浙江省嘉兴市2024-2025学年高三上学期9月基础测试数学试题（原卷版+解析版）

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（2024.9）
本试题卷共6页，满分150分，考试时间120分钟.
考生注意：
1.答题前，请务必将自己的姓名､准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸上规定的位置.
2.答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸上的相应位置规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数对应的点和复数对应的点关于实轴对称，则（ ）
A B. C. 5D.
3. 已知向量，若，则（ ）
A. B. C. 0D. 1
4. 嘉兴河流众多，许多河边设有如图所示的护栏，护栏与护栏之间用一条铁链相连.数学中把这种两端固定的一条均匀､柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线（Catenary）.已知函数的部分图象与悬链线类似，则下列说法正确的是（ ）
A. 为奇函数B. 的最大值是
C. 在上单调递增D. 方程有2个实数解
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D. 12
6. 已知四面体的每条棱长都为2，若球与它的每条棱都相切，则球的体积为（ ）
A. B. C. D.
7. 将数字随机填入的正方形格子中，则每一横行､每一竖列以及两条斜对角线上的三个数字之和都相等的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 《测圆海镜》是金元之际李冶所著中国古代数学著作，这是中国古代论述容圆一部专著，也是论述天元术的代表作.天元术与现代数学中列方程的方法基本一致，先立“天元一”为…，相当于“设为…”，再根据问题的已知条件列出两个相等的多项式，最后通过合并同类项得到方程.设，若，则（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 样本数据的下四分位数是17
B. 在比例分配的分层随机抽样中，若第一层的样本量为10，平均值为9，第二层的样本量为20，平均值为12，则所抽样本的平均值为11
C. 若随机变量，则
D. 若随机变量，若，则
10. 已知椭圆的左右焦点分别是，以为直径的圆与在第一象限交于点，延长线段交于点.若，则（ ）
A. B. 的面积为
C. 椭圆的离心率为D. 直线的斜率为
11. 定义在上的函数满足，其值域是.若对于任何满足上述条件的都有，则实数的取值必可以为（ ）
A. B. C. D. 1
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 若，则__________.
13. 已知直线与圆交于两点，写出满足“”的实数的一个值：__________.
14. 在长方体中，，点满足，平面与底面的夹角为，平面与底面的夹角为，当最小时，__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 记的内角所对的边分别为，已知.
（1）求；
（2）若为边上一点，，求.
16. 如图，已知四棱锥的底面是边长为6的正方形，侧面底面，点分别是的中点，点在棱上且.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成的角的正弦值.
17. 已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若存在，使得函数成立，求证：.
参考数据：
18. 已知抛物线的焦点为，点是上的一点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）设点（其中）是上异于两点，的角平分线与轴垂直，为线段的中点.
（i）求证：点在定直线上；
（ii）若的面积为6，求点的坐标.
19. 当，且时，我们把叫做数列的阶子数列，若成等差（等比）数列，则称为数列的阶等差（等比）子数列.已知项数为，且的等差数列的首项，公差.
（1）写出数列的所有3阶等差子数列；
（2）数列中否存在3阶等比子数列，若存在，请至少写出一个；若不存在，请说明理由；
（3）记数列的3阶和4阶等差子数列个数分别为，求证：.