苏科版（2024）九年级上册2.1 圆随堂练习题

这是一份苏科版（2024）九年级上册2.1 圆随堂练习题，共30页。
隐形圆模型是初中数学中的重要知识点，常用于解决一些看似没有直接使用圆的知识但实际上需要运用圆的性质来解决的问题。以下是隐形圆的六大模型：
【模型1】 ‌定点定长模型
【模型分析】如图一平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆上.
图一
应用：常用于解决动点在固定长度条件下运动的轨迹问题。
推广：如图②，点E为定点，点F为线段BD上的动点(不含点B)，将△BEF沿EF折叠得到，则点的运动轨迹为以点E为圆心，以线段BE为半径的一段圆弧．
【模型2】 ‌90°圆周角模型
【模型分析】如图2，在△ABC中，∠C＝90°，点C为动点，则点C的轨迹是以AB为直径的⊙O(不包含A，B两点)．
注：作出辅助圆是关键，计算时结合求点圆、线圆最值等方法进行相关计算．
图二
应用：常用于解决直角三角形中动点的轨迹问题。
【模型3】 ‌定弦定角模型
【模型分析】固定的线段只要对应固定的角度，那么这个角的顶点轨迹为圆的一部分．
如图①，在⊙O中，若弦AB长度固定，则弦AB所对的圆周角都相等；(注意：弦AB所对的劣弧（AB）上也有圆周角，需要根据题目灵活运用)
如图②，若有一固定线段AB及线段AB所对的大小固定，根据圆的知识可知点C不唯一．当°时，点C在优弧上运动；当°时，点C在半圆上运动，且线段AB是⊙O的直径；当°时，点C在劣弧上运动．
【模型4】‌四点共圆模型
【模型分析】如图①，图②，Rt△ABC和Rt△ABD共斜边，可得到四点共圆．得到四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，这是证明角度相等重要的途径之一．
应用：常用于解决四点共圆的问题，如角度相等、线段最短等问题。
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】 ‌定点定长模型
【例1】．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图所示，在中，，分别是，边上的高，求证：，，，四点在同一个圆上．
【变式1】（2024·辽宁·模拟预测）如图，在中，，E是直角边的中点，F是直角边上的一个动点，将沿所在直线折叠，得到，D是斜边的中点，若，，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【变式2】（2017·贵州黔东南·中考真题）如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF=2AE，FC交BD于O，则∠DOC的度数为（ ）
A．60°B．67.5°C．75°D．54°
【题型2】 ‌90°圆周角模型
【例2】（2024·河南周口·一模）如图，正方形中，点M，N分别为，上的动点，且，，交于点 E，点 F 为 的中点，点P为上一个动点，连接，．若，则 的最小值为（ ）
A．B．C．5D．
【变式1】（2024·四川成都·二模）如图，在中， ， ．以为斜边作等腰直角，连接，则的最大值为 ．

【变式2】（2024·陕西西安·三模）如图，四边形为矩形，，．点E是线段上一动点，连接，点F为线段上一点，连接，若，则的最小值为 ．
【题型3】 ‌定弦定角模型
【例3】（2024·山东潍坊·模拟预测）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在的正方形网格图形中，M，N分别是上的格点．若点P是这个网格图形中的格点，连结，则所有满足的中，求边的长的最大值．
【变式1】（2022·广东佛山·一模）在平面直角坐标系中，已知点．若在x轴正半轴上有一点C．使，则点C的横坐标是 ．
【变式2】（2020·江苏无锡·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知、、都在上，则圆心的坐标为 ．
【题型4】‌四点共圆模型
【例4】（23-24九年级上·陕西西安·期末）问题提出
（1）如图①，在四边形中，，求证：A、B、C、D四点共圆．小颖同学认为：连接，取的中点，连接、来证明，请你按照小颖的思路完成证明；
问题解决
（2）如图②，在正方形中，，点是的中点，点是边上一点，连接、，过点作于点，当点在线段上时，求线段的长．

【变式1】（23-24九年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，矩形中，，点E在AB上，且，，点F在边上运动，以线段为斜边在点B的异侧作等腰，使B、E、G、F四点共圆．连接、．

（1） ；
（2）当最小时， ．
【变式2】（22-23九年级上·湖北黄冈·期末）如图，正方形的边长为6，点E，F分别在线段，上，且，，若点M，N分别在线段，上运动，P为线段上的点，在运动过程中，始终保持，则线段的最小值为 ．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2023·山东泰安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（ ）

A．3B．C．D．2
【例2】（2022·广西柳州·中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为 ．
2、拓展延伸
【例1】（2022·辽宁抚顺·中考真题）如图，正方形的边长为10，点G是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．当最小时，的长是 ．
【例2】（2024·内蒙古兴安盟·二模）如图，在正方形中，点M，N分别为上的动点，且，交于点E，点F为的中点，点P为上一个动点，连接，若，则的最小值为 ．

专题2.26 几何中的隐形圆问题几种类型（全章模型梳理与题型分类讲解）
第一部分【模型梳理】
隐形圆模型是初中数学中的重要知识点，常用于解决一些看似没有直接使用圆的知识但实际上需要运用圆的性质来解决的问题。以下是隐形圆的六大模型：
【模型1】 ‌定点定长模型
【模型分析】如图一平面内，点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆上.
图一
应用：常用于解决动点在固定长度条件下运动的轨迹问题。
推广：如图②，点E为定点，点F为线段BD上的动点(不含点B)，将△BEF沿EF折叠得到，则点的运动轨迹为以点E为圆心，以线段BE为半径的一段圆弧．
【模型2】 ‌90°圆周角模型
【模型分析】如图2，在△ABC中，∠C＝90°，点C为动点，则点C的轨迹是以AB为直径的⊙O(不包含A，B两点)．
注：作出辅助圆是关键，计算时结合求点圆、线圆最值等方法进行相关计算．
图二
应用：常用于解决直角三角形中动点的轨迹问题。
【模型3】 ‌定弦定角模型
【模型分析】固定的线段只要对应固定的角度，那么这个角的顶点轨迹为圆的一部分．
如图①，在⊙O中，若弦AB长度固定，则弦AB所对的圆周角都相等；(注意：弦AB所对的劣弧（AB）上也有圆周角，需要根据题目灵活运用)
如图②，若有一固定线段AB及线段AB所对的大小固定，根据圆的知识可知点C不唯一．当°时，点C在优弧上运动；当°时，点C在半圆上运动，且线段AB是⊙O的直径；当°时，点C在劣弧上运动．
【模型4】‌四点共圆模型
【模型分析】如图①，图②，Rt△ABC和Rt△ABD共斜边，可得到四点共圆．得到四点共圆后可以根据圆周角定理得到角度相等，完成角度等量关系的转化，这是证明角度相等重要的途径之一．
应用：常用于解决四点共圆的问题，如角度相等、线段最短等问题。
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】 ‌定点定长模型
【例1】．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图所示，在中，，分别是，边上的高，求证：，，，四点在同一个圆上．
【答案】见解析
【分析】求证，，，四点在同一个圆上，是直角三角形，则三个顶点在斜边中点为圆心的圆上，因而只要再证明到得中点的距离等于的一半就可以．此题主要考查了确定圆的条件，求证几个点在同一个圆上就是证明这几个点到一个点的距离相等．
证明：如图所示，取的中点，连接，．
，是的高，
和都是直角三角形．
，分别为和斜边上的中线，
．
，，，四点在以点为圆心，为半径的圆上．
【变式1】（2024·辽宁·模拟预测）如图，在中，，E是直角边的中点，F是直角边上的一个动点，将沿所在直线折叠，得到，D是斜边的中点，若，，则的最小值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短、三角形的中位线定理、圆的定义，确定动点的运动轨迹是解题的关键．根据折叠的性质可得，，结合E是直角边的中点，得到，由此可判断点在以为圆心，为半径的圆上运动，当、、共线时，此时的值最小，根据三角形中位线定理求出，即可求出此时的最小值．
解： 将沿所在直线折叠，得到，
，
，
E是直角边的中点，
，
点在以为圆心，为半径的圆上运动，如图所示，

，
当、、共线时，即与重合时，取得最小值，
又，
此时的值最小，
D是斜边的中点，
是的中位线，
，
此时，，
的最小值为4．
故选：C．
【变式2】（2017·贵州黔东南·中考真题）如图，正方形ABCD中，E为AB中点，FE⊥AB，AF=2AE，FC交BD于O，则∠DOC的度数为（ ）
A．60°B．67.5°C．75°D．54°
【答案】A
解：如图，连接DF、BF．

∵FE⊥AB，AE=EB，
∴FA=FB，
∵AF=2AE，
∴AF=AB=FB，
∴△AFB是等边三角形，
∵AF=AD=AB，
∴点A是△DBF的外接圆的圆心，
∴∠FDB=∠FAB=30°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，∠ADB=∠DBC=45°，
∴∠FAD=∠FBC，
∴△FAD≌△FBC，
∴∠ADF=∠FCB=15°，
∴∠DOC=∠OBC+∠OCB=60°．
故选A．
【点拨】本题考查了等边三角形的判定，全等三角形的判定，正方形的性质，此题是一道综合题目，解决此题的关键是合理的推理正确的计算．
【题型2】 ‌90°圆周角模型
【例2】（2024·河南周口·一模）如图，正方形中，点M，N分别为，上的动点，且，，交于点 E，点 F 为 的中点，点P为上一个动点，连接，．若，则 的最小值为（ ）
A．B．C．5D．
【答案】B
【分析】先根据得，进而可得，由此可得E点的运动轨迹在是以为直径的圆上．延长至使，得与F关于直线对称．连接OF'交于P点，交圆O于E点，则，此时的值最小，根据勾股定理求出OF'的长，即可得的最小值．
解：

∵是正方形，
，，
又，
，
，
又，
，
，
∴E点在以为直径的圆上运动．
设的中点为O，则 ，
延长至使，
则与F关于直线对称，
连接OF'交于P点，交圆O于E点，
则，，
此时P、E、F三点共线，因此的值最小．
在中，，，
，
，
∴的最小值为，
故选：B．
【点拨】本题是一道动点问题和最值问题的综合性题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、直径所对圆周角等于90度、轴对称的性质．找出E点的运动轨迹是解题的关键．
【变式1】（2024·四川成都·二模）如图，在中， ， ．以为斜边作等腰直角，连接，则的最大值为 ．

【答案】
【分析】本题考查了圆与几何的综合问题，直径所对的圆周角是，见详解图利用两边之和大于第三边可以得出的最大值即为图中的．
解：点A在以BC为直径的圆上；找的中点为点E，连结、；以为直径作半圆．

当点从点运动到点的时候，点是从点运动到点，且始终为，
点在以为直径作圆上，
在变化过程中和的大小始终不变，
的最大值为：即为图上，
在等腰直角中，
，
,即，
在中，
,
的最大值为：．
【变式2】（2024·陕西西安·三模）如图，四边形为矩形，，．点E是线段上一动点，连接，点F为线段上一点，连接，若，则的最小值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了圆外一点到圆上各点的最小距离，勾股定理，矩形的性质，关键是构造圆．由可得，，点在以为直径的圆弧上，点在圆外，可求的最小值．
解：作的中点，连接．
矩形中，，
，
，
，
，
当点移动时，点在以为直径的圆弧上移动，当点在上时，有最小值．
，，，
，
，
有最小值为4．
故答案为：4．
【题型3】 ‌定弦定角模型
【例3】（2024·山东潍坊·模拟预测）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在的正方形网格图形中，M，N分别是上的格点．若点P是这个网格图形中的格点，连结，则所有满足的中，求边的长的最大值．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，得出边的长的最大值等于圆的直径是解题的关键．作线段中点，作的垂直平分线，并使，以为圆心，为半径作圆，通过图形可知，当点在位置时，恰好过格点且经过圆心，此时最大，等于圆的直径，得出，则，即可求解．
解：作线段中点，作的垂直平分线，并使，以为圆心，为半径作圆，如图，

∵为垂直平分线且，
∴，
，
，
∴弦所对的圆的圆周角为，
∴点在圆上，为圆的弦，
通过图形可知，当点在位置时，恰好过格点且经过圆心，
∴此时最大，等于圆的直径，
＝，＝，
，
，
，
．
即边的长的最大值为．
【变式1】（2022·广东佛山·一模）在平面直角坐标系中，已知点．若在x轴正半轴上有一点C．使，则点C的横坐标是 ．
【答案】
【分析】如图，以AB为边向右作等边△ABD，以D为圆心，DA为半径作⊙D交x轴正半轴为C，连接CA、CB，此时满足条件．过点D作DJ⊥AB于J，DK⊥OC于K，则四边形OJDK是矩形，求出OK、KC，即可求解．
解：如图，以AB为边向右作等边△ABD，以D为圆心，DA为半径作⊙D交x轴正半轴为C，连接CA、CB，此时满足条件．

过点D作DJ⊥AB于J，DK⊥OC于K，则四边形OJDK是矩形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在Rt△DCK中，，
∴，
∴点C的横坐标为
故答案为：．
【点拨】本题考查三角形外接圆与外心，坐标与图形的性质，涉及到勾股定理、等边三角形的性质、圆周角定理等知识点，解题的关键是作出辅助线构造图形解决问题，综合性较强．
【变式2】（2020·江苏无锡·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知、、都在上，则圆心的坐标为 ．
【答案】
【分析】根据题意，先求出AC、AB、BC的长度，得出E，D的坐标，则点M是AC与BC的垂直平分线的交点，分别求出直线DM和EM的解析式，再求出点M的坐标即可．
解：如图：

∵、、，
∴点E的坐标为（1，1），点D坐标为（，），
∵，，
又∵DM垂直平分BC，EM垂直平分AC，
∴，，
∴，，
∴直线EM的解析式为：；
直线DM的解析式为：，
∴，
解得：，
∴点M的坐标为：（，）．
故答案为：（，）．
【点拨】本题考查了求三角形外接圆的圆心，一次函数的性质，垂直平分线的性质，解题的关键是正确求出直线的解析式，从而求出点M的坐标．
【题型4】‌四点共圆模型
【例4】（23-24九年级上·陕西西安·期末）问题提出
（1）如图①，在四边形中，，求证：A、B、C、D四点共圆．小颖同学认为：连接，取的中点，连接、来证明，请你按照小颖的思路完成证明；
问题解决
（2）如图②，在正方形中，，点是的中点，点是边上一点，连接、，过点作于点，当点在线段上时，求线段的长．

【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】（1）连接，取的中点，连接、．证明，可得结论；
（2）利用正方形的性质和勾股定理求得，由，证明四点共圆，求得，推出是等腰直角三角形，据此计算可得结论．
（1）证明：如图①中，连接，取的中点，连接、．
，，
，，
，
，，，四点共圆；
（2）解：∵在正方形中，，点是的中点，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
由（1）知，四点共圆，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴．
【点拨】本题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，四点共圆，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
【变式1】（23-24九年级下·浙江宁波·阶段练习）如图，矩形中，，点E在AB上，且，，点F在边上运动，以线段为斜边在点B的异侧作等腰，使B、E、G、F四点共圆．连接、．

（1） ；
（2）当最小时， ．
【答案】 /45度 /
【分析】本题考查了矩形的性质，四点共圆，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，垂线段最短，含30度角的直角三角形．如图1，取的中点O，连接，作射线，证明B，E，G，F在以O为圆心的圆上，得点G在的平分线上，当时，最小，此时，画出图2，根据是以为斜边的等腰直角三角形，证明，可得，根据含30度角的直角三角形可得，进而可得结论．
解：（1）如图1，

∵B、E、G、F四点共圆，
，
∵等腰，
∴，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）由（1）得平分，
∴点G在的平分线上，
∴当时，最小，
此时，如图2，

，
是以为斜边的等腰直角三角形，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
∵四边形是矩形，
，
∵，，
∴，
在中，，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【变式2】（22-23九年级上·湖北黄冈·期末）如图，正方形的边长为6，点E，F分别在线段，上，且，，若点M，N分别在线段，上运动，P为线段上的点，在运动过程中，始终保持，则线段的最小值为 ．
【答案】/
【分析】先证C、E、P、F四点共圆，取的中点为O，以为直径作，连接，，根据三角形三边关系可知：，因为为定值，根据垂线段最短，得出当O、P、N三点共线，且时，最小，则最小，根据垂径定理和勾股定理求出长，最后根据线段间的和差关系求长，即可得出结论．
解：如图，连接，

∵，，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∵和为直角三角形，
取的中点为O，
∴，
∴C、E、P、F四点共圆，
∵，
∵为定值，
∴当最小，且O、P、N三点共线时，最小，
过O作于H，延长交于P’，交于，而，
∴，
∵，而，
∴ ，
∴，
∵，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：．
【点拨】本题考查了正方形的性质、三角形的三边关系、勾股定理，圆的确定及基本性质等知识点，解题的关键是根据题意作出辅助圆，利用垂线段最短找出最小值时的位置．
第三部分【中考链接与拓展延伸】
1、直通中考
【例1】（2023·山东泰安·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，的一条直角边在x轴上，点A的坐标为；中，，连接，点M是中点，连接．将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段的最小值是（ ）

A．3B．C．D．2
【答案】A
【分析】如图所示，延长到E，使得，连接，根据点A的坐标为得到，再证明是的中位线，得到；解得到，进一步求出点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动，则当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值，据此求出的最小值，即可得到答案．
解：如图所示，延长到E，使得，连接，
∵的一条直角边在x轴上，点A的坐标为，
∴，
∴，
∴，
∵点M为中点，点A为中点，
∴是的中位线，
∴；
在中，，
∴，
∵将以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，
∴点C在以O为圆心，半径为4的圆上运动，
∴当点M在线段上时，有最小值，即此时有最小值，
∵，
∴的最小值为，
∴的最小值为3，
故选A．

【点拨】本题主要考查了一点到圆上一点的最值问题，勾股定理，三角形中位线定理，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质等等，正确作出辅助线是解题的关键．
【例2】（2022·广西柳州·中考真题）如图，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中点，点E是正方形内一个动点，且EG＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，则线段CF长的最小值为 ．
【答案】
【分析】如图，由EG＝2，确定在以G为圆心，半径为2的圆上运动，连接AE， 再证明（SAS）， 可得可得当三点共线时，最短，则最短，再利用勾股定理可得答案．
解：如图，由EG＝2，可得在以G为圆心，半径为2的圆上运动，连接AE，
∵正方形ABCD，
∴

∴
∵DE=DF，
∴（SAS），
∴
∴当三点共线时，最短，则最短，
∵位BC 中点，
∴
此时
此时
所以CF的最小值为：
故答案为：
【点拨】本题考查的是正方形的性质，圆的基本性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，熟练的利用圆的基本性质求解线段的最小值是解本题的关键．
2、拓展延伸
【例1】（2022·辽宁抚顺·中考真题）如图，正方形的边长为10，点G是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接．当最小时，的长是 ．
【答案】
【分析】根据动点最值问题的求解步骤：①分析所求线段端点（谁动谁定）；②动点轨迹；③最值模型（比如将军饮马模型）；④定线段；⑤求线段长（勾股定理、相似或三角函数），结合题意求解即可得到结论．
解：①分析所求线段端点：是定点、是动点；②动点的轨迹：正方形的边长为10，点E是边上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，则，因此动点轨迹是以为圆心，为半径的圆周上，如图所示：

③最值模型为点圆模型；④最小值对应的线段为；⑤求线段长，连接，如图所示：
在中，，正方形的边长为10，点G是边的中点，则，根据勾股定理可得，
当三点共线时，最小为，
接下来，求的长：连接，如图所示
根据翻折可知，设，则根据等面积法可知，即整理得，解得，
故答案为：．
【点拨】本题考查动点最值下求线段长，涉及到动点最值问题的求解方法步骤，熟练掌握动点最值问题的相关模型是解决问题的关键．
【例2】（2024·内蒙古兴安盟·二模）如图，在正方形中，点M，N分别为上的动点，且，交于点E，点F为的中点，点P为上一个动点，连接，若，则的最小值为 ．

【答案】
【分析】证明，则，，如图，取的中点，则在以为圆心，为直径的圆上运动，作关于对称的点，连接，连接OF'交于，则，由，可知当四点共线时，最小为，由勾股定理得，，根据，求解作答即可．
解：∵正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图，取的中点，则在以为圆心，为直径的圆上运动，作关于对称的点，连接，连接OF'交于，

∴，
∴，
∴当四点共线时，最小为，
由勾股定理得，，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角所对的弦为直径，轴对称的性质，勾股定理等知识．熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角所对的弦为直径，轴对称的性质，勾股定理是解题的关键．