苏科版2024-2025学年九年级数学上册1.7根的判别式与根与系数的关系(知识梳理与考点分类讲解)(学生版+解析)（含答案解析）

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专题1.7 根的判别式与根与系数的关系（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即1. 一元二次方程根的判别式 （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中，（1）方程有两个不相等的实数根﹥0；（2）方程有两个相等的实数根=0；（3）方程没有实数根﹤0.【知识点二】一元二次方程根与系数的关系1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2.一元二次方程的根与系数的关系的应用 (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①；②；③；④；⑤；第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】不解方程，判断一元二次方程根的情况【例1】（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）不解方程，判断下列方程根的情况：(1) (2) (3)【变式1】（23-24九年级上·河南开封·阶段练习）不解方程判断下列方程中无实数根的是（    ）A． B． C． D．【变式2】（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）不解方程，判断方程的根的情况是 ．【题型2】已知方程根的情况确定参数的取值范围【例2】（2024·湖南衡阳·一模）关于x的一元二次方程有实数根．（1）求m的取值范围；（2）对于m取一个适当的值，并求出一元二次方程的根．【变式1】若关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ）A． B．C．且 D．且【变式2】关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 .【题型3】由一元二次方程根的判别式进行证明【例3】（22-23九年级上·山东菏泽·阶段练习）已知关于x的一元二次方程，（1）证明：当m取不为0的任何值时，方程总有实数根；（2）m为何整数时，方程有两个正整数根．【变式1】（23-24八年级下·广西梧州·期中）关于的一元二次方程的根情况是（    ）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．没有实数根 D．实数根的个数由的值确定【变式2】（2024·吉林长春·一模）当时，关于的方程根的情况是 ．【题型4】由根与系数关系求关于方程两根的代数式的值【例4】（2024·江苏盐城·二模）已知：，是方程有两个实数根．求出下列代数式的值(1)； (2)．【变式1】（2024·湖南益阳·三模）已知方程的两个实数根分别为，，则式子的值等于（   ）A． B．0 C．2 D．6【变式2】（2024·山东德州·二模）已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 ．【题型5】根的判别式与根与系数关系的综合【例5】（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知关于x的一元二次方程有实数根．（1）求m的取值范围；（2）方程的两个实数根、满足，求实数m的值．【变式1】（2024·江苏无锡·一模）设是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为（　　）A．1 B． C．3或 D．1或【变式2】（2024·北京门头沟·一模）已知一元二次方程，有两个根，两根之和为正数，两根之积是负数，写出一组符合条件的a、b的值 ．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根．（1）求的取值范围．（2）若，且，，都是整数，求的值．【例2】（2024·四川内江·中考真题）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和．（1）填空：________，________；（2）求，；（3）已知，求的值．2、拓展延伸【例1】（23-24九年级上·江苏南京·期中）已知关于x的方程．（1）证明：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若k为整数，则当为何值时，方程的根是整数．【例2】（2024·湖北省直辖县级单位·模拟预测）一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于A，B两点，其中．（1）求反比例函数表达式；（2）若把一次函数的图象向下平移b个单位，使之与反比例函数的图象只有一个交点，请求出b的值．专题1.7 根的判别式与根与系数的关系（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即1. 一元二次方程根的判别式 （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中，（1）方程有两个不相等的实数根﹥0；（2）方程有两个相等的实数根=0；（3）方程没有实数根﹤0.【知识点二】一元二次方程根与系数的关系1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2.一元二次方程的根与系数的关系的应用 (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①；②；③；④；⑤；第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】不解方程，判断一元二次方程根的情况【例1】（23-24九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）不解方程，判断下列方程根的情况：(1) (2) (3)【答案】(1)方程有两个相等的实数根，(2)方程没有实数根，(3)方程有两个不相等的实数根．【分析】对于一元二次方程，当时，方程存在两个不等的实数根，当时，方程存在两个相等实数根，当时，方程无实数根，首先将已知方程化为一般式，求得其判别式与0比较，结合上述即可求解．（1）解：的一般形式为；，故方程有两个相等的实数根．（2）原方程化为一般形式为，，故方程没有实数根．（3）化为一般形式为，，所以此方程有两个不相等的实数根．【点拨】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是关键．【变式1】（23-24九年级上·河南开封·阶段练习）不解方程判断下列方程中无实数根的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，整理每个方程后，应用Δ与0的大小关系判断根的情况． （1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．解：A、∵，∴，∴．∴方程有两个不相等的实数根．故不符合题意；B、∵，∴．∴方程没有实数根，符合题意；C、∵，∴，∴方程有两个不相等的实数根．故不符合题意；D、∵，∴，∴．∴方程有两个不相等的实数根．故不符合题意；故选：B．【变式2】（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）不解方程，判断方程的根的情况是 ．【答案】没有实数根【分析】本题考查了根的判别式判断根的情况，根据一元二次方程的根与有如下关系：时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程无实数根，进行求解即可．解：方程整理得：，，，，，该方程没有实数根．故答案为：没有实数根．【题型2】已知方程根的情况确定参数的取值范围【例2】（2024·湖南衡阳·一模）关于x的一元二次方程有实数根．（1）求m的取值范围；（2）对于m取一个适当的值，并求出一元二次方程的根．【答案】(1)，且； (2)时，；【分析】（1）本题考查了一元二次方程的定义及其有实数根的判定，须满足只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，然后判别式大于或等于零即可解决问题．（2）本题考查了一元二次方程的解法，可利用因式分解法，求根公式即可．（1）解： 是关于x的一元二次方程， ，即， 关于x的一元二次方程有实数根， ，即， ， 的取值范围为，且．（2）当时，方程为，因式分解得，，解得：【变式1】若关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ）A． B．C．且 D．且【答案】A【分析】分两种情况讨论：当 方程为一元一次方程，再解方程即可判断，当 方程为一元二次方程，再根据根的判别式建立不等式求解即可．解：∵关于的方程有实数根，当 方程化为 解得： 此时方程有实数根，当时，方程有实数根，∴ 解得： 综上：关于的方程有实数根，则 故选A【点拨】本题考查的是一元二次方程根的判别式，理解方程有实数根时的分类讨论是解本题的关键．【变式2】关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 .【答案】a≤0且a≠-1【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到a+1≠0且△=22-4×（a+1）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．解：根据题意得a+1≠0且△=22-4×（a+1）≥0，解得a≤0且a≠-1．故答案为a≤0且a≠-1．【点拨】本题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式公式是解题得关键．【题型3】由一元二次方程根的判别式进行证明【例3】（22-23九年级上·山东菏泽·阶段练习）已知关于x的一元二次方程，（1）证明：当m取不为0的任何值时，方程总有实数根；（2）m为何整数时，方程有两个正整数根．【答案】(1)见详解 (2)m＝1【分析】（1）根据根的判别式即可求出答案．（2）根据因式分解法可求出方程的两根，根据题意给出的条件即可求出m的值．（1）解:由题意可知：，∵m≠0，∴当m取不为0的任何值时，方程总有实数根．（2）∵，∴（x−1）（mx−2）＝0，∴x＝1或x＝ ，∵方程有两个正整数根，m为整数，∴m＝1．【点拨】本题考查一元二次方程的判别式，因式分解法解方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．【变式1】（23-24八年级下·广西梧州·期中）关于的一元二次方程的根情况是（    ）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．没有实数根 D．实数根的个数由的值确定【答案】B【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，配方法，熟记判别式并灵活应用是解题关键．先确定a、b、c的值，计算的值进行判断即可求解．解：由题意可知：，，，方程有两个不相等的实数根．故选：B．【变式2】（2024·吉林长春·一模）当时，关于的方程根的情况是 ．【答案】有两个不相等的实数根【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，．解：关于的方程，∴，∵，∴，∴关于的方程有两个不相等的实数根，故答案为：有两个不相等的实数根．【题型4】由根与系数关系求关于方程两根的代数式的值【例4】（2024·江苏盐城·二模）已知：，是方程有两个实数根．求出下列代数式的值(1)； (2)．【答案】(1) (2)【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．（1）根据根与系数的关系可得，，再将所求代数式变形，最后代入求解即可；（2）根据题意可得，，推出，再将所求式子变形，最后代入求解即可．（1）解：，是方程有两个实数根，，，；（2），是方程有两个实数根，，，【变式1】（2024·湖南益阳·三模）已知方程的两个实数根分别为，，则式子的值等于（   ）A． B．0 C．2 D．6【答案】B【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；由题意易得，然后展开代入求解即可．解：由可得：，∴；故选B．【变式2】（2024·山东德州·二模）已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 ．【答案】17【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．先利用一元二次方程根的定义得到，则可化为，再根据根与系数的关系得，然后利用整体代入的方法计算．解：是一元二次方程的实数根，，，，是一元二次方程的两个实数根，，．故答案为：17．【题型5】根的判别式与根与系数关系的综合【例5】（23-24八年级下·浙江宁波·期中）已知关于x的一元二次方程有实数根．（1）求m的取值范围；（2）方程的两个实数根、满足，求实数m的值．【答案】(1) (2)【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围；（2）根据方程的系数结合，可得出关于的方程，解之经检验后即可得出结论．本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：找出关于的方程．（1）解： 关于的一元二次方程有实数根，，∴解得：．（2）解：原式∴∴∴∴（与相矛盾，故舍去），【变式1】（2024·江苏无锡·一模）设是关于x的一元二次方程的两个实数根，且，则m的值为（　　）A．1 B． C．3或 D．1或【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数关系：．先根据一元二次方程根与系数的关系得出，再得出，得出关于m的一元二次方程，求解，再根据判别式检验即可．解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根，∴，∵，∴，整理得：，，解得：或，当时，原方程为，，则原方程有实数根，符合题意；当时，原方程为，，则原方程无实数根，不符合题意；综上：．故选：A．【变式2】（2024·北京门头沟·一模）已知一元二次方程，有两个根，两根之和为正数，两根之积是负数，写出一组符合条件的a、b的值 ．【答案】，（答案不唯一）【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，一元二次方程的两个根为，，则两根分别与方程系数之间有如下关系：，．根据得到，两根之和为正数，两根之积是负数可知，，找出一组符合题意的数即可．解：一元二次方程有两个根，，，两根之和为正数，两根之积是负数，∴，，，令，．故答案为：，（答案不唯一）．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·四川南充·中考真题）已知，是关于的方程的两个不相等的实数根．（1）求的取值范围．（2）若，且，，都是整数，求的值．【答案】(1) (2)【分析】本题主要考查了根据一元二次方程根的情况求参数范围、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．（1）根据“，是关于的方程的两个不相等的实数根”，则，得出关于的不等式求解即可；（2）根据，结合（1）所求的取值范围，得出整数的值有，，，分别计算讨论整数的不同取值时，方程的两个实数根，是否符合都是整数，选择符合情况的整数的值即可．（1）解：∵，是关于的方程的两个不相等的实数根，∴，∴，解得：；（2）解：∵，由（1）得，∴，∴整数的值有，，，当时，方程为，解得：，（都是整数，此情况符合题意）；当时，方程为，解得：（不是整数，此情况不符合题意）；当时，方程为，解得：（不是整数，此情况不符合题意）；综上所述，的值为．【例2】（2024·四川内江·中考真题）已知关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和．（1）填空：________，________；（2）求，；（3）已知，求的值．【答案】(1)，； (2)，； (3)．【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，根的判别式，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键．（）利用根和系数的关系即可求解；（）变形为，再把根和系数的关系代入计算即可求解，由一元二次方程根的定义可得，即得，进而可得；（）把方程变形为，再把根和系数的关系代入得，可得或，再根据根的判别式进行判断即可求解．（1）解：由根与系数的关系得，，，故答案为：，；（2）解：∵，，∴，∵关于的一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根和，∴，∴，∴；（3）解：由根与系数的关系得，，，∵，∴，∴，∴，解得或，∴一元二次方程为或，当时，，不合题意，舍去；当时，，符合题意；∴．2、拓展延伸【例1】（23-24九年级上·江苏南京·期中）已知关于x的方程．（1）证明：不论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若k为整数，则当为何值时，方程的根是整数．【答案】(1)见解析 (2)当时，方程的根是整数【分析】（1）由可得结论；（2）求方程得，要使方程的解为整数，则为平方数，设，整理得，根据与的奇偶性相同，得出或，求出或即可．（1）证明：，∵，∴，∴无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）解：，，要使方程的解为整数，则为平方数，设，整理得：，∵与的奇偶性相同，∴或，解得：或，当时，方程变为，解得：或，∴当时，方程的根是整数．【点拨】本题考查了解一元二次方程，以及一元二次方程根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．【例2】（2024·湖北省直辖县级单位·模拟预测）一次函数与反比例函数的图象在第一象限交于A，B两点，其中．（1）求反比例函数表达式；（2）若把一次函数的图象向下平移b个单位，使之与反比例函数的图象只有一个交点，请求出b的值．【答案】(1) (2)或．【分析】本题考查的是一次函数与反比例函数的综合应用，一元二次方程根的判别式的应用，理解题意是解本题的关键；（1）把代入可得，再利用待定系数法求解函数解析式即可；（2）把一次函数的图象向下平移b个单位，平移后的解析式为，再结合一元二次方程根的判别式可得答案．（1）解：把代入可得：∴，∴；∴，∴反比例函数表达式为；（2）∵把一次函数的图象向下平移b个单位，∴平移后的解析式为，∴，∴，整理得：，∵与反比例函数的图象只有一个交点，∴有两个相等的实数根，∴，∴，∴或，解得：，∴或．