位数是将一组数据从小到大或从大到小排列，处于最中间（中间两数的平均数）的数即为这组数据的中位数.
11.一个不透明的布袋中装有3个白球和5个红球，它们除了颜色不同外，其余均相同，从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
【详解】根据题意可得：一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的3个白球和5个红球，共5个，从中随机摸出一个，则摸到红球的概率是
故答案为: ．
【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．
12. 如图，∠C=∠E=90°，AC=3，BC=4，AE=2，则AD=_________ ．
【答案】.
【解析】
试题分析：由∠C=∠E=90°，∠BAC=∠DAE可得△ABC∽△ADE，根据相似三角形的对应边的比相等就可求出AD的长．
试题解析：∵∠C=∠E=90°，∠BAC=∠DAE
∴△ABC∽△ADE
∴AC：AE=BC：DE
∴DE=
∴
考点: 1.相似三角形的判定与性质；2.勾股定理.
13.一天，小青想利用影子测量校园内一根旗杆的高度，在同一时刻内，小青的影长为米，旗杆的影长为米，若小青的身高为米，则旗杆的高度为__________米.
【答案】16
【解析】
【分析】
易得△AOB∽△ECD，利用相似三角形对应边的比相等可得旗杆OA的长度．
【详解】解：∵OA⊥DA，CE⊥DA，
∴∠CED=∠OAB=90°，
∵CD∥OE，
∴∠CDA=∠OBA，
∴△AOB∽△ECD，
∴，
解得OA=16．
故答案为16．
14.关于的方程的一个根为2，则______.
【答案】1
【解析】
【分析】
方程的根即方程的解，就是能使方程两边相等的未知数的值，利用方程解的定义就可以得到关于k的方程，从而求得k的值．
【详解】把x＝2代入方程得：4k−2−2＝0，解得k＝1
故答案为:1．
【点睛】本题主要考查了方程的根的定义，是一个基础的题目．
15.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=140°，则∠BCD=_____．
【答案】110°.
【解析】
【分析】
由圆周角定理,同弧所对的圆心角是圆周角的2倍.可求∠A=∠BOD=70°,再根据圆内接四边形对角互补,可得∠C=180-∠A=110°
详解】∵∠BOD=140°
∴∠A=∠BOD=70°
∴∠C=180°-∠A=110°，
故答案为110°.
【点睛】此题考查圆周角定理，解题的关键在于利用圆内接四边形的性质求角度.
16.如图，曲线AB是顶点为B，与y轴交于点A的抛物线y＝﹣x2+4x+2的一部分，曲线BC是双曲线的一部分，由点C开始不断重复“A﹣B﹣C”的过程，形成一组波浪线，点P（2018，m）与Q（2025，n）均在该波浪线上，则mn＝_____．
【答案】24
【解析】
【详解】点B是抛物线y=﹣x2+4x+2的顶点，
∴点B的坐标为（2，6），
2018÷6=336…2，故点P离x轴的距离与点B离x轴的距离相同，
∴点P坐标为（2018，6），
∴m＝6；
点B（2，6）在的图象上，
∴k＝6；
即，
2025÷6=337…3，故点Q离x轴的距离与当x＝3时，函数的函数值相等，
又 x＝3时，，
∴点Q的坐标为（2025，4），
即n＝4，
∴=
故答案为24．
【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征以及二次函数的图象与性质．本题是一道找规律问题．找到点P、Q在A﹣B﹣C段上的对应点是解题的关键．
三、解答题
17.解方程：（1）
（2）
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
(1)根据配方法即可求解;
(2)根据因式分解法即可求解.
【详解】（1）

.
（2）
，
2-3x=0或x-3=0
∴
【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知方程的解法.
18.A箱中装有3张相同的卡片，它们分别写有数字1，2，4；B箱中也装有3张相同的卡片，它们分别写有数字2，4，5；现从A箱、B箱中各随机地取出1张卡片，请你用画树形（状）图或列表的方法求：
（1）两张卡片上的数字恰好相同的概率．
（2）如果取出A箱中卡片上的数字作为十位上的数字，取出B箱中卡片上的数字作为个位上的数字，求两张卡片组成的两位数能被3整除的概率．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
（1）此题需要两步完成，所以采用树状图法或者采用列表法都比较简单；解题时要注意是放回实验还是不放回实验，此题属于放回实验．列举出符合题意：“两张卡片上的数字恰好相同”的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可．
（2）列举出符合题意：“两张卡片组成的两位数能被3整除”的各种情况的个数，再根据概率公式解答即可
【详解】（1）由题意可列表：
∴一共有9种情况，两张卡片上的数字恰好相同的有2种情况，
∴两张卡片上的数字恰好相同的概率是；
（2）由题意可列表：
∴一共有9种情况，两张卡片组成的两位数能被3整除的有5种情况，
∴两张卡片组成的两位数能被3整除的概率是．
考点：列表法与树状图法．
19. 已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．
（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是 ；
（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是 ；
（3）△A2B2C2的面积是 平方单位．
【答案】（1）（2，﹣2）；
（2）（1，0）；
（3）10．
【解析】
试题分析：（1）根据平移的性质得出平移后的图从而得到点的坐标；
（2）根据位似图形的性质得出对应点位置，从而得到点的坐标；
（3）利用等腰直角三角形的性质得出△A2B2C2的面积．
试题解析：（1）如图所示：C1（2，﹣2）；
故答案为（2，﹣2）；
（2）如图所示：C2（1，0）；
故答案为（1，0）；
（3）∵=20，=20，=40，
∴△A2B2C2是等腰直角三角形，
∴△A2B2C2的面积是：××=10平方单位．
故答案为10．
考点：1、平移变换；2、位似变换；3、勾股定理的逆定理
20.九（3）班组织了一次经典朗读比赛，甲、乙两队各10人的比赛成绩如下表：
（1）计算乙队的平均成绩和方差；
（2）已知甲队成绩的方差是1.4分，则成绩较为整齐的是哪个队？
【答案】（1）9，1；（2）乙
【解析】
【分析】
(1)根据平均数与方差的定义即可求解;
(2)根据方差的性质即可判断乙队整齐.
【详解】(1)乙队的平均成绩是：=9
方差：
(2)∵乙队的方差＜甲队的方差
∴成绩较为整齐的是乙队.
【点睛】此题主要考查平均数与方差,解题的关键是熟知平均数与方差的求解公式及方差的性质.
21.某商场销售一批衬衫，每件成本为50元，如果按每件60元出售，可销售800件；如果每件提价5元出售，其销售量就减少100件，如果商场销售这批衬衫要获利润12000元，又使顾客获得更多的优惠，那么这种衬衫售价应定为多少元？
（1）设提价了元，则这种衬衫售价为___________元，销售量为____________件.
（2）列方程完成本题的解答.
【答案】（1），；（2）（60＋x−50）（800−20x）＝12000，70，见解析
【解析】
【分析】
（1）根据销售价等于原售价加上提价，销售量等于原销售量减去减少量即可；
（2）根据销售利润等于单件的利润乘以销售量即可解答．
【详解】（1）设这种衬衫应提价x元，则这种衬衫的销售价为（60＋x）元，
销售量为（800−x）＝（800−20x）件．
故答案为（60＋x）;（800−20x）．
（2）根据（1）得：
（60＋x−50）（800−20x）＝12000
整理，得x2−30x＋200＝0
解得：x1＝10，x2＝20．
为使顾客获得更多的优惠，
所以x＝10，60＋x＝70．
答：这种衬衫应提价10元，则这种衬衫的销售价为70元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握销售问题的关系式．
22.如图，AB为⊙O的直径，AC、DC为弦，∠ACD=60°，P为AB延长线上的点，∠APD=30°．
（1）求证：DP是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3cm，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
（1）连接OD，求出∠AOD，求出∠DOB，求出∠ODP，根据切线判定推出即可．
（2）求出OP、DP长，分别求出扇形DOB和△ODP面积，即可求出答案．
【详解】解：（1）证明：连接OD，
∵∠ACD=60°，
∴由圆周角定理得：∠AOD=2∠ACD=120°．
∴∠DOP=180°﹣120°=60°．
∵∠APD=30°，
∴∠ODP=180°﹣30°﹣60°=90°．
∴OD⊥DP．
∵OD为半径，
∴DP是⊙O切线．
（2）∵∠ODP=90°，∠P=30°，OD=3cm，
∴OP=6cm，由勾股定理得：DP=3cm．
∴图中阴影部分的面积
23.如图，在平行四边形中，过点作，垂足为，连接，为上一点，且.
（1）求证：.
（2）若，，，求的长.
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）求三角形相似就要得出两组对应的角相等，已知了∠BFE＝∠C，根据等角的补角相等可得出∠ADE＝∠AFB，根据AB∥CD可得出∠BAF＝∠AED，这样就构成了两三角形相似的条件．
（2）根据（1）的相似三角形可得出关于AB，AE，AD，BF的比例关系，有了AD，AB的长，只需求出AE的长即可．可在直角三角形ABE中用勾股定理求出AE的长，这样就能求出BF的长了．
【详解】（1）证明：在平行四边形ABCD中，
∵∠D＋∠C＝180°，AB∥CD，
∴∠BAF＝∠AED．
∵∠AFB＋∠BFE＝180°，∠D＋∠C＝180°，∠BFE＝∠C，
∴∠AFB＝∠D，
∴△ABF∽△EAD．
（2）解：∵BE⊥CD，AB∥CD，
∴BE⊥AB．
∴∠ABE＝90°．
∴．
∵△ABF∽△EAD，
，
．
．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，等角的补角，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
24.如图，已知抛物线经过、两点，与轴相交于点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是对称轴上的一个动点，当的周长最小时，直接写出点的坐标和周长最小值;
（3）点为抛物线上一点，若，求出此时点的坐标.
【答案】（1）；（2），；（3） ， ，
【解析】
【分析】
(1)把、代入抛物线即可求出b,c即可求解;
(2)根据A,B关于对称轴对称,连接BC交对称轴于P点,即为所求,再求出坐标及的周长;
(3)根据△QAB的底边为4,故三角形的高为4,令=4，求出对应的x即可求解.
【详解】(1)把、代入抛物线得
解得
∴抛物线的解析式为：;
(2)如图，连接BC交对称轴于P点,即为所求,
∵
∴C(0,-3),对称轴x=1
设直线BC为y=kx+b,
把, C(0,-3)代入y=kx+b求得k=1,b=-3,
∴直线BC为y=x-3
令x=1，得y=-2，
∴P（1，-2），
∴的周长=AC+AP+CP=AC+BC=+=;
(3)∵△QAB的底边为AB=4,
∴三角形的高为4,
令=4，即
解得x1=, x2=, x3=1
故点的坐标为 ， ，.
【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法与一次函数的求解.
25.某公司经销一种成本为10元的产品，经市场调查发现，在一段时间内，销售量（件）与销售单价（ 元/件 ）的关系如下表：
设这种产品在这段时间内的销售利润为（元），解答下列问题：
（1）如是的一次函数，求与的函数关系式；
（2）求销售利润与销售单价之间的函数关系式；
（3）求当为何值时，的值最大？最大是多少？
【答案】（1）；（2）；（3）当时，的值最大，最大值为9000元
【解析】
【分析】
（1）根据待定系数法即可求出一次函数解析式；
（2）根据题意列出二次函数即可求解；
（3）根据二次函数的性质即可得到最大值.
【详解】(1)设与的函数关系式为y=kx+b
把（15，550）、（20，500）代入得
解得
∴
（2）∵成本为10元，故每件利润为（x-10）
∴销售利润
（3）=
∵-10＜0，
∴当时，的值最大，最大值为9000元.
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，理解题意抓住相等关系函数解析式是解题的关键．
26.如图，已知抛物线经过的三个顶点，其中点，点，轴，点是直线下方抛物线上的动点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点且与轴平行的直线与直线、分别交与点、，当四边形的面积最大时，求点的坐标；
（3）当点为抛物线的顶点时，在直线上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）存在， ，
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（2）设点P（m，），表示出PE＝，再用S四边形AECP＝S△AEC＋S△APC＝AC×PE，建立函数关系式，求出最值即可；
（3）先判断出PF＝CF，再得到∠PCA＝∠EAC，以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况计算即可．
【详解】（1）∵点，在抛物线上，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为，
（2）∵AC∥x轴，A（0，3）
∴＝3，
∴x1＝−6，x2＝0，
∴点C的坐标（−8，3），
∵点，，
求得直线AB的解析式为y＝−x＋3，
设点P（m，）∴E（m，−m＋3）
∴PE＝−m＋3−（）＝，
∵AC⊥EP，AC＝8，
∴S四边形AECP
＝S△AEC＋S△APC
＝AC×EF＋AC×PF
＝AC×（EF＋PF）
＝AC×PE
＝×8×（）
＝−m2−12m
＝−（m＋6）2＋36，
∵−8＜m＜0
∴当m＝−6时，四边形AECP的面积的最大，此时点P（−6，0）；
（3）∵＝，
∴P（−4，−1），
∴PF＝yF−yP＝4，CF＝xF−xC＝4，
∴PF＝CF，
∴∠PCF＝45°
同理可得：∠EAF＝45°，
∴∠PCF＝∠EAF，
∴在直线AC上存在满足条件的Q，
设Q（t，3）且AB＝=12，AC＝8，CP＝，
∵以C、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，
①当△CPQ∽△ABC时，
∴，
∴，
∴t＝−或t＝−（不符合题意，舍）
∴Q（−，3）
②当△CQP∽△ABC时，
∴，
∴，
∴t＝4或t＝−20（不符合题意，舍）
∴Q（4，3）
综上，存在点 .
【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的性质，几何图形面积的求法（用割补法），解本题的关键是求函数解析式．
27.（1）【学习心得】于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易.例如：如图1，在中，,是外一点，且,求的度数.若以点为圆心，为半径作辅助，则、必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到=________.
（2）【问题解决】如图2，在四边形中，,,求的度数.
（3）【问题拓展】如图3，是正方形的边上两个动点，满足.连接交于点，连接交于点,连接交于点,若正方形的边长为2，则线段长度的最小值是_______.
【答案】（1）45；（2）25°；（3）
【解析】
【分析】
（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．
（2）由A、B、C、D共圆，得出∠BDC＝∠BAC，
（3）根据正方形的性质可得AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠1＝∠2，利用“SAS”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠2＝∠3，从而得到∠1＝∠3，然后求出∠AHB＝90°，取AB的中点O，连接OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH＝AB＝1，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．
【详解】（1）如图1，∵AB＝AC，AD＝AC，
∴以点A为圆心，点B、C、D必在⊙A上，
∵∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，
∴∠BDC＝∠BAC＝45°，
故答案是：45；
（2）如图2，取BD的中点O，连接AO、CO．
∵∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴点A、B、C、D共圆，
∴∠BDC＝∠BAC，
∵∠BDC＝25°，
∴∠BAC＝25°；
（3）在正方形ABCD中，AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA，∠ADG＝∠CDG，
在△ABE和△DCF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴∠1＝∠2，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG（SAS），
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∵∠BAH＋∠3＝∠BAD＝90°，
∴∠1＋∠BAH＝90°，
∴∠AHB＝180°−90°＝90°，
取AB的中点O，连接OH、OD，
则OH＝AO＝AB＝1，
在Rt△AOD中，OD＝，
根据三角形的三边关系，OH＋DH＞OD，
∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小，
最小值＝OD−OH＝−1．
【点睛】本题主要考查了圆的综合题，需要掌握垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法．甲
7
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乙
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