江西省抚州市黎川县第一中学2023-2024学年八年级上学期期中考试数学试卷(含解析)

这是一份江西省抚州市黎川县第一中学2023-2024学年八年级上学期期中考试数学试卷(含解析)，共17页。
2．请将答案写在答题卡上，否则不给分．
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项）
1. 下列各数中，是无理数的是（ ）
A. B. C. 0D.
【答案】B
解析：解：0，，为有理数，为无理数．
故选：B．
2. 若有意义，则的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
解析：解：∵有意义，
∴，
解得：，则的值可以是
故选：D．
3. 关于一次函数，下列说法正确的是（ ）
A. 图象经过第一、二、三象限B. 图象与x轴交于点
C. 函数值y随自变量x的增大而减小D. 当时，
【答案】A
解析：解：由题意可得，
图象经过第一、二、三象限，故A正确；
函数值y随自变量x的增大而增大，故C错误；
当，可得，解得，
图象与x轴交于点，故B错误；
函数值y随自变量x的增大而增大，
当时，，故D错误，
故选：A．
4. 如图，在中，，，以，为边作正方形，这两个正方形的面积和为（ ）
A. 6B. 36C. 16D. 49
【答案】B
解析：解：设，
由勾股定理得：，
所以这两个正方形的面积和为36．
故选：B．
5. 秦兵马俑的发现被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，下列估算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
解析：解：4＜5＜9，
∴2＜＜3，
∴1＜1＜2，
∴＜＜1，
故选：C．
6. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、、、，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度按逆时针方向沿四边形的边做环绕运动；另一动点Q从点C出发，以每秒3个单位的速度按顺时针方向沿四边形的边做环绕运动，则第2023次相遇点的坐标是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
解析：解：∵点、、、，
∴，，
∴矩形的周长为，
由题意，经过1秒时，P、Q在点处相遇，接下来P、Q两点走的路程和是10的倍数时，两点相遇，相邻两次相遇间隔时间为秒，
∴第二次相遇点是的中点，
第三次相遇点是点，
第四次相遇点是点，
第五次相遇点是点，
第六次相遇点是点，……，
由此发现，每五次相遇点重合一次，
∵，
∴第2023次相遇点的坐标与第三次相遇点的坐标重合，即，
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 化简的结果是_________．
【答案】##
解析：解：，
故答案：．
8. 在平面直角坐标系中，已知点与点关于轴对称，则__________．
【答案】1
解析：解：点与点关于轴对称，
点与点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，
，，
解得，
，
故答案为：．
9. 如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点、的坐标分别为、，则顶点的坐标为________．
【答案】
解析：解：设正方形的边长为，
则由题设条件可知：
解得：
点A的横坐标为：，点A的纵坐标为：
故点A的坐标为．
故答案为：．
10. 如图所示，一次函数（a，b为常数，且）的图象与x轴相交于点，与y轴相交于点．结合图象可知，关于x的方程的解是_________．

【答案】
解析：解：∵一次函数经过，
∴当时，，
∴方程的解是，
故答案为：．
11. 如图，在直角三角形纸片中，，，，沿将纸片折叠，使点落在边上的点处，再折叠纸片，使点与点重合，折痕分别与，交于点，，连接，则的长为______．

【答案】
解析：解：沿将纸片折叠，使点B落在边上的点处，
，，
折叠纸片，使点与点重合，
，，
，
，
，
，
，
设，则，
，
解得，
，
故答案为：．
12. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，四边形是矩形，点、的坐标分别为、，点是的中点，点在边上运动，当是腰长为的等腰三角形时，点的横坐标为_____．

【答案】2##3##8
解析：解：如图，过点作于点，

(1)当时，，，
易得，
∴；
(2)当时，
，，
易得，从而或，
∴或；

(3)当时，，

此时腰长为：，故这种情况不合题意，舍去．
综上，满足题意的点的坐标为， ， ，
∴点横坐标为 ，或．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. 计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）
（1）
解：
；
（2）
解：
．
14. 在平面直角坐标系中，点P的坐标为，
（1）若点P在过点且与y轴平行的直线上时，求m的值；
（2）若点P在第三象限，且点P到x轴的距离为7，求m的值．
【答案】（1）
（2）
（1）
解：点P在过点且与y轴平行的直线上，
，
解得：，
因此m的值为；
（2）
点P在第三象限，且点P到x轴的距离为7，
，
解得：，
因此m的值为．
15. 如图，都是格点，请仅用无刻度直尺在给定网格中画出下列图形，并保留作图痕迹．

（1）在图1中，在y轴上找点M，使得最小；
（2）在图2中的上找一点N，使．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（1）
如图，点M即为所求：
（2）
如图：点N即为所作，

16. 已知直线（）经过点．
（1）求该直线的函数关系式；
（2）求该直线与两坐标轴围成的三角形面积．
【答案】（1）
（2）4
（1）
解∶直线经过点，
，解得，
∴直线的函数关系式为；
（2）
解：在中，令，得；
∴与y轴的交点为，
令，得，解得；
∴与x轴的交点为，
∴该直线与两坐标轴围成的三角形面积为．
17. 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是，求下列问题：

（1）试说明是直角三角形；
（2）求点到的距离．
【答案】（1）见解析 （2）
（1）
解：由图可知：
，，．
是直角三角形
（2）
由（1）可知：，，
点到的距离是．
故答案为
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 如图，直线：与直线：相交于点．
（1）求b，m的值；
（2）垂直于x轴的直线与直线，分别交于点C，D，若线段长为2，求a的值．
【答案】（1）；
（2）或
（1）
解：∵点在直线：上，
∴；
∵点在直线：上，
∴，解得，
∴；．
（2）
解：由题意知，当时，；
当时，．
∵，
∴，
解得：或．
∴a的值为或．
19. 教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c），也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则．

（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理；
（2）如图③，在中，是边上的高，，设，求x的值．
【答案】（1）见解析 （2）
（1）
解：梯形的面积为，
也可以表示为，
∴，
即．
（2）
解：设，
在中，；
在中，；
所以，
解得．
20. 甲超市在端午节这天进行苹果优惠促销活动，苹果的标价为10元，如果一次购买以上的苹果，超过的部分按标价6折售卖．（单位：）表示购买苹果的重量，（单位：元）表示付款金额．
（1）文文购买苹果需付款___________元，购买苹果需付款____________元；
（2）求付款金额关于购买苹果的重量的函数解析式；
（3）当天，隔壁的乙超市也在进行苹果优惠促销活动，同样的苹果的标价也为10元，且全部按标价的8折售卖．文文如果要购买苹果，请问她在哪个超市购买更划算？
【答案】（1）30，46；（2）当时，，当时，；（3）甲超市
解析：（1）由题意：（元）；
（元）；
故答案为：30元，46元；
（2）当时，，
当时，设，将，代入解析式
解得，，
∴，
（3）当时，，，
∵，
∴甲超市比乙超市划算．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 根据下表回答下列问题：
（1）的算术平方根是_________，的平方根是_________；
（2）_________，________；
（3）若的整数部分为m，求的值．
【答案】（1），
（2）171，
（3）
（1）
解：∵，，
∴的算术平方根是，的平方根是；
故答案为：，；
（2）
解：∵，，
∴，，
∴，
；
故答案为：171，；
（3）
解：∵，
∴，
∴的整数部分为，
∴
．
22. 阅读下面材料：
我们知道一次函数（，是常数）的图象是一条直线，到高中学习时，直线通常写成 （，是常数）的形式，点到直线的距离可用公式计算．
例如：求点到直线的距离．
解：∵
∴其中
∴点到直线的距离为：
根据以上材料解答下列问题：
（1）求点到直线的距离；
（2）如图，直线沿轴向上平移2个单位得到另一条直线，求这两条平行直线之间的距离．
【答案】（1）；（2）
解析：解：（1）∵，
∴．
∵点，
∴．
∴点到到直线的距离为；
（2）直线沿轴向上平移2个单位得到另一条直线为，
在直线上任意取一点，
当时，．
∴．
∵直线，
∴
∴，
∴两平行线之间的距离为．
六、解答题（本大题共12分）
23. 我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为62+82＝4×52＝100，所以这个三角形是常态三角形．
（1）若△ABC三边长分别是2，和4，则此三角形 常态三角形（填“是”或“不是”）；
（2）若Rt△ABC是常态三角形，则此三角形的三边长之比为 （请按从小到大排列）；
（3）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，点D为AB的中点，连接CD，若△BCD是常态三角形，求△ABC的面积．
【答案】（1）是；（2）：：；（3）△ABC的面积为或6
解析：解：（1）∵22+42=4×=20，
∴△ABC三边长分别是2，和4，则此三角形是常态三角形．
故答案为：是；
（2）∵Rt△ABC是常态三角形，
∴设两直角边长为：a，b，斜边长为：c，
则a2+b2=c2，a2+c2=4b2，
则2a2=3b2，2c2=5b2
故，，
此三角形的三边长之比为：，
当b2+c2=4a2，同理可得结论
故答案为：；
（3）当CD2+BD2=4×62时，
∵AD=BD=DC，
∴BD=DC=，AB=
在Rt△ABC中根据勾股定理
，
此时，
当CD2+BC2=4×BD2时，
∵AD=BD=DC，
∴BD=DC=，AB=，
在Rt△ABC中根据勾股定理
，
此时，
故△ABC的面积为或．
x
17
17.1
17.2
17.3
17.4
17.5
17.6
17.7
17.8
17.9
18
289
292.41
29584
299.29
302.76
306.25
309.76
313.29
316.84
320.41
324