上海市南洋模范中学2024-2025学年高三上学期开学考试数学试卷（原卷版+解析版）

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一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）
1. 已知a，b均为实数，，则___________.
【答案】21
【解析】
【分析】直接由复数的乘法及复数相等求解即可.
【详解】根据可得到，
故，，求得a=3,b=7，
所以.
故答案为：21
2. 的展开式中，常数项为______．
【答案】3
【解析】
【分析】先求出展开式中的通项公式，然后令的指数为0求解.
【详解】由展开式中的通项公式为：，
令，则，
故展开式中的常数项为：，
故答案为：3.
3. 已知平面向量的夹角为，则___________
【答案】
【解析】
【分析】由向量的数量积运算及运算律可求得答案.
【详解】，
所以．
故答案为：.
4. 不等式的解集为________．
【答案】
【解析】
【分析】由于恒成立，所以将解分式不等式问题转化为解一元二次不等式，则答案可得.
【详解】因为，所以恒成立，
所以，
所以，，
所以．
故答案为：.
5. 设，若，则实数的取值集合为__________.
【答案】
【解析】
【分析】化简集合，即可根据分别求解.
【详解】由可得,
由于,故,
因此，
，
，
故实数的取值集合为，
故答案为：
6. 圆的半径的最大值为______.
【答案】##
【解析】
【分析】化为圆的标准方程求出半径，根据a的范围利用抛物线的单调性可得答案.
【详解】由可得，
当表示圆，即解得a的取值范围是，
半径为，
是开口向下对称轴为的抛物线，在单调递增，
在单调递减，所以时最大值为.
故答案为：．
7. 已知，则_________．
【答案】##
【解析】
【分析】利用辅助角公式求出，再利用诱导公式和二倍角公式求解即可．
【详解】，
∴，则，故，
，
故答案为：
8. 已知点为双曲线右支上的一点，点，分别为双曲线的左、右焦点，若M为的内心，且，则双曲线的离心率为________．
【答案】
【解析】
【分析】设出内切圆半径，由三角形面积等式，结合双曲线定义可得关系，进而求出离心率.
【详解】设内切圆半径为，由题意知，
所以，
即，由点为双曲线右支上的一点，
则，
故双曲线的离心率.
故答案为：.
9. 在一座尖塔的正南方向地面某点，测得塔顶的仰角为，又在此尖塔北偏东地面某点，测得塔顶的仰角为，且，两点距离为，在线段上的点处测得塔顶的仰角为最大，则点到塔底的距离为______m.
【答案】
【解析】
【分析】由题意可确定，，设尖塔高为，则，，
在中解三角形即可.
【详解】
如图，尖塔为，设，
则由题意可知，，，
在中，由余弦定理可知，
即，解得，即，，
由线段上的点处测得塔顶的仰角为最大可知，
故，即，
得，
故答案为：
10. 已知是定义在上的奇函数，且，都有，当时，，则函数在区间内所有零点之和为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据函数是奇函数结合得出函数的周期，再应用数形结合转化为零点是函数的交点横坐标，最后应用对称性即可求出零点和.
【详解】奇函数y=fx，对于都有，
，则，即f4+x=fx，
则函数是周期为4的周期函数．且关于直线对称，
作出函数y=fx与的图象知共有5个交点，其横坐标从小到大依次为，
所以，，，，
则，故在内所有的零点之，
故答案为:．
11. 已知函数若存在实数满足，且，则的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【分析】先求出每一段函数的值域，然后由题意得到，根据，可将化简为，构造函数，利用导数求最值即可.
【详解】结合解析式可知当时，；当时，.
因为，所以.
令，得，则，
故.
令，则，
令得；令得，
所以函数上单调递减，在上单调递增，
所以，
当时，，
因为，所以.
所以的取值范围为.
故答案为：
12. 定义：对于函数和数列，若，则称数列具有“函数性质”.已知二次函数图象的最低点为，且，若数列具有“函数性质”，且首项为1的数列满足，记的前项和为，则数列的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】利用二次函数的性质求解析式，再利用数列的递推思想构造等比数列，即可求和，从而用数列的单调性来求出最小值.
【详解】由二次函数最低点为可知：，
又，所以，
则.由题意得，
又由，得，
因为，所以，
即，又，
所以，则，即，
故是以1为首项，2为公比的等比数列，所以.
令.，则，
故当时，，当时，，
故.
故答案为：.
【点睛】方法点睛，根据二次递推，则需要通过构造两边对数，来得到等比数列递推关系.
二、单选题（本大题共4题，满分20分）
13. 某校高一年级个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，抽得个班的比赛得分如下：，则这组数据的分位数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将比赛得分从小到大重新排列，结合百分位数定义求其分位数.
【详解】将比赛得分从小到大重新排列：，
因为，
所以这组数据分位数是第个数93.
故选：A.
14. 已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面，，则（ ）
A. 若∥，，，则∥
B. 若，，，则
C. 若，，则∥
D 若，，∥，则∥
【答案】D
【解析】
【分析】对于A，由题意可得m，n可能平行，也可能异面，即可判断；对于B，由题意可得能有，也可能有∥，也可能平面，相交，即可判断；对于C，由题意可得有可能是∥，也可能，即可判断；对于D，根据线面平行的性质定理即可判断.
【详解】解：对于A，若∥，，，则m，n可能平行，也可能异面，故A错误；
对于B，若，，，则可能有，也可能有∥，也可能平面，相交，故B错误；
对于C，若，，则有可能是∥，也可能，故C错误，
对于D，根据线面平行的性质定理可知若，，∥，则∥，故D正确，
故选：D.
15. 已知函数．若存在，，使得，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意可知，或者，，即可求解.
【详解】由，
因，必有，或者，，
由，，分别得到，．
于是，，或者，，得的最大值为．
故选：D．
16. 在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，又设点与直线上任意一点，称的最小值为点与直线间的“切比雪夫距离”，记作，给定下列两个命题：
①已知点，直线，则；
②定点、，动点满足则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点；下列说法正确的是（ ）
A. 命题①成立，命题②不成立B. 命题①不成立，命题②成立
C. 命题①②都成立D. 命题①②都不成立
【答案】C
【解析】
【分析】对于①，设点是直线上一点，且，可得，
讨论与的大小，可得距离，再由函数的性质，可得最小值；
对于②，根据定义得，再根据对称性进行讨论，求得轨迹方程，即可判断．
【详解】对于①，设点Q是直线上一点，且，可得，
由，解得，即有，
当时，取得最小值；
由，解得或，即有，
的范围是，无最值，
综上可得，P，Q两点的“切比雪夫距离”的最小值为.故①正确；
对于②，定点、，动点，
满足dP,F1-dP,F2=2a(2c>2a>0)，
则：，
显然上述方程所表示的曲线关于原点对称，故不妨设，.
当时，有，得：；
当时，有，此时无解；
当x+c>yx-c则点P的轨迹是如图所示的以原点为中心的两支折线.

结合图像可知，点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点，因此②正确，
故选：C.
【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，
这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以
说“新题”不一定是“难题”，掌握好基础知识，以不变应万变才是制胜法宝.
三、解答题（本大题共5题，满分76分）
17. 如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是AB的中点．
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的正弦值．
【答案】（1）证明过程见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接交于，利用三角形中位线定理，结合线面平行判定定理进行证明即可；
（2）根据（1）的结论，结合异面直线所成角定理、直棱柱的性质、余弦定理、同角的三角函数关系式进行求解即可.
【小问1详解】
连接交于，
在直三棱柱中，所有棱长均为4，
因此四边形是正方形，所以是的中点，而D是AB的中点，
因此有，而平面，平面，
所以平面；
【小问2详解】
由（1）可知：，
因此异面直线与所成角为（或其补角），
因为是正方形，所以，
在直三棱柱中，所有棱长均为4，
因此四边形是正方形，因此有，
在直三棱柱中，侧棱垂直于底面，因此也就垂直底面中任何直线，
因此有，
由余弦定理可知：，
因此.
18. 已知函数是定义在R上的奇函数．
（1）求的解析式；
（2）求当时，函数的值域．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用奇函数定义及性质，列式计算求出a，b作答.
（2）由（1）的结论，求出函数的解析式，结合二次函数求出值域..
小问1详解】
由函数是上的奇函数，则有，解得，即，
，，
即，，解得，经验证得，时，是奇函数，
所以.
【小问2详解】
由（1）知，，
当时，，因此当时，，当时，，
所以所求值域为.
19. 某大学数理教学部为提高学生的身体素质，并加强同学间的交流，特组织以“让心灵沐浴阳光，让快乐充满胸膛”为主题的趣味运动比赛，其中A、B两名学生进入趣味运动比赛的关键阶段，该比赛采取累计得分制，规则如下：每场比赛不存在平局，获胜者得1分，失败者不得分，其中累计得分领先对方2分即可赢得最终胜利，但本次比赛最多进行6场．假设每场比赛中A同学获胜的概率均为，且各场比赛的结果相互独立．
（1）求趣味比赛进行到第2场时比赛就结束的概率；
（2）此次趣味比赛中记比赛停止时已比赛的场数为X，求X的分布列及数学期望．
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】（1）根据独立重复试验的概率公式计算即可；
（2）的取值可能是，分别求出概率，即可写出分布列，根据数学期望的公式计算即可．
【小问1详解】
由题可知，A同学连胜2场或连败2场，则其概率．
【小问2详解】
由题可知，的取值可能是，
由（1）知，，
当时，前2场打平，后两场连胜或连败，
则，
，
所以分布列为：
所以数学期望．
20. 已知椭圆，点、分别为椭圆的左、右焦点.
（1）若椭圆上点满足，求的值；
（2）点为椭圆的右顶点，定点在轴上，若点为椭圆上一动点，当取得最小值时点恰与点重合，求实数的取值范围；
（3）已知为常数，过点且法向量为的直线交椭圆于、两点，若椭圆上存在点满足（），求的最大值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）设点，然后代入椭圆方程，即可求出，再根据椭圆定义求PF1；
（2）设，求出，根据二次函数在给定区间上的最值要求列不等式求解；
（3）设直线的方程为，与椭圆联立，写出韦达定理，再根据求出的坐标，代入椭圆方程，利用韦达定理计算，利用基本不等式求最值.
【小问1详解】
因为，所以设点，
则，所以，即，
所以；
；
【小问2详解】
设，则，，
则，
所以，，
要时取最小值，则必有，
所以；
【小问3详解】
设过点且法向量为的直线的方程为，，
联立，消去得，
则，
则，
，
又，
又点在椭圆上，则，
所以，
即，
所以，
所以，
所以，
即的最大值为.
21. 我们把底数和指数同时含有自变量的函数称为幂指函数，其一般形式为.幂指函数在求导时，可以将函数“指数化”再求导.例如，对于幂指函数，.
（1）已知，，求曲线在处的切线方程；
（2）若且，研究函数的单调性；
（3）已知，，，均大于0，且，讨论和的大小关系.
【答案】（1）
（2）答案见解析 （3）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据幂指函数的求导法则结合导数的几何意义求解即可；
（2）根据幂指函数的求导法则结合导数和函数单调性的联系求解即可；
（3）构造函数，利用函数单调性求解即可.
【小问1详解】
，
故，
，且，
故切线方程为，即
【小问2详解】
，
故
，
设，，
则，
故当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，
即，故在单调递增.
【小问3详解】
设，则，
设，
由在单调递增知，在单调递增.
故当时，，即，
即，
当时，，即，
即.
综上，当时， ；
当时，
【点睛】关键点点睛：本题是导数中的新定义问题，关键是明确幂指函数的求导法则，然后结合函数的单调性比较大小即可.
2
4
6