雅礼中学2024-2025学年高三上学期月考试卷（一）数学试题（原卷及解析版）

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本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页．时量120分钟，满分150分．
第Ⅰ卷
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先解对数函数不等式求出集合A,再根据集合的交集概念运算即可.
【详解】集合,
则.
故选：A.
2. 已知复数满足，且为实数，则（ ）
A. 1B. 2C. D. -2
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的除法及乘法运算得出，再结合复数的类型求参.
【详解】由得，
故为实数时，.
故选：C.
3. 设向量，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. D. 与垂直
【答案】D
【解析】
【分析】根据，逐项判断.
【详解】因为，
所以，，
，
显然不平行，
故选：D.
4. 已知a是函数f(x)＝2x－的零点，若0A f(x0)<0B. f(x0)＝0
C. f(x0)>0D. f(x0)的符号不确定
【答案】A
【解析】
【分析】判断的单调性，因为与均在(0，＋∞)上是增函数，所以，在(0，＋∞)上是增函数，由0【详解】因为函数在(0，＋∞)上是增函数，a是函数的零点，即f(a)＝0，所以当0【点睛】本题属于超越方程的题目，使用数形结合的方法求解，难点在于利用基本初等函数的性质推导出该函数的单调性，属于简单题.
5. 若，，则的值为（ ）
A B. －C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用同角三角函数关系式的应用求出结果.
【详解】已知，，
所以，即，
所以，
所以，
所以.
故选：D.
6. 用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 （ ）
A. 8B. 24C. 48D. 120
【答案】C
【解析】
【详解】解：由题意知本题需要分步计数，
2和4排在末位时，共有种排法，
其余三位数从余下的四个数中任取三个有24种排法，
根据由分步计数原理得到符合题意的偶数共有2×24＝48（个）．
故选：C．
7. 函数的图象如图①所示，则如图②所示的函数图象所对应的函数解析式可能为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据给定的函数图象，由推理排除CD；由①中函数当时，分析判断得解.
【详解】由图①知，，且当时，，由②知，图象过点，且当时，，
对于C，当时，，C不可能；
对于D，当时，，D不可能；
对于A，当时，，而当时，，则，A可能；
对于B，当时，，而当时，，则，B不可能.
故选：A
8. 刍甍是我国传统建筑造型之一，蕴含着丰富的数学元素．安装灯带可以勾勒出建筑轮廓，展现造型之美．如图，某屋顶可视为五面体，四边形和是全等的等腰梯形，和是全等的等腰三角形．若，且等腰梯形所在的面､等腰三角形所在的面与底面所成夹角的正切值均为．若为这个模型的轮廓（即所有的棱）安装灯带（不计损耗），则所需灯带的长度为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设在底面矩形的射影点分别为，设与的中点分别为，过分别作的垂线，垂足点分别为，根据题设得到，从而得到，再利用几何关系，得到，即可求解.
【详解】根据题意及对称性可知底面四边形为矩形，
设在底面矩形的射影点分别为，设与的中点分别为，
则在线段上，如图，过分别作的垂线，垂足点分别为，
连接，
因为面，又，则为等腰梯形所在的面与底面所成夹角，
同理可知为等腰梯形所在的面与底面所成夹角，为等腰三角形所在的面与底面所成夹角，
则，
又，
，
又易知底面矩形，面，所以，
又，面，所以，
又，，
该多面体的所有棱长和为．
故所需灯带的长度为．

故选：C．
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知变量之间的线性回归方程为，且变量之间的一组相关数据如表所示，则下列说法正确的是（ ）
A. 变量之间呈现负相关关系B.
C. 可以预测，当时，约为D. 由表格数据知，该回归直线必过点
【答案】ACD
【解析】
【分析】
根据回归直线斜率知A正确；利用回归直线必过样本中心点可构造方程求得，可知B错误，D正确；将代入回归直线知C正确.
【详解】对于A，由得：，故呈负相关关系，A正确；
对于B，，，
，解得：，B错误；
对于C，当时，，C正确；
对于D，由知：，回归直线必过点，即必过点，D正确.
故选：ACD.
10. 一个矩形的周长为，面积为S，则下列四组数对中，可作为数对的有（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
分析】利用基本不等式计算一一判定即可.
【详解】不妨设矩形长宽分别为，则.
对于A项，显然成立，符合，
对于C项，显然成立，符合，
即A、C正确；
对于B项，显然不成立，
对于D项，显然不成立，即B、D错误.
故选:AC
11. 直线与双曲线交于两点，点位于第一象限，过点作轴的垂线，垂足为，点为双曲线的左焦点，则（ ）
A. 若，则
B. 若，则的面积为4
C.
D. 的最小值为4
【答案】AD
【解析】
【分析】根据已知，结合四边形的形状判断AB；将转化成直线斜率，借助渐近线斜率判断C；由双曲线定义，结合PF1与之间的关系求最值判断D.
【详解】设双曲线右焦点为，由题意可知，四边形为平行四边形，
由双曲线可知：，
对于A，因为，所以，所以四边形为矩形，所以，故A正确；
对于B，据双曲线定义可知：，
若，则四边形为矩形，
则，所以，
即
所以，所以，
所以，故B不正确；
对于C，由双曲线的方程可知，
在中，，
又因为双曲线渐近线方程为：，所以，
所以，即，故C错误；
对于D，
当且仅当时，取到最小值为4，故D正确．
故选：AD．
第Ⅱ卷
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若曲线处的切线平行于直线的坐标是_______.
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：因为，设切点，则又
考点：利用导数求切点
13. 已知抛物线的焦点为F，点A在抛物线C上，若点A到x轴的距离是，则_______.
【答案】
【解析】
【分析】设，计算可得，从而可求的值.
【详解】由抛物线的方程可得，设，则，
则,
故，故，
故答案为：4.
14. 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程，该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲口袋中各装有1个黑球和2个白球，乙口袋中装有2个黑球和1个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n（）次这样的操作，记口袋甲中黑球的个数为，恰有1个黑球的概率为，则的值是________；的数学期望是________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用全概率公式求出；利用期望的计算公式求出有关的递推式，然后构造等比数列求通项即可.
【详解】考虑到乙袋中拿出的球可能是黑的也可能是白的，由全概率公式可得；
记取0，1，2，3的概率分别为，，，，
推导的分布列：
，，，
则
，
则，
故
给合，可知.
故答案为： ;.
四､解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤．
15. 如图，在直三棱柱中，，，，依次为，的中点．

（1）求证：；
（2）求与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）由直棱柱的性质可得平面，则，而，则由线面垂直的判定可得平面，则，而，则平面，再由线面垂直的性质可得结论；
（2）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解.
【小问1详解】
证明：连接，
因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，
又平面，所以，
又，，，平面，所以平面，
又平面，则，
因为在直三棱柱中，，所以四边形为正方形，
所以，
因为，，平面，所以平面，
又平面，则．
【小问2详解】
因为直三棱柱中，，
所以两两垂直，
所以以为原点，分别以所在的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，．
设平面的一个法向量为，则，
令可得．
设与平面所成角为，
所以，
即与平面成角的正弦值为．

16. 已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）在区间和区间上单调递增，在区间和区间上单调递减；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用导数求得的单调区间.
（2）由不等式恒成立，分离参数，结合（1）的结论来求得的取值范围.
【小问1详解】
，定义域为，
则，
所以当或时，；当或时，
即函数在区间和区间上单调递增，
区间和区间上单调递减，
【小问2详解】
由时，不等式恒成立，
可得，
由（1）知，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以的最大值为，所以实数的取值范围为．
17. 已知等比数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在不同的3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）不存在，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）直接赋值，然后建立等式求解即可；
（2）先假设存在，然后计算不同项的值，最后利用等比中项来判断假设是否正确即可.
【小问1详解】
设等比数列的公比为，由题意知：
当时，，①
当时，，②
联立①②，解得，
所以数列的通项公式．
【小问2详解】
由（1）知．
所以，
所以．
设数列中存在3项（其中成等差数列）成等比数列．
则，
所以，即，
又因为成等差数列，
所以，
所以，
化简得，
所以，
又，所以，与已知矛盾，
所以在数列中不存在不同的3项成等比数列．
18. 椭圆的离心率为，短轴长为2，点为椭圆的右顶点．，过点作的两条切线分别与椭圆交于两点（不同于点）．
（1）求椭圆的方程；
（2）当变化时，直线的斜率乘积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；
（3）给定一个，椭圆上的点到直线的距离的最大值为，当变化时，求的最大值，并求出此时的值．
【答案】（1）；
（2）为定值1； （3）当时，的最大值为．
【解析】
【分析】（1）根据离心率和短轴长，即可求
（2）根据点到直线的距离公式可得为方程的两个根，即可利用韦达定理求解，
（3）联立直线与椭圆方程得韦达定理，即可由点斜式求解直线方程，令，得直线过定点，即可根据点点距离，结合二次函数的性质求解有最大值根据两直线垂直即可分类讨论求解.
【小问1详解】
由题意可得，且，解得
故的方程为
【小问2详解】
点，设直线的斜率分别为，
则直线的方程为，
由直线与圆相切知，圆心到直线的距离，
整理得，
同理
则为方程的两个根，
所以，即直线的斜率乘积为定值1．
【小问3详解】
设Ax1,y1,Bx2,y2，由
得，
则，进一步可求得，
同理得，
直线的斜率，
则直线方程为，
令，则，
所以直线过定点（可让无限趋近于0，猜得如果直线过定点，定点一定在轴上）．
设椭圆上任意一点Mx,y，点到点的距离．
当时，有最大值
取，则直线的斜率为，
要使最大，则此时由直线和直线垂直，
可得直线的斜率，
解得．
取，则直线的斜率为，此时由直线和直线垂直可得直线的斜率，解得，舍去．
所以椭圆上存在点，当时，的最大值为．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法
（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.
（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
19. 如图，点，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角（以非负半轴为始边，所在射线为终边的角），我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作叫做复数的三角形式．复数三角形式的乘法公式：．棣莫佛提出了公式：，其中.
（1）已知，求的三角形式；
（2）已知为定值，，将复数化为三角形式；
（3）设复平面上单位圆内接正二十边形的20个顶点对应的复数依次为，求复数所对应不同点的个数．
【答案】（1）；
（2）；
（3）5
【解析】
【分析】（1）根据复数的乘法运算律计算即可；
（2）结合二倍角余弦及正弦公式计算化简即可；
（3）应用正二十边形得出中心角为，再设，再应用复数乘方定义结合周期性，共有5个不同的值.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
.
【小问3详解】
正二十边形每边所对的中心角为，设（为常数），
则，
所以
，
由周期性可知，共有5个不同的值，
故复数所对应不同点的个数为5．
【点睛】关键点点睛：应用正二十边形得出中心角为，再设，再应用复数乘方定义结合周期性，共有5个不同的值.x
6
8
10
12
y
6
m
3
2