2019-2020学年天津市南开区九年级上学期数学9月月考试题及答案

这是一份2019-2020学年天津市南开区九年级上学期数学9月月考试题及答案，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【1题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】解：A．不是整式方程，故错误．
B．是一元一次方程，故错误；
C．方程含有两个未知数，故错误；
D．符合一元二次方程的定义，正确．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解答的关键．
2. 如图，是中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【2题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．
【详解】A．不是中心对称图形，故此选项错误；
B．不是中心对称图形，故此选项错误；
C．是中心对称图形，故此选项正确；
D．不是中心对称图形，故此选项错误．
故选C．
【点睛】本题考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的概念．
3. 某学习小组的6名同学在一次数学竞赛中的成绩分别是94分、98分、90分、94分、80分、74分，则下列结论正确的是（ ）
A. 中位数是90分B. 众数是94分
C. 平均分是91分D. 方差是20
【3题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】直接根据平均数、中位数、众数以及方差的计算公式对各选项进行判断．
【详解】解：A、这组数据按从小到大排列为：74、80、90、94、94、98，所以这组数据中位数为92（分），所以A选项错误；
B、这组数据的众数为94（分），所以B选项正确；
C、这组数据的平均分：（94+98+90+94+80+74）＝88.3（分），所以C选项错误；
D、方差＝[（94﹣88）2+（98﹣88）2+（90﹣88）2+（94﹣88）2+（74﹣88）2+（80﹣88）2]≈73，所以D选项错误．
故选B．
【点睛】本题考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]；也考查了平均数，中位数，众数．
如果a、b同号，那么二次函数y=ax2+bx+1的大致图象是（ ）
A. B.
C.
D.
【4题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】分a＞0和a＜0两种情况根据二次函数图象的开口方向、对称轴、与y轴的交点情况分析判断即可得解．
【详解】解：a＞0，b＞0时，抛物线开口向上，对称轴，在y轴左边，与y轴正半轴相交，
a＜0，b＜0时，抛物线开口向下，对称轴，在y轴左边，与y轴正半轴坐标轴相交，
D选项符合．
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数图象，熟练掌握函数图象与系数的关系是解题的关键，注意分情况讨论．
5. 已知二次函数，下列说法正确的是（ ）
A. 开口向上，顶点坐标B. 开口向下，顶点坐标
C. 开口向上，顶点坐标D. 开口向下，顶点坐标
【5题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】抛物线的开口方向由a的正负确定，a＞0时开口向上，a＜0时开口向下，顶点坐标是（h，k），据此判断即可.
【详解】解：∵，其中a=2＞0，
∴抛物线的开口向上，顶点坐标（3,1）.
故选A.
【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是关键.
6. 函数的图象不经过第二象限，则的取值范围是（ ）
A B. C. D.
【6题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定的取值范围，从而求解．
【详解】解：一次函数的图象不经过第二象限，
则可能是经过一三象限或一三四象限，
经过一三象限时，k-2=0；
经过一三四象限时，k-2＜0．
故．
故选A．
【点睛】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与、的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限；时，直线必经过二、四象限；时，直线与轴正半轴相交；时，直线过原点；时，直线与轴负半轴相交．
7. 如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转30°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，则∠A的度数为（ ）
A. 70°B. 75°C. 60°D. 65°
【7题答案】
【答案】B
【解析】
【分析】由旋转的性质知∠AOD=30°，OA=OD，根据等腰三角形的性质及内角和定理可得答案．
【详解】由题意得：∠AOD=30°，OA=OD，∴∠A=∠ADO75°．
故选B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等．②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．③旋转前、后的图形全等是解题的关键．
8. 受国际金融危机影响，市自来水公司号召全市市民节约用水．决定采取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数关系如图所示．若该用户本月用水21吨，则应交水费（ ）
A. 52.5元B. 45元C. 42元D. 37.8元
【8题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】由图象知用水量不超过15吨时水费为27÷15＝1.8元/吨，超过部分为（39.5－27）÷（20－15）＝2.5元/吨．求出函数关系式即可解决问题..
【详解】设直线AB解析式为y=kx+b，把（15，27）（20，39.5）代入得：
，
解之得：
即y=2.5x-10.5，
当x=21时，y=42．
故选C．
【点睛】分段函数首先要搞清楚各段所表示的意义再分别计算．
9. 在函数y＝（a为常数）的图象上有三个点（﹣1，y1），（﹣，y2），（，y3），则函数值y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A. y2＜y1＜y3B. y3＜y2＜y1C. y1＜y2＜y3D. y3＜y1＜y2
【9题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】先根据反比例函数的解析式判断出反比例函数的图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的值判断出y1，y2，y3的大小关系即可．
【详解】∵反比例函数的比例系数为a2+1＞0，∴图象的两个分支在一、三象限，且在每个象限y随x的增大而减小．
∵﹣10，∴点（﹣1，y1），（，y2）在第三象限，∴y2＜y1＜0．
∵0，∴点（，y3）在第一象限，∴y3＞0，∴y2＜y1＜y3．
故选A．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，即反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式．
10. 如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于H，则DH等于（ ）
A. B. C. 5D. 4
【10题答案】
【答案】A
【解析】
【分析】根据菱形性质求出AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，根据勾股定理求出AB，再根据菱形的面积公式求出即可．
【详解】
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝OC，BO＝OD，AC⊥BD，
∵AC＝8，DB＝6，
∴AO＝4，OB＝3，∠AOB＝90°，
由勾股定理得：AB＝＝5，
∵S菱形ABCD＝，
∴，
∴DH＝，
故选：A．
【点睛】本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用，能根据菱形的性质得出S菱形ABCD＝×AC×BD＝AB×DH是解此题的关键．
11. 直线y＝x＋4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，PC＋PD值最小时点P的坐标为（ ）
A. (－3，0)B. (－6，0)C. (－，0)D. (－，0)
【11题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数解析式求出点、的坐标，再由中点坐标公式求出点、的坐标，根据对称的性质找出点关于轴的对称点的坐标，结合点、的坐标求出直线的解析式，令即可求出的值，从而得出点的坐标．
【详解】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时值最小，如图所示．
令中，则，
点的坐标为；
令中，则，解得：，
点的坐标为．
点、分别为线段、的中点，
点，点．
点和点关于轴对称，
点的坐标为．
设直线的解析式为，
直线过点，，
有，解得：，
直线的解析式为．
令中，则，解得：，
点的坐标为，．
故选：D．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，解题的关键是找出点的位置．
12. 如图，在正方形中，，点，分别在、上，，，相交于点，若图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为，则的周长为（ ）
A. B. C. D.
【12题答案】
【答案】D
【解析】
【分析】根据阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，得出阴影部分的面积为6，空白部分的面积为3，进而依据△BCG的面积以及勾股定理，得出BG＋CG的长，进而得出其周长．
【详解】∵阴影部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，
∴阴影部分的面积为×9＝6，
∴空白部分的面积为9−6＝3，
由CE＝DF，BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°，
可得△BCE≌△CDF，
∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为×3＝，∠CBE＝∠DCF，
∵∠DCF＋∠BCG＝90°，
∴∠CBG＋∠BCG＝90°，即∠BGC＝90°，
设BG＝a，CG＝b，则ab＝，
又∵a2＋b2＝32，
∴a2＋2ab＋b2＝9＋6＝15，
即（a＋b）2＝15，
∴a＋b＝，即BG＋CG＝，
∴△BCG的周长＝​＋3，
故选D.
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、勾股定理、完全平方公式的变形求值、以及三角形面积问题．解题时注意数形结合思想与方程思想的应用．
二、填空题
13. 已知函数，当________时，函数随增大而减小.
【13题答案】
【答案】
【解析】
【分析】先求出抛物线的对称轴，再结合开口方向，按照抛物线的增减性判断即可
【详解】解：抛物线的对称轴是直线，
因为抛物线的a=－1，
所以抛物线开口向下，
所以当时，函数y随x 的增大而减小.
故答案为.
【点睛】本题考查了抛物线的性质，属于基础题目，抛物线的增减性要结合抛物线的开口方向和对称轴来判断.
14. 在一个不透明的盒子里装有4个黑球和若干个白球，它们除颜色外完全相同，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球40次，其中10次摸到黑球，则估计盒子中大约有________个白球．
【14题答案】
【答案】12
【解析】
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解．
【详解】解：∵共试验40次，其中有10次摸到黑球，
∴白球所占的比例为：，
设盒子中共有白球x个，则
∴，
解得：x=12，
经检验，x=12是原方程的根，
故答案为12．
【点睛】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据白球的频率得到相应的等量关系．
15. 若x＝0是关于x的一元二次方程（m+2）x2﹣3x+m2﹣4＝0的一个根，则m的值为_____．
【15题答案】
【答案】2
【解析】
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即把0代入方程求解可得m的值．
【详解】把x=0代入方程（m+2）x2﹣3x+m2﹣4=0得到m2﹣4=0，解得：m=±2．
∵m+2≠0，∴m=2．
故答案为2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，属于基础题型．
16. 如图，Rt中，C= 90，以斜边AB为边向外作正方形 ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC=5，OC=6，则另一直角边BC的长为_______．
【16题答案】
【答案】7．
【解析】
【详解】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理．
【分析】如图，过O作OF垂直于BC，再过O作OF⊥BC，过A作AM⊥OF，
∵四边形ABDE为正方形，∴∠AOB=90°，OA=OB．
∴∠AOM+∠BOF=90°．
又∵∠AMO=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°．∴∠BOF=∠OAM．
在△AOM和△BOF中，
∵∠AMO=∠OFB=90°，∠OAM=∠BOF， OA=OB，
∴△AOM≌△BOF（AAS）．∴AM=OF，OM=FB．
又∵∠ACB=∠AMF=∠CFM=90°，∴四边形ACFM为矩形．∴AM=CF，AC=MF=5．
∴OF=CF．∴△OCF为等腰直角三角形．
∵OC=6，∴根据勾股定理得：CF2+OF2=OC2，即2CF2=（6）2，解得：CF=OF=6．
∴FB=OM=OF－FM=6－5=1．∴BC=CF+BF=6+1=7．
17. 如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HE；⑤AB＝HF，其中正确的有_____．
【17题答案】
【答案】①②③④
【解析】
【分析】①根据角平分线的定义可得∠BAE=∠DAE=45°，可得出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AEAB，从而得到AE=AD，然后利用“角角边”证明△ABE和△AHD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DH，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ADE=∠AED=67.5°，根据平角等于180°求出∠CED=67.5°，从而判断出①正确；
②求出∠AHB=67.5°，∠DHO=∠ODH=22.5°，然后根据等角对等边可得OE=OD=OH，判断出②正确；
③求出∠EBH=∠OHD=22.5°，∠AEB=∠HDF=45°，然后利用“角边角”证明△BEH和△HDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BH=HF，判断出③正确；
④根据全等三角形对应边相等可得DF=HE，然后根据HE=AE﹣AH=BC﹣CD，BC﹣CF=BC﹣（CD﹣DF）=2HE，判断出④正确；
⑤判断出△ABH不是等边三角形，从而得到AB≠BH，即AB≠HF，得到⑤错误．
【详解】∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AEAB．
∵ADAB，∴AE=AD．
在△ABE和△AHD中，∵，∴△ABE≌△AHD（AAS），∴BE=DH，∴AB=BE=AH=HD，∴∠ADE=∠AED（180°﹣45°）=67.5°，∴∠CED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠AED=∠CED，故①正确；
∵∠AHB（180°﹣45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB（对顶角相等），∴∠OHE=∠AED，∴OE=OH．
∵∠DOH=90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°﹣45°=22.5°，∴∠DOH=∠ODH，∴OH=OD，∴OE=OD=OH，故②正确；
∵∠EBH=90°﹣67.5°=22.5°，∴∠EBH=∠OHD．
在△BEH和△HDF中，∵，∴△BEH≌△HDF（ASA），∴BH=HF，HE=DF，故③正确；
由上述①、②、③可得CD=BE、DF=EH=CE，CF=CD﹣DF，∴BC﹣CF=（CD+HE）﹣（CD﹣HE）=2HE，所以④正确；
∵AB=AH，∠BAE=45°，∴△ABH不是等边三角形，∴AB≠BH，∴即AB≠HF，故⑤错误；
综上所述：结论正确的是①②③④．
故答案为①②③④．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．
18. 如图，在每个小正方形边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．
（Ⅰ）AC的长度等于_____；
（Ⅱ）在图中有一点P，若连接AP，PB，PC，满足AP平分∠A，且PC=PB，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）_____．
【18题答案】
【答案】 ①. 5 ②. 取格点O、E、F，M，N，作射线AO，连接EF，MN交网格线于H，Q，HQ与射线AO的交点于点P，点P即为所求．.
【解析】
【详解】分析：（Ⅰ）利用勾股定理即可解决问题；
（Ⅱ）取格点O、E、F，M，N，作射线AO，连接EF，MN交网格线于H，Q，HQ与射线AO的交点于点P，点P即为所求．
详解：（1）;
（2）取格点O、E、F，M，N，作射线AO，连接EF，MN交网格线于H，Q，HQ与射线AO的交点于点P，点P即为所求．
故答案为（1）5；（2）取格点O、E、F，M，N，作射线AO，连接EF，MN交网格线于H，Q，HQ与射线AO的交点于点P，点P即为所求．
点睛：本题考查了勾股定理，应用与设计作图，正确找出点P的位置是解答本题的关键.
三、解答题
19. 解下列方程：
（1）x2﹣4x﹣1＝0（配方法）
（2）（x+4）2＝5（x+4）
【19题答案】
【答案】（1）x＝2±；（2）x＝1或x＝﹣4.
【解析】
【分析】（1）根据配方法即可求出答案．
（2）根据因式分解法即可求出答案．
【详解】（1）∵x2﹣4x﹣1=0，∴x2﹣4x=1，∴x2﹣4x+4=5，∴（x﹣2）2=5，∴x=2±；
（2）∵（x+4）2=5（x+4），∴（x+4）2﹣5（x+4）=0，∴（x+4﹣5）（x+4）=0，∴x=1或x=﹣4．
【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．
20. 箱子里有4瓶牛奶，其中有一瓶是过期的．现从这4瓶牛奶中不放回地任意抽取2瓶．
（1）请用树状图或列表法把上述所有等可能的结果表示出来；
（2）求抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率．
【20题答案】
【答案】解：（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）设这四瓶牛奶分别记为A、B、C、D，其中过期牛奶为A，画树状图可得所有等可能结果；
（2）从所有等可能结果中找到抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的结果数，再根据概率公式计算可得．
【详解】解：（1）设这四瓶牛奶分别记为A、B、C、D，其中过期牛奶为A，
画树状图如图所示，

由图可知，共有12种等可能结果；
（2）由树状图知，所抽取的12种等可能结果中，抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的有6种结果，
所以抽出的2瓶牛奶中恰好抽到过期牛奶的概率为 ．
【点睛】此题考查了列表法与树状图法，以及概率公式，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A（﹣3，1）、B（m，3）两点，

（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）写出使一次函数的值大于反比例函数的x的取值范围；
（3）连接AO、BO，求△ABO面积．
【21题答案】
【答案】（1）y=﹣ ，y=x+4；（2）﹣3＜x＜﹣1或x＞0；（3）4.
【解析】
【分析】（1） 设一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为，把代入即可求出反比例函数的解析式， 把代入求出的坐标， 把、的坐标代入求出、，即可求出一次函数的解析式；
（2） 根据、的坐标和图象得出即可；
（3） 求出一次函数和两坐标轴的交点坐标， 再根据三角形的面积公式求出即可 ．
【详解】解： （1） 设一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为，
把代入得：，
即反比例函数的解析式为，
把代入得：，
解得：，
即的坐标为，
把、的坐标代入得：，
解得：，，
即一次函数的解析式为；
（2）函数和的交点为、，
使一次函数的值大于反比例函数的的取值范围是或；
（3）设一次函数和轴的交点为，和轴的交点为，
当时，，当时，，
即，，
、，
的面积为．
【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式， 一次函数和反比例函数的交点问题等知识点， 能够求出函数的解析式是解此题的关键 ．
22. 如图，已知以△ABC的三边为边在BC的同侧作等边△ABD，△BCE，△ACF，请回答下列问题：
（1）四边形ADEF是什么四边形？请说明理由.
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形？
（3）当△ABC满足什么条件时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在？
【22题答案】
【答案】（1）四边形ADEF是平行四边形，理由见解析；（2）∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形；（3）当时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在.
【解析】
【分析】（1）四边形ADEF是平行四边形．根据△ABD，△EBC都是等边三角形容易得到全等条件证明△DBE≌△ABC，然后利用全等三角形的性质和平行四边形的判定可以证明四边形ADEF是平行四边形．
（2）若边形ADEF是矩形，则∠DAF=90°，然后根据周角的性质得到∠BAC=150°．
（3）当∠BAC=60°时，∠DAF=180°，此时D、A、F三点在同一条直线上，以A，D，E，F为顶点的四边形就不存在．
【详解】(1)四边形ADEF是平行四边形.
理由：∵△ABD，△EBC都是等边三角形，
∴AD=BD=AB，BC=BE=EC
∠DBA=∠EBC=60°
∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA.
∴∠DBE=∠ABC.
在△DBE和△ABC中
∵BD=BA
∠DBE=∠ABC
BE=BC，
∴△DBE≌△ABC.
∴DE=AC
又∵△ACF是等边三角形，
∴AC=AF.
∴DE=AF.
同理可证：AD=EF，
∴四边形ADEF平行四边形；
(2)∵四边形ADEF矩形，
∴∠DAF=90°.
∴∠BAC=360°−∠DAF−∠DAB−∠FAC=360°−90°−60°−60°=150°.
∴∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形.
(3)当∠BAC=60°时，以A，D，E，F为顶点的四边形不存在，
理由如下：
若∠BAC=60°,则∠DAF=360°−∠BAC−∠DAB−∠FAC=360°−60°−60°−60°=180°
此时，点A. D. F共线，
∴以A. D. E. F为顶点的四边形不存在.
【点睛】此题考查矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，解题关键在于证明△DBE≌△ABC.
23. 某房地产开发公司计划建A、B两种户型的经济适用住房共80套，该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096元，且所筹资金全部用于建房，两种户型的建房成本和售价如下表：
（1）该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案？
（2）若该公司所建的两种户型住房可全部售出，利用函数的知识说明采取哪一种建房方案获得利润最大？并求出最大利润.
【23题答案】
【答案】（1）有三种建房方案；（2）A型住房建48套，B型住房建32套获得利润最大
【解析】
【分析】（1）设A种户型的住房建x套，则B种户型的住房建（80-x）套，由题中该公司所筹资金不少于2090万元，但不超过2096元可列式25x+28(80−x)≥2090，25x+28(80−x)≤2096求解即可求得x的取值范围，x为非负整数，故可求得建房方案.
（2）设该公司建房获得利润W万元，根据表格中A、B的成本及售价可求得利润=A数量×（A售价-A成本）+B数量×（B售价-B成本），代入数值即可求得x与w的关系式，利用增减性即可求得最大利润.
【详解】解：（1）设A种户型的住房建x套，则B种户型的住房建（80-x）套．
根据题意，得25x+28(80−x)≥2090，25x+28(80−x)≤2096
解得48≤x≤50．
∵x取非负整数
∴x为48，49，50
∴有三种建房方案：
（2）设该公司建房获得利润W万元．
由题意知：W=5x+6（80-x）=480-x，
∵k=-1，W随x的增大而减小
∴当x=48时，即A型住房建48套，B型住房建32套获得利润最大．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组，一次函数的实际应用求最值问题，解题的关键是根据题意准确找到等量关系式来解题.
24. 已知：如图1，在平面直角坐标系中，直线1：y＝﹣x+4与坐标轴分别相交于点A、B与l2：y＝x相交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）若平行于y轴的直线x＝a交于直线1于点E，交直线l2于点D，交x轴于点M，且ED＝2DM，求a的值；
（3）如图2，点P是第四象限内一点，且∠BPO＝135°，连接AP，探究AP与BP之间的位置关系，并证明你的结论．
【24题答案】
【答案】（1）（3，1）；（2）a＝2或6；（3）AP⊥BP，证明见解析.
【解析】
【分析】（1）联立两直线解析式得到方程组，求出方程组的解即可确定出C的坐标；
（2）将x=1代入两直线方程求出对应y的值，确定出D与E的纵坐标，即OD与OE的长，由OE﹣OD求出DE的长，根据ED=2DM，求出MN的长，将x=a代入两直线方程，求出M与N对应的横坐标，相减的绝对值等于MN的长列出关于a的方程，求出方程的解即可求出a的值；
（3）AP⊥BP，理由为：过O作OQ⊥OP，交BP的延长线于点Q，由∠BPO为135°，得到∠OPQ为45°，又∠POQ为直角，可得出三角形OPQ为等腰直角三角形，再利用两对对应边成比例且夹角相等的两三角形相似得到三角形AOP与三角形BOQ相似，由相似三角形的对应角相等得到∠APO=∠BQO=45°，由∠BPO﹣∠APO得到∠APB为直角，即AP⊥BP．
【详解】（1）联立两直线解析式得：，解得：，则C坐标为（3，1）；
（2）由题意：M（a，0）D（a，a） E（a，﹣a+4）．
∵DE=2DM，∴|a﹣（﹣a+4）|=2|a|，解得：a=2或6．
（3）如图2中，过O作OQ⊥OP，交BP的延长线于点Q，可得∠POQ=90°．
∵∠BPO=135°，∴∠OPQ=45°，∴∠Q=∠OPQ=45°，∴△POQ为等腰直角三角形，∴OP=OQ．
∵∠AOB=∠POQ=90°，∴∠AOB+∠BOP=∠POQ+∠POB，即∠AOP=∠BOQ．
∵OA=OB=4，∴，∴△AOP∽△BOQ，∴∠APO=∠BQO=45°，∴∠APB=∠BPO﹣∠APO=90°，则AP⊥BP．
【点睛】本题属于一次函数综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，两直线的交点，一次函数与坐标轴的交点，以及坐标与图形性质，属于中考压轴题．A
B
成本（万元/套）
25
28
售价（万元/套）
30
34
方案①
方案②
方案③
A型
48套
49套
50套
B型
32套
31套
30套