北京市大兴区2023-2024学年高二上学期期中检测数学试题（Word版附解析）

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2023.11
1．本试卷共页，共两部分，21道小题．满分150分．考试时间120分钟．
2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号．
3． 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4． 在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答．
第一部分 （选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1. 斜率为的直线的倾斜角为（ ）
A B.
C. D.
2. 已知两个向量，且，则（ ）
A. B.
C. D.
3. 某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是（ ）
A. 至多一次中靶B. 两次都中靶C. 只有一次中靶D. 两次都没中靶
4. 点到直线的距离等于（ ）
A. B.
C. D.
5. 圆关于点中心对称的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
6. “”是“直线和直线垂直”的（ ）
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
7. 已知两点，，则以线段为直径的圆的方程为（ ）
A. B.
C. D.
8. 在空间直角坐标系中，已知，若点在平面内，则（ ）
A B.
C D.
9. 如图，已知正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则下列四个结论正确的是（ ）
A. 存在点，使
B. 三棱锥的体积随动点变化而变化
C. 直线与所成的角不可能等于
D. 存在点，使平面
10. 如图，已知两点，从点射出的光线经直线反射后射到直线上，再经直线反射后射到点，则光线所经过的路程等于（ ）

A. B.
C D.
第二部分 （非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．
11. 直线的一个方向向量为______.
12. 在空间直角坐标系中，已知，，，则的坐标为______.
13. 已知等腰三角形的顶点为，底边的一个端点为，则底边的另一个端点的轨迹方程为_________．
14. 甲、乙二人进行射击游戏，甲、乙射击击中与否是相互独立事件，规则如下：若射击一次击中，则此人继续射击；若射击一次不中，就由对方接替射击． 已知甲、乙二人射击一次击中的概率均为，且第一次由甲开始射击，则前2次射击中甲恰好击中1次的概率是_________；第3次由甲射击的概率是_________．
15. 在平面直角坐标系中，定义、两点间的直角距离为，如图，是圆当时的一段弧，是与轴的交点，将依次以原点为中心逆时针旋转五次，得到由六段圆弧构成的曲线．则_______．若点为曲线上任一点，则的最大值为________．
三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16. 已知中，点，点，点．
（1）求边上的高所在直线的方程；
（2）求角平分线所在直线的方程．
17. 有3个相同的球，分别标有数字1，2，3，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．用表示试的样本点，其中表示第一次取出球的数字，表示第二次取出球的数字． 设事件“第一次取出的球的数字是1”，事件“两次取出的球的数字之和是4”．
（1）写出这个试验的样本空间；
（2）分别求出的值；
（3）判断事件和事件是否相互独立，并说明理由．
18. 在长方体中，，是中点．以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

（1）写出在平面上的投影向量的坐标；
（2）求点到平面的距离；
（3）求直线与平面所成角的正弦值．
19. 已知圆经过点和点，且圆心在直线上．
（1）求圆的方程；
（2）若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程．
20. 如图，在三棱柱中， 平面，，， 分别是的中点．

（1）求证：；
（2）求证：平面；
（3）在棱上是否存在一点，使得平面与平面的夹角为？若存在， 求的值；若不存在，请说明理由．
21. 已知直线的方程分别是，点的坐标为．过点的直线的斜率为，且与分别交于点的纵坐标均为正数
（1）若，且为线段中点，求实数的值及的面积；
（2）是否存在实数，使得的值与无关？若存在，求出所有这样的实数；若不存在，说明理由．