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    2021-2022学年上海市普陀区九年级下学期数学4月月考试题及答案

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    2021-2022学年上海市普陀区九年级下学期数学4月月考试题及答案

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    这是一份2021-2022学年上海市普陀区九年级下学期数学4月月考试题及答案,共24页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
    1. 的平方根是( )
    A. ±3B. 3C. ±9D. 9
    【答案】A
    【解析】
    【分析】先求出的值,再求平方根即可.
    【详解】解:∵,
    9的平方根是±3,
    ∴的平方根是±3,
    故选:A.
    【点睛】本题考查了算术平方根,平方根,熟练掌握相关知识是解题的关键.
    2. 下列运算正确的是( )
    A. B.
    C. D.
    【答案】D
    【解析】
    【分析】分别根据合并同类项法则、积的乘方运算法则、完全平方公式、平方差公式进行判断即可.
    【详解】解:A、x2和x3不是同类项,不能合并,此选项错误;
    B、,此选项错误;
    C、,此选项错误;
    D、,此选项正确,
    故选:D.
    【点睛】本题考查了同类项、积的乘方、完全平方公式、平方差公式,熟记公式,掌握运算法则是解答的关键.
    3. 如果单项式2anb2c是六次单项式,那么n的值取( )
    A. 6B. 5C. 4D. 3
    【答案】D
    【解析】
    【分析】直接利用单项式的次数确定方法得出的值即可.
    【详解】解:单项式是六次单项式,

    解得:,
    故的值取3.
    故选:D.
    【点睛】本题考查了单项式的次数,解题的关键是掌握单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数,根据定义列方程求解.
    4. 甲无人机从地面起飞,乙无人机从距离地面20m高的楼顶起飞,两架无人机同时匀速上升10s.甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y(单位:m)与无人机上升的时间x(单位:s)之间的关系如图所示.下列说法正确的是( )
    A. 5s时,两架无人机都上升了40m
    B. 10s时,两架无人机的高度差为20m
    C. 乙无人机上升的速度为8m/s
    D. 10s时,甲无人机距离地面的高度是60m
    【答案】B
    【解析】
    【分析】根据题意结合图象运用待定系数法分别求出甲、乙两架无人机距离地面的高度y(米)和上升的时间x(分)之间的关系式,进而对各个选项作出判断即可.
    【详解】解:设甲的函数关系式为,把(5,40)代入得:,解得,
    ∴,
    设乙的函数关系式为,把(0,20) ,(5,40)代入得:
    ,解得,
    ∴,
    A、5s时,甲无人机上升了40m,乙无人机上升了20m,不符合题意;
    B、10s时,甲无人机离地面80m,
    乙无人机离地面60m,相差20m,符合题意;
    C、乙无人机上升的速度为m/s,不符合题意;
    D、10s时,甲无人机距离地面的高度是80m.
    故选:B.
    【点睛】本题考查了一次函数的应用,涉及的知识有:待定系数法求一次函数解析式,一次函数的性质,读懂图形中的数据是解本题的关键.
    5. 如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,半径为4,则这个正六边形的边心距OM和 的长分别为( )
    A. 2,B. 2 ,πC. ,D. 2,
    【答案】D
    【解析】
    【详解】解:连接OB,
    ∵OB=4,
    ∴BM=2,
    ∴OM=2,,
    故选D.
    考点:1正多边形和圆;2.弧长的计算.
    6. 下列判断错误的是( )
    A. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
    B. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形
    C. 对角线相等的四边形是矩形
    D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
    【答案】C
    【解析】
    【分析】根据正方形的判定,菱形的判定,平行四边形的判定,矩形的判定,判断即可;
    【详解】解:A.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形,选项正确,不符合题意;
    B.对角线互相垂直平分的四边形是菱形,选项正确,不符合题意;
    C.对角线相等的四边形不一定是矩形,例如:等腰梯形的对角线相等,选项错误,符合题意;
    D.对角线互相平分的四边形是平行四边形,选项正确,不符合题意;
    故选:C.
    【点睛】本题考查了特殊四边形的特征,掌握常见的特殊四边形的特征是解题关键.
    二、填空题(本大题共12小题,共36分)
    7. 分解因式:=______.
    【答案】x(x+2)(x﹣2)
    【解析】
    【分析】先提取公因式,再根据平方差公式分解因式即可.
    【详解】解:
    =
    =x(x+2)(x﹣2).
    故答案为:x(x+2)(x﹣2).
    【点睛】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用,掌握a2-b2=(a+b)(a-b)是解题的关键.
    8. 不等式组的解集是______ .
    【答案】
    【解析】
    【分析】分别解不等式,再求解集的公共部分;
    【详解】解:解不等式得,;
    解不等式得,;
    则不等式组的解集为.
    故答案为:.
    【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解集:几个一元一次不等式解集的公共部分;通常利用数轴来确定.
    9. 在正比例函数中,y的值随着x值的增大而增大,则点在第______象限.
    【答案】一
    【解析】
    【分析】先根据正比例函数中,函数y的值随x值的增大而增大判断出k的符号,求出k的取值范围即可判断出P点所在象限.
    【详解】解:∵正比例函数中,函数y的值随x值的增大而增大,
    ∴k>0,
    ∴点在第一象限.
    故答案为:一.
    【点睛】本题考查的是一次函数图象与系数的关系,正比例函数的性质,根据题意判断出k的符号是解答此题的关键.
    10. 试写出一个二元二次方程,使该方程有一个解是,你写的这个方程是______ 写出一个符合条件的即可.
    【答案】(答案不唯一)
    【解析】
    【分析】二元二次方程指含有两个未知数,含未知数的项的次数最高是2,由此写出一个符合题意的方程即可;
    详解】解:,

    故答案为:(答案不唯一).
    【点睛】本题考查了方程中元和次数概念:在方程中“元”是指未知数的个数;次数是指含有未知数的项(单项式)的最高次数;掌握相关概念是解题关键.
    11. 方程的解是______.
    【答案】
    【解析】
    【分析】利用二次根式有意义的条件:被开方数不能为负;列不等式求解即可;
    【详解】解:,

    解得,,
    故答案为:.
    【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件,掌握二次根式的非负性是解题关键.
    12. 关于x的一元二次方程有实数根,则a的取值范围是______.
    【答案】且a≠-2
    【解析】
    【分析】由方程是一元二次方程得出a+2≠0,再由方程有实数根得出,即可得出结论.
    【详解】解:∵关于x的一元二次方程(a+2)x2-3x+1=0有实数根,
    ∴a+2≠0,,
    ∴且a≠-2,
    故答案为:且a≠-2.
    【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义,根的判别式,利用根的判别式建立不等式是解本题的关键.
    13. 对某次会议所用矿泉水的浪费情况进行调查,会议中每人发一瓶500毫升的矿泉水,会后对所发矿泉水喝的情况进行统计,分为四种情况:
    A全部喝完;B喝剩约;C喝剩约一半;D开瓶但基本未喝.根据统计结果绘制如下两个统计图(不完整),则情况“C”所在扇形的圆心角度数为_______.
    【答案】72°
    【解析】
    【分析】由D的数量除以占的百分比得到调查的总人数,进而求出C占的百分比,乘以360即可得到结果.
    【详解】根据题意得:,
    则情况“C”所在扇形的圆心角度数为72°.
    故答案72°.
    14. 如图,在△ABC中,点D在边AC上,AD=2CD,如果=,=,那么=__.
    【答案】﹣
    【解析】
    【分析】由=,=,利用三角形法则,可求得的长,又由在△ABC中,点D在边AC上,AD=2CD,即可求得的长,再利用三角形法则求解即可求得答案.
    【详解】解:∵=,=,
    ∴=﹣=﹣,
    ∵AD=2CD,
    ∴==(﹣),
    ∴=+=+(﹣)=﹣.
    故答案为:﹣.
    15. 从位男同学和位女同学中任选人参加志愿者活动,所选人中恰好是一位男同学和一位女同学的概率是________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】根据题意画出树状图,由树状图求得所选2人中恰好是一位男同学和一位女同学的情况,再利用概率公式即可求得答案.
    【详解】解:根据题意画树状图:
    ∵共有20种可能的结果,所选2人中恰好是一位男同学和一位女同学的情况有12种,
    ∴所选2人中恰好是一位男同学和一位女同学的概率为:= ,
    故答案为
    【点睛】本题考查的是用画树状图法求概率.画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,树状图法适合两步或两步以上完成的事件.概率=所求情况数与总情况数之比.熟练掌握画树状图、灵活运用求概率的公式是解题关键.
    16. 如图,在已知的△ABC中,按以下步骤作图:
    ①分别以B,C为圆心,以大于的长为半径作弧,两弧相交于两点M,N;
    ②作直线MN交AB于点D,
    连接CD.若CD=AC,∠A=50°,则∠ACB______.
    【答案】105°##105度
    【解析】
    【分析】根据作图可知MN垂直平分BC,由垂直平分线的性质,等腰三角形的性质,三角形内角和180°,进行角度计算即可解答;
    【详解】解:由作图步骤可知MN是BC的垂直平分线,

    ,,


    ,,

    故答案为:105°.
    【点睛】本题考查了:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;等腰三角形等边对等角;三角形内角和定理;掌握相关性质和定理是解题关键.
    17. 新定义:已知三条平行直线, 相邻两条平行线间的距离相等, 我们把三个顺点分别在这样的三条平行 线上的三角形称为格线三角形. 如图, 已知等腰 Rt 为 “格线三角形”, 且 , 那么直线 与直线 的夹角 的余切值为____________.
    【答案】3
    【解析】
    【分析】过点B作BE⊥直线a于点E延长EB交直线c于点F,过点C作CD⊥直线a于点D,则∠ADC=∠AEB=90°,设相邻两条平行线间的距离为d,根据新定义,可得CD=2d,BE=BF=d,再证得△ACD≌△BAE,可得AE=CD=2d,AD=BE=d,从而得到CF=3d,即可求解.
    【详解】解:如图,过点B作BE⊥直线a于点E延长EB交直线c于点F,过点C作CD⊥直线a于点D,则∠ADC=∠AEB=90°,
    设相邻两条平行线间的距离为d,
    ∵三条平行直线, 相邻两条平行线间的距离相等,
    ∴CD=2d,
    ∵BE⊥直线a,a∥c,
    ∴BE⊥直线c,
    ∴BE=BF=d,
    ∵,
    ∴∠CAD+∠BAE=90°,
    ∵∠CAD+∠ACD=90°,
    ∴∠BAE=∠ACD,
    ∵AC=AB,
    ∴△ACD≌△BAE,
    ∴AE=CD=2d,AD=BE=d,
    ∴CF=DE=AE+AD=3d,
    ∴ .
    故答案为:3
    【点睛】本题主要考查了求余切值,全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,做适当辅助线得到全等三角形是解题的关键.
    18. 如图, 已知在 Rt 中, , 将 绕点 逆时针旋转 后得 , 点 落在点 处, 点 落在点 处, 联结 , 作 的平分线 , 交线段 于点 , 交线 段 于点 , 那么 的值为____________.
    【答案】
    【解析】
    【分析】根据题意以C为原点建立平面直角坐标系,过点N作延长交BP于点P,交于点H,轴交于点G,过点D作轴交于点Q,由可设,,,由旋转可得,,,则,,写出点坐标,由角平分线的性质得,即可得出,即可得,故可推出,求出点P坐标,由得,推出,故得,由相似三角形的性质即可得解.
    【详解】
    如图,以C为原点建立平面直角坐标系,过点N作延长交BP于点P,交于点H,轴交于点G,过点D作轴交于点Q,
    ∵,
    ∴设,,,
    由旋转可得:,,,
    ∴,,
    ∴,,,
    ∵AN是平分线,
    ∴,
    ∴,即可得,
    ∴,
    设直线BE的解析式为,
    把,代入得:,
    解得:,
    ∴,
    当时,,
    解得:,
    ∴,
    ∴,
    ∵,,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴,
    ∴.
    故答案为:.
    【点睛】本题考查旋转的性质、正切值、角平分线的性质以、用待定系数法求一次函数及相似三角形的判定与性质,根据题意建立出适当的坐标找线段长度是解题的关键.
    三、解答题(本大题共7小题,共66分)
    19. 计算:
    【答案】
    【解析】
    【分析】根据负整数指数幂;非零数的0次幂等于1;特殊角三角函数值;绝对值的意义;化简求值即可;
    【详解】解:原式


    【点睛】本题考查了实数的混合运算,特殊角三角函数值,负整数指数幂和零指数幂,掌握相关运算规则是解题关键.
    20. 先化简,再求值:,其中;
    【答案】,
    【解析】
    【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除法法则变形,约分得到最简结果,把a的值代入计算即可求出值.
    【详解】解:原式=
    当时,原式;
    【点睛】此题考查了分式的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
    21. 如图,一次函数的图象与反比例函数的图象交于,两点.
    (1)求一次函数和反比例函数的解析式;
    (2)点在轴上,且满足的面积等于4,请直接写出点的坐标.
    【答案】(1),;(2)(1,0)或(3,0)
    【解析】
    【分析】(1)根据点B坐标求出m,得到反比例函数解析式,据此求出点A坐标,再将A,B代入一次函数解析式;
    (2)设点P的坐标为(a,0),求出直线AB与x轴交点,再结合△ABP的面积为4得到关于a的方程,解之即可.
    【详解】解:(1)由题意可得:
    点B(3,-2)在反比例函数图像上,
    ∴,则m=-6,
    ∴反比例函数的解析式为,
    将A(-1,n)代入,
    得:,即A(-1,6),
    将A,B代入一次函数解析式中,得
    ,解得:,
    ∴一次函数解析式为;
    (2)∵点P在x轴上,
    设点P的坐标为(a,0),
    ∵一次函数解析式为,令y=0,则x=2,
    ∴直线AB与x轴交于点(2,0),
    由△ABP的面积为4,可得:
    ,即,
    解得:a=1或a=3,
    ∴点P坐标为(1,0)或(3,0).
    【点睛】本题考查一次函数和反比例函数相交的有关问题;通常先求得反比例函数解析式;较复杂三角形的面积可被x轴或y轴分割为2个三角形的面积和.
    22. 如图,在某海滨城市附近海面有一股台风,据监测,当前台风中心位于该城市的南偏东方向千米的海面处,并以千米时的速度向处的北偏西的方向移动,台风侵袭范围是一个圆形区域,当前半径为千米,且圆的半径以千米时速度不断扩张.
    (1)当台风中心移动小时时,受台风侵袭的圆形区域半径增大到______千米:当台风中心移动小时时,受台风侵袭的圆形区域半径增大到______千米;
    (2)当台风中心移动到与城市距离最近时,这股台风是否侵袭这座海滨城市?请说明理由.参考数据,
    【答案】(1),
    (2)城市不会受到侵袭,见解析
    【解析】
    【分析】(1)根据台风的扩张速度列代数式即可;
    (2)作于点,根据方位角得出,当台风中心移动到H点时离O点最近,解Rt△OHP,求得台风中心移动到H点时的半径即可解答;
    【小问1详解】
    解:由题意可得,
    当台风中心移动小时时,受台风侵袭的圆形区域半径增大到:(千米),
    当台风中心移动小时时,受台风侵袭的圆形区域半径增大到:(千米,
    故答案为:,;
    【小问2详解】
    解:作于点,


    P点在O点南偏东20°,∴OP与南北方向夹角是20°,
    Q点在P点北偏西65°,∴QP与南北方向夹角是65°,
    ∴,
    在等腰直角三角形中,千米,
    根据勾股定理可算得(千米),
    设经过小时时,台风中心从移动到,
    则,
    解得(小时),
    此时,受台风侵袭地区的圆的半径为:
    (千米)(千米).
    城市不会受到侵袭.
    【点睛】本题考查了方位角的计算,解直角三角形,掌握垂线段性质(连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短)是解题关键.
    23. 如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠BCD=90°,BC=DC,点E在对角线BD上,作∠ECF=90°,连接DF,且满足CF=EC.
    (1)求证:BD⊥DF;
    (2)当时,试判断四边形DECF的形状,并说明理由.
    【答案】(1)见解析;
    (2)见解析.
    【解析】
    【分析】(1)由可得,再结合即可证得≌,则,由可得,即可得到,从而可以证得结论;
    (2)由,可得,再结合可证得∽,即可得到,再结合可得四边形是矩形,从而可以作出判断.
    【详解】(1)∵,

    ∵,
    ∴≌,

    ∵,

    ∴,

    ∴;
    (2)四边形是正方形
    ∵,
    ∴,
    ∴,
    ∵∴∽,

    ∵,
    ∴四边形是矩形
    ∵,
    ∴四边形是正方形.
    【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,矩形、正方形的判定,全等三角形的判定和性质是初中数学的重点,贯穿于整个初中数学的学习,是中考中比较常见的知识点,一般难度不大,需熟练掌握.
    24. 如图,在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于两点与轴交于点C,点M是抛物线的顶点,抛物线的对称轴与BC交于点D,与轴交于点E.
    (1)求抛物线的对称轴及B点的坐标
    (2)如果,求抛物线的表达式;
    (3)在(2)的条件下,已知点F是该抛物线对称轴上一点,且在线段的下方,,求点的坐标
    【答案】(1)对称轴是,B(4,0)
    (2)y=
    (3)F( ,)
    【解析】
    【分析】(1)根据二次函数抛物线的性质,可求出对称轴,即可得点的坐标;
    (2)二次函数的轴平行于对称轴,根据平行线分线段成比例用含的代数式表示的长,= ,可表示的纵坐标,然后把的横坐标代入=2−3−4,可得到关于的方程,求出的值,即可得答案;
    (3)先证△BCF∽△BFD,得BF2=BD•BC,则BE2+EF2=BD•BC,可得答案.
    【小问1详解】
    解:∵二次函数=2−3−4,
    ∴对称轴是 ,
    ∵(−1,0),
    ∵1+1.5=2.5,
    ∴1.5+2.5=4,
    ∴(4,0);
    【小问2详解】
    ∵二次函数=2−3−4,在轴上,
    ∴的横坐标是0,纵坐标是−4,
    ∵轴平行于对称轴,
    ∴ ,
    ∴,
    ∵ ,
    ∵=,
    ∵的纵坐标是+
    ∵的横坐标是对称轴,
    ∴ ,
    ∴+=,
    解这个方程组得: ,
    ∴=2−3−4= 2-3×()-4×()=;
    【小问3详解】
    ∵点B(4,0),点C(0,2),点E
    ∴OB=4,OC=2,BE=

    ∵DE∥OC,
    ∵∠BFC=∠BCO=∠BDF,∠CBF=∠CBF,
    ∴△BCF∽△BFD,
    ∴BF2=BD•BC,
    ∴BE2+EF2=BD•BC,
    ∴点F坐标为
    【点睛】本题考查了二次函数的性质、平行线分线段成比例、一元一次方程的解法、一元二次方程方程的解法、相似三角形的判定与性质,做题的关键是相似三角形的判定与性质的灵活运用.
    25. 如图,线段,点是线段延长线上的点,,点是线段延长线上的点,,以为圆心,为半径作扇形,.点是弧上的点,联结、.
    (1)联结交弧于,当时,求的长;
    (2)当以为半径的和以为半径的相切时,求的值;
    (3)当直线经过点,且满足时,求扇形半径长.
    【答案】(1).
    (2)
    (3)扇形的半径长为
    【解析】
    【分析】(1)连接,作于设半径为,由a=2,可求得半径;再由面积法可得BD边上的高OM的长;Rt△OBM中由勾股定理可得BM的长,再由OB=OE即可解答;
    (2)连接与交于点Q,连接PQ、CQ、OC,由求得△COP∽△DOC,∠OCP=∠ODC,由得出∠PCA=∠DCA;由圆周角定理可得CQ⊥MD,从而CQ平分∠DCM,可得C、A、Q三点共线;由PQ是△MDC中位线,PD和CQ交于点A,根据平行线分线段成比例便可解答;
    (3)连接、、,由得,∠OCP=∠ODC; OC=OB,则∠BOP=∠BCP=90°;PC•OA=BC•OP,则△PBO∽△PBC,OB=BC=OC;△BOC是等边三角形,设OB=r,根据OD=OP+PD列方程求解即可;
    【小问1详解】
    解:如图中,
    连接,作于设半径为,



    在中,,,



    在中,,

    ∵,,
    ,.
    【小问2详解】
    解:如图中,
    与相切于点,连接与交于点,连接、、.




    ∽,





    ,,

    、、共线,
    ,,
    PQ∥CD,,
    :::,

    【小问3详解】
    解:如图中,
    连接、、,




    ∽,

    ∵∠D+∠DBO=90°,OC=OB,
    ∴∠OCP+∠OCB=90°,



    ∽,

    ,,
    是等边三角形,
    ,,设,
    在中,,





    扇形的半径长为.
    【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,勾股定理,圆和圆的位置关系,三角形中位线的性质;此题综合性强,难度大,根据相似三角形的判定作出辅助线是解题关键.

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