2019-2020学年天津市滨海新区九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2019-2020学年天津市滨海新区九年级上学期数学期末试题及答案，共20页。试卷主要包含了 抛物线的顶点坐标是等内容，欢迎下载使用。
1. 下列图形中，是中心对称图形的是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】一个图形绕某一点旋转180后能与自身完全重合，这个图形就叫中心对称图形，依据定义判断.
【详解】A:不是中心对称图形，不合题意；
B：是中心对称图形，符合题意；
C: 不是中心对称图形，不合题意；
D: 不是中心对称图形，不合题意；
故选：B.
【点睛】此题考查中心对称图形的定义，熟记中心对称图形的特点即可正确解答.
2. 抛物线的顶点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】抛物线为顶点式，直接根据二次函数的性质得到顶点坐标．
【详解】解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线的顶点坐标为（1，3）．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质：若二次函数的顶点式为y=a（x-h）2+k，则抛物线的对称轴为直线x=h，顶点坐标为（h，k）．
3. 某个事件发生的概率是，这意味着
A. 在一次试验中没有发生，下次肯定发生
B. 在一次事件中已经发生，下次肯定不发生
C. 每次试验中事件发生的可能性是
D. 在两次重复试验中该事件必有一次发生
【答案】C
【解析】
【分析】根据事件发生的概率是，确定事件是随机事件，即可选择.
【详解】某个事件发生的概率是，确定该事件发生的可能性是，是随机事件，故下次可以发生也可以不发生.
故选：C.
【点睛】此题考查随机事件发生的可能性，随机事件是可以发生也可以不发生的事件，没有确定性.
4. 已知且对应中线之比为，则与的周长之比为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】相似三角形对应中线的比等于相似比，周长的比也等于相似比，可知周长比为9:16.
【详解】∵，且对应中线之比为，
∴相似比等于9:16，
∴与的周长之比为9:16.
故选D.
【点睛】此题考查相似三角形的性质，相似三角形的对应边、对应高线、对应中线、对应角平分线、周长的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方.
5. 如图，在的正方形网格中，连结两格点，，点C、D是线段与网格线的交点，则为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作AG⊥BG,CE⊥BG,DF⊥BG得到CE∥DF∥AG，列比求值.
【详解】如图，作AG⊥BG,CE⊥BG,DF⊥BG,
∴CE∥DF∥AG，
∴=BE:EF:FG=1：3：2，
故选：B.
【点睛】此题考查平行线分线段成比例，根据题意添加辅助线构建平行线是解题的关键，由此列出比例线段.
6. 如图，，，将绕点顺时针旋转角度得到△，旋转角为．若点落在上，则旋转角的大小是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据，求得∠A=，由旋转得到，故得到△是等边三角形，求得的值.
【详解】解：∵，，
∴∠A=，
由旋转得到，
∴是等边三角形，
∴=∠=，
故选：C.
【点睛】此题考查图形的旋转，先确定旋转角即∠，再求得∠A=，由旋转得到，得到的值.
7. 在半径为12中，的圆心角所对的弧长等于
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用弧长公式解题即可.
【详解】,
故选：A.
【点睛】此题考查弧长公式，熟记公式即可解题.
8. 若抛物线先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，则所得到的新抛物线的解析式是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据抛物线平移规律“自变量左加右减，函数值上加下减”得到答案.
【详解】新抛物线的解析式是.
故选：D.
【点睛】此题考查抛物线解析式的平移规律，抓住顶点的位置变化是关键，理解“自变量左加右减，函数值上加下减”.
9. 若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据k=-5判断函数图像的两个分支在第二、四象限，故点的纵坐标最大，在每个象限内y随x的增大而增大，所以，由此得到答案.
【详解】∵，
∴函数图像的两个分支在二、四象限，
∴点在第二象限内，点，在第四象限内，
∴最大，
∵在每个象限内y随x的增大而增大，，，
∴
∴，
故选D.
【点睛】此题考查反比例函数的性质，熟记性质才能正确判断，需注意的是k值的符号决定图像所在的象限，此题还需注意三点不在同一分支上，要分象限进行比较.
10. 如图⊙O的直径垂直于弦，垂足是，，，的长为（ ）
A. B. 4C. D. 8
【答案】C
【解析】
【详解】∵直径AB垂直于弦CD，
∴CE=DE=CD，
∵∠A=22.5°，
∴∠BOC=45°，
∴OE=CE，
设OE=CE=x(x>0)，
∵OC=4，
∴x2+x2=16，
解得：x=2，
即：CE=2，
∴CD=4，
故选：C．
11. 如图，边长为1的正方形绕点逆时针旋转得到正方形，使边恰好落在对角线AC上，边与交于点，则四边形的面积是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由正方形求出AC的长，再求出B1C=AC-AB1=,△OCB1是等腰直角三角形，代入面积公式即可求出四边形的面积.
【详解】∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=,AB=BC=CD=AD=1，∠ACD=,
∴AC=,
由旋转得AB1=AB=1，∠AB1C1=,则△OCB1是等腰直角三角形，
∴B1C=AC-AB1=,
.
故选：C.
【点睛】此题考查图形的旋转的性质，图形旋转前后的对应边、对应角相等，由此求得需要的边B1C的长度，△OCB1是等腰直角三角形，利用面积相减法求出不规则四边形的面积.
12. 二次函数的图象如图所示，，其对称轴为直线，与轴的交点为，、，，其中，有下列结论：①；②；③；④；其中，正确的结论个数是
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】①对称轴在y轴左侧，则ab同号，c，即可求解；
②对称轴为直线x=-1,0x1
③对称轴为直线x=-1，则b=2a，即可求解；
④x=-1，y=a-b+c最小，即可求解.
【详解】①对称轴在y轴左侧，则ab同号，c，则abc，故错误；
②对称轴为直线x=-1, ，则，故正确；
③对称轴为直线x=-1，则b=2a，4a-2b+c=c-1，故正确；
④当x=-1时，y=a-b+c值最小，当x=m时，＞a-b+c，得 ＞a-b，故错误.
故选：B.
【点睛】此题考查二次函数的图像与系数的关系，注意式子间的相互转化关系.
二．填空题（共6小题）
13. 将二次函数化成的形式为__________．
【答案】
【解析】
【分析】利用配方法整理即可得解．
【详解】解：，
所以．
故答案为．
【点睛】本题考查了二次函数的解析式有三种形式：
(1)一般式：为常数)；
(2)顶点式：；
(3)交点式(与轴)：．
14. 已知反比例函数为常数，的图象经过点，当时，则y的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】先求得k=4，再将x=1、x=2分别代入解析式求值即可得到取值范围.
【详解】将点代入，得k=4，
当x=1时,y=4，当x=2时y=2，
∵k=4，y随x的增大而减小，
∴，
故填.
【点睛】此题考查反比例函数的性质，根据k的值确定y与x 之间的变化关系.
15. 如图，□ABCD中，点E是AD边的中点，BE交对角线AC于点F，若AF=2，则对角线AC长为______
【答案】6
【解析】
【详解】∵□ABCD，
∴AD∥BC
∴△AEF∽△CBF
∴
∵点E是AD边的中点，
∴
∵AF=2，
∴CF=4
∴AC=6
16. 如图，是的内接正三角形，四边形是的内接正方形，，则___．
【答案】15°
【解析】
【分析】连接OR、OC，求得∠QOR=120°，∠BOC=90°，依据证得，由此得到∠QOB=∠COR=(120°-90°)= 15°.
【详解】如图，连接OR、OC，
∵△PQR是正三角形，四边形ABCD是正方形，
∴∠QOR=120°，∠BOC=90°，
∵,
∴,
∴∠QOB=∠COR=(120°-90°)= 15°，
故填15°.
【点睛】此题考查正多边形和圆的关系，根据正多边形求得中心角的度数∠QOR=120°，∠BOC=90°，依据证得，由此得到∠QOB= 15°.
17. 如图，将Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°到△A′B′C的位置， 已知斜边AB=10cm，BC=6cm，设A′B′的中点是M，连结AM，则AM=______cm．
【答案】
【解析】
【分析】作于，根据垂直平分线的性质可得的大小，又因为，，计算可得的值，根据勾股定理可得的大小.
【详解】作于，因为为中点，故，
又因为，则，，
又因为，所以，
.
故答案为：.
【点睛】根据图形的翻折不变性，结合勾股定理和中位线定理解答.
三．解答题（共7小题）
18. 如图，在每个小正方形边长为网格中，的顶点，，均在格点上，为边上的一点.
（Ⅰ）线段的值为______________;
（Ⅱ）在如图所示的网格中，是的角平分线，在上求一点，使的值最小，请用无刻度的直尺，画出和点，并简要说明和点的位置是如何找到的（不要求证明）___________.
【答案】 ①. （Ⅰ） ②. （Ⅱ）如图，取格点、，连接与交于点，连接与交于点.
【解析】
【分析】（Ⅰ）根据勾股定理进行计算即可.
（Ⅱ）根据菱形的每一条对角线平分每一组对角，构造边长为5的菱形ABEC，连接AE交BC于M，即可得出是的角平分线，再取点F使AF=5，则根据等腰三角形的性质得出点C与F关于AM对称，连接DF交AM于点P，此时的值最小．
【详解】（Ⅰ）根据勾股定理得AC=；
故答案为5．
（Ⅱ）如图，如图，取格点、，连接与交于点，连接与交于点，则点P即为所求．
说明：构造边长为5的菱形ABEC，连接AE交BC于M，则AM即为所求的的角平分线，在AB上取点F，使AF=AC=5，则AM垂直平分CF，点C与F关于AM对称，连接DF交AM于点P，则点P即为所求．
【点睛】本题考查作图-应用与设计，涉及勾股定理、菱形的判定和性质、几何变换轴对称—最短距离等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用数形结合的思想解决问题．
19. 已知图中的曲线是反比例函数为常数）图象的一支．
（1）这个反比例函数图象的另一支在第几象限？常数的取值范围是什么？
（2）若该函数的图象与正比例函数的图象在第一象限内的交点为，过点作轴的垂线，垂足为，当的面积为4时，求点的坐标及反比例函数的关系式．
【答案】（1）在第三象限，；（2）点的坐标为，
【解析】
【分析】（1）由反比例函数的对称性可得另一支在第三象限即k＞0，由此求得m的取值范围；
（2）设点A的坐标为，，根据的面积为4求得，确定点A的坐标，将点A的坐标代入中求得m-5值.
【详解】（1）这个反比例函数图象的另一支在第三象限，
这个反比例函数的图象分布在第一、第三象限，，解得，
即这个反比例函数图象的另一支在第三象限，常数的取值范围是．
（2）如图，由第一象限内的点在正比例函数的图象上，
设点的坐标为， ，则点的坐标为，，
，，解得（负值舍去），点的坐标为，
又点在反比例函数的图象上，，即，
反比例函数的关系式为．
【点睛】此题考查反比例函数的性质，由图形确定比例系数k的取值范围，根据三角形的面积确定点A的坐标，再用待定系数法求得函数的解析式.
20. 一个不透明的布袋里装有4个大小、质地都相同的乒乓球，球面上分别标有数字1，2，3，4，小明先从布袋中随机摸出一个乒乓球，不放回去，再从剩下的3个球中随机摸出第二个乒乓球．
（1）求小明第一次摸出的乒乓球所标数字是偶数的概率；
（2）请用树状图或列表的方法求两次摸出的乒乓球球面上数字的积为偶数的概率．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）可摸出的4个球中2个是偶数，即可得到概率；
（2）共摸出2次，第一次有4种情况，第二次有3种情况，即可列树状图.
【详解】（1）第一次摸球共有四种结果，分别为：1,2,3,4 其中偶数有两种，
所以（为偶数）．
（2）根据题意画树形图如下：
由以上可知共有12种可能结果分别为：，，，，，，
，，，，，；
在以上12种可能结果中，两个数字之积为偶数的只有10种，
所以（积为偶数）．
【点睛】此题考查概率的确定，（2）中画树状图时注意：此事件是不放回事件，故第一次有4种情况，第二次有3种情况.
21. 如图，四边形中，点在上，连与的延长线交于点．
（1）求证：；
（2）当点是的中点时，过作交于点，若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）2
【解析】
【分析】（1）利用平行线的性质可证明△CDF∽△BGF．
（2）根据点F是BC的中点这一已知条件，可得△CDF≌△BGF，则DF=FG，则EF是中位线，即可解题．
【详解】（1）证明：∵四边形，，
∴，，
∴．
（2）解：由（1），
又是的中点，，
∴，
，，
，为中点，
为中点，
是的中位线，
．
，
．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定定理及性质，全等三角形的判定及线段的等量代换，比较复杂．
22. 如图，在中，，，．以为直径的交于，是的中点，连接并延长交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）求的长．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）连接，，由BC是直径得出，根据是的中点得到，由此证得，即得到是的切线；
（2）利用面积法即可求得.
【详解】（1）证明：如图，连接，，
是的直径，，
又为的中点，，．
，．
，．
即．是的切线；
（2）解：在中，，，，
，．
【点睛】此题考察圆的切线的判定，根据判定定理证得是解题的关键，注意已知条件中有直角时，可以根据边的关系推出所求的角与构成直角的两个角的数量关系，由此得到结果.
23. 商城某种商品平均每天可销售20件，每件盈利30元，为庆元旦，决定进行促销活动，经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设该商品每件降价元，请解答下列问题
（1）用含的代数式表示：
①降价后每售一件盈利 元；
②降价后平均每天售出 件；
（2）在此次促销活动中，商城若要获得最大盈利，每件商品应降价多少元？获得最大盈利多少元？
【答案】（1）①元；②件；（2）降价10元，获得最大盈利为800元
【解析】
分析】（1）①每件降x元得一件盈利（30-x）元；
②降价后平均每天售出件；
（2）设获得最大利润元，可得到y=（30-x），整理即可得到y的最大值
【详解】（1）根据题意，得
①每件降价元后每售一件盈利元；
②降价后平均每天售出件；
（2）设获得最大利润元，根据题意，得
．
当时，有最大值为800．
答：每件商品应降价10元，获得最大盈利为800元．
【点睛】此题考查二次函数的实际运用，掌握商品销售问题中利润=一件利润乘以件数，列得函数解析式后需配方为顶点式形式，即可得到实际问题的答案.
24. 已知中，，、是边上的点，将绕点旋转，得到，连结．
（1）如图1，当，时，求的度数；
（2）如图2，当时，求证：．
（3）如图3，在（2）的结论下，当，与满足怎样的数量关系时，△是等腰直角三角形？（直接写出结论，不必说明理由）
【答案】（1）60º；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）由旋转得，，根据，即可得到的度数；
（2）证明即可推出；
（3）由（2）的条件求得，，根据△是等腰直角三角形得到，再由得到.
【详解】（1）解：绕点旋转得到，
，，
，，
，
，
（2）证明：在和△中，
，
△，
，
，
；
（3）解：，，
，
，
△是等腰直角三角形，
，
由（2），
绕点旋转得到，
，
．
【点睛】此题考查旋转的性质、全等三角形的判定、等腰直角三角形的性质，注意（2）在证明时（1）中的，不能再用，只是任意的度数.
25. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A（﹣4，0）、B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，点D是第三象限的抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点D的横坐标为m，△ACD的面积为S，求出S与m的函数关系式，并确定m为何值时S有最大值，最大值是多少？
（3）若点P是抛物线对称轴上一点，是否存在点P使得∠APC=90°？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=x2+x+3；（2）m为﹣2时S有最大值，最大值是6；（3）P的坐标为（﹣，）或（﹣，）
【解析】
【分析】（1）将点A和点B的坐标代入解析式，利用待定系数法求出函数解析式；
（2）首先求出点C的坐标，然后利用待定系数法求出直线AC的函数解析式，过点D作DE∥y轴，交AC于点E，设出点D和点E的坐标，然后求出DE的长度，根据面积的计算公式得出面积的二次函数解析式，从而得出面积的最大值；
（3）先求出抛物线的对称轴为：，设，然后根据两点距离公式分别求出AC，PC，PA，利用勾股定理得到即可得到，解方程即可得到答案．
【详解】解：（1）将A（﹣4，0）、B（﹣l，0）代入 得：，
解得，
故抛物线的函数解析式为：；
（2）∵抛物线与y轴的交点为C，
∴C（0，3），
设直线AC的解析式为y=mx+n，
代入A（﹣4，0）、C（0，3）得，
解得
∴AC的解析式为；
过D作DE∥y轴，交AC于点E，
设D（m，），则E（m，）（﹣4＜m＜﹣1），
∴
∴，
∴当m=﹣2时，有最大值，最大值为6；
（3）存在点P使得∠APC=90°，理由如下：
∵抛物线解析式为，
∴抛物线的对称轴为：，
设，
∵A（-4，0），C（0，3），
∴，，，
∵∠APC=90°，
∴，
∴，
∴，
解得或，
∴或．
【点睛】本题主要考查的就是二次函数的综合，待定系数法求一次函数解析式，求二次函数解析式，三角形面积，两点距离公式，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．