2024-2025学年四川省南充市阆中中学高一（上）开学数学试卷（含解析）

这是一份2024-2025学年四川省南充市阆中中学高一（上）开学数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各等式中，因式分解正确的是( )
A. x2−4x+16=(x−4)2B. 3x2−9y+3=3(x2−3y+1)
C. x2−4y2=(x+4y)(x−4y)D. x2−2x−3=(x+3)(x−1)
2.“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植.某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高(单位：cm)分别是23，24，23，25，26，23，25.则这组数据的众数和中位数分别是( )
A. 24，25B. 23，23C. 23，24D. 24，24
3.已知集合M={0,4}，N={x|0A. {4}B. {x|0≤x<5}
C. {x|04.下列说法中，正确的是( )
A. 若a>b，则 1a<1b
B. 若a>b，则ac>bc
C. 若a>b>0，c>d>0，则ac>bd
D. 若a>b，则ca5.若命题“∃x0∈R, x02+2mx0+m+2<0”为假命题，则m的取值范围是( )
A. [−1,2]B. (−∞,−1)∪(2,+∞)
C. (−1,2)D. (−∞,−1]∪[2,+∞)
6.已知lg83=a，lg87=b，则lg8349的值为( )
A. a−b2B. a−2bC. b2aD. ab2
7.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，AD平分∠BAC，则CD的长是( )
A. 407
B. 307
C. 3
D. 5
8.已知当自变量x在m≤x≤4的范围内时，二次函数y=−(x−2)2+7的最大值与最小值的差为4，则常数m的值可为( )
A. −3B. −1C. 1D. 3
9.若a>1，则4a+1a−1的最小值为( )
A. 4B. 6C. 8D. 无最小值
10.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(x)−4f(1x)=−15x，则f(2)的值为( )
A. 152B. 154C. 174D. 172
11.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的大致图象如图所示，顶点坐标为(−2,−9a)，下列结论：①4a+2b+c>0；②5a−b+c=0；③若方程a(x+5)(x−1)=−1有两个根x1和x2，且x1A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
12.已知关于x不等式(x−2)(ax+b)x−c≥0的解集为(−∞,−2]∪(1，2]，则( )
A. c=2
B. 点(a,b)在第二象限
C. y=ax2+bx−2a的最大值为3a
D. 关于x的不等式ax2+ax−b≥0的解集为[−2,1]
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知集合A={x|−3≤x<3}，B={x|x≥1}，则A∩(∁RB)= ______．
14.若m，n是一元二次方程x2−5x+2=0的两个实数根，m+(n−2)2的值为______．
15.已知m−x= 5+2，则m2x−1+m−2xm3x+m−3x= ______；
16.设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为高斯函数，也叫取整函数，例如[2.3]=2.令函数f(x)=x−[x]．
①f(−1.7)=0.3
②f(x+1)=f(x)
③f(x)的最大值为1，最小值为0
④y=f(x)与y=x−1的图象有2个交点
以上结论正确的是______．
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)解不等式组：x+32−x+1≥03(x−1)>2x−2；
(2)计算：0.02713−(−17)−2+25634−3−1+( 2−1)0．
18.(本小题12分)
设条件p：2x2−3x+1≤0；条件q：x2−(2a+1)x+a(a+1)≤0.若￢p是￢q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
19.(本小题12分)
某校准备设置的五类劳动课程分别为：A.整理与收纳；B.烹饪与营养；C.传统工艺制作；D.新技术体验与应用；E.公益劳动与志愿服务.为了解学生对这五类劳动课程的喜爱情况，随机调查了一些学生(每名学生必选且只能选择这五类课程中的一种)，并将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据上述信息，解答下列问题．
(1)本次被调查的学生有______名，并补全条形统计图；
(2)扇形统计图中E对应的扇形的圆心角度数是______；
(3)学校准备推荐甲、乙、丙、丁4名同学中的2名参加全市传统工艺制作展示，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两位同学同时被选中的概率．
20.(本小题12分)
如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，已知AB=10，AE=8，点P为AB上任意一点，(点P不与A，B重合)，连接CP并延长与⊙O交于点Q，连QD，PD，AD．
(1)求CD的长．
(2)若CP=PQ，直接写出AP的长．
(3)①若点P在A，E之间(点P不与点E重合)，求证：∠ADP=∠ADQ．
②若点P在B，E之间(点P不与点E重合)，求∠ADP与∠ADQ满足的关系．
21.(本小题12分)
已知函数h(x)=ax2+ax+2．
(1)若对于任意x∈R，不等式h(x)>−1恒成立，求实数a的取值范围；
(2)当a<0时，解关于x的不等式h(x)<(1−a)x+4．
22.(本小题12分)
已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=1−22x+1．
(1)求函数f(x)在R上的解析式；
(2)若对任意实数m，f(m)+f(m2−t)>0恒成立，求实数t的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：对于A，(x−4)2=x2−8x+16，该选项错误，不符合题意；
对于B，3x2−9y+3=3(x2−3y+1)，该选项正确，符合题意；
对于C，x2−4y2=(x+2y)(x−2y)，该选项错误，不符合题意；
对于D，x2−2x−3=(x−3)(x+1)，该选项错误，不符合题意．
故选：B．
根据提公因式法、公式法及十字相乘法的综合运用，进行分解逐一判断即可．
本题主要考查了提公因式法、公式法及十字相乘法的综合运用，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：苗高由小到大排列为：23，23，23，24，25，25，26，
所以这组数据的众数和中位数分别是23，24．
故选：C．
把给定数据由小到大排列，再求出众数、中位数即得．
本题主要考查中位数、众数的定义，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：集合M={0,4}，N={x|0则M∪N={x|0≤x<5}．
故选：B．
根据并集的定义写出M∪N．
本题考查了并集的定义与运算问题，是基础题．
4.【答案】C
【解析】解：选项A中，若a=2，b=−1满足a>b，但仍然有1a>1b，A错；
选项B中，若c=0，则ac=bc，B错；
选项C中，则a>b>0，c>d>0得ac>bc，bc>bd，∴ac>bd，C正确；
选项D中，若c=0，则ca=cb，甚至a，b中有一个为0时，ca或cb无意义，D错．
故选：C．
根据不等式的性质判断，也可举特例说明．
本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查命题的否定，特称命题和全称命题之间的关系，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．
直接利用命题的否定和二次函数的性质的应用求出结果．
【解答】
解：命题“∃x0∈R, x02+2mx0+m+2<0”为假命题，
则：命题“∀x∈R，使得x2+2mx+m+2≥0”是真命题．
故：4m2−4(m+2)≤0，
解得：−1≤m≤2，
故：m∈[−1,2]．
故选：A．
6.【答案】B
【解析】解：lg8349=lg83−lg872=lg83−2lg87=a−2b．
故选：B．
根据对数的运算性质即可求解．
本题主要考查了对数运算性质的应用，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
则AB= 62+82=10，
过C作CE/​/AB交AD的延长线于点E，
则∠E=∠BAD=∠CAD，即CE=AC，
由CE/​/AB，得CDBD=CEAB=ACAB=610=35，
所以CD=38BC=3．
故选：C．
过C作CE/​/AB，利用平行线的性质，结合已知列式计算即得．
本题考查三角形中的几何计算，属中档题．
8.【答案】C
【解析】解：∵二次函数y=−(x−2)2+7，
∴该函数图象开口向下，当x=2时，y取得最大值7，
∵当自变量x在m≤x≤4的范围内时，
二次函数y=−(x−2)2+7的最大值与最小值的差为4，
∴当0≤m≤2时，x=4时取得最小值，x=2时取得最大值，
此时最大值与最小值的差为7−[−(4−2)2+7]=4；
当m<0时，x=m和x=2分别取得最小值和最大值，
此时最大值与最小值的差大于4，不符合题意；
当2此时最大值与最小值的差小于4，不符合题意；
由上可得，m的取值范围是0≤m≤2．
故选：C．
配方得x=2时，ymax=7，分0≤m≤2、m<0和2本题考查了二次函数的图象性质，涉及到分类讨论思想的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题．
9.【答案】C
【解析】解：∵a>1，∴a−1>0，
∴4a+1a−1=4(a−1)+1a−1+4≥2 4(a−1)⋅1a−1+4=8，
当且仅当4(a−1)=1a−1，即a=32时，等号成立，
即4a+1a−1的最小值为8．
故选：C．
由a>1可得a−1>0，所以4a+1a−1=4(a−1)+1a−1+4，再利用基本不等式求解．
本题主要考查了基本不等式的应用，属于基础题．
10.【答案】D
【解析】解：因为定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足f(x)−4f(1x)=−15x，
所以f(1x)−4f(x)=−15x，所以f(1x)=4f(x)−15x，
所以f(x)−4[4f(x)−15x]=−15x，解得f(x)=4x+1x，
所以f(2)=8+12=172．
故选：D．
由已知可知f(1x)−4f(x)=−15x，与已知的式子联立方程组可求出f(x)，从而可求出f(2)的值．
本题考查函数的解析式及性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11.【答案】B
【解析】解：由图可知a>0，由于二次函数的顶点坐标为(−2,−9a)，
所以−b2a=−24ac−b24a=−9a，整理得b=4a，c=−5a，
所以①4a+2b+c=4a+8a−5a=7a>0，①正确．
②5a−b+c=5a−4a−5a=−4a<0，②错误．
③y=ax2+bx+c=ax2+4ax−5a=a(x+5)(x−1)，
所以二次函数与x轴交点的横坐标是−5和1，
若方程a(x+5)(x−1)=−1有两个根x1和x2，且x1则−5④若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，根据对称性可知，
这四个根的和为(−2×2)×2=−8，所以④错误．
综上所述，正确的有2个．
故选：B．
根据定点坐标求得a，b，c的关系式，由此对4个结论进行分析，从而确定正确答案．
本题主要考查二次函数的图象和性质，考查计算能力，属于基础题．
12.【答案】D
【解析】解：原不等式等价于(x−2)(ax+b)(x−c)≥0x−c≠0，
因为解集为(−∞,−2]∪(1，2]，所以x=1和x=−2分别是x−c=0和ax+b=0的实数根，
故a<0且c=1，−2a+b=0，故A错误；
因为a<0，b=2a<0，所以点(a,b)在第三象限，故B错误；
y=ax2+bx−2a=ax2+2ax−2a=a(x2+2x−2)=a(x+1)2−3a，由于开口向下，故最大值为−3a，故C错误，
由ax2+ax−b≥0得ax2+ax−2a≥0即x2+x−2≤0解集为[−2,1]，故D正确．
故选：D．
根据分式不等式与整式不等式的转化，结合解的性质可得x=1和x=−2分别是x−c=0和ax+b=0的实数根，即可得c=1，−2a+b=0，进而可求解AB，利用二次函数的性质即可求解C，由一元二次不等式的求解即可判断D．
本题主要考查了高次不等式的解法，考查了二次函数的性质，属于中档题．
13.【答案】{x|−3≤x<1}
【解析】解：由B={x|x≥1}，得∁RB={x|x<1}，
又因为A={x|−3≤x<3}，
所以A∩(∁RB)={x|−3≤x<1}．
故答案为：{x|−3≤x<1}．
根据给定条件，利用补集、交集的定义求解即得．
本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
14.【答案】7
【解析】解：由韦达定理可得m+n=5，将n代入方程可得n2−5n+2=0，
故m+(n−2)2=m+n2−4n+4=m+5n−2−4n+4=m+n+2=5+2=7．
故答案为：7．
根据韦达定理和方程的根可得m+n=5以及n2−5n+2=0，即可代入化简求解．
本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，属于基础题．
15.【答案】 510．
【解析】解：∵m−x= 5+2，∴mx=1 5+2= 5−2，
∴m−x+mx=2 5，
则m2x−1+m−2xm3x+m−3x=m2x−1+m−2x(mx+m−x)(m2x−1+m−2x)=1mx+m−x=12 5= 510，
故答案为： 510．
m−x= 5+2，可得mx=1 5+2= 5−2，于是m−x+mx=2 5.对于m2x−1+m−2xm3x+m−3x利用乘法公式即可得出．
本题考查了指数幂的运算性质、乘法公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
16.【答案】①②
【解析】解：f(−1.7)=−1.7−[−1.7]=−1.7+2=0.3，故①正确；
f(x+1)=x+1−[x+1]=x+1−([x]+1)=x−[x]=f(x)，故②正确；
由②的分析可知，f(x)是周期为1的周期函数，
当x=0时，f(0)=0−[0]=0，
当0当x=1时，f(1)=1−[1]=0，
综上，f(x)的值域为[0,1)，故③错误；
当1≤x<2时，0≤x−1<1，
所以f(x)=f(x−1)=x−1，公共点有无数个，故④错误．
故答案为：①②．
根据高斯函数的定义对4个结论进行分析，从而确定正确答案．
本题考查分段函数的应用，考查运算求解能力，是中档题．
17.【答案】解：(1)x+32−x+1≥03(x−1)>2x−2，由x+32−x+1≥0，得x+3−2x+2≥0，解得x≤5；
由3(x−1)>2x−2得，3x−3>2x−2解得x>1，
不等式组的解集为{x|1(2)原式=[(310)3]13−72+(44)34−13+1
=103−49+64−13+1=19．
【解析】(1)通过解一元一次不等式组来求得正确答案．
(2)根据指数运算求得正确答案．
本题主要考查了一次不等式组的求解，还考查了指数幂的运算性质，属于基础题．
18.【答案】解：∵条件p：2x2−3x+1≤0；条件q：x2−(2a+1)x+a(a+1)≤0．
∴设A={x|2x2−3x+1≤0}，B={x|x2−(2a+1)x+a(a+1)≤0}={x|(x−a)[x−(a+1)]≤0}，
化简得A={x|12≤x≤1}，B={x|a≤x≤a+1}．
∵￢p是￢q的必要不充分条件，
∴p是q的充分不必要条件，即A⊊B，
∴a≤12a+1≥1，解得0≤a≤12，
故所求实数a的取值范围是[0,12].
【解析】分别求出关于p，q成立的x的范围，结合充分必要条件的定义，得到关于a的不等式组，解出即可．
本题考查充分必要条件，考查结合的包含关系以及命题的关系，考查复合命题、不等式性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，考查函数与方程思想，是基础题．
19.【答案】100 18°
【解析】解：(1)依题意，本次被调查的学生人数为30÷30%=100，
故答案为：100
喜欢B课程的人数为100×35%=35，补全条形统计图如图所示：
(2)扇形统计图中E对应的扇形的圆心角度数是360°×5100=18°．
故答案为：18°
(3)画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲、乙两位同学同时被选中的结果有：甲乙，乙甲，共2种，
所以甲、乙两位同学同时被选中的概率为212=16．
(1)结合条形图及扇形图，列式计算得被调查的学生数，再求出B课程人数，补全条形图．
(2)由E课程所占百分比求出圆心角度数．
(3)画出树状图，求出概率．
本题考查频率分布直方图的画法，涉及古典概型的计算，属于基础题．
20.【答案】解：(1)如图1，连接OC，

AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，所以CE=DE=12CD，
因为AB=10，AE=8，
所以OC=5，OE=3，由勾股定理得CE= OC2−OE2=4，
所以CD=8；
(2)因为CP=PQ，所以AB平分CQ，
由题意知，分CQ是直径，CQ是不为直径的弦两种情况求解：
①当CQ是直径，则P，O重合，
所以AP=AO=5；
②当CQ是不为直径的弦，则P，E重合，
因为AP=AE=8，
因为AP的长为5或8；
(3)①证明：如图2，连接AC，

由题意知，AB垂直平分CD，
所以AC=AD，CP=DP，
所以AC=AD，CP=DP，AP=AP，
所以△ACP≌△ADP(SSS)，
所以∠ADP=∠ACP，
所以∠ACP=∠ADQ，
所以∠ADP=∠ADQ；
②解：∠ADP+∠ADQ=180°；
如图3，连接AC，

由题意知，AB垂直平分CD，
所以AC=AD，CP=DP，
因为AC=AD，CP=DP，AP=AP，所以△ACP≌△ADP(SSS)，
所以∠ADP=∠ACP，
由圆内接四边形ACQD可得，∠ACQ+∠ADQ=180°，
所以∠ADP+∠ADQ=180°．
【解析】(1)根据圆的几何性质以及勾股定理来求得CD；
(2)根据CQ是否为直径进行分类讨论，从而求得AP的长；
(3)①通过证明△ACP≌△ADP，结合圆的几何性质来证得∠ADP=∠ADQ；
②通过证明△ACP≌△ADP，结合圆的几何性质来证得∠ADP+∠ADQ=180°．
本题考查全等三角形的证法及全等三角形的性质的应用，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由题意可得，ax2+ax+3>0对于任意x∈R恒成立，
当a=0时，得3>0，显然符合题意；
当a≠0时，得a>0Δ=a2−12a<0，解得0综上，实数a的取值范围是[0,12)．
(2)原不等式转化为ax2+(2a−1)x−2<0，即(ax−1)(x+2)<0．
又a<0，不等式可化为(x−1a)(x+2)>0，
若1a<−2，即−12−2，即解集为{x|x<1a或x>−2}；
若1a=−2，即a=−12时，得x≠−2，即解集为{x|x≠−2}；
若1a>−2，即a<−12时，得x<−2或x>1a，即解集为{x|x<−2或x>1a}．
【解析】(1)由已知结合二次函数的性质对a的范围进行分类讨论即可求解；
(2)由已知结合二次不等式的求法对a的范围进行分类讨论即可求．
本题主要考查了由不等式恒成立求解参数范围，还考查了含参二次不等式的求解，属于中档题．
22.【答案】解：(1)根据题意，设x<0，则−x>0，
f(x)为奇函数，则f(x)=−f(−x)=22−x+1−1=2x−12x+1，
当x>0时，f(x)=1−22x+1=2x−12x+1，而f(0)=0符合上式，
所以函数f(x)在R上的解析式f(x)=2x−12x+1；
(2)任取x1，x2∈R且x1f(x1)−f(x2)=2x1−12x1+1−2x2−12x2+1=2(2x1−2x2)(2x1+1)(2x2+1)=2⋅2x2(2x1−x2−1)(2x1+1)(2x2+1)，
由x10，2x1−x2<1，2x1+1>0，2x2+1>0，
则f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)而f(x)是奇函数，原不等式化为f(m)>−f(m2−t)=f(t−m2)，
于是m>t−m2，即t而m2+m=(m+12)2−14≤−14，当且仅当m=−12时取等号，从而t<−14，
所以实数t的取值范围为(−∞,−14)．
【解析】(1)根据给定条件，利用奇函数的定义求出解析式．
(2)利用单调性定义证明f(x)在R上单调递增，再利用单调性及奇偶性脱去法则，转化为t本题考查函数的恒成立问题，涉及函数解析式的求法，属于中档题．