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鲁教版八年级数学上册专项素养综合练(二)利用因式分解解决八种常见问题课件
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这是一份鲁教版八年级数学上册专项素养综合练(二)利用因式分解解决八种常见问题课件，共22页。
专项素养综合练(二)利用因式分解解决八种常见问题1.利用因式分解进行简便计算:(1)29×20.21+72×20.21-20.21;(2)1012+198×101+992;(3) × × ×…× ;(4) + +…+ .类型一 用于简便计算解析 (1)29×20.21+72×20.21-20.21=(29+72-1)×20.21=100×20.21=2 021.(2)1012+198×101+992=1012+2×99×101+992=(101+99)2=2002=40 000.(3) × × ×…× = × × × × × ×…× × = × × × × × ×…× × = .(4) + +…+ = + +…+ =-1-1-1-…-1=-999.类型二 用于化简求值2.(1)利用因式分解计算m +m +m ,其中R1=20,R2=16,R3=12,m=3.14;(2)先因式分解,再求值:(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(7a-8b),其中 a=2,b=1;(3)先因式分解,再求值:1-2x+2y+(x-y)2,其中x=2 025,y=2 024.解析 (1)原式=m( + + ),当R1=20,R2=16,R3=12,m=3.14时,原式=3.14×(202+162+122)=3.14×800=2 512.(2)原式=(7a-8b)(3a-4b+11a-12b)=(7a-8b)·(14a-16b)=2(7a-8b)2,当a=2,b=1时,原式=2×(7×2-8×1)2=2×(14-8)2=2×36=72.(3)原式=(x-y)2-2x+2y+1=(x-y)2-2(x-y)+1=(x-y-1)2,当x=2 025,y=2 024时,原式=(2 025-2 024-1)2=02=0.类型三 用于判断整除3.(2022江苏扬州广陵期中)903-90能被 整除. ( )A.86 B.89 C.92 D.93B解析 ∵903-90=90×(902-1)=90×(90+1)×(90-1)=90×91×89,∴903-90能被89整除.故选B.4.(2022山东枣庄滕州月考)阅读下面的材料:若m2-2mn+2n2-8n+16=0,求m,n的值.解:∵m2-2mn+2n2-8n+16=0,∴(m2-2mn+n2)+(n2-8n+16)=0.∴(m-n)2+(n-4)2=0.∴(m-n)2=0,(n-4)2=0.∴n=4,m=4.根据你的观察,探究下列问题:(1)已知等腰三角形ABC的两边长a,b都是正整数,且满足a2+b2-10a-12b+61=0,求△ABC的周长;(2)已知a-b=6,ab+c2-16c+73=0,求a+b+c的值.类型四 用于求边长解析 (1)∵a2+b2-10a-12b+61=0,∴(a2-10a+25)+(b2-12b+36)=0,即(a-5)2+(b-6)2=0,∴a-5=0,b-6=0,解得a=5,b=6.当5为腰长时,5,5,6能够组成三角形,周长为5+5+6=16;当5为底边长时,5,6,6能够组成三角形,周长为5+6+6=17.故△ABC的周长为16或17.(2)∵a-b=6,∴a=b+6,将a=b+6代入ab+c2-16c+73=0,得b(b+6)+c2-16c+73=0,整理得(b2+6b+9)+(c2-16c+64)=(b+3)2+(c-8)2=0,∴b+3=0,c-8=0,解得b=-3,c=8,∴a=3,则a+b+c=3-3+8=8.5.(2023辽宁丹东东港期末)已知a,b,c是△ABC的三边长,且满 足(a+b+c)2=3a2+3b2+3c2,则△ABC的形状为 ( )A.直角三角形 B.等腰三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形类型五 用于判断三角形的形状C 解析 ∵(a+b+c)2=3a2+3b2+3c2,∴2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc.∴2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0.∴(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0.∴a-b=0,b-c=0,a-c=0.∴a=b=c.∴△ABC为等边三角形.故选C.6.(2024山东东营垦利期中)若a,b,c为△ABC的三边长,且满足 b(a-b)-c(b-a)=0,试判断△ABC的形状,并说明理由.解析 △ABC是等腰三角形,理由如下:∵b(a-b)-c(b-a)=0,∴b(a-b)+c(a-b)=0,∴(a-b)(b+c)=0,∵a,b,c是△ABC的三边长,∴b+c>0,∴a-b=0,∴a=b,∴△ABC是等腰三角形.7.已知P=2x2+4y+13,Q=x2-y2+6x-1,请比较P,Q的大小.类型六 用于比较大小解析 P-Q=2x2+4y+13-(x2-y2+6x-1)=x2-6x+9+y2+4y+4+1=(x-3)2+(y+2)2+1>0,∴P>Q.8.书中这样写道:“我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做 完全平方式”,如果一个多项式不是完全平方式,那么我们常 进行如下变形:先添加一个适当的项,使式子中出现完全平方 式,再减去这个项,使整个式子的值不变,这种方法叫做配方 法,能解决判断代数式的正负或求代数式的最大值、最小值 等问题.例如:分解因式:x2+2x-3.解:原式=(x2+2x+1)-4=(x+1)2-22=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1).例如:求代数式2x2+4x-1的最小值.类型七 用于判断正负解:原式=2(x2+2x+1-1)-1=2(x+1)2-3,可知当x=-1时,2x2+4x-1有 最小值,最小值是-3.根据上述信息,解答下列问题:(1)分解因式:a2-2a-3= .(2)试说明:x,y取任意实数时,多项式x2+y2-4x+2y+6的值总为正 数.(3)当m,n为何值时,多项式m2-2mn+2n2-4n+1有最小值?请求出 这个最小值.(a-3)(a+1)解析 (1)a2-2a-3=a2-2a+1-4=(a-1)2-4=(a-1-2)(a-1+2)=(a-3)(a+1).故答案为(a-3)(a+1).(2)x2+y2-4x+2y+6=x2-4x+4+y2+2y+1+1=(x-2)2+(y+1)2+1,∵(x-2)2≥0,(y+1)2≥0,∴(x-2)2+(y+1)2+1≥1,∴x,y取任意实数时,多项式x2+y2-4x+2y+6的值总为正数.(3)m2-2mn+2n2-4n+1=m2-2mn+n2+n2-4n+4-3=(m-n)2+(n-2)2-3,当n-2=0,m-n=0时,多项式有最小值,此时m=2,n=2,多项式的最小值为-3.9.(2024江苏南通如皋期末)认真观察下面这些算式:①32-12=8=8×1,②52-32=16=8×2,③72-52=24=8×3,④92-72=32=8×4,……完成下列问题:(1)照上面的规律,算式⑤为 ;类型八 用于探究规律8×5(2)上述算式的规律可以用文字概括为“两个连续奇数的平方差能被8整除”,若设算式中的前一个奇数为2n+1(n≥1,且 n为正整数),请用含n的式子表示这个规律,并证明;(3)请直接判断“两个连续偶数的平方差能被8整除”是否 正确.解析 (1)观察规律,可得⑤112-92=40=8×5,故答案为112-92=40=8×5.(2)这个规律为(2n+1)2-(2n-1)2=8n,证明:(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n×2=8n.(3)“两个连续偶数的平方差能被8整除”不正确.理由如下:设两个连续偶数为2n,2n+2,n为整数.∵(2n+2)2-(2n)2=(2n+2-2n)(2n+2+2n)=2(4n+2)=4(2n+1),∴两个连续偶数的平方差能被4整除,而不能被8整除,∴“两个连续偶数的平方差能被8整除”不正确.
专项素养综合练(二)利用因式分解解决八种常见问题1.利用因式分解进行简便计算:(1)29×20.21+72×20.21-20.21;(2)1012+198×101+992;(3) × × ×…× ;(4) + +…+ .类型一 用于简便计算解析 (1)29×20.21+72×20.21-20.21=(29+72-1)×20.21=100×20.21=2 021.(2)1012+198×101+992=1012+2×99×101+992=(101+99)2=2002=40 000.(3) × × ×…× = × × × × × ×…× × = × × × × × ×…× × = .(4) + +…+ = + +…+ =-1-1-1-…-1=-999.类型二 用于化简求值2.(1)利用因式分解计算m +m +m ,其中R1=20,R2=16,R3=12,m=3.14;(2)先因式分解,再求值:(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(7a-8b),其中 a=2,b=1;(3)先因式分解,再求值:1-2x+2y+(x-y)2,其中x=2 025,y=2 024.解析 (1)原式=m( + + ),当R1=20,R2=16,R3=12,m=3.14时,原式=3.14×(202+162+122)=3.14×800=2 512.(2)原式=(7a-8b)(3a-4b+11a-12b)=(7a-8b)·(14a-16b)=2(7a-8b)2,当a=2,b=1时,原式=2×(7×2-8×1)2=2×(14-8)2=2×36=72.(3)原式=(x-y)2-2x+2y+1=(x-y)2-2(x-y)+1=(x-y-1)2,当x=2 025,y=2 024时,原式=(2 025-2 024-1)2=02=0.类型三 用于判断整除3.(2022江苏扬州广陵期中)903-90能被 整除. ( )A.86 B.89 C.92 D.93B解析 ∵903-90=90×(902-1)=90×(90+1)×(90-1)=90×91×89,∴903-90能被89整除.故选B.4.(2022山东枣庄滕州月考)阅读下面的材料:若m2-2mn+2n2-8n+16=0,求m,n的值.解:∵m2-2mn+2n2-8n+16=0,∴(m2-2mn+n2)+(n2-8n+16)=0.∴(m-n)2+(n-4)2=0.∴(m-n)2=0,(n-4)2=0.∴n=4,m=4.根据你的观察,探究下列问题:(1)已知等腰三角形ABC的两边长a,b都是正整数,且满足a2+b2-10a-12b+61=0,求△ABC的周长;(2)已知a-b=6,ab+c2-16c+73=0,求a+b+c的值.类型四 用于求边长解析 (1)∵a2+b2-10a-12b+61=0,∴(a2-10a+25)+(b2-12b+36)=0,即(a-5)2+(b-6)2=0,∴a-5=0,b-6=0,解得a=5,b=6.当5为腰长时,5,5,6能够组成三角形,周长为5+5+6=16;当5为底边长时,5,6,6能够组成三角形,周长为5+6+6=17.故△ABC的周长为16或17.(2)∵a-b=6,∴a=b+6,将a=b+6代入ab+c2-16c+73=0,得b(b+6)+c2-16c+73=0,整理得(b2+6b+9)+(c2-16c+64)=(b+3)2+(c-8)2=0,∴b+3=0,c-8=0,解得b=-3,c=8,∴a=3,则a+b+c=3-3+8=8.5.(2023辽宁丹东东港期末)已知a,b,c是△ABC的三边长,且满 足(a+b+c)2=3a2+3b2+3c2,则△ABC的形状为 ( )A.直角三角形 B.等腰三角形C.等边三角形 D.等腰直角三角形类型五 用于判断三角形的形状C 解析 ∵(a+b+c)2=3a2+3b2+3c2,∴2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc.∴2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc=0.∴(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0.∴a-b=0,b-c=0,a-c=0.∴a=b=c.∴△ABC为等边三角形.故选C.6.(2024山东东营垦利期中)若a,b,c为△ABC的三边长,且满足 b(a-b)-c(b-a)=0,试判断△ABC的形状,并说明理由.解析 △ABC是等腰三角形,理由如下:∵b(a-b)-c(b-a)=0,∴b(a-b)+c(a-b)=0,∴(a-b)(b+c)=0,∵a,b,c是△ABC的三边长,∴b+c>0,∴a-b=0,∴a=b,∴△ABC是等腰三角形.7.已知P=2x2+4y+13,Q=x2-y2+6x-1,请比较P,Q的大小.类型六 用于比较大小解析 P-Q=2x2+4y+13-(x2-y2+6x-1)=x2-6x+9+y2+4y+4+1=(x-3)2+(y+2)2+1>0,∴P>Q.8.书中这样写道:“我们把多项式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做 完全平方式”,如果一个多项式不是完全平方式,那么我们常 进行如下变形:先添加一个适当的项,使式子中出现完全平方 式,再减去这个项,使整个式子的值不变,这种方法叫做配方 法,能解决判断代数式的正负或求代数式的最大值、最小值 等问题.例如:分解因式:x2+2x-3.解:原式=(x2+2x+1)-4=(x+1)2-22=(x+1+2)(x+1-2)=(x+3)(x-1).例如:求代数式2x2+4x-1的最小值.类型七 用于判断正负解:原式=2(x2+2x+1-1)-1=2(x+1)2-3,可知当x=-1时,2x2+4x-1有 最小值,最小值是-3.根据上述信息,解答下列问题:(1)分解因式:a2-2a-3= .(2)试说明:x,y取任意实数时,多项式x2+y2-4x+2y+6的值总为正 数.(3)当m,n为何值时,多项式m2-2mn+2n2-4n+1有最小值?请求出 这个最小值.(a-3)(a+1)解析 (1)a2-2a-3=a2-2a+1-4=(a-1)2-4=(a-1-2)(a-1+2)=(a-3)(a+1).故答案为(a-3)(a+1).(2)x2+y2-4x+2y+6=x2-4x+4+y2+2y+1+1=(x-2)2+(y+1)2+1,∵(x-2)2≥0,(y+1)2≥0,∴(x-2)2+(y+1)2+1≥1,∴x,y取任意实数时,多项式x2+y2-4x+2y+6的值总为正数.(3)m2-2mn+2n2-4n+1=m2-2mn+n2+n2-4n+4-3=(m-n)2+(n-2)2-3,当n-2=0,m-n=0时,多项式有最小值,此时m=2,n=2,多项式的最小值为-3.9.(2024江苏南通如皋期末)认真观察下面这些算式:①32-12=8=8×1,②52-32=16=8×2,③72-52=24=8×3,④92-72=32=8×4,……完成下列问题:(1)照上面的规律,算式⑤为 ;类型八 用于探究规律8×5(2)上述算式的规律可以用文字概括为“两个连续奇数的平方差能被8整除”,若设算式中的前一个奇数为2n+1(n≥1,且 n为正整数),请用含n的式子表示这个规律,并证明;(3)请直接判断“两个连续偶数的平方差能被8整除”是否 正确.解析 (1)观察规律,可得⑤112-92=40=8×5,故答案为112-92=40=8×5.(2)这个规律为(2n+1)2-(2n-1)2=8n,证明:(2n+1)2-(2n-1)2=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n×2=8n.(3)“两个连续偶数的平方差能被8整除”不正确.理由如下:设两个连续偶数为2n,2n+2,n为整数.∵(2n+2)2-(2n)2=(2n+2-2n)(2n+2+2n)=2(4n+2)=4(2n+1),∴两个连续偶数的平方差能被4整除,而不能被8整除,∴“两个连续偶数的平方差能被8整除”不正确.
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