初中苏科版（2024）2.1 圆练习

这是一份初中苏科版（2024）2.1 圆练习，共42页。

【方法1】作半径,通过勾股定理求值
【方法2】作弦心距、连半径，通过勾股定理求值
【方法3】作半径，通过圆周角定理或四点共圆求值
【方法4】遇到直径或半圆时，构造直角三角形求值
【方法5】遇到切线时，过切点作半径构造直角三角形
【方法6】遇到圆上四点时，构造圆内接四边形
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】作半径,通过勾股定理求线段长
【例1】（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，已知，经过圆心，且分别垂直弦，于点，点．
（1）求证：；
（2）若，求圆的半径长．

【变式1】（22-23九年级上·内蒙古通辽·阶段练习）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是中弦的中点，经过圆心O交于点D，并且，，则的半径长为（ ）

A．B．C．D．
【变式2】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，的半径为5，为弦，半径，垂足为点，若，则的长是（ ）

A．4B．6C．8D．10
【变式3】（22-23九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，为的弦，半径于点C．若，，则的半径长为 ．
【变式4】（22-23九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，是的直径，为的一条弦，于点E，已知，，则的半径为 ．
【题型2】作弦心距、连半径，通过勾股定理求线段长
【例2】（22-23九年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，，弦，垂足为点，求的长度．
【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕的长为（ ）
A．B．C．3D．
【变式2】（2024·浙江·模拟预测）如图，两个同心圆的半径分别为15和12，大圆的一条弦有一半在小圆内，则这条弦落在小圆内部分的弦长等于（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（22-23九年级上·江苏宿迁·阶段练习）若弦，是的两条平行弦，的半径为13，，，则，之间的距离为
【变式4】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直线与相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦的长为 ．
【题型3】作半径，通过圆周角定理或四点共圆求角度
【例2】（23-24九年级上·天津·期中）已知是的内接三角形，的平分线交于点．
（1）如图①，若是的直径，，求的长；
（2）如图②，连接，求证：．
【变式1】（22-23九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，在中，，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2024·浙江湖州·模拟预测）如图，是的一条弦，点C是的中点，连接，，交于点D，连接，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【变式3】（22-23九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，是的直径，，点A在上，，B为弧的中点，P是直径上一动点．则的最小值为 ．
【变式4】（22-23九年级上·内蒙古通辽·阶段练习）已知点O是的外心，，则的度数是 ．
【题型4】遇到直径或半圆时，构造直角三角形求值
【例2】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知中，，以为直径的交于D，交于E．
（1）如图①，当为锐角时，连接，试判断与的数量关系，并证明你的结论；
（2）将图①中的边不动，边绕点A按逆时针旋转，当为钝角时，如图②，的延长线与相交于E．请问：与的数量关系是否与（1）中得出的关系相同？若相同，请加以证明；若不同，请说明理由．
【变式1】（22-23九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，的直径垂直于弦，垂足是，，若点平分，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【变式2】（2024·山东济宁·模拟预测）如图，是的直径，，是上的两点，连接，，，若，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
【变式3】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，已知内接于，是的直径，平分，交于D，若，则的长为 ．

【变式4】（2024·河南周口·模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，于点P，于点E．若，则 ．

【题型5】遇到切线时，过切点作半径构造直角三角形
【例2】（23-24九年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，以为直径的与AB边交于点，过点作的切线，交于点．
（1）求证：；
（2）若以点为顶点的四边形是正方形，试判断的形状，并说明理由．
【变式1】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，，的半径为2（为坐标原点），点是直线上的一动点，过点作的一条切线，为切点，则切线长的最小值为（ ）

A．B．3C．D．
【变式2】（23-24九年级上·四川绵阳·期中）如图，AB是圆的弦，，AB，相交于点，且．连接，当，时，则线段BD的长为（ ）

A．3B．4C．5D．6
【变式3】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，正方形的边长为4，以为直径作半圆E，过点D作切半圆E于点G，交于点F，则的长为 ．
【变式4】（23-24九年级上·江苏扬州·期中）如图，是的弦，是的切线．若，则 ．
【题型6】遇到圆上四点时，构造圆内接四边形
【例2】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，点，，，在以为直径的上，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【变式1】（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，等腰三角形的顶点是圆的等分点，且腰，所对的劣弧（不包括，，）上分别有个等分点，若等腰三角形是钝角三角形．则至少是（ ）
A．15B．16C．17D．18
【变式2】（2023·福建莆田·二模）如图，在中，，点在上，连接，，过点作的延长线于点，当点从点运动到点的过程中，的度数（ ）

A．先增大后减小B．先减小后增大C．保持不变D．一直减小
【变式3】（22-23九年级上·湖北十堰·期中）如图，线段上一点O，以O为圆心，为半径作圆，上一点A，连接交于B点，连接，若，且，则
【变式4】（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，P为半径OD上一动点，∠ACB=140°，若∠APB=β，则β的取值范围是 .
专题2.25 圆中辅助线几种常见方法（全章方法梳理与题型分类讲解）
第一部分【方法梳理】
【方法1】作半径,通过勾股定理求值
【方法2】作弦心距、连半径，通过勾股定理求值
【方法3】作半径，通过圆周角定理或四点共圆求值
【方法4】遇到直径或半圆时，构造直角三角形求值
【方法5】遇到切线时，过切点作半径构造直角三角形
【方法6】遇到圆上四点时，构造圆内接四边形
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】作半径,通过勾股定理求线段长
【例1】（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，已知，经过圆心，且分别垂直弦，于点，点．
（1）求证：；
（2）若，求圆的半径长．

【答案】(1)见详解 (2)
【分析】本题考查了圆的基本性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理等；
（1）与交于，连接，由等腰三角形的性质得，由线段垂直平分线的性质得，同理可证，即可得证；
（2）可判定是等边三角形，由等边三角形的性质得，，由余弦函数得，即可求解；
掌握相关的判定方法及性质，判定出是等边三角形是解题的关键．
（1）解：与交于，连接，

，
，
是的垂直平分线，
，
同理可证：，
；
（2）解：由（1）得
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
；
圆的半径为．
【变式1】（22-23九年级上·内蒙古通辽·阶段练习）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分，如果C是中弦的中点，经过圆心O交于点D，并且，，则的半径长为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，连接，设的半径为，先根据垂径定理得到，，再在中，由勾股定理求得即可．
解：如图，连接，设的半径为，则，

∵C是中弦的中点，经过圆心O交于点D，
∴，，
∵，，
∴，，
在中，由勾股定理得，
解得，
即的半径为，
故选：A．
【变式2】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，的半径为5，为弦，半径，垂足为点，若，则的长是（ ）

A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【分析】本题考查的是垂径定理．连接，根据勾股定理求出的长，进而可得出结论．
解：连接，

，，，
，
．
故选：C．
【变式3】（22-23九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，为的弦，半径于点C．若，，则的半径长为 ．
【答案】5
【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．先根据垂径定理求出的长，设的半径为，再连接，在中利用勾股定理求出的值即可．
解：如图，连接，
的弦，半径，
，
设的半径为，则，
在中，
，即，解得．
故答案为：5
【变式4】（22-23九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，是的直径，为的一条弦，于点E，已知，，则的半径为 ．
【答案】5
【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．连结，根据垂径定理求得，再根据勾股定理即可求得答案．
解：如图，连结，
是的直径，，
，
，
即的半径为5．
故答案为：5．
【题型2】作弦心距、连半径，通过勾股定理求线段长
【例2】（22-23九年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，，弦，垂足为点，求的长度．
【答案】
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识，添加合适辅助线，构造直角三角形是解题的关键．
过O作于点E，过O作于点F，连接，，先证明四边形是矩形，得出，，然后根据垂径定理求出，，在和根据勾股定理得出，然后求解即可．
解∶过O作于点E，过O作于点F，连接，，
又，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，
在中，，
又，
∴，即，
解得，
在中，．
【变式1】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，将半径为2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕的长为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】D
【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，过点O作于点D，连接，由题可得，，再根据勾股定理可得，从而求得的长．
解：如图，过点O作于点D，连接．

根据题意，得，．
在中，由勾股定理，得，
．
故选：D．
【变式2】（2024·浙江·模拟预测）如图，两个同心圆的半径分别为15和12，大圆的一条弦有一半在小圆内，则这条弦落在小圆内部分的弦长等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】本题考查的是垂径定理的应用，先画出图形，再利用垂径定理与勾股定理计算即可．
解：如图，记弦与圆的交点分别为，连接，
过作于，
∴，，
∵大圆的一条弦有一半在小圆内，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：BC=33，
∴．
故选：D
【变式3】（22-23九年级上·江苏宿迁·阶段练习）若弦，是的两条平行弦，的半径为13，，，则，之间的距离为
【答案】7或17
【分析】本题考查了垂径定理与勾股定理，解题的关键是分情况画出图形并作出正确的辅助线．
首先根据题意分情况进行讨论分析，然后分别画出相应的图形，再根据垂径定理和勾股定理，计算出圆心到两条弦的距离，最后根据图形即可推出间的距离．
解：连接，过点O作于点M，
∵，
∴直线，设垂足为点，
，
，，
，
∴在中，，
在中，，
①如下图：当，在圆心的两侧，则它们之间的距离为，
②如下图，如果、在圆心的同侧，则它们之间的距离为，
．
综上所述，，之间的距离为7或17．
故答案为： 7或17．
【变式4】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，直线与相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，垂径定理，勾股定理，过点作，设直线与轴交于点，求出两点坐标，勾股定理求出的长，等积法求出的长，再利用勾股定理求出的长，进而求出的长即可．
解：设直线与轴交于点，过点作，则，
∵，
∴当时，，当时，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【题型3】作半径，通过圆周角定理或四点共圆求角度
【例2】（23-24九年级上·天津·期中）已知是的内接三角形，的平分线交于点．
（1）如图①，若是的直径，，求的长；
（2）如图②，连接，求证：．
【答案】(1)； (2)证明见解析．
【分析】（）连接，由圆周角定理可得，进而由角平分线的定义得，即得到，再根据勾股定理即可求解；
（）由圆周角定理可得，即得，得到，又由圆周角定理得，，等量代换即可求证；
本题考查了圆周角定理，角平分线的定义，勾股定理，掌握圆周角定理是解题的关键
（1）解：连接，
∵是的直径，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴
∴；

（2）证明：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
即．
【变式1】（22-23九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，在中，，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系和圆周角定理，能熟记圆周角定理是解此题的关键，在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．连接，根据圆周角定理求出，，求出和，再求出答案即可．
解：连接，

，，
，，
，，
，
故选：B．
【变式2】（2024·浙江湖州·模拟预测）如图，是的一条弦，点C是的中点，连接，，交于点D，连接，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接，根据圆周角定理可得，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得，由平行线的性质得，即可求解．
解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【点拨】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、平行线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．
【变式3】（22-23九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，是的直径，，点A在上，，B为弧的中点，P是直径上一动点．则的最小值为 ．
【答案】2
【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，最短路径问题，熟练掌握圆周角定理，即一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，是解答本题的关键．
作点关于的对称点，连接交于点，则点就是所求作的点，然后根据垂径定理得到，然后利用勾股定理解题即可．
解：作点关于的对称点，连接交于点，则点就是所求作的点．
此时最小，且等于的长.
连接,
，
∴，
∴弧的度数是60°，
则弧的度数是 30°，
根据垂径定理得弧的度数是：30°，
则
又，
则
故答案为：2．
【变式4】（22-23九年级上·内蒙古通辽·阶段练习）已知点O是的外心，，则的度数是 ．
【答案】或
【分析】本题考查三角形的外心性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质，分类讨论是解答的关键．分A在优弧上和A在劣弧上两种情况，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质求解即可．
解：由点O是的外心得点O是的外接圆的圆心，
如图，

当A在优弧上时，
∵，
∴；
当A在劣弧上时，，
综上，的度数是或．
故答案为：或．
【题型4】遇到直径或半圆时，构造直角三角形求值
【例2】（24-25九年级上·全国·课后作业）已知中，，以为直径的交于D，交于E．
（1）如图①，当为锐角时，连接，试判断与的数量关系，并证明你的结论；
（2）将图①中的边不动，边绕点A按逆时针旋转，当为钝角时，如图②，的延长线与相交于E．请问：与的数量关系是否与（1）中得出的关系相同？若相同，请加以证明；若不同，请说明理由．
【答案】(1)．理由见解析 (2)相同．理由见解析
【分析】本题考查了圆周角定理的推论、三线合一的性质、圆内接四边形的性质，熟练掌握相关的性质定理是解本题的关键．
（1）连接，根据直径所对的圆周角为直角，得出，再根据三线合一的性质，得出，再根据同圆或等圆所对的圆周角相等，得出，再根据等量代换，即可得出结论；
（2）连接，根据直径所对的圆周角为直角，得出，再根据三线合一的性质，得出，再根据圆内接四边形的性质，得出，再根据等量代换，即可得出结论．
（1）
证明：如图，连接，

∵为直径，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：相同，证明如下：
如图，连接，
∵为直径，
∴，
又∵，
∴，
∵是圆内接四边形的外角，
∴，
∴．
【变式1】（22-23九年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图，的直径垂直于弦，垂足是，，若点平分，则的长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由线段垂直平分线的性质推出，得到是等边三角形，得到，求出，因此，由圆周角定理推出，求出，得到．
解：如图，连接，
的直径垂直于弦，点平分，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
是中点，，
，
，
是圆的直径，
，
，
．
故选：B．
【点拨】本题考查等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形，圆周角定理，关键是由含角的直角三角形的性质求出的长，即可得到的长．
【变式2】（2024·山东济宁·模拟预测）如图，是的直径，，是上的两点，连接，，，若，则的度数是（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了直径所对圆周角性质，同弧所对圆周角性质，直角三角形两锐角互余，解题关键是能够灵活运用圆周角定理及其推论．
连结，根据直径所对圆周角可得 ，由同弧所对圆周可求出的度数，利用直角三角形两锐角互余求出的度数即可．
解：连结，

∵是的直径，
，
∵
∵，
．
故选：A．
【变式3】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，已知内接于，是的直径，平分，交于D，若，则的长为 ．

【答案】
【分析】本题主要考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质．连接，根据是的直径，可得，再由平分，可得，即可求解．
解：连接．

∵是的直径，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
故答案为．
【变式4】（2024·河南周口·模拟预测）如图，四边形是的内接四边形，于点P，于点E．若，则 ．

【答案】3
【分析】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，以及三角形中位线的判定以及性质，连接并延长交⊙O于点G，连接．由直径所对的圆周角等于可得出，由垂径定理得出是的中位线，由中位线定理可得出，再证明，进一步得出，等量代换可得出，进一步即可得出答案．
如图，连接并延长交⊙O于点G，连接．

∵过点O为的直径，
∴．
∵于点E，
∴E为的中点，
∴是的中位线，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：3．
【题型5】遇到切线时，过切点作半径构造直角三角形
【例2】（23-24九年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，，以为直径的与AB边交于点，过点作的切线，交于点．
（1）求证：；
（2）若以点为顶点的四边形是正方形，试判断的形状，并说明理由．
【答案】(1)详见解析
(2)是等腰直角三角形，理由见解析
【分析】(）连接，根据切线的判定及切线的性质可知，，再根据切线长的定理及余角的定义，最后利用等腰三角形的判定及等量代换解答即可．
（）根据正方形的性质可知是等腰直角三角形。再利用等腰三角形的性质及直角三角形的性质即可解答．
（1）证明：连接，

∵是直径，，
∴是的切线，
∵DE是的切线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰三角形，
∴，
∴．
（2）解：是等腰直角三角形，理由如下：
∵当以点为顶点的四边形是正方形时，，
∴是直角三角形，
由（1）可知：，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵△ABC是直角三角形，，
∴，
∴△ABC是等腰直角三角形．
【点拨】本题考查了切线的性质与判定，切线长定理、圆周角定理，等腰三角形的性质及判定，等腰直角三角形的性质，余角的定义及性质，正方形的性质，连接得垂直，构造出等腰三角形，利用“等角的余角相等”是解题的关键．
【变式1】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，，的半径为2（为坐标原点），点是直线上的一动点，过点作的一条切线，为切点，则切线长的最小值为（ ）

A．B．3C．D．
【答案】D
【分析】本题考查切线的判定和性质，勾股定理．根据题意连结、OQ，当时，线段最短，即线段最短，再根据勾股定理求解即可．
如答图，连结、OQ．
是的切线，
，
，
当时，，
线段最短，即线段最短．
，，
，
，
，
，
．
故选：D．
【变式2】（23-24九年级上·四川绵阳·期中）如图，AB是圆的弦，，AB，相交于点，且．连接，当，时，则线段BD的长为（ ）

A．3B．4C．5D．6
【答案】B
【分析】本题考查了切线的性质与判定，勾股定理；连接，由，利用等边对等角得到，再由垂直于，得到三角形为直角三角形，得到两锐角互余，等量代换得到垂直于BD，即可证得BD为圆的切线；设，则，在中，根据勾股定理得出，通过解方程即可求得．
解：连接，

，，
，，
，
，即，
，
，即，
则BD为圆的切线；
解：设，则，而，
在中， ，
即，
解得，
线段BD的长是．
故选：B．
【变式3】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，正方形的边长为4，以为直径作半圆E，过点D作切半圆E于点G，交于点F，则的长为 ．
【答案】1
【分析】本题考查的是正方形的性质，切线的判定与性质，切线长定理的应用，先证明，．设，再表示，，再利用勾股定理建立方程求解即可．
解：∵，，
∴，为半圆E的切线，
又∵为半圆E的切线，
∴，．
设，
则有，，
在中，由勾股定理得，
即，
解得．
故答案为：．
【变式4】（23-24九年级上·江苏扬州·期中）如图，是的弦，是的切线．若，则 ．
【答案】
【分析】此题重点考查圆的切线的性质、圆周角定理、多边形的内角和等知识，接、，由切线的性质得，再由圆周角定理求得，则，于是得到问题的答案．
解：连接、，
与相切于点，与相切于点，
，，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
，
，
，
故答案为：．
【题型6】遇到圆上四点时，构造圆内接四边形
【例2】（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，点，，，在以为直径的上，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】(1)见解析 (2)10
【分析】此题考查了圆周角定理、圆内接四边形的对角性质、三角形中位线定理、垂径定理、勾股定理、解一元二次方程等知识，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
（1）连接，由是的直径得到，由圆内接四边形对角互补得到，进一步证明，即可得到结论；
（2）过点C作交于点F，连接，与相交于点H，证明，由垂径定理得到，，则，证明是的中位线，则，设的半径为r，则在中，，在中，，则，在中，，得到，解方程即可得到答案．
（1）证明：连接，

∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴
，
∴，
∴；
（2）解：过点C作交于点F，连接，与相交于点H，
∵，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵．
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是的中位线，
∴，
设的半径为r，则
∴，
在中，，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
整理得，，
解得（不合题意，舍去），
∴

【变式1】（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，等腰三角形的顶点是圆的等分点，且腰，所对的劣弧（不包括，，）上分别有个等分点，若等腰三角形是钝角三角形．则至少是（ ）
A．15B．16C．17D．18
【答案】C
【分析】本题主要考查了不等式的应用，弧、圆心角之间的关系，圆周角定理及圆内接四边形的性质，在优弧AB上取一点，连接、BM、、，由弧，圆心角之间的关系得，，进而利用圆周角定理及圆内接四边形的性质得
，根据等腰三角形是钝角三角形，得>90°，列不等式求解即可．
解：在优弧AB上取一点，连接、BM、、，
∵等腰三角形的顶点是圆的等分点，且腰，所对的劣弧（不包括，，）上分别有个等分点，
∴，，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵等腰三角形是钝角三角形，
∴，即，
解得，
∴至少是，
故选∶．
【变式2】（2023·福建莆田·二模）如图，在中，，点在上，连接，，过点作的延长线于点，当点从点运动到点的过程中，的度数（ ）

A．先增大后减小B．先减小后增大C．保持不变D．一直减小
【答案】C
【分析】在优弧上取一点，连接，根据圆内接四边形对角互补，得出，进而即可求解．
解：如图所示，在优弧上取一点，连接，

∵，
∴，
∵四边形是圆内接四边形，
∴,
又∵，
∴，
∵
∴
当点从点运动到点的过程中，的大小不变，则的度数也不变，
故选：C．
【点拨】本题考查了圆内接四边形对角互补，圆周角定理，根据题意得出是解题的关键．
【变式3】（22-23九年级上·湖北十堰·期中）如图，线段上一点O，以O为圆心，为半径作圆，上一点A，连接交于B点，连接，若，且，则
【答案】30°/30度
【分析】
设与相交于点E，连接BE，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，然后根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，进而利用圆内接四边形对角互补可得，最后利用三角形外角的性质进行计算即可解答．
解：设与相交于点E，连接，
∵，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【变式4】（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，P为半径OD上一动点，∠ACB=140°，若∠APB=β，则β的取值范围是 .
【答案】40°≤β≤80°
【分析】连接AO，BO，AD，BD，根据圆内接四边形的性质和圆周角定理，求得∠ADB=40°，∠AOB=80°，进而即可求解．
解：连接AO，BO，AD，BD，
∵四边形ACBD是圆的内接四边形，
∴∠ADB=180°-∠ACB=180°-140°=40°，∠AOB=2∠ADB=80°，
∵∠APB=β，
∴β的取值范围是：40°≤β≤80°，
故答案为：40°≤β≤80°．
【点拨】本题主要考查圆周角定理和圆的内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是关键．