鲁教版八年级数学上册专项素养综合练(一)因式分解常用的六种方法课件

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专项素养综合练(一)因式分解常用的六种方法方法一　用提公因式法分解因式1.分解因式:(1)(a+3)(a-7)+21;(2)2(a-b)2+4(b-a);(3)a2(a+2b)-ab(-4b-2a).解析    (1)原式=a2-4a-21+21=a2-4a=a(a-4).(2)原式=2(a-b)2-4(a-b)=2(a-b)(a-b-2).(3)原式=a2(a+2b)+2ab(a+2b)=a(a+2b)(a+2b)=a(a+2b)2.方法二　用公式法分解因式2.分解因式:(1)(x+y)(x-y)-3y2;(2)(a+1)(a-5)+9;(3)(2a+b)(2a-b)+(a+b)(a-b)-(a2+7b2).解析    (1)原式=x2-y2-3y2=x2-4y2=(x+2y)(x-2y).(2)原式=a2-4a-5+9=a2-4a+4=(a-2)2.(3)原式=4a2-b2+a2-b2-a2-7b2=4a2-9b2=(2a+3b)(2a-3b).方法三　用分组分解法分解因式3.(2024甘肃陇南武都期末)常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法,但有的多项式仅用上述其中的一种方法无法分解,例如:x2-4y2-2x+4y,我们细心观察就会发现,前两项可以分解,后两项也可以分解,分别分解后会产生公因式,再通过提公因式就可以完成分解了,具体分解过程如下:x2-4y2-2x+4y=(x2-4y2)-(2x-4y)=(x+2y)(x-2y)-2(x-2y)=(x-2y)(x+2y-2).3.(2024甘肃陇南武都期末)常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法,但有的多项式仅用上述其中的一种方法无法分解,例如:x2-4y2-2x+4y,我们细心观察就会发现,前两项可以分解,后两项也可以分解,分别分解后会产生公因式,再通过提公因式就可以完成分解了,具体分解过程如下:x2-4y2-2x+4y=(x2-4y2)-(2x-4y)=(x+2y)(x-2y)-2(x-2y)=(x-2y)(x+2y-2).这种因式分解的方法叫分组分解法,请利用这种方法对下列多项式进行因式分解:(1)mn2-2mn+2n-4;(2)x2-2xy+y2-16;(3)4x2-4x-y2+4y-3.解析    (1)mn2-2mn+2n-4=(mn2-2mn)+(2n-4)=mn(n-2)+2(n-2)=(n-2)(mn+2).(2)x2-2xy+y2-16=(x2-2xy+y2)-16=(x-y)2-42=(x-y-4)(x-y+4).(3)4x2-4x-y2+4y-3=4x2-4x+1-y2+4y-4=(4x2-4x+1)-(y2-4y+4)=(2x-1)2-(y-2)2=(2x-1-y+2)(2x-1+y-2)=(2x-y+1)(2x+y-3).4.阅读材料:将(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab从右到左使用,即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式:x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).示例:将x2+5x+6分解因式.x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3).请用上述方法分解因式:(1)x2-3x-4;(2)x2-7x+12.方法四　用十字相乘法分解因式解析    (1)x2-3x-4=x2+(1-4)x+1×(-4)=(x+1)(x-4).(2)x2-7x+12=x2+(-3-4)x+(-3)×(-4)=(x-3)(x-4).5.(2024北京东城期末)利用整式的乘法运算法则可得到(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd.我们知道,因式分解是与整式乘法方向相反的变形,利用这种关系可得acx2+(ad+bc)x+bd=(ax+b)(cx+d).通过观察可把acx2+(ad+bc)x+bd看成以x为未知数,a、b、c、d为常数的二次三项式,此种因式分解是把二次三项式中的二次项系数ac与常数项bd分别进行适当的分解来凑一次项的系数,分解过程可形象地表述为“竖乘得首尾,叉乘凑中项”,如图1,这种分解的方法称为十字相乘法.例如,将二次三项式2x2+11x+12的二次项系数2与常数项12分别进行适当的分解,如图2,则2x2+11x+12=(x+4)(2x+3).  图1    图2阅读上述材料解决下列问题:(1)用十字相乘法分解因式:x2+6x-27;(2)用十字相乘法分解因式:6x2-7x-3;(3)结合本题内容分解因式:20(x+y)2+7(x+y)-6.解析    (1)x2+6x-27=(x+9)(x-3).(2)6x2-7x-3=(3x+1)(2x-3).(3)20(x+y)2+7(x+y)-6=[4(x+y)+3][5(x+y)-2]=(4x+4y+3)(5x+5y-2).6.阅读材料:在对某些多项式分解因式时,需要恢复那些被合并或相互抵消的项,即把多项式中的某一项拆成两项或多项,或者在多项式中添上两个仅符号相反的项,前者称为拆项,后者称为添项.例如:x4+4=(x4+4x2+4)-4x2=(x2+2)2-(2x)2=(x2-2x+2)(x2+2x+2).解决下列问题:(1)分解因式:x4+4y4;(2)分解因式:a4+a2b2+b4.方法五　用拆项、添项法分解因式解析    (1)x4+4y4=x4+4x2y2+4y4-4x2y2=(x2+2y2)2-(2xy)2=(x2+2y2+2xy)(x2+2y2-2xy).(2)a4+a2b2+b4=a4+2a2b2+b4-a2b2=(a2+b2)2-(ab)2=(a2+b2+ab)(a2+b2-ab).7.(2022陕西咸阳礼泉期末)我们已经学过分解因式的方法有提公因式法和公式法,其实分解因式的方法还有添项法、拆项法等.①添项法:例如:x3-9x+8=x3+x2-x2-9x+8=(x3-x2)+(x2-9x+8)=x2(x-1)+(x-1)(x-8)=(x-1)(x2+x-8).②拆项法:例如:x2+2x-3=x2+2x+1-4=(x+1)2-22=(x+1-2)(x+1+2)=(x-1)(x+3).仿照以上方法分解因式:(1)x5+x+1;(2)x2-6x+8.解析    (1)x5+x+1=x5-x2+x2+x+1=x2(x3-1)+x2+x+1=x2(x-1)(x2+x+1)+x2+x+1=(x3-x2+1)(x2+x+1).(2)x2-6x+8=x2-6x+9-1=(x-3)2-1=(x-3+1)(x-3-1)=(x-2)(x-4).方法六　用配方法分解因式8.(2023广东广州天河期末)阅读材料:配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和(或差).巧妙运用配方法不仅可以将一个看似不能分解的多项式进行因式分解,还能结合非负数的性质来解决一些问题.例如:x2+2x-3=x2+2x+1-4=(x+1)2-22=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1).(1)请你仿照以上方法分解因式:a2+4ab-5b2;(2)若m2+2n2+6m-4n+11=0,求m+n的值.解析    (1)a2+4ab-5b2=a2+4ab+4b2-9b2=(a+2b)2-(3b)2=(a+2b+3b)(a+2b-3b)=(a+5b)(a-b).(2)∵m2+2n2+6m-4n+11=0,∴m2+6m+9+2n2-4n+2=0.∴(m+3)2+2(n-1)2=0.∵(m+3)2≥0,(n-1)2≥0,∴m+3=0,n-1=0,∴m=-3,n=1,∴m+n=-3+1=-2.