苏科版2024-2025学年九年级数学上册2.7确定圆的条件(知识梳理与考点分类讲解)(学生版+解析)（含答案解析）

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专题2.7 确定圆的条件（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】确定圆的条件过不在同一直线上的三个点确定一个圆.【要点提示】（1）过一点可以作无数个圆；（2）过两点可以作无数个圆；（3）过三个能作一个圆，但前提是三点不共线.【知识点二】三角形的外接圆与外心1、三角形的外接圆：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.【要点提示】（1）“内”“外”是相对的位置关系，是以一个图形为准，另一个图形相对在其内还是外；（2）“接”说明三角形的顶点和圆的关系是顶点在圆上；（3）一个三角形的外心有且只有一个，而一个圆的内接三角形有无穷多个.2、三角形外心的性质：三角形外心是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等.3、三角形外心的位置：锐角三角形的外心在其内部；直角三角形外心是其斜边的中点；钝角三角形外心在其外部.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】三角形外接圆的理解与作图【例1】（22-23九年级上·陕西西安·期末）如图，是的外接圆，请利用尺规作图法，作出劣弧的中点（保留作图痕迹，不写作法）．【变式1】下列语句中，正确的是（    ）A．同一平面上的三点确定一个圆B．三角形的外心到三角形三边的距离相等C．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点D．菱形的四个顶点在同一圆上【变式2】（2022·江苏泰州·二模）如图，点O是△ABC的外心，连接OB，若∠OBA＝17°，则∠C的度数为 °．【题型2】判断确定圆的条件【例2】（20-21九年级下·全国·课后作业）图，在四边形ABCD中，AB=6，BC=8，CD=24，AD=26，∠B=90°，以AD为直径作圆O，证明点C在圆O上；【变式1】（23-24九年级上·江苏无锡·期中）下列说法中正确的命题是（    ）A．一个三角形只有一个外接圆B．平分弦的直径，平分这条弦所对的弧C．过三点可以画一个圆D．三角形的外心到三角形的三边距离相等【变式2】（2023·安徽合肥·二模）如图，在矩形中，，，M，N分别是，上的动点，连接，交于点E，且． （1） ．（2）连接，则的最小值为 ．【题型3】求外接圆的半径或外心坐标【例3】（23-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，．  （1）尺规作图：作的外接圆（保留作图痕迹）；（2）求（1）中所作外接圆的半径． 【变式1】（23-24九年级上·河北邯郸·期中）如图，点、、都是格点，外接圆的圆心坐标是（    ）A． B． C． D．【变式2】（2023·湖北襄阳·二模）在中，，，则这个三角形的外接圆的半径是 ．【题型4】与外心相关的综合题【例4】（2024·江苏常州·一模）如图，在中，，交的延长线于点C，交的延长线于点E．（1）求证：．（2）运用无刻度的直尺和圆规画出的外接圆，且当，时，的外接圆半径为________． 【变式1】（21-22九年级上·湖北武汉·期末）如图是一个含有3个正方形的相框，其中∠BCD＝∠DEF＝90°，AB＝2，CD＝3，EF＝5，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使A，G， H三点刚好在金属框上，则该金属框的半径是（    ）A． B． C． D．【变式2】（2023·河北沧州·模拟预测）如图，点O为的外心，过点O分别作AB、AC的垂线、，交BC于D、E两点．  （1）若，则的度数为 ；（2）过点O作于点F，，则的周长为 ．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2023·内蒙古·中考真题）如图，是锐角三角形的外接圆，，垂足分别为，连接．若的周长为21，则的长为（    ）  A．8 B．4 C．3.5 D．3【例2】（2021·广西梧州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（0，﹣5），若在x轴正半轴上有一点C，使∠ACB＝30°，则点C的横坐标是（　　）A．34 B．12 C．6+3 D．62、拓展延伸【例1】（2022·云南昆明·一模）如图，在▱中，点是的中点，点是边上的点，，由，，三点确定的圆的周长为．  （1）求证：平分；（2）若，，，求的值． 【例2】（2022八年级上·江苏·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴负半轴、y轴正半轴上，(a为常数)，以C为圆心、适当的长度为半径作，使点A、B在上．（1）请用无刻度的直尺和圆规作出．（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若，直线与有且只有一个公共点，则 ． 专题2.7 确定圆的条件（知识梳理与考点分类讲解）第一部分【知识点归纳】【知识点一】确定圆的条件过不在同一直线上的三个点确定一个圆.【要点提示】（1）过一点可以作无数个圆；（2）过两点可以作无数个圆；（3）过三个能作一个圆，但前提是三点不共线.【知识点二】三角形的外接圆与外心1、三角形的外接圆：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形.【要点提示】（1）“内”“外”是相对的位置关系，是以一个图形为准，另一个图形相对在其内还是外；（2）“接”说明三角形的顶点和圆的关系是顶点在圆上；（3）一个三角形的外心有且只有一个，而一个圆的内接三角形有无穷多个.2、三角形外心的性质：三角形外心是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等.3、三角形外心的位置：锐角三角形的外心在其内部；直角三角形外心是其斜边的中点；钝角三角形外心在其外部.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】三角形外接圆的理解与作图【例1】（22-23九年级上·陕西西安·期末）如图，是的外接圆，请利用尺规作图法，作出劣弧的中点（保留作图痕迹，不写作法）．【答案】见解析．【分析】分别以点、点为圆心，大于一半长为半径在线段同侧画弧，两弧交于一点；因为是的外接圆，圆心到点与点的距离相等，即圆心是线段垂直平分线上的点，过两弧的交点与圆心作直线，即线段的垂直平分线，其与劣弧的交点即所求．解：如图，点即所求．【点拨】本题考查了三角形外接圆的性质、垂直平分线的作法及性质等知识点，正确把握垂直平分线的作法是解这道题的关键．【变式1】下列语句中，正确的是（    ）A．同一平面上的三点确定一个圆B．三角形的外心到三角形三边的距离相等C．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点D．菱形的四个顶点在同一圆上【答案】C【分析】本题考查外心定义，圆的定义，垂直平分线性质，圆内接四边形性质．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案．解：∵同一平面内，不在同一直线上的三个点可以确定一个圆，故A选项不正确；∵三角形外心是三角形三边垂直平分线的交点，根据垂直平分线性质可知外心到三角形三个顶点距离相等，故B选项不正确，C选项正确；∵圆内接四边形对角互补，菱形对角相加不一定等于，故D选项不正确，故选：C．【变式2】（2022·江苏泰州·二模）如图，点O是△ABC的外心，连接OB，若∠OBA＝17°，则∠C的度数为 °．【答案】73【分析】连接，，根据三角形的内角和和等腰三角形的性质即可得到结论．解：连接，， 点是的外心，，，，，， ， 即，，，．故答案为：．【点拨】本题主要考查三角形的外接圆与外心，三角形的内角和，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．【题型2】判断确定圆的条件【例2】（20-21九年级下·全国·课后作业）图，在四边形ABCD中，AB=6，BC=8，CD=24，AD=26，∠B=90°，以AD为直径作圆O，证明点C在圆O上；【答案】证明见解析【分析】连接CO；由勾股定理求出AC，利用勾股定理的逆定理证明△ACD是直角三角形，得出∠ACD=90°；再根据斜边上中线的性质和圆的对称性分析，即可完成证明．解：图，连接CO ∵AB=6，BC=8，∠B=90°，∴ ∵CD=24，AD=26∴ ∴△ACD是直角三角形，∴∠ACD=90°∵AD为⊙O的直径∴AO=OD ∴OC为Rt△ACD斜边上的中线∴ ∴点C在圆O上．【点拨】本题考查了圆、勾股定理、直角三角形斜边中线的知识；解题的关键是熟练掌握圆的对称性、勾股定理及其逆定理、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解．【变式1】（23-24九年级上·江苏无锡·期中）下列说法中正确的命题是（    ）A．一个三角形只有一个外接圆B．平分弦的直径，平分这条弦所对的弧C．过三点可以画一个圆D．三角形的外心到三角形的三边距离相等【答案】A【分析】根据三角形的外接圆、垂径定理的推论、确定圆的条件、三角形的外心的概念判断即可．本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．解：A、一个三角形只有一个外接圆，命题正确，符合题意；B、平分弦（不是直径）的直径，平分这条弦所对的弧，故本选项命题错误，不符合题意；C、过不在同一直线上的三点可以画一个圆，故本选项命题错误，不符合题意；D、三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等，故本选项命题错误，不符合题意；故选：A．【变式2】（2023·安徽合肥·二模）如图，在矩形中，，，M，N分别是，上的动点，连接，交于点E，且． （1） ．（2）连接，则的最小值为 ．【答案】 /90度 2【分析】（1）由，推出，最后利用矩形的性质即可得解；（2）先确定E点的运动路径是个圆，再利用圆的知识和两点这间线段最短确定最短长度，然后利用勾股定理即可得解．解：（1）∵，，∴，∴.∵四边形是矩形，∴，，∴，故答案为．（2）∵，点E在以为直径的圆上，设的中点为O，则当O，E，C三点共线时，的值最小，此时 ∵，，∴，∴，∴，故答案为2．【点拨】本题考查了矩形的性质，勾股定理，最短距离，圆等知识的应用，熟练掌握其性质是解决此题的关键．【题型3】求外接圆的半径或外心坐标【例3】（23-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，在中，．  （1）尺规作图：作的外接圆（保留作图痕迹）；（2）求（1）中所作外接圆的半径． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，是等腰三角形，作出边的中垂线，交点即为的外接圆圆心，连接圆心与的一个顶点，以这个线段长为半径作圆即可得到答案；（2）如图所示，由垂径定理可知于，且，再由勾股定理求出线段长即可得到答案． （1）解：如图所示：   即为所求；（2）解：如图所示：   于，且，，，在中，，则，在中，，则，设，则，即，解得，（1）中所作外接圆的半径．【点拨】本题考查尺规作图及圆中求线段长，涉及中垂线尺规作图、圆的确定、垂径定理与勾股定理等知识，熟练掌握圆的性质是解决问题的关键．【变式1】（23-24九年级上·河北邯郸·期中）如图，点、、都是格点，外接圆的圆心坐标是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了三角形的外接圆的外心，作线段的垂直平分线交于点，点即为的外接圆的圆心．解：如图，作线段的垂直平分线交于点，点即为的外接圆的圆心， 由图可知，点的坐标是：，故选：B．【变式2】（2023·湖北襄阳·二模）在中，，，则这个三角形的外接圆的半径是 ．【答案】4或5【分析】本题考查了直角三角形外接圆半径，掌握理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆是解题的关键．根据外接圆直径是斜边长，分斜边为和两种情况进行讨论计算即可．解：当为斜边时， 是直角，三角形外接圆直径，半径是4；当为斜边时，为直角，，，三角形外接圆直径为半径是5；综上所述：半径为4或5．【题型4】与外心相关的综合题【例4】（2024·江苏常州·一模）如图，在中，，交的延长线于点C，交的延长线于点E．（1）求证：．（2）运用无刻度的直尺和圆规画出的外接圆，且当，时，的外接圆半径为________． 【答案】(1)见解析 (2)作图见解析，【分析】本题考查了作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键.（1）由“”可证 （2）分别作的垂直平分线，两条直线交于点，以点为圆心，长为半径画圆即可画出的外接圆，由勾股定理可求的长， 即可求解.解：（1）)证明：， ，又 ， 在 和 ，， ；（2） ∵，，∴， ，∴， 的外接圆半径 ，故答案为：【变式1】（21-22九年级上·湖北武汉·期末）如图是一个含有3个正方形的相框，其中∠BCD＝∠DEF＝90°，AB＝2，CD＝3，EF＝5，将它镶嵌在一个圆形的金属框上，使A，G， H三点刚好在金属框上，则该金属框的半径是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】如图，记过A，G， H三点的圆为则是，的垂直平分线的交点， 记的交点为 的交点为 延长交于为的垂直平分线，结合正方形的性质可得：再设利用勾股定理建立方程，再解方程即可得到答案.解：如图，记过A，G， H三点的圆为则是，的垂直平分线的交点， 记的交点为 的交点为 延长交于为的垂直平分线，结合正方形的性质可得： 四边形为正方形，则 设 而AB＝2，CD＝3，EF＝5，结合正方形的性质可得：而 又 而 解得： 故选A【点拨】本题考查的是正方形的性质，三角形外接圆圆心的确定，圆的基本性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，确定过A，G， H三点的圆的圆心是解本题的关键.【变式2】（2023·河北沧州·模拟预测）如图，点O为的外心，过点O分别作AB、AC的垂线、，交BC于D、E两点．  （1）若，则的度数为 ；（2）过点O作于点F，，则的周长为 ．【答案】 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质得，，从而有，，由三角形内角和定理，从而由可求得结果；（2）连接，由已知可得点O在线段的垂直平分线上，则可得；再利用线段垂直平分线的性质得，，最后可求得周长的值．解：（1）∵点O为中的外心，，，∴、是的垂直平分线，∴，，∴，，∴，，∵，∴，∴，∴；故答案为：；（2）连接，∵是边的垂直平分线，是边的垂直平分线，∴，，∴，∴点O在线段的垂直平分线上，∵，∴，∵，，∴的周长．   故答案为：．【点拨】本题考查了三角形的外心，线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质等知识，掌握线段垂直平分线的性质与判定是关键．第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例1】（2023·内蒙古·中考真题）如图，是锐角三角形的外接圆，，垂足分别为，连接．若的周长为21，则的长为（    ）  A．8 B．4 C．3.5 D．3【答案】B【分析】根据三角形外接圆的性质得出点D、E、F分别是的中点，再由中位线的性质及三角形的周长求解即可．解：∵是锐角三角形的外接圆，，∴点D、E、F分别是的中点，∴，∵的周长为21，∴即，∴，故选：B．【点拨】题目主要考查三角形外接圆的性质及中位线的性质，理解题意，熟练掌握三角形外接圆的性质是解题关键．【例2】（2021·广西梧州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A（0，1），B（0，﹣5），若在x轴正半轴上有一点C，使∠ACB＝30°，则点C的横坐标是（　　）A．34 B．12 C．6+3 D．6【答案】A【分析】如图，作的外接圆 连接 过作轴于 作轴于 则四边形是矩形，再证明是等边三角形，再分别求解即可得到答案.解：如图，作的外接圆 连接 过作轴于 作轴于 则四边形是矩形， 是等边三角形， 故选：【点拨】本题考查的是坐标与图形，三角形的外接圆的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理分应用，灵活应用以上知识解题是解题的关键.2、拓展延伸【例1】（2022·云南昆明·一模）如图，在▱中，点是的中点，点是边上的点，，由，，三点确定的圆的周长为．  （1）求证：平分；（2）若，，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）延长交延长线于点，先证≌得、及，结合得，根据即可得证；（2）先证得出，据此求得的长，从而得出的长度，再由、知，即是的外接圆直径，从而得出答案．解：（1）证明：延长交延长线于点，    四边形是平行四边形，，，，为的中点，，，、，，由，则，，又，，平分；（2）解：连接，，，，，，，，即，由四边形是平行四边形得，，，解得：，，、，，是的外接圆直径，的外接圆的周长【点拨】本题主要考查四边形的综合问题，解题的关键是掌握平行四边形的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质、勾股定理等知识点．【例2】（2022八年级上·江苏·专题练习）在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴负半轴、y轴正半轴上，(a为常数)，以C为圆心、适当的长度为半径作，使点A、B在上．（1）请用无刻度的直尺和圆规作出．（保留作图痕迹，不写作法）；（2）若，直线与有且只有一个公共点，则 ． 【答案】(1)见解析 (2)4或24【分析】（1）由点C的坐标知，改点在直线上，由圆的定义知，点C在的中垂线上，故上述两条直线的交点，即为点C为位置，即可求解；（2）求出点，由，即可求解．解：（1）由点C的坐标知，该点在直线上，由圆的定义知，点C在的中垂线上，故上述两条直线的交点，即为点C为位置，由此画出如下图所示． （2）如下图所示，设直线与有且只有一个公共点为点T， 则和直线垂直，且，∵点C在直线，∴点T是直线和直线的交点，则点，由得：，解得或．故答案为：4或24．【点拨】本题为一次函数综合题，涉及到图象作图、圆的基本知识，其中（2），确定点T的位置，是本题解题的关键，题目综合性强，有一定的难度．