新疆石河子第一中学2024-2025学年高一上学期9月月考数学试题（解析版）

这是一份新疆石河子第一中学2024-2025学年高一上学期9月月考数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单项选择题：（本大题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 已知全集，集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用列举法表示出集合A，再利用补集、并集的定义求解即得.
【详解】依题意，，而，则，又，
所以.
故选：B
2. 已知全集，集合或，，那么阴影部分表示的集合为（ ）
A. B. C. 或D.
【答案】B
【解析】
【分析】阴影部分表示的集合为，根据补集定义求出，再根据交集定义即可求解.
【详解】因为全集，集合或，
所以，
阴影部分表示的集合为，
故选：.
3. 已知命题，总有，则为（ ）
A. ，使得B. ，使得
C. ，总有D. ，总有
【答案】B
【解析】
【分析】直接写出命题的否定即可.
【详解】因为，总有，则为，使得
故选:B
4. 若，则的一个充分不必要条件为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】选项是的充分不必要条件，则选项的范围是的子集，以此判断选项是否满足条件.
【详解】依题意可知选项是的充分不必要条件，则选项的范围是的子集，
对于选项A，不是的子集，故A不满足；
对于选项B，不是的子集，故B不满足；
对于选项C，不是的子集，故C不满足；
对于选项D，不是的子集，故D满足.
故选：D
5. 设且，则的最大值是（ ）
A. 400B. 100
C. 40D. 20
【答案】A
【解析】
【分析】直接用基本不等式求解即可.
【详解】因为
所以
即
所以
当且仅当且，即时等号成立.
故选：A
6. 已知条件，条件，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，可得由可以推出，但由推不出，从而列式算出实数的取值范围.
【详解】因为是的充分不必要条件，
所以由“”可推出“”，且由“”不能推出“”，
所以，可得.
故选：C.
7. 下列命题中，p是q的充分条件的是（ ）
A. ，B. ，且
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】
利用充分性的概念逐一判断即可.
【详解】解：A：，故p是q的充分条件；
B：且，故p不是q的充分条件；
C：或，故p不是q的充分条件；
D：当时，若，则不能推出，故p不是q的充分条件.
故选：A.
【点睛】本题考查充分性的判断，是基础题.
8. 若，，，则ab的取值范围是（ ）
A. B.
C D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意利用基本不等式可得，以为整体，解一元二次不等式即可.
【详解】因为，，由基本不等式可得，
即，解得或（舍去），即，
当且仅当，即时，等号成立，
故ab的取值范围是．
故选：D．
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由不等式的性质逐个判断即可.
【详解】对于A，由，得，所以，所以，则A正确；
对于B，当时，，则B错误；
对于C，由，得，所以，则C正确；
对于D，当时，，此时，则D错误.
故选：AC
10. 下列说法正确的是（ ）．
A. 的一个必要条件是
B. 若集合中只有一个元素，则
C. “”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件
D. 已知集合，则满足条件的集合N的个数为4
【答案】CD
【解析】
【分析】对于A，举例时不成立，进而由充分条件和必要条件的定义得不是的充分条件，也不是的必要条件；对于B，按和两种情况去探究方程的解即可；对于C，先由一元二次方程有一正一负根得，该不等式组的解即为方程有一正一负根的充要条件；对于D，先由得，再由结合子集个数公式即可得解.
【详解】对于A，当时满足，但不成立，
所以不是的充分条件，不是的必要条件，故A错误；
对于B，当时，方程的解为，
此时集合中只有一个元素，满足题意，
当时，为一元二次方程，
则由集合中只有一个元素得，故，
所以符合题意的有两个，或，故B错误；
对于C，一元二次方程有一正一负根，则，
所以“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件，故C正确；
对于D，因为，所以，
又，故集合N的个数为个，故D正确.
故选：CD.
11. 已知为正实数，，则（ ）
A. 的最大值为B. 的最小值
C. 的最小值为2D. 的最小值为
【答案】ABC
【解析】
【分析】运用可判断A项；由结合基本不等式可判断B项；运用可判断C项；由，结合二次函数在区间上的最小值可判断D.
【详解】，当且仅当时取“=”，故A正确；
，当且仅当时取“=”，故B正确；
由，当且仅当时取“=”，故C正确；
，
当且仅当时取“=”，故D错误；
故选：ABC
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 一元二次不等式的解集为______________________.
【答案】
【解析】
【分析】利用一元二次不等式的解法即可求解.
【详解】由得，
所以的解集为.
故答案为：.
13. 已知，，则范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】首先求出的范围，然后可求出答案.
【详解】因为，，所以，
所以，
故答案为：
14. 设正实数，，满足，则当取得最小值时，的最大值为__________．
【答案】4.
【解析】
【详解】分析：由题意结合均值不等式的结论即可求得最大值，注意等号成立的条件.
详解：由已知得
，
当且仅当，即时等号成立，则
，，
当时，取最大值．
点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知集合．
（1）求；
（2）若是的必要条件，求实数的取值范围．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据交集、并集和补集的定义结合已知条件求解即可；
（2）由，得，从而可列出关于的不等式，进而可求得结果.
【小问1详解】
因为，
所以，，
所以，
【小问2详解】
因为，所以，
因为，
所以，解得．
所以实数a的取值范围是．
16. （1）设a、b为实数，比较与的值的大小.
（2）已知，求的取值范围；
（3）写出集合的所有子集.
【答案】（1）；（2） ；（3）
【解析】
【分析】（1）利用作差法得到，即可比较.
（2）利用待定系数法求出，再由不等式性质得解即可；
（3）化简集合写出子集即可.
【详解】由，
又a、b为实数，，，则，
所以
（2）设，
故，解得，即，
因为，，则，
则，即；
（3）因为，
所以的子集为：.
17. （1）求函数的最大值；
（2）求函数的最小值；
（3）已知，且，求使不等式恒成立的实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）9；（3）
【解析】
【分析】（1）（2）对函数解析式变形，利用基本不等式求解最值；
（3）先常数代换变形，再利用基本不等式求解最值；
【详解】（1）由，得，
因此，
当且仅当，即时取等号，所以原函数的最大值为.
（2）由，得，
因此，
当且仅当，即时取等号，所以原函数的最小值为9.
（3）由，
则．
当且仅当，即时取到最小值16．
若恒成立，则．
18. 2022年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、“拉姆达”变异毒株，尽管我国疫情得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然严峻，日常防护依然不能有丝毫放松．在日常防护中，医用防护用品必不可少，某公司一年购买某种医用防护用品600吨，每次都购买x吨，运费为6万元/次，一年的存储费用为万元.一年的总费用y（万元）包含运费与存储费用.
（1）要使总费用不超过公司年预算260万元，求x的取值范围.
（2）要使总费用最小，求x的值.
【答案】（1）
（2）30
【解析】
【分析】（1）由题得购买货物的次数为，于是依据题目所给的数据即可得一年的总费用y，再由即可求解的取值范围.
（2）先由（1）得一年的总费用y，再直接利用基本不等式即可求出最小时x的值.
【小问1详解】
因为公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，
所以购买货物的次数为，
故，
化简得，解得，
所以x的取值范围为.
【小问2详解】
由（1）可知，
因为，当且仅当即时等号成立，
所以当时，一年的总费用最小，
故x的值为30.
19. 已知集合为非空数集，对于集合，定义对中任意两个不同元素相加得到一个绝对值，将这些绝对值重新组成一个新的集合，对于这一过程，我们定义为“自相加”，重新组成的集合叫做“集合的1次自相加集合”，再次进行次“自相加”操作，组成的集合叫做“集合的次自相加集合”，若集合的任意次自相加集合都不相等，则称集合为“完美自相加集合”，同理，我们可以定义出“的1次自相减集合”，集合的1次自相加集合和1次自相减集合分别可表示为：.
（1）已知有两个集合，集合，集合，判断集合和集合是否是完美自相加集合并说明理由；
（2）对（1）中的集合进行11次自相加操作后，求：集合的11次自相加集合的元素个数；
（3）若且，集合，求：的最小值.
【答案】（1）是完美自相加集合,不是完美自相加集合，理由见解析
（2）2051 （3）675
【解析】
【分析】（1）利用自相加的概念找到一般规律计算即可；
（2）连续的的正整数，自相加后，形成的新的集合元素必然是连续的正整数，且得到集合的最小值必然是原来集合的两个最小元素值之和，得到的最大值为原来集合的两个最大元素值之和，所以只需要计算进行十一次自相加后集合的最大值和最小值即可，计算元素个数；
（2）由第二问的结论，我们很容易得到然后利用集合计算公式计算参数范围即可.
小问1详解】
是完美自相加集合,不是完美自相加集合理由如下：
集合,由此可知集合自相加后，新的集合的元素中最小的元素为自相加之前的集合中的最小两个元素之和，
所以显然集合的最小两个元素为，所以的最小元素为
对集合进行任意次自相加操作后，最小值在变大，
故不可能有相等集合，
所以是完美自相加集合；
集合表示所以奇数构成的集合，任何两个奇数相加都是偶数，
所以，为所有偶数构成集合；
所以对再进行一次自相加操作，所有偶数相加还是会是所有偶数，
故后面集合不管进行多少次相加都是与相同；
故不是完美自相加集合
【小问2详解】
由自相加性质可知，对于集合，进行一次自相加，得到集合的最小值必然是原来集合的两个最小元素值之和，
得到的最大值为原来集合的两个最大元素值之和，且中间必然是连续的整数元素；
所以对集合进行一次自相加之后，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为；
进行第二次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为；
进行第三次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为；
进行第四次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为；
进行第五次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为；
进行第六次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为；
进行第七次自相加，得到集合最小两个元素为，最大的两个元素为；
进行第八次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为；
进行第九次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为；
进行第十次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为；
进行第十一次自相加，得到的集合最小两个元素为，最大的两个元素为；
因为集合元素都是连续的整数，所以集合进行11次自相加操作后的元素个数为.
【小问3详解】
因为且，集合
所以
要使
则，又因为
故的最小值为.
【点睛】此题为新概念题，只需理解概念，解决问题即可，不是特别理解的，可以多列举一些例子，可找到规律.