2020-2021学年山东省济南市济阳区八年级下学期期中数学试题及答案

这是一份2020-2021学年山东省济南市济阳区八年级下学期期中数学试题及答案，共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2若a＜b，下列不等式不一定成立的是（ ）
A．a﹣2＜b﹣2B．﹣2a＞﹣2bC．＜D．ac＜bc
3下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A．8（x+y）＝8x+8yB．8a2b3＝2a2•4b3
C．10x2+5x＝5x（2x+1）D．x2+x﹣2＝x（x+1）﹣2
4下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．5，11，12B．6，15，17C．7，24，25D．8，40，41
5如图，在数轴上表示某不等式组中的两个不等式的解集，则该不等式组的解集为（ ）
A．x≥1B．x＞﹣2C．﹣2≤x＜1D．﹣2＜x≤1
6若x2+mx+n分解因式的结果是（x﹣2）（x+1），则m+n的值为（ ）
A．3B．﹣3C．1D．﹣1
7已知线段CD是由线段AB平移得到的，点A（﹣1，2）的对应点为C（3，1），则点B（﹣2，﹣2）的对应点D的坐标为（ ）
A．（7，﹣1）B．（7，﹣3）C．（2，﹣3）D．（2，﹣1）
8如图，△ABC中，BA＝BC，DE是边AB的垂直平分线，分别交BC、AB于点D、E，连接AD，若AD恰好为∠BAC的平分线，则∠B的度数是（ ）
A．30°B．36°C．40°D．50°
9如果x2+kxy+9y2是一个完全平方式，那么k的值为（ ）
A．6B．﹣6C．±6D．18
10对一个实数x按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“判断结果是否大于190？”为一次操作，如果操作恰好进行两次停止，那么x的取值范围是（ ）
A．8＜x≤22B．8≤x＜22C．22＜x≤64D．8＜x≤64
11如图所示，直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝mx+n交于点P（﹣2，3），不等式kx+b≤mx+n的解集是（ ）
A．x＞﹣2B．x≥﹣2C．x＜﹣2D．x≤﹣2
12如图，正方形ABCD中，点E、F分别在线段BC、CD上运动，且满足∠EAF＝45°，AE、AF分别与BD相交于点M、N，下列说法中：①BE+DF＝EF；②点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长；③BE＝2，DF＝3，则S△AEF＝15；④若AB＝6，BM＝3，则MN＝5．其中结论正确的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中的横线上．）
13用适当的符号表示：m的相反数与2的和是非负数： ．
14分解因式：x2﹣9＝ ．
15若x＝2是关于x的不等式2x﹣a＜0的一个解，则a的取值范围为 ．
16现规定一种新运算，a※b＝2a﹣b，其中a、b为常数．已知关于x的不等式k※x≤3的解集在数轴上表示如图，则k的值为 ．
17如图，△ABC绕点A顺时针旋转某个角度得到△ADE．已知∠DAC＝60°，∠BAE＝100°，BC、DE相交于点F，BC、AD相交于点G，则∠DFB的度数为 度．
18如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝100°，边BA绕点B顺时针旋转m°，（0＜m＜180）得到线段BD，连接AD、DC，若△ADC为等腰三角形，则m所有可能的取值是 ．
三、解答题（本大题共9个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19解不等式3x+1＞2（x﹣1），并写出它的负整数解．
20解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
21因式分解：
（1）﹣2ax2+4ax﹣2a；
（2）（2a﹣1）2﹣3（1﹣2a）．
22已知：如图，∠A＝∠D＝90°，点E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．求证：△OEF是等腰三角形．
23光明中学团委组织七年级和八年级共60名学生参加环保活动，七年级学生平均收集15个废弃塑料瓶，八年级学生平均收集20个废弃塑料瓶，为了保证所有收集塑料瓶总数不少于1000个，至少需要多少八年级学生参加活动？
24如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，△ABC的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）将△ABC先向下平移6个单位长度，再向右平移2个单位长度，画出两次平移后的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称，画出△A2B2C2，并写出点B2的坐标；
（3）将△A1B1C1绕某点旋转一定角度可以得到△A2B2C2，则其旋转中心的坐标是 ．
25“五一”假期即将来临，甲、乙两家旅行社为了吸引更多的顾客，分别推出了赴某地旅游的团体（多于4人）优惠办法．甲旅行社的优惠办法是：买4张全票，其余人按半价优惠；乙旅行社的优惠办法是：一律按原价的七五折优惠．已知这两家旅行社的原价均为每人600元．
（1）若团体人数为6人，选择 旅行社更优惠（直接写出“甲”或“乙”）；
（2）设团体有x（x＞4）人，甲、乙两家旅行社的收费分别为y甲，y乙元，请分别写出y甲，y乙与x之间的关系式；
（3）随着团体人数的变化，哪家旅行社的收费更优惠？
26对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式．
（1）图1中大正方形的面积用两种方法可分别表示为 、 ；
（2）你得到的因式分解等式是： ；
（3）观察图2，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以因式分解为 ；
（4）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图3是棱长为（a+b）的正方体，被如图所示的分割线分成8块．
①用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个因式分解的等式，这个等式是： ；
②已知a+b＝5，ab＝2，利用上面的规律求a3+b3的值．
27【问题背景】
如图1，等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，则边BC与边AB的数量关系为BC＝AB．
（1）如图2，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，作AD⊥BC于点D，则得到边BC与边AB的数量关系为 ．
【迁移应用】
（2）如图3，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝120°，D、E、C三点共线，连接BD，
①求证：△ADB≌△AEC．
②求AD、BD、CD之间的数量关系．
【拓展延伸】
（3）如图4，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝6，连接BD并延长，交AC于点F．若∠CBF＝15°，∠BAD＝30°，则四边形AEFD的面积为 ．
参考答案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【考点】中心对称图形．
【专题】平移、旋转与对称；几何直观．
【答案】A
【分析】根据中心对称图形的性质得出图形旋转180°，与原图形能够完全重合的图形是中心对称图形，分别判断得出即可．
【解答】解：A．旋转180°，与原图形能够完全重合是中心对称图形；故此选项符合题意；
B．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项不合题意；
C．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项不合题意；
D．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项不合题意；
故选：A．
2若a＜b，下列不等式不一定成立的是（ ）
A．a﹣2＜b﹣2B．﹣2a＞﹣2bC．＜D．ac＜bc
【考点】不等式的性质．
【专题】一元一次不等式(组)及应用；应用意识．
【答案】D
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【解答】解：A．∵a＜b，
∴a﹣2＜b﹣2，故本选项不符合题意；
B．∵a＜b，
∴﹣2a＞﹣2b，故本选项不符合题意；
C．∵a＜b，
∴＜，故本选项不符合题意；
D．当c≤0时，不能从a＜b推出ac＜bc，故本选项符合题意；
故选：D．
3下列各式由左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）
A．8（x+y）＝8x+8yB．8a2b3＝2a2•4b3
C．10x2+5x＝5x（2x+1）D．x2+x﹣2＝x（x+1）﹣2
【考点】因式分解的意义；因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣十字相乘法等．
【专题】整式；应用意识．
【答案】C
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．从左边到右边的变形是整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B．不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．从左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
D．从左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：C．
4下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ）
A．5，11，12B．6，15，17C．7，24，25D．8，40，41
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；应用意识．
【答案】C
【分析】根据勾股定理的逆定理，可以判断各个选项中的三条线段能否构成直角三角形，本题得以解决．
【解答】解：52+112≠122，故选项A不符合题意；
62+152≠172，故选项B不符合题意；
72+242＝252，故选项C符合题意；
82+402≠412，故选项D不符合题意；
故选：C．
5如图，在数轴上表示某不等式组中的两个不等式的解集，则该不等式组的解集为（ ）
A．x≥1B．x＞﹣2C．﹣2≤x＜1D．﹣2＜x≤1
【考点】解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式(组)及应用；应用意识．
【答案】A
【分析】根据数轴得出答案即可．
【解答】解：从数轴可知：这个不等式组的解集是x≥1，
故选：A．
6若x2+mx+n分解因式的结果是（x﹣2）（x+1），则m+n的值为（ ）
A．3B．﹣3C．1D．﹣1
【考点】因式分解﹣十字相乘法等．
【专题】整式；运算能力．
【答案】B
【分析】先根据多项式乘以多项式法则进行计算，再根据已知条件求出m、n的值，最后求出答案即可．
【解答】解：（x﹣2）（x+1）
＝x2+x﹣2x﹣2
＝x2﹣x﹣2，
∵二次三项式x2+mx+n可分解为（x﹣2）（x+1），
∴m＝﹣1，n＝﹣2，
∴m+n＝﹣1+（﹣2）＝﹣3，
故选：B．
7已知线段CD是由线段AB平移得到的，点A（﹣1，2）的对应点为C（3，1），则点B（﹣2，﹣2）的对应点D的坐标为（ ）
A．（7，﹣1）B．（7，﹣3）C．（2，﹣3）D．（2，﹣1）
【考点】坐标与图形变化﹣平移．
【专题】平面直角坐标系；应用意识．
【答案】C
【分析】先根据点A的对应点C的坐标得出平移的方向和距离，据此利用点的平移规律可得答案．
【解答】解：由点A（﹣1，2）的对应点为C（3，1），
知线段AB向右平移4个单位、向下平移1个单位即可得到CD，
∴点B（﹣2，﹣2）的对应点D的坐标为（﹣2+4，﹣2﹣1），即（2，﹣3），
故选：C．
8如图，△ABC中，BA＝BC，DE是边AB的垂直平分线，分别交BC、AB于点D、E，连接AD，若AD恰好为∠BAC的平分线，则∠B的度数是（ ）
A．30°B．36°C．40°D．50°
【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．
【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．
【答案】B
【分析】设出∠B的度数，然后利用垂直平分线和角平分线的性质表示出∠BAC和∠C的度数，利用三角形内角和定理列出方程求解即可．
【解答】解：设∠B＝x°，
∵DE是边AB的垂直平分线，
∴DB＝DA，
∴∠DAB＝∠B＝x°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD＝2x°，
∵BA＝BC，
∴∠C＝∠BAC＝2x°，
在△ABC中，根据三角形的内角和定理得：x+2x+2x＝180，
解得：x＝36，
∴∠B的度数是36°，
故选：B．
9如果x2+kxy+9y2是一个完全平方式，那么k的值为（ ）
A．6B．﹣6C．±6D．18
【考点】完全平方式．
【专题】计算题．
【答案】C
【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值．
【解答】解：∵x2+kxy+9y2是一个完全平方式，
∴k＝±6，
故选：C．
10对一个实数x按如图所示的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个实数x”到“判断结果是否大于190？”为一次操作，如果操作恰好进行两次停止，那么x的取值范围是（ ）
A．8＜x≤22B．8≤x＜22C．22＜x≤64D．8＜x≤64
【考点】实数的运算；一元一次不等式组的应用．
【专题】一元一次不等式(组)及应用；运算能力．
【答案】C
【分析】由程序运行一次的结果小于等于190、运行两次的结果大于190，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围．
【解答】解：依题意，得：，
解得：22＜x≤64．
故选：C．
11如图所示，直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝mx+n交于点P（﹣2，3），不等式kx+b≤mx+n的解集是（ ）
A．x＞﹣2B．x≥﹣2C．x＜﹣2D．x≤﹣2
【考点】一次函数与一元一次不等式；两条直线相交或平行问题．
【专题】用函数的观点看方程（组）或不等式；几何直观；推理能力．
【答案】D
【分析】观察函数图象，写出直线l1：y＝kx+b不在直线l2：y＝mx+n上方的自变量的取值范围即可．
【解答】解：如图所示，直线l1：y＝kx+b与直线l2：y＝mx+n交于点P（﹣2，3），
所以，不等式kx+b≤mx+n的解集是x≤﹣2，
故选：D．
12如图，正方形ABCD中，点E、F分别在线段BC、CD上运动，且满足∠EAF＝45°，AE、AF分别与BD相交于点M、N，下列说法中：①BE+DF＝EF；②点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长；③BE＝2，DF＝3，则S△AEF＝15；④若AB＝6，BM＝3，则MN＝5．其中结论正确的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；运算能力；应用意识．
【答案】A
【分析】根据旋转的性质得到BH＝DF，AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，得到∠EAH＝∠EAF＝45°，根据全等三角形的性质得到EH＝EF，∠AEB＝∠AEF，于是得到BE+BH＝BE+DF＝EF，故①正确；过A作AG⊥EF于G，根据全等三角形的性质得到AB＝AG，于是得到点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长，故②正确；求出EF＝BE+DF＝5，设BC＝CD＝n，根据勾股定理即可得到S△AEF＝15，故③正确；把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ，再证明△AMQ≌△AMN（SAS），从而得MQ＝MN，再证明∠QBM＝∠ABQ+∠ABM＝90°，设MN＝x，再由勾股定理求出x即可．
【解答】解：如图，把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，
由旋转的性质得，BH＝DF，AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，
∵∠EAF＝45°，
∴∠EAH＝∠BAH+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝90°﹣∠EAF＝45°，
∴∠EAH＝∠EAF＝45°，
在△AEF和△AEH中，
，
∴△AEF≌△AEH（SAS），
∴EH＝EF，
∴∠AEB＝∠AEF，
∴BE+BH＝BE+DF＝EF，故①正确；
过A作AG⊥EF于G，
∴∠AGE＝∠ABE＝90°，
在△ABE与△AGE中，
，
∴△ABE≌△AGE（AAS），
∴AB＝AG，
∴点A到线段EF的距离一定等于正方形的边长；故②正确；
∵BE＝2，DF＝3，
∴EF＝BE+DF＝5，
设BC＝CD＝n，
∴CE＝n﹣2，CF＝n﹣3，
∴EF2＝CE2+CF2，
∴25＝（n﹣2）2+（n﹣3）2，
∴n＝6（负值舍去），
∴AG＝6，
∴S△AEF＝×6×5＝15．故③正确；
如图，把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABQ，连接QM，
由旋转的性质得，BQ＝DN，AQ＝AN，∠BAQ＝∠DAN，∠ADN＝∠ABQ＝45°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠MAQ＝∠BAQ+∠BAE＝∠DAN+∠BAE＝90°﹣∠EAF＝45°，
∴∠MAQ＝∠MAN＝45°，
在△AMQ和△AMN中，
，
∴△AMQ≌△AMN（SAS），
∴MQ＝MN，
∵∠QBM＝∠ABQ+∠ABM＝90°，
∴BQ2+MB2＝MQ2，
∴ND2+MB2＝MN2，
∵AB＝6，
∴BD＝AB＝12，
设MN＝x，则ND＝BD﹣BM﹣MN＝9﹣x，
∴32+（9﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
∴MN＝5，故④正确，
故选：A．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．把答案填在题中的横线上．）
13用适当的符号表示：m的相反数与2的和是非负数： ．
【考点】相反数．
【专题】实数；符号意识．
【答案】﹣m+2≥0．
【分析】根据相反数的定义以及非负数的定义求解即可．
【解答】解：m的相反数与2的和是非负数表示为：﹣m+2≥0．
故答案为：﹣m+2≥0．
14分解因式：x2﹣9＝ ．
【考点】因式分解﹣运用公式法．
【答案】见试题解答内容
【分析】本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．
【解答】解：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．
故答案为：（x+3）（x﹣3）．
15若x＝2是关于x的不等式2x﹣a＜0的一个解，则a的取值范围为 ．
【考点】不等式的解集．
【专题】一元一次不等式(组)及应用；运算能力．
【答案】a＞4．
【分析】解不等式得出x＜，根据2是该不等式的一个解知＞2，解之可得答案．
【解答】解：∵2x﹣a＜0，
∴2x＜a，
∴x＜，
∵x＝2是关于x的不等式2x﹣a＜0的一个解，
∴＞2，
∴a＞4．
故答案为：a＞4．
16现规定一种新运算，a※b＝2a﹣b，其中a、b为常数．已知关于x的不等式k※x≤3的解集在数轴上表示如图，则k的值为 ．
【考点】有理数的混合运算；在数轴上表示不等式的解集．
【专题】实数；一元一次不等式(组)及应用；运算能力．
【答案】1．
【分析】根据k※x≤3得出2k﹣x≤3，求出不等式的解集是x≥﹣3+2k，根据数轴得出﹣3+2k＝﹣1，再求出k即可．
【解答】解：∵k※x≤3，
∴2k﹣x≤3，
∴﹣x≤3﹣2k，
∴x≥﹣3+2k，
从数轴可知：﹣3+2k＝﹣1，
解得：k＝1，
故答案为：1．
17如图，△ABC绕点A顺时针旋转某个角度得到△ADE．已知∠DAC＝60°，∠BAE＝100°，BC、DE相交于点F，BC、AD相交于点G，则∠DFB的度数为 度．
【考点】旋转的性质．
【专题】三角形；平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．
【答案】20．
【分析】由旋转的性质得到∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAE，求出∠BAD，再由三角形的外角性质即可求解．
【解答】解：由旋转的性质得：∠B＝∠D，∠BAC＝∠DAE，
∵∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD，∠CAE＝∠DAE﹣∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵∠DAC＝60°，∠BAE＝100°，
∴∠BAD＝（∠BAE﹣∠DAC）＝（100°﹣60°）＝20°，
∵∠B＝∠D，∠AGF＝∠DFB+∠D＝∠BAD+∠B，
∴∠DFB＝∠BAD＝20°．
故答案为：20．
18如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝100°，边BA绕点B顺时针旋转m°，（0＜m＜180）得到线段BD，连接AD、DC，若△ADC为等腰三角形，则m所有可能的取值是 ．
【考点】旋转的性质．
【答案】见试题解答内容
【分析】由旋转的性质得出BD＝AB＝BC，分三种情况：①当DA＝DC时；②当AD＝AC时；③当CA＝CD时；分别求出m的值即可．
【解答】解：由旋转的性质得：BD＝AB＝BC，
∵△ADC为等腰三角形，
∴分三种情况：
①当DA＝DC时，∠ABD＝∠CBD＝（360°﹣∠ABC）＝130°，
∴m＝130；
②当AD＝AC时，∠ABD＝∠ABC＝100°，
∴m＝100；
③当CA＝CD时，∠CBD＝∠ABC＝100°，
∴∠ABD＝360°﹣100°﹣100°＝160°，
∴m＝160；
综上所述：m所有可能的取值为130或100或160；
故答案为：130或100或160．
三、解答题（本大题共9个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19解不等式3x+1＞2（x﹣1），并写出它的负整数解．
【考点】解一元一次不等式；一元一次不等式的整数解．
【专题】一元一次不等式(组)及应用；运算能力．
【答案】x＞﹣3，﹣1，﹣2．
【分析】不等式去括号，移项合并，把x系数化为1，求出解集，确定出负整数解即可．
【解答】解：3x+1＞2（x﹣1）
去括号得：3x+1＞2x﹣2，
解得：x＞﹣3，
∴它的负整数解为﹣1，﹣2．
20解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
【考点】在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组．
【专题】一元一次不等式(组)及应用；运算能力．
【答案】﹣2≤x＜2．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解①得，x＜2，
解②得，x≥﹣2，
∴原不等式组的解集为﹣2≤x＜2，
将解集表示在数轴上如下：
21因式分解：
（1）﹣2ax2+4ax﹣2a；
（2）（2a﹣1）2﹣3（1﹣2a）．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【专题】整式；运算能力．
【答案】（1）﹣2a（x﹣1）2；
（2）2（2a﹣1）（a+1）．
【分析】（1）提公因式后再利用完全平方公式即可；
（2）变形后提公因式即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣2a（x2﹣2x+1）＝﹣2a（x﹣1）2；
（2）原式＝（2a﹣1）2+3（2a﹣1）＝（2a﹣1）（2a﹣1+3）＝2（2a﹣1）（a+1）．
22已知：如图，∠A＝∠D＝90°，点E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．求证：△OEF是等腰三角形．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【专题】图形的全等；推理能力．
【答案】证明见解析．
【分析】证明Rt△ABF≌Rt△DCE，根据全等三角形的性质得到∠AFB＝∠DEC，根据等腰三角形的判定定理证明结论．
【解答】证明：∵BE＝CF，
∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE，
在Rt△ABF和Rt△DCE中，
，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）
∴∠AFB＝∠DEC，
∴OE＝OF，
∴△OEF是等腰三角形．
23光明中学团委组织七年级和八年级共60名学生参加环保活动，七年级学生平均收集15个废弃塑料瓶，八年级学生平均收集20个废弃塑料瓶，为了保证所有收集塑料瓶总数不少于1000个，至少需要多少八年级学生参加活动？
【考点】一元一次不等式的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】设至少需要x个八年级学生参加活动，则参加活动的七年级学生为（60﹣x）个，由收集塑料瓶总数不少于1000个建立不等式求出其解即可．
【解答】解：设至少需要x个八年级学生参加活动，则参加活动的七年级学生为（60﹣x）个，由题意，得
20x+15（60﹣x）≥1000，
解得：x≥20．
∴至少需要20个八年级学生参加活动．
24如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，△ABC的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：
（1）将△ABC先向下平移6个单位长度，再向右平移2个单位长度，画出两次平移后的△A1B1C1，并写出点B1的坐标；
（2）若△ABC和△A2B2C2关于原点O成中心对称，画出△A2B2C2，并写出点B2的坐标；
（3）将△A1B1C1绕某点旋转一定角度可以得到△A2B2C2，则其旋转中心的坐标是 ．
【考点】作图﹣平移变换；作图﹣旋转变换．
【专题】作图题；几何直观．
【答案】（1）作图见解析部分，B1（﹣3，﹣5）．
（2）作图见解析部分，B2（5，﹣1）．
（3）（1，﹣3）．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
（3）对应点连线的交点即为旋转中心．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作，点B1的坐标（﹣3，5）．
（2）如图，△A2B2C2即为所求作，点B2的坐标（5，﹣1）．
（3）将△A1B1C1绕某点旋转一定角度可以得到△A2B2C2，则其旋转中心P的坐标（1，﹣3）．
故答案为：（1，﹣3）．
25“五一”假期即将来临，甲、乙两家旅行社为了吸引更多的顾客，分别推出了赴某地旅游的团体（多于4人）优惠办法．甲旅行社的优惠办法是：买4张全票，其余人按半价优惠；乙旅行社的优惠办法是：一律按原价的七五折优惠．已知这两家旅行社的原价均为每人600元．
（1）若团体人数为6人，选择 旅行社更优惠（直接写出“甲”或“乙”）；
（2）设团体有x（x＞4）人，甲、乙两家旅行社的收费分别为y甲，y乙元，请分别写出y甲，y乙与x之间的关系式；
（3）随着团体人数的变化，哪家旅行社的收费更优惠？
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；应用意识．
【答案】（1）乙；（2）y甲＝300x+1200（x＞4），y乙＝450x（x＞4）；（3）团体人数小于8人选乙优惠，团体人数等于8人选甲、乙一样优惠，团体人数大于8人选甲优惠．
【分析】（1）根据优惠办法求出选择甲、乙两家旅行社的费用即可判断；
（2）x＞4时，根据甲旅行社的优惠办法，求出y甲的函数关系式，根据乙旅行社的优惠办法写出y乙的函数关系式；
（3）分情况讨论列出不等式，然后求解即可．
【解答】解：（1）若团体人数为6人，选甲：4×600+2×300＝3000（元），
选乙：6×600×0.75＝2700（元）；
故答案为：乙；
（2）y甲＝600×4+600××（x﹣4）＝300x+1200（x＞4）；
y乙＝600×0.75×x＝450x（x＞4）；
（3）①当y甲＞y乙，300x+1200＞450x，
∴x＜8，
∴小于8人选乙；
②当y甲＝y乙，300x+1200＝450x，
∴x＝8，
∴等于8人选甲、乙一样；
③当y甲＜y乙，300x+1200＜450x，
∴x＞8，
∴大于8人选甲．
答：团体人数小于8人选乙优惠，团体人数等于8人选甲、乙一样优惠，团体人数大于8人选甲优惠．
26对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式．
（1）图1中大正方形的面积用两种方法可分别表示为 、 ；
（2）你得到的因式分解等式是： ；
（3）观察图2，可以发现代数式2a2+5ab+2b2可以因式分解为 ；
（4）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图3是棱长为（a+b）的正方体，被如图所示的分割线分成8块．
①用不同方法计算这个正方体体积，就可以得到一个因式分解的等式，这个等式是： ；
②已知a+b＝5，ab＝2，利用上面的规律求a3+b3的值．
【考点】完全平方公式的几何背景；因式分解的应用；认识立体图形．
【专题】推理填空题；几何直观．
【答案】（1）a2+b2+2ab，（a+b）2．
（2）a2+b2+2ab＝（a+b）2．
（3）2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）．
（4）①a3+b3+3a2b+3ab2＝（a+b）3．
②95．
【分析】（1）用两种方法表示同一个图形面积即可．
（2）用两种方法表示同一个图形面积即可．
（3）用两种方法表示同一个图形面积即可．
（4）①用两种方法表示同一个立体图形体积即可．
②将a3+b3用a+b，ab表示即可．
【解答】解：（1）图1中大正方形的面积为：a2+b2+2ab．
又可以表示为：（a+b）2．
故答案为：a2+b2+2ab．（a+b）2．
（2）由题意得：a2+b2+2ab＝（a+b）2．
故答案为：a2+b2+2ab＝（a+b）2．
（3）观察图形2，该图形的面积还可以表示为：（2a+b）（a+2b）
∴2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）．
故答案为：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）．
（4）①正方体的体积可以表示为；（a+b）3，又可以表示为：a3+b3+3a2b+3ab2．
∴a3+b3+3a2b+3ab2＝（a+b）3．
②∵a+b＝5，ab＝2．
∴a3+b3＝（a+b）3﹣3a2b﹣3ab2
＝125﹣3ab（a+b）
＝125﹣30
＝95．
27【问题背景】
如图1，等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，则边BC与边AB的数量关系为BC＝AB．
（1）如图2，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，作AD⊥BC于点D，则得到边BC与边AB的数量关系为 ．
【迁移应用】
（2）如图3，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝120°，D、E、C三点共线，连接BD，
①求证：△ADB≌△AEC．
②求AD、BD、CD之间的数量关系．
【拓展延伸】
（3）如图4，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝6，连接BD并延长，交AC于点F．若∠CBF＝15°，∠BAD＝30°，则四边形AEFD的面积为 ．
【考点】四边形综合题．
【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】（1）BC＝AB，理由见解析过程；
（2）①见解析过程；
②DC＝BD+AD，理由见解析过程；
（3）9+9．
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠B＝∠C＝30°，BD＝CD＝BC，由直角三角形的性质可得AB＝2AD，BD＝AD，可得结论；
（2）①由“SAS”可证△ADB≌△AEC；
②由全等三角形的性质可得BD＝EC，由（1）可知：DE＝AD，即可得结论；
（3）由直角三角形的性质先求出AF，EH的长，再由面积和差关系可求解．
【解答】解：（1）BC＝AB，理由如下：
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，
∴∠B＝∠C＝30°，BD＝CD＝BC，
∴AB＝2AD，BD＝AD，
∴BC＝2AD，
∴BC＝AB；
（2）①∵∠BAC＝∠DAE＝120°，
∴∠DAB＝∠CAE，
在△ADB和△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（SAS）；
②DC＝BD+AD，理由如下：
∵△ADB≌△AEC，
∴BD＝EC，
由（1）可知：DE＝AD，
∵DC＝DE+EC，
∴DC＝BD+AD；
（3）如图4，过点E作EH⊥AC于H，连接EF，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝AC＝6，∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵∠CBF＝15°，
∴∠ABD＝30°，
又∵∠BAD＝30°，
∴∠ABD＝∠BAD，∠DAF＝∠AFD＝60°，
∴AD＝BD，△ADF是等边三角形，
∴AD＝BD＝DF＝AF，
∵∠ABD＝30°，∠BAC＝90°，
∴BA＝AF＝6，
∴AF＝6＝AD＝BD＝DF，
∵∠DAE＝90°，AD＝AE，
∴AE＝6，∠FAE＝30°，
∵EH⊥AC，
∴EH＝AE＝3，
∵四边形AEFD的面积＝S△ADF+S△AEF＝S△BAF+S△AEF＝××6×6+×6×3＝9+9，
故答案为：9+9．