苏科版2024-2025学年九年级数学上册2.6 圆的对称性（专项练习）（培优练）（含答案）

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专题2.6 圆的对称性（专项练习）（培优练）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，在半径为5的圆O中，，是互相垂直的两条弦，垂足为P，且，则的长为（　　）A．3 B．4 C． D．2．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，是⊙的弦，且，若，则的度数为（    ）A． B． C． D．3．（2024·浙江杭州·二模）如图，是的弦，是的直径，于点．在下列结论中，不一定成立的是（    ）A． B．C． D．4．（2024·陕西西安·一模）如图，在内，以弦为边作等边，的延长线交于两点，过作于点，延长交于点，若，则的长为（    ）A．8 B．9 C．10 D．125．（2024·内蒙古呼伦贝尔·二模）如图，的半径为，点为上一点，连接，以为一条直角边，使，，交于点，则的长为（    ）  A． B． C． D．6．（2022·山东烟台·一模）如图，AB是半圆O的直径，以弦AC为折痕折叠后，恰好经过点O，则等于（    ）  A．120° B．125° C．130° D．145°7．（18-19九年级上·浙江杭州·期中）如图，⊙的直径，是圆上任一点（、除外），的平分线交⊙于，弦过、的中点、，则的长是（　　）A． B． C． D．8．（2024·江西九江·三模）如图1，是的直径，C是上的一点，连接，D是上的动点，过点D作于点E． 设，，y与x之间的函数关系的图象如图2所示，若P是图象的最高点，则的长是（    ）  A．10 B．6 C．5 D．9．（2023·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，C、D是半径为1的上两动点，且，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，面积的最大值是（    ）  A．8 B．6 C．4 D．310．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在中，直径于点E，．点F是弧上动点，且与点B、C不重合，P是直径上的动点，设，则m的取值范围是（　　）A． B． C． D．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．（2024·湖南长沙·二模）如图，的半径为，弦的长是，，垂足为，则的长为 ．12．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）如图，在中，直径于点E，，则弦的长为 ．13．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图，点在半径长为4的上，点分别是弦，弦的中点，连接，若弧的度数为，弧的度数为，则的长度为 ．14．（2023·广东珠海·三模）如图，是的外接圆，交于点E，垂足为点D，，的延长线交于点F，若，，则的面积是 ．15．（23-24九年级上·四川南充·期末）如图，在中，圆心角是的中点，作，与交于，则图中与相等的线段有 条．16．（2024九年级·全国·竞赛）如图，为的外接圆，的延长线交于点，且垂直于点，若的半径为cm，cm，则与的长度之比为 ．  17．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，为的弦，点A在内（点、A在弦的同一侧），连接、，若线段的长为8，线段的长为12，的度数与的度数相等，均为，则弦的长为 ．  18．（22-23九年级上·江苏泰州·期中）如图，点M是半圆的中点，点A、C分别在半径OM和上，，，，则的半径为 ．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，以的边上一点为圆心的圆，经过、两点，且与边交于点，为的下半圆弧的中点，连接交于，若．（1）连接，求证：；（2）若，，求的半径．20．（8分）（2024·上海静安·二模）已知：如图，是的直径，、、是的弦，．  （1）求证：；（2）如果弦长为8，它与劣弧组成的弓形高为2，求的长．21．（10分）（2023·贵州·模拟预测）如图，是的直径，弦与相交于点E，．（1）写出图中一对你认为全等的三角形 ；（2）求证：；（3）若的半径为4，，求的长．22．（10分）（22-23九年级上·湖北十堰·期中）如图，是的直径，为上的点，且，过点作于点．（1）求证：平分；（2）若，，求的半径长．23．（10分）（21-22九年级上·福建福州·期中）如图，四边形内接于，是的直径，点C为的中点，弦于点F，与交于点G． （1）求证：；（2）若，求的长．24．（12分）（20-21九年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，在⊙O中，AB是直径，P为AB上一点，过点P作弦MN，∠NPB=45°．（1）若AP=2，BP=6，求MN的长；（2）若MP=3，NP=5，求AB的长；（3）当P在AB上运动时（∠NPB=45°不变），的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请求出其范围．参考答案：1．D【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，作出辅助线是解题的关键．作于M，于N，连接，，首先利用勾股定理求出的长，然后判定四边形是正方形即可得到答案．【详解】解：作于M，于N，连接，，由垂径定理得勾股定理得：，弦互相垂直，，于M，于N，四边形是矩形，，四边形是正方形，故选：D．2．D【分析】根据圆心角、弧、弦的关系求出，再根据等腰三角形的性质求解即可．此题考查了圆心角、弧的关系，熟练掌握圆心角、弧的关系是解题的关键．【详解】解：如图，连接，，，，，，，，故选：D3．D【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理，熟练掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键，根据垂径定理、圆周角定理判断求解即可．【详解】解：根据垂径定理可以得到，故选项A不符合题意；∵是的直径，∴，故选项B不符合题意；∵，∴，∵∴,故选项C不符合题意；∵无法证明，∴选项D符合题意．4．C【分析】本题考查等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，垂径定理．由等边得到，从而，进而，，根据垂径定理得到，从而，根据等边三角形的性质即可解答．【详解】解：∵是等边三角形，∴，∵∴，∴，∴，∴，∵过圆心O，且，∴，∴，∴在等边中，．故选：C5．A【分析】本题考查了垂径定理，三角形的面积，勾股定理，过点作于，由垂径定理得，由勾股定理得，利用三角形的等面积法求得，再由勾股定理得，进而得，最后根据线段的和差关系即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．【详解】解：如图，过点作于，则，，  ∵的半径为，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故选：A．6．A【分析】连接OC，BC，过O作OE⊥AC于D交圆O于E，根据折叠的性质得到OD=OE，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据三角形的中位线的性质得到OD=BC，求得∠COB=60°，得到∠AOC=120°，于是得到结论．【详解】解：如图，连接OC，BC，过O作OE⊥AC于D交圆O于E，  ∵把半圆沿弦AC折叠，恰好经过点O，∴OD=OE，∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB=90°，∴OD∥BC，∵OA=OB，∴OD=BC，∴BC=OE=OB=OC，是等边三角形，∴∠COB=60°，∴∠AOC=120°，【点拨】本题考查了折叠的性质，垂径定理，中位线的性质，等边三角形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键．7．A【详解】∵是的角平分线，∴，∴弧弧，∴，又∵是直径，∴，即为等腰直角三角形．连接，交于点，则，∵，是，的中点，∴，∴，，连接根据勾股定理，得，．故答案为．故选．8．C【分析】本题主要考查动点函数图象问题和垂径定理，过点O作于点G，交于点H，由图象可知此时，，设，则，在中，由勾股定理可列方程，求出，得，从而可求出【详解】解：如图，过点O作于点G，交于点H，结合图象知，，，设，则，在中，∴解得，∴∴故选：C9．D【分析】根据一次函数与坐标轴的交点得出，确定，再由题意得出当的延长线恰好垂直时，垂足为点E，此时即为三角形的最大高，连接，利用勾股定理求解即可．【详解】解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴当时，，当时，，∴，∴，∴，∵的底边为定值，∴使得底边上的高最大时，面积最大，点P为的中点，当的延长线恰好垂直时，垂足为点E，此时即为三角形的最大高，连接，  ∵，的半径为1，∴∴，∵，∴，∴，∴，故选：D．【点拨】题目主要考查一次函数的应用及勾股定理解三角形，垂径定理的应用，理解题意，确定出高的最大值是解题关键．10．C【分析】本题主要考查了圆的对称性，垂径定理，勾股定理，三角形的任意两边之和大于第三边，连接，利用垂径定理可得是的垂直平分线，则；利用三角形的任意两边之和大于第三边，可得不等式（当D，P，F在一条直线上时取等号），结合图形即可得出结论．【详解】解：如图，连接，∵为的直径，，∴，∵，∴，∴，∴．∴．∵P是直径上的动点，，∴是的垂直平分线，∴．∵，∴，∵（当D，P，F在一条直线上时取等号），点F是弧BC上动点，且与点B、C不重合，∴直径，∴．故选：C．11．【分析】本题考查了垂径定理，和勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．先根据垂径定理得出，再用勾股定理即可求出的长．【详解】解：∵弦的长是，，∴，又∵半径为，，∴，∴，故答案为．12．【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．由垂径定理得，设的半径为，则，在中，由勾股定理得出方程，求出，即可得出，在中，由勾股定理即可求解．【详解】解：∵，，设的半径为，则，在中，由勾股定理得：，即，解得：，，，在中，由勾股定理得：，故答案为：．13．【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，三角形中位线定理以及勾股定理的运用，题目的综合性较强，解题的关键是正确添加辅助线构造直角三角，连接，作于点，根据已知得，可得，，所以，再根据是的中位线，即可得出答案．【详解】解：连接，作于点，∵弧的度数为，弧的度数为，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∵点分别是弦，弦的中点，∴是的中位线，∴．故答案为：．14．40【分析】由，得，结合，推出是的中位线，是的中位线，根据勾股定理求出圆的半径，得到的长，再根据直径所对的圆周角是直角知道，从而利用即可求得面积．【详解】为的中位线又，点是中点即为中点是的中位线是直径的面积故答案为：40．【点拨】本题主要考查垂径定理、勾股定理、三角形中位线，圆周角定理及其推论，勾股定理，二项式的化简等知识点，熟练掌握勾股定理和三角形中位线的性质是解题的关键．15．3【分析】此题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的性质与判定；连接，，根据圆心角、弧的关系求出，根据圆周角定理求出，根据直角三角形的性质求出，再根据等边三角形的判定与性质求解即可．【详解】解：如图，连接，，，是的中点，，，，，，，是等边三角形，，，，，是等边三角形，，，图中与相等的线段有条，故答案为：．16．【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，连接，根据题意可得：，根据垂径定理得出，进而得出，再得出，，即可得出答案．【详解】解：连接，  根据题意可得：，∵cm，∴，∴，∴，，∴．故答案为：．17．20【分析】延长交于D，根据，易证得是等边三角形，由此可求出，的长；过O作的垂线，设垂足为E；在中，根据的长及的度数易求得的长，进而可求出的长；由垂径定理知，由此得解．【详解】解：延长交于D，作于E．  ∵，∴，∴为等边三角形，∴，∴，又∵，，∴，∴，∴，∴，故答案为：20．【点拨】此题主要考查了等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，垂径定理的应用，难度适中．解题的关键是根据已知条件的特点，作辅助线构造出等边三角形和直角三角形．18．【分析】连接，易得点A在 上，在 中根据勾股定理求出，根据垂径定理得到，在中可得直径，即可得到半径．【详解】解：连接，∵ 是圆的直径，∴，∵，∴点A在 上，∵点M是半圆的中点， ∴， ∴，在中∵，，∴ ，∴ 在中 ，的半径为 ,故答案为．【点拨】本题考查垂径定理，勾股定理及直径所对圆周角是直角，解题关键是得到点A在 上．19．(1)见解析(2)【分析】本题考查了垂径定理，圆的相关性质，等腰三角形的性质，解题的关键是灵活运用这些性质．（1）连接，由圆的性质可得，根据，可得，由垂径定理可得，然后借助角关系转化可得结论；（2）在由勾股定理可求解．【详解】（1）解：连接，，，，，为的下半圆弧的中点，，，，；（2）在中，，，（不合题意舍去）或，的半径为．20．(1)见解析(2)10【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理和全等三角形的判定与性质：（1）作于点E，交于点F，连接运用证明，可得出结论； （2）设的半径为，在中，运用勾股定理列出方程求出的值即可得出结论．【详解】（1）解：作于点E，交于点F，连接如图，  ∵∴∴∵∴∴∵∴，∴；（2）解：设的半径为，则，又，∴，在中，，即：，解得，，∴.21．(1)(2)详见解析(3)【分析】本题考查了圆的概念及性质的应用，垂径定理及勾股定理的应用是解题关键．（1）由得，再证明，从而证明出；（2）由垂径定理可得结论；（3）根据勾股定理得出，再由垂径定理得出的长即可．【详解】（1）解： ，，，，，，，，∴．故答案为：．（2）证明：∵，，．（3）解：，，，，，，，．22．(1)见解析(2)【分析】（1）利用平行线的性质得到，根据半径相等可得，等量代换得到，进而证得结论；（2）过点作于，根据垂径定理得到，再证明得到，然后利用勾股定理计算的长即可．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴，∴，∴平分；（2）解：过点作于，如下图，∵，∴，∵，，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，在中，，即的半径长为．【点拨】本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质、垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键．23．(1)见解析(2)2【分析】（1）根据垂径定理以及圆周角定理可得，进而得到，再根据等腰三角形的判定可得；（2）利用圆心角、弦、弧之间的关系以及垂径定理证得，可得，再结合三角形中位线定理可得答案．【详解】（1）证明：∵点为的中点，∴，又∵弦，是直径，∴，∴，∴，∴；（2）解：如图，过点作，垂足为，连接，，  ∵，∴，即，∴，又∵，，∴，，则，又∵，∴，∴，∵，∴是的中位线，∴，∴．【点拨】本题考查垂径定理、圆周角定理以及圆心角、弦、弧、圆心距之间的关系定理，掌握垂径定理、圆周角定理，圆心角、弦、弧之间的关系定理以及等腰三角形的判定方法、全等三角形的判定及性质、三角形中位线定理是正确解答的前提．24．（1）；（2）；（3）不变，值为【分析】（1）作OH⊥MN于H，连接ON，先计算出OA=4，OP=2，在Rt△POH中，由于∠OPH=45°，则OH=OP=，再在Rt△OHN中，利用勾股定理计算出NH=，然后根据垂径定理由OH⊥MN得到HM=HN，所以MN=2NH=2；（2）作OH⊥MN于H，连接ON，先计算出HM=HN=4，PH=1，在Rt△POH中，由∠OPH=45°得到OH=1，再在Rt△OHN中利用勾股定理可计算出ON=，所AB=2ON=2；(3) 作OH⊥MN于H，连接ON，根据垂定理得HM=HN，设圆的半径为R，在Rt△OHN中，利用勾股定理得到OH2+NH2=ON2=R2，在Rt△POH中，由∠OPH=45°得OH=PH，则PH2+NH2=R2，然后变形PM2+PN2可得到2（PH2+NH2），所以PM2+PN2的值为2R2，又AB=2R，代入计算即可求出答案．【详解】解：（1）作OH⊥MN于H，连接ON，∵AP=2，BP=6，∴AB=8，∴OA=4，OP=2，在Rt△POH中，∵∠OPH=45°，∴OH=OP=，在Rt△OHN中，∵ON=4，OH=，∴NH===，∵OH⊥MN，∴HM=HN，∴MN=2NH=2；（2）作OH⊥MN于H，连接ON，则HM=HN，∵MP=3，NP=5， ∴MN=8，∴HM=HN=4，∴PH=1，在Rt△POH中，∵∠OPH=45°，∴OH=1， 在Rt△OHN中，∵HN=4，OH=1，∴ON==，∴AB=2ON=2；（3）的值不发生变化，为定值，作OH⊥MN于H，连接ON，则HM=HN，设圆的半径为R，在Rt△OHN中，OH2+NH2=ON2=R2， 在Rt△POH中，∵∠OPH=45°，∴OH=PH，∴PH2+NH2=R2，∵PM2+PN2=（HM-PH）2+（NH+PH）2=（NH-PH）2+（NH+PH）2=2（PH2+NH2）=2R2．又AB2=4R2，∴==∴的值不发生变化，为定值．【点拨】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．